2024年高考二輪數(shù)學(xué)講義 三角函數(shù)與解三角形

.H專題突破

?專題二三角函數(shù)與解三角形

第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

［考情分析］1.高考對此部分的命題主要集中于三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，主要考查圖象

的變換、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性，常與三角恒等變換交匯命題2主要以選

擇題、填空題的形式考查，難度為中等或偏下.

考點一三角函數(shù)的運算

【核心提煉】

1.同角關(guān)系：sin2a+cos2<x=1,：￡：=tank￡Z).

2.誘導(dǎo)公式：在竽+a,Z￡Z的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號看象限”.

例1(1)(2023?南寧模擬)在平面直角坐標系中，角。與尸的頂點在原點，始邊與x軸非負半

軸重合，它們的終邊關(guān)于原點對稱，且sina=g,則sin(a+/?)=.

答案幫

解析由題意，角。與S的頂點在原點，終邊構(gòu)成一條直線，所以S=Q+TC+2E,kez,

所以sin(a+^)=sin(2a+7t+2Z：7i)=sin(2a+7i)

=-sin2a=-2sinacosa,

o?1

又sina=q,

_______2、叵

所以cosa=±y］1-sin2a=±-^,

所以sin(a+y3)=-2sinacosa=—2xgx(±^^=±^3

⑵(2023?巴中模擬)勾股定理，在我國又稱為“商高定理”，最早的證明是由東漢末期數(shù)學(xué)家

趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的，他利用了勾股圓方圖，此圖被稱為“趙爽弦圖”.“趙

爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形組成的大正方形圖案(如圖所

示），若小正方形與大正方形的面積之比端，則“趙爽弦圖”里的直角三角形中最小角的正

弦值為（）

答案D

解析設(shè)大正方形的邊長1,直角三角形中最小的角為仇則中間小正方形的邊長為cos6一

sin8,

9

由題意可得（cos0—sin

顯然0<夕<?所以cos0>sin0>0,

所以cos夕一sin夕=今早，①

9

又cos20+sin20—2cosOsin。=方，

Q

所以2cosOsin。=斤，

所以（cos6+sin0）2=cos2夕+sin?e+2cosOsin。=居，即cos0+sin②

聯(lián)立①②，解得sin。=嚕.

二級結(jié)論（1）若號，則sinQ<a<tana.

（2）由（sina±cosa）2=1±2sinacosa知,

sina+cosa,sina—cosa,sinacosa三者知一可求二.

跟蹤演練1（1）（2023?鷹潭模擬）設(shè)sin23。=〃?，貝ljtan67。等于（）

答案D

解析Vsin23°=/w,

/.cos67°=)〃，sin670=yj1—nr,

Atan67°=^--------,

m

Vsin23°=/H>0,

(2)已知2cos(a+￥)=cos(a—兀)，貝ljsin2a+cos2a=.

答案-i

解析

/.2sina=-cosa,

.*.tana=-1,

2sinacosa+cos%—sin%

/.sin2a+cos2a=

cos%+sin2a

2tana+1—tan2aJ

1+tan2a5,

考點二三角函數(shù)的圖象

【核心提煉】

由函數(shù)y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(rox+^)(A>0,O>0)圖象的步驟

I函數(shù)y=sinx的圖日

沿大軸向左(<p>o)或向右橫坐標伸長(Ocsvl)或縮

3<0)平移|到個單位長度短(3>1)為原來的1倍

(得y=sin(x+<p)的圖耳］(得y=sin3”的圖燈

橫坐標伸長(0V3V1)或縮沿x軸向左(@>0)或向右

短(3>1)為原來的5倍3<0)平移19個單位長度

0)

|得3=5由(sx+(p)的圖象］得產(chǎn)sinco1+g)的圖象

縱坐標伸長(4>1)或縮

，短(0<Avl)為原來A倍

得產(chǎn)Asin(tox+cp)的醫(yī)3

例2⑴(2023?海東模擬)為了得到函數(shù)火x)=sin(2x—

的圖象，只需將函數(shù)g(x)=cos2x的

圖象()

37r

A.向左平移登個單位長度

O

37r

B.向右平移瓷個單位長度

O

C.向左平移自個單位長度

O

D.向右平移工個單位長度

O

答案B

解析因為sin（2x—：）=sin（2x—竽+］）=cos（2x—苧），所以/（x）=cos（2x—引,

故為了得到犬X）的圖象，只需將g（x）的圖象向右平移3資7r個單位長度.

（2）（多選）如圖是函數(shù)y=sin（3x+p）的部分圖象，則sin（3r+p）等于（）

答案BC

解析由函數(shù)圖象可知，空一器=壬

則罔=2竿7r=2骨7r=2,所以排除A；

不妨令（o=2,

正時，）'=-1，

5兀371

2X五+9=亍+2kn(k仁Z),

2兀

解得°=2%i+-y(A￡Z),

即函數(shù)的解析式為

in(2x+用+2fat)=sin(：

y=si\2X+6+2,

(2x+()=sin仔—2,

=cos

*-cos借-2x)

而cos2X+T

所以排除D,選BC.

規(guī)律方法由三角函數(shù)的圖象求解析式y(tǒng)=Asin（（ur+9）+8（A>0,co>0）中參數(shù)的值

（1）最值定A,B:根據(jù)給定的函數(shù)圖象確定最值，設(shè)最大值為最小值為根，則M=A+3,

…M+mM-m

解得8=-7—,4=--------

m=~A+Bf22

（2）T定。：由周期的求解公式7=普，可得。=筆

（3）特殊點定（p:代入特殊點求（）,一般代入最高點或最低點，代入中心點時應(yīng)注意是上升趨

勢還是下降趨勢.

跟蹤演練2（1）把函數(shù)y=/（x）圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的最縱坐標不變，再把所得

曲線向右平移事個單位長度，得到函數(shù)），=$皿@一§的圖象，則式x）等于（）

A.sin仔一器）B.於+日

C.sin（2x一患）D.sin（2x+^0

答案B

解析方法一函數(shù)y=/（x）圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的3,縱坐標不變，得到y(tǒng)=/Qx）

的圖象，再把所得曲線向右平移1個單位長度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫統(tǒng)=/（2（x—2）的圖象，

根據(jù)已知得到了函數(shù)y=sin（x—點）的圖象，所以J（2（x—：））=sin（x—彳），令f=2（x—：）,

mlt?71兀I?兀

貝（I元=]+?，1—^=5+萬，

所以a=sin令啥），

所以於）=sing+專）

方法二由已知的函數(shù)yusing—逆向變換，

第一步，向左平移1個單位長度，得到），=sinG+；—B）=sinG+j3的圖象；

第二步，圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)=sin仔+自）的圖象，

即為y=/U）的圖象，所以?r）=sin（1+專）

⑵（2023?鞍山模擬）函數(shù)式x）=4cos（sx+w）（A>0,。>0,|夕|司的部分圖象如圖所示,將函數(shù)人用

的圖象向左平移1個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，則等于（）

A.gB.坐。坐D.1

答案D

解析由圖象可知，A=2,J=l-(-l)=2,

得7=8=呼，所以

所以1x)=2cos&+夕)，

又因為點(一1,0)在函數(shù)./(x)的圖象上，

所以2cos(—￡+，=0,

TTTT

所以一不+8=—]+2E,kGZ,

7T

即9=—a+2E，

又1研專所以9=一々，

即yu)=2cos(%—g.

所以g(x)=/(x+1)=2cos；(x+1)一:

jl(4、(714、it

=2cos4所以gUJ=2cosGXgJ=2cos]=1.

考點三三角函數(shù)的性質(zhì)

【核心提煉】

函數(shù)y=Asin（6t>x+^）（A>0,①>0）的性質(zhì)

⑴單調(diào)性：由一W+2htW5+94+2E（kez）可得單調(diào)遞增區(qū)間，由升2E〈0x+衿與+

2E（AeZ）可得單調(diào)遞減區(qū)間.

TT

（2）對稱性：由<^+夕=也伏62）可得對稱中心；由3x+9=ht+5（ACZ）可得對稱軸.

7T

（3）奇偶性：當(dāng)夕=%兀（左￡Z）時，函數(shù)y=Asin（Qv+8）為奇函數(shù)；當(dāng)3=E+g（k￡Z）時，函數(shù)y

=Asin（s+8）為偶函數(shù).

例3⑴（2023?全國乙卷）已知函數(shù)應(yīng)v）=sin（0x+e）在區(qū)間像，專）單調(diào)遞增，直線尸看和x

=號為函數(shù)y=/（x）的圖象的兩條相鄰對稱軸，則/（一招）等于（）

答案D

解析因為直線犬=專和犬=專為函數(shù)y=/(x)的圖象的兩條相鄰對稱軸,

所以務(wù)號W,不妨取0＞。，貝|J7=兀，0=半=2,

由題意知，當(dāng)工=5時，段)取得最小值，貝!12義聿+p=2E—彳，kez,

5兀

則“二2也一不，kGZ,不妨取女=0,

則/(T)=sin(T=^.

TT

(2)(多選)(2023?佛山模擬)已知函數(shù)段)=3sin(2x+9)的初相為之，則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)1x)的圖象關(guān)于直線x=—9對稱

B.函數(shù)段)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為一金，

C.若把函數(shù)./W的圖象向右平移合個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)為偶函數(shù)

D.函數(shù)段)在區(qū)間［Y2上的值域為［一|,乎］

答案AB

解析由題意知夕=看，

對于選項A,因為/(一；)=一3,

7T

所以函數(shù)4x)的圖象關(guān)于直線工=-W對稱，故A項正確；

JrJT3冗

對于選項B,由2E+5W2X+WW2E+'V，kGZ,

ZoZ

7r27r

得E+wWxWE+f,

oJ

則當(dāng)％=—1時，函數(shù)段)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為［一景故B項正確；

對于選項C,把函數(shù)人x)的圖象向右平移盍個單位長度得到函數(shù)g(x)=3sin［2(x一田+季

=3sin2x的圖象,

所以g（x）為奇函數(shù)，故C項錯誤；

對于選項D,因為一臺xW1

所以一狂2x+狂拳

所以一g＜sin（2x+§＜1,

所以-,W3sin（2x+^）W3,

即函數(shù)於）在區(qū)間［—去北上的值域為［一|,3］故D項錯誤.

規(guī)律方法研究三角函數(shù)的性質(zhì)，首先化函數(shù)為1x）=Asin（5+e）+/z的形式，然后結(jié)合正

弦函數(shù)y=sinx的性質(zhì)求犬x）的性質(zhì)，此時有兩種思路：一種是根據(jù)y=sinx的性質(zhì)求出?r）

的性質(zhì)，然后判斷各選項；另一種是由x的值或范圍求得f=ox+9的范圍，然后由y=sinr

的性質(zhì)判斷各選項.

跟蹤演練3（1）（2023?廣州模擬）已知函數(shù)＜x）=sin（2x+p）,0＜夕＜九，若負的＜恒成立，

則兀r）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

",?兀，?2兀1

A.E+彳，％兀+百（ZWZ）

E+鼻（fcez）

P,兀,.7i~|

C.［E—E+不（左￡Z）

r,2K,兀1

D.k7i—-fkit一《（攵￡Z）

答案D

解析因為恒成立，

所以/圖=犬*），皿=1,

即sin停+卬）=±1,

所以與+夕=，+2攵兀或?qū)?夕=咨+2也，k￡Z,

所以9=_曰+2E或勿=蔣+2而，k0L,

5兀

又0＜夕〈冗，所以9=不，

所以,ZU）=sin（2r+引，

7T57r7T

令一5+2EW2x+kW5+2E,kGZ,

2oZ

27rjr

得一至+kTtWxW—d+kit,kCZ,

所以兀v）的單調(diào)遞增區(qū)間為［e一拳?一部GZ）.

⑵已知函數(shù)7W=a一小tan2x在區(qū)間一襲，人上的最大值為7,最小值為3,則外的值為（）

A5兀C兀

A.五B.§

「兀c兀

C-6Di2

答案B

7T

解析?.”￡一不b,

7T「兀

b>—^,且2r￡—2b,

根據(jù)函數(shù)段）在區(qū)間［一去〃上的最大值為7,最小值為3,得2。號即討，

根據(jù)正切函數(shù)g（x）=tanx在（一多J）上單調(diào)遞增，

則/U）=。一小lan2x在［―*上單調(diào)遞減，

，/（—/=。+3=7,解得。=4,

A

?\A6）=4一小tan2b=39貝han2。=早，

（一??\：.2b=^f即b=有

13L）O1Z

專題強化練

一、單項選擇題

1.已知點P（6,—8）是角。終邊上一點，則sine+a）等于（）

44

-B-

A.-55

33

C-D-

-55

答案D

63

解析點尸(6,-8)是角a終邊上一點，故cosa=亍

加2+（-8）2

71

Sing+a）=cos?4

2

2.(2023?揚州模擬)與函數(shù)y=tan(2x+§的圖象不相交的一條直線是(

）

兀c兀

A.x=2B.無=不

「兀一兀

C.x=j2D.X=T

答案B

TT7T

解析由2x+dW]+E,kGZ,

解得工力號+竽，k《Z,當(dāng)左=0時，第琛，

.?.與函數(shù)產(chǎn)tan(2x+§的圖象不相交的一條直線是x=，

3.（2023?深圳模擬）已知sin（；+a）=*,則cos管+a）的值為（

）

33

A.—B.g

C.D.,

答案C

解析cos管+a）=cos升停+。）

~sin俘+,=_*

4.已知直線x=xi，是函數(shù)?r)=sin(①式+*)(①>0)圖象的任意兩條對稱軸，且出一必|的

最小值為多則/U）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

,,71,.2兀-],~

A.4兀+1E+9,2￡Z

B.[far-$E+*]k￡Z

《22兀+1,2%兀+與],jtez

D.2kn—^,2E+哥，&WZ

答案B

解析,直線x=xi,x=X2是函數(shù)兀t）=sin（tux+§圖象的任意兩條對稱軸，且|為一及|的最小

值為多

.T_n即丁二我老，

"2~T

解得①=2,即/U）=sin（2x+§,

令2x+*e[2E—看2E+3,A￡Z,

解得入耳也一三，E+胃，kGZ,

.g）的單調(diào)遞增區(qū)間是［航冶，kn+l,*ez.

5.（2023?全國甲卷）設(shè)甲：sin2a+sin2^=1,乙：sina+cosy?=0,則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案B

解析甲等價于sin2a=1—sin2/?=cos2^,

等價于sina=±cos0,

所以由甲不能推導(dǎo)出sina+cos^=0,

所以甲不是乙的充分條件；

由sina+cos0=0,得sina=—cos3

平方可得sin2a=cos2^=1—sin2^,

即sin2a+sin2）fi=1,

所以由乙可以推導(dǎo)出甲，則甲是乙的必要條件.

6.（2023?沈陽模擬）已知向量初=（1,sin（；+x））,〃=（sin6一x）,?。?，函數(shù)火x）=吐〃，若

三代圉引，使不等式於）—T20成立，則實數(shù)。的最大值為（）

A.—小B.13C.l2D.一小—1

答案C

（；-J+小sin仔+x）=+小sinQ+；）=2sinQ+駕）,

解析由題設(shè)，/U）=sinl

若xe[中,苧],則x+患e[卷,y],

故sin（x+駕）e[—1,—

所以y（x）e[—2,-1],

一3兀5兀一

因為mXG彳，彳，使不等式兀V）一。一120成立，只需火X）max》〃+1即可,

所以。+1<—1,即〃W—2,故〃的最大值為-2.

7.（2023?懷化模擬）設(shè)。>0,若函數(shù)y=2cos（s+§的圖象向右平移胃個單位長度后與函數(shù)y

=2sin（car+§的圖象重合，則3的最小值是（）

A.；B.|C.|D.1

答案c

解析函數(shù)y=2cos（ox+g）的圖象向右平移g個單位長度后，得到y(tǒng)=2cos（s—詈+|）的圖

象，

與函數(shù)y=2sin（sx+9）=2sin（3x—招+；）=2cos（cox—笥圖象重合，

則一等+]=_,+2版,fcGZ,

解得。=合一10k,kGZ,

'.,co>0,，當(dāng)k=0時，co取到最小值，此時3=5.

8.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物理學(xué)知

識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移y（m）和時間r（s）的

函數(shù)關(guān)系為y=sin（M+9）（o>0,|夕|<兀），如圖2.若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達同一

位置的時間分別為小玄，2y3），且6+川=2,。2+以=5,則1分鐘內(nèi)阻尼器由其他位

置擺動經(jīng)過平衡位置的次數(shù)最多為（）

圖1圖2

A.19B.20C.40D.41

答案C

解析因為〃+攵=2,攵+"=5,"一九=7,所以7=3,又7=界，所以號,

由0W/W60,則9<g~/+8W40兀+%

所以1分鐘內(nèi)阻尼器由其他位置擺動經(jīng)過平衡位置的次數(shù)最多，等價于1分鐘內(nèi)y=

sin停f+9)=0的次數(shù)最多，等價于區(qū)間［%40兀+夕］內(nèi)包含E伙￡Z)的次數(shù)最多，

又131V兀，則區(qū)間［%40兀+p］內(nèi)包含了0,兀，271,3兀，39兀或兀，2兀，3兀，…，40兀，

所以區(qū)間［%40兀+牝|內(nèi)包含E(Z￡Z)的次數(shù)最多為40.

二、多項選擇題

9.為了得到函數(shù),/(x)=sin(3x一§的圖象，只需將函數(shù)g(x)=sinx的圖象()

A.所有點的橫坐標縮短到原來的;，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移段個單位長度

B.所有點的橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移強個單位長度

JO

C.向右平移5TV個單位長度，再將所得圖象所有點的橫坐標縮短到原來的1點縱坐標不變

7TI

D.向右平移R個單位長度，再將所得圖象所有點的橫坐標縮短到原來的g縱坐標不變

1OJ

答案AC

解析將函數(shù)g(x)=sinx的圖象所有點的橫坐標縮短到原來的;，縱坐標不變，再將所得圖象

向右平移金個單位長度，可以得到函數(shù)J(x)=sin(3x一§的圖象，A正確；

將函數(shù)g(x)=sinx的圖象所有點的橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標不變，再將所得圖象向

右平移七個單位長度，可以得到函數(shù)於)=$山右一專)的圖象，B不正確；

將函數(shù)g(x)=sinx的圖象向右平移點個單位長度，再將所得圖象所有點的橫坐標縮短到原來的

縱坐標不變，可以得到函數(shù)7U)=sin(3x一目的圖象，C正確；

將函數(shù)g(x)=sinx的圖象向右平移表個單位長度，再將所得圖象所有點的橫坐標縮短到原來

的主縱坐標不變，可以得到函數(shù)兀r)=sin(3x一離的圖象，D不正確.

10.(2023?煙臺模擬)已知函數(shù)7U)=sinx—COSJG貝lj()

A../U)的最小正周期為兀

7T

B.於)在|_0,小上單調(diào)遞增

C.直線x=一；是y（x）圖象的一條對稱軸

D.ZU）的圖象可由y=gsinx的圖象向左平移個個單位長度得到

答案BC

解析7W=sinx—cosx可化為兀r）=，5sin（x—々），

則函數(shù)/U）=<Esin（x一；）的最小正周期為2n，A錯誤；

當(dāng)OWxW］時，一^Wx—不

TTTT

因為函數(shù)丁=5出》在［一手上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)兀0在［o,句7T上單調(diào)遞增，B正確；

=,

當(dāng)x=―今時，X~T~2

所以直線工=一:是/（X）圖象的一條對稱軸，C正確；

函數(shù)y=^sinx的圖象向左平移々個單位長度得到函數(shù)g（x）=，DsinG+y的圖象，D錯誤.

11.（2023?黃山模擬）若普翳普=一'則tan得+8）（AGZ）的值可能是（）

A.1B.|C.2D.3

答案CD

八4八E乙sin0-（cos120—sin20sin0-cos0—sin20

解析由余弦的二倍角公式知，MO+cosJ=sin火cos-sin6）=一cos2^+sin2/9

tan0-tan%3

1+tan2/?5，

得5tan5tan20=—3—3tan20,

即2tan2^—5tan夕一3=0,

解得tan夕=-］或tan9=3,

當(dāng)&=2mO￡Z）時，tan（W+O）=tan（"譏+O）=tan仇

當(dāng)）=2m-l（?nGZ）時,ta既+6）

=tan（m+0—*tan（T）=一^,

所以當(dāng)tan9=一3時，tan（與+。）=-3或tan住+0）=2（左￡Z）,

當(dāng)tan9—3時，tan(亨+。)=3或tan仔+。)=—g(kez).

12.(2023?張家口模擬)己知函數(shù)火x)=|sinx|+cos|x|,則下列結(jié)論正確的有()

A.凡。為偶函數(shù)

B.火龍)的最小值為一也

C./)在區(qū)間［一兀，一月上單調(diào)遞增

D.方程/U)=g在區(qū)間［0,4n］內(nèi)的所有根的和為8TI

答案ACD

解析對于A項，段)的定義域為R,X—X)=|sin(—x)|+cos|-x\=|sinx|+cos|x|=y㈤，故A

正確；

對于B項，由cos(—x)=cosx得cos|x|=cosx,

所以加:)=|sinM+cosx,

又因為fix+2TI)=|sin(x+2TI)|+cos(x+2TU)=|sinx|+cosx=/(x),

所以函數(shù)凡r)是以2兀為周期的周期函數(shù)，

所以7U)=|sinx\+cosx

sinx+cosx,［2kit,兀+2&兀］,

=?,kGZ,

-sinx+cosx,(兀+2E,2兀+2%兀］,

也sin(x+J,2%兀+兀］,

即兀(,0,

一也sin(x—3￡(22兀+兀，2%兀+2兀］,

故函數(shù)/U)的圖象如圖所示.

則y(兀+2E)=—1,

所以函數(shù)/U)的最小值為一1,故B錯誤;

對于C項，

jr7T

方法一如圖，當(dāng)無￡一兀，一^時，函數(shù)/U)在一兀，一a上單調(diào)遞增，故c正確;

x=y{2cos(x+^

方法二當(dāng)xe—兀，一：時，fix)=-sinx+cosf

因為一至0,函數(shù)產(chǎn)cosx在一竽，0上單調(diào)遞增,

7T

所以函數(shù),穴無）在［一兀，一制上單調(diào)遞增，故C正確；

對于D項，由圖象可知，方程在區(qū)間［0,4兀］上有四個不相等的實數(shù)根，設(shè)即42<X3<X4,

力為+工4X2+X3c

則一^-=^=2兀，

所以為+12+工3+尤1=8兀，故D正確.

三、填空題

13.（2023?西安模擬）已知$指2（兀一。）=坐cos伶+。0<|4專貝I］。=.

竺口案耒-3

解析由題知sii?e=坐sin0,

所以sin。=勺或sin0=0,

又因為0<|。|多所以夕=呈

14.（2023?全國乙卷）若6G（0,9，tan2=：,則sin-cos（9=.

答案—中

解析因為ee（o,0，

則sin600,cosGO,

rm工zisin019

又因為tancosg~2

則cos0=2sin0,

且cos20+sin20=4sin20+sin20=5sin20=1,

解得sin。=9或sin。=一坐（舍去），

所以sin0—cos6=sin夕一2sin0=—sin6=—乎.

15.（2023?新高考全國H）已知函數(shù)"r）=sin（Gx+9）,如圖，A,3是直線y=^與曲線y=y（x）

的兩個交點，若恒8|=襲，則式兀）=.

答案—日

解析設(shè)4（xi,；）,B（X2,I

由|A3|=看可得X2—X\=^f

由sinx=T可知，

jr5jr

x=z+2E,攵￡Z或x=z+2E,攵￡Z,

oo

由圖可知,

CDX2~^~（P—（C9X]+0）=普一,=爭，

即①。2—X|）=專，所以①=4.

因為f（^）=sin管+。）=0，

所以"T+g=E，kSZ,

即0=一丁+也，kGZ.

所以7U）=sin（4x一號+E）,kGZ,

所以7U）=sin（4工一?

又因為犬0）<0,

所以7U）=sin（4x一爭），

也

2.

16.（2023?重慶模擬）如圖，函數(shù)段）=2sin（5+8）（80,0<8V7i）的圖象與坐標軸交于點A,B,

C,直線BC交7U）的圖象于點。，0（坐標原點）為△48。的重心（三條邊中線的交點），其中

A（一兀，0）,則tan/48D=.

3仍兀

答案

6—7C2

解析因為。為△ABO的重心，且A（一兀，0）,

可得OA=,AC=兀，則AC=冷,

所以C(J,o),

所以37=5一（_兀）=竽，

27r2

所以7=3兀，由①>0,所以工=3兀，解得①=不

co3

可得7U）=2sin（jx+9）,

由夫—兀）=0,即5出［1><（_兀）+3=0,

可得5X（—兀）+9=瓶，kRZ,

2兀

解得夕=%兀+丁，kGZ,

27t

又由0<9<7t,所以0=亍，

于是的）=2sin（|xO+4］=小，所以8（0,?。?

所以tan/AB￡>=tan（/ABO+/CBO）

tanNABO+tanNCS。

1—tanXABO'tanNCBO71

6

恒等變換與解三角形

［考情分析］1.三角恒等變換主要考查化簡、求值，解三角形主要考查求邊長、角度、面積等,

三角恒等變換作為工具，將三角函數(shù)與三角形相結(jié)合考查求解最值、范圍問題.2.三角恒等變

換以選擇題、填空題為主，解三角形以解答題為主，中等難度.

考點一三角恒等變換

【核心提煉】

I.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

(l)sin(a±yff)=sinacos夕土cosasin夕;

(2)cos((z±^)=cosacos股sinasin

tana±tan0

(3)tan(a±^)=

1+tanatan/

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(l)sin2a=2sinacosa;

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2<z-1=1-2sin2a;

~八2tana

⑶tan2a=f^

例1(1)(2023?南寧模擬)己知ad(0,兀)，且3cos2.—4cosa+l=0,則sin2a等于()

An4巾

A.9B.9

CD-基

J99

答案B

解析由3cos2a—4cosa+1=0#3(2cos2a—1)—4cosa+1=0,

化簡得3cos2?—2cosa-1=0,

解得cosa=\或cosa=~y

因為a￡(0,7t),所以cosa=—；.

所以sina=y/1-cos%=^^.

4小

所以sin2a=2sinacosa=-g~.

(2)(2023?新高考全國I)已知sin?—.)=；,cosasin夕=卷，則COS(2Q+2q)等于()

A2B-C--D—2

答案B

解析因為sin(a-0=sinacos/?—cosasin^=y

工.n1

而cosasin/=不

因此sinacos尸=；,

規(guī)律方法三角恒等變換的“4大策略”

⑴常值代換：特別是“1”的代換，I=sin2?+cos2?=tan45。等.

(2)項的拆分與角的配湊：-iosin2a+2cos2a=(sin2a+cos2a)+cos2a,a=(a—五)+尸等.

(3)降暴與升底：正用二倍角公式升幕，逆用二倍角公式降幕.

（4）弦、切互化：一般是切化弦.

跟蹤演練1（1）（2023?濟寧模擬）已知cos（a+2=坐，則sin（2aj）等于（

)

2n2c1-1

A.—B，2C.—JD/j

答案D

解析sin（2a—聿）=$壯2。:+襲）一與

2a+=1-2cos+71

=-COSl6)V6,

-2X3=3-

（2）已知函數(shù)y（x）=sinx—2cosx,若當(dāng)工=9時，段）取得最大值，則cos。=,

答案一手

解析/W=sinx—2cosx=y[5sin（x-q））,

甘士■.2小

其中cos3=亨，sin5",

則式。）=小sin（。-3）=小，

TT

因此。-9=]+2%兀，kez,

貝ijcos9=cos(9+1+2A7t)=-sin(p=275

5,

考點二正弦定理、余弦定理及綜合應(yīng)用

【核心提煉】

1.正弦定理：在AABC中，為aABC的外接圓半徑）.

sin3=呆.「

變形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinA=/,sinC=2C^,alb-c=

sinA：sin8：sinC等.

2.余弦定理：在△48C中，a2=b2+c2^2bccosA.

tr+c1—cr

變形:b2+c2—a2=2/?ccosACOSA=-F~-

3.三角形的面積公式：S=2“bsinC=/acsinB=/"csinA.

考向1正弦定理、余弦定理

例2（1）（2023?紅河模擬）在aABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,aABC的面積為

/（bsinB-as\nA-csinC）,則B等于（）

n-5兀-兀-2九

A46BTC3DT

答案D

解析由題知，△ABC的面積為5?（bsinB-asinA—csinC）,

所以J/bsinC=：伏bsinB~as\nA-csinQ,即asinC=bsinB-asinA-csinC,

222

所以由正弦定理得ac=b—a—cf

222

即a+c-b=-ac9

/+c2一82J

所以由余弦定理的推論得cosB=-荻一=一；,

2兀

因為8W（0,兀），所以8=可.

（2）（2023?全國甲卷）在△ABC中,ZBAC=60°,AB=2,BC=#,ABAC的角平分線交BC

于￡＞，貝I」

答案2

解析如圖所示，記A8=c=2,AC=h,BC=a=yj6.

方法一在△ABC中，由余弦定理可得,

/=〃+/—2bccosZBAC,

22

即6=/>+2-2X/?X2XCOS60°,

解得b=l+小（負值舍去），

由SAABC—&A8￡>+SAACD可得，

|x2X（l+?。sin600義2XAQ義sin300+3X（1+小）XA￡>Xsin30°,

解得AO=2.

方法二在△4BC中，由余弦定理可得，a2=b2+c2—2feccosABAC,

即6=/+22—2X匕X2Xcos600,

解得6=1+?。ㄘ撝瞪崛ィ?，

由正弦定理可得：逆審=上邛==K，

Q44sm600smBsinC

翩行.V6+V2.J2

斛行sinBK—4,sinC—?,

因為1+小>V^>2,

所以C=45°,B=180°—60°—45°=75°,

又/8AO=30°,

所以/AOB=75。，即AQ=A8=2.

考向2解三角形中的最值與范圍問題

例3(2023.大連模擬)從下列條件中選擇一個條件補充到題目中:

①S=^(〃+c2—/),其中S為△ABC的面積;您a-\-bc~b

;(§X/3sinC+cos

sinCsinA-sinB

在AABC中，角A,B,C對應(yīng)邊分別為“，b,

⑴求角A；

(2)若。為邊AB的中點，CD=2小,求h+c的最大值.

解(1)選①，由余弦定理得，

b2+c2—a2=12bccosA,

又S=T〃csinA,所以上csinA=*X2/?ccosA,

得tanA—"^3,

7T

因為0<A<TI,所以A=y

a+bc-b

選②，因為

sinCsinA—sinB9

a+bc-b

由正弦定理得?

整理得/+/一。2=匕以

/+。2—421

由余弦定理得cos4==9

2bc2

TT

因為0<4<元，所以

選③，因為小sinC+cosC=Q,

由正弦定理仔小sinC+cosC=---而1---,

即小sinCsinA+cosCsinA=sinC+sinB,

又因為A+C=it—B,

所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCeosA,

所以巾sinCsinA—sinCeosA=sinC,

因為0＜。＜兀，所以sinC=0,

所以小sinA—cos4=2sin（A—5）=1,

因為0<A<TT,

所以一初一江蒙

所以A*=季，即4=參

(2)在△AC。中，設(shè)N4OC=6,6>E(0,兀)，

由正弦定理得

AC_AD_CD_2A/3_

訴一sin停-『后二坐一’

所以AC=4sinO,A￡>=4sin信一(9),

所以b+c=4sin6+8sin(^—0)=8sin6+4小cos。=4由sin(6+p)W4由，其中tan9=坐，

當(dāng)。+夕=5時取等號，所以匕+c的最大值是4市.

規(guī)律方法解三角形中常見的求最值與范圍問題的解題策略

(1)利用余弦定理，找三角形三邊之間的關(guān)系，利用基本不等式將a+b與“6相互轉(zhuǎn)化求最值

范圍.

(2)利用正弦定理，將邊化成角的正弦，利用三角恒等變換進行化簡；利用三角函數(shù)的性質(zhì)求

最值、范圍.

跟蹤演練2(1)(2023?寶雞模擬)在aABC中，AB=5,AC=7,。為5c的中點，AO=5,則

BC等于()

A.2^3B.4小C.2y[2D.4吸

答案B

解析方法一設(shè)BC=2x,則8￡>=C￡>=x.

在△AC。中，由余弦定理的推論可得，

AD2+C￡>2-AC225+——49

cosNAOC=2ADCD=10x-

在AAB力中，由余弦定理的推論可得,

AD^+BD^-AB225+/-25

cosNADB=

2ADBD10A-

又NAZ)C+NAOB=7t,所以cosZADC^~cosZADB,

25+f-4925+f—25

所以有io^~iox-

整理可得『=12,

解得x=2'\[i,

所以BC=44.

方法二由T（矗+應(yīng)）

則啟=；(贏2+公2+2ABAC),

即25=；(25+49+2X5X7Xcos/BA0,

13

解得cosZBAC=j5，

所以BC2=AB2+AC2~2ABACCOSZBAC

13

=25+49—2X5X7X^=48,

所以BC=44.

(2)在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2cosAsinQg^cosC.

①求角A的大??；

②若a=2,求AABC的周長的取值范圍.

解①因為2cosAsin(B—^)=cosC,

(兀兀、

所以2cosAlsinBcoscosBsin不I

=-cos(A+B),

所以小cosAsinB-cosAcosB

=—cosAcosB+sinAsinB,

即小cosAsin8=sinAsinB,

因為30(0,兀)，所以sinBWO,

所以geosA=sin4,

因此有tan4=小.

jr

又因為AC(0,n),所以A=,

②由a=2,A=W及余弦定理得

3（h~\~cP

4=/+序-2%CCOSA=S+c）2—3〃c》（6+c）2—1S+c）2=--

所以6+cW4,當(dāng)且僅當(dāng)人=c=2時取等號.

又因為b+c>a=2,所以4<a+〃+cW6,故aABC的周長的取值范圍為（4,6].

考點三解三角形的實際應(yīng)用

【核心提煉】

解三角形應(yīng)用題的?？碱愋?/p>

（1）實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦

定理求解.

（2）實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些

三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角

形中列出方程（組），解方程（組）得出所要求的解.

例4（1）（2023?洛陽模擬）某班課外學(xué)習(xí)小組利用“鏡面反射法”來測量學(xué)校內(nèi)建筑物的高

度.步驟如下：①將鏡子（平面鏡）置于平地上，人后退至從鏡中能看到房頂?shù)奈恢?，測量出

人與鏡子的距離；②將鏡子后移，重復(fù)①中的操作；③求建筑物高度.如圖所示，前后兩次

人與鏡子的距離分別為0m,〃201（42>"1），兩次觀測時鏡子間的距離為am,人的“眼高”

為hm,則建筑物的高度為（）

耳a時

?a(a—ai)

B.---2;---m

?(a—ai)h

2mm

C.------a------

答案A

解析設(shè)建筑物的高度為x,如圖所示,

D

由△HGF—ADEF,

HGGFDEGFM

[if~DE~~EF^EF=HG~~h'

由AABCs"得篌=將今§=個，

所以ha+xa\=xa2^即x(a\-。2)=-ha.

解得尸告⑺）.

（2）（2023?濟南模擬）山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標（如圖1）,其主體建筑采用與地

形吻合的矩形設(shè)計，將數(shù)