2024年高考數(shù)學(xué)大一輪(人教A版文)第二章2.11　函數(shù)的零點與方程的根復(fù)習(xí)講義(學(xué)生版+解析)

§2.11函數(shù)的零點與方程的根考試要求1.理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解．知識梳理1．函數(shù)的零點與方程的根(1)函數(shù)零點的概念對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使______________的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．(2)函數(shù)零點與方程實數(shù)根的關(guān)系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與________有交點?函數(shù)y＝f(x)有________．(3)函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有________________，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間________________內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得__________，這個c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且____________的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間______________，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近________，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法．常用結(jié)論1．若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點．2．連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點．()(2)連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，則f(a)·f(b)<0.()(3)函數(shù)y＝f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)有且僅有一個零點．()(4)用二分法求函數(shù)零點的近似值適合于變號零點．()教材改編題1．觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點的是()2．函數(shù)y＝eq\f(3,x)－lnx的零點所在區(qū)間是()A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)3．函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3題型一函數(shù)零點所在區(qū)間的判定例1(1)函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點所在的區(qū)間是()A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究用二分法求函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6在區(qū)間(2,3)內(nèi)的零點近似值，至少經(jīng)過________次二分后精確度達(dá)到0.1()A．2B．3C．4D．5(2)(2023·蚌埠模擬)已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0,－log2x3＝0，則()A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2 D．x2<x3<x1思維升華確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．跟蹤訓(xùn)練1(1)函數(shù)f(x)＝ex－x－2在下列哪個區(qū)間內(nèi)必有零點()A．(－3，－2) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)(2)若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間()A．(a，b)和(b，c)內(nèi)B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)題型二函數(shù)零點個數(shù)的判定例2(1)若函數(shù)f(x)＝|x|，則函數(shù)y＝f(x)－的零點個數(shù)是()A．5B．4C．3D．2聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(4＋x)＝f(x)，當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝2x－2，則f(x)在區(qū)間(0,8)上零點的個數(shù)為()A．2B．3C．4D．5聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華求解函數(shù)零點個數(shù)的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個解，則f(x)有多少個零點；(2)定理法：利用定理時往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等；(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)得出函數(shù)的零點個數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022·泉州模擬)設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,－x2－2x，x≤0，))則關(guān)于x的函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點的個數(shù)為()A．3B．7C．5D．6(2)函數(shù)f(x)＝eq\r(36－x2)·cosx的零點個數(shù)為________．題型三函數(shù)零點的應(yīng)用命題點1根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)例3(2023·黃岡模擬)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2，x≤2，,log3x－1，x>2，))g(x)＝kx－3k，若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個交點，則實數(shù)k的取值范圍為()A．(2eq\r(2)－6,0) B．(2eq\r(3)－6,0)C．(－2,0) D．(2eq\r(5)－6,0)聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2根據(jù)函數(shù)零點的范圍求參數(shù)例4函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))聽課記錄：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華根據(jù)函數(shù)零點的情況求參數(shù)的三種常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.跟蹤訓(xùn)練3(1)函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．0<a<3 B．1<a<3C．1<a<2 D．a(chǎn)≥2(2)(2023·唐山模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x)，x>0，,x2＋2x，x≤0，))若g(x)＝f(x)－a有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(－1,0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,e)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))∪{－1}§2.11函數(shù)的零點與方程的根考試要求1.理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解．知識梳理1．函數(shù)的零點與方程的根(1)函數(shù)零點的概念對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．(2)函數(shù)零點與方程實數(shù)根的關(guān)系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．(3)函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法．常用結(jié)論1．若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點．2．連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點．(×)(2)連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，則f(a)·f(b)<0.(×)(3)函數(shù)y＝f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)有且僅有一個零點．(×)(4)用二分法求函數(shù)零點的近似值適合于變號零點．(√)教材改編題1．觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點的是()答案A解析由圖象可知，B，D選項中函數(shù)無零點，A，C選項中函數(shù)有零點，C選項中函數(shù)零點兩側(cè)函數(shù)值符號相同，A選項中函數(shù)零點兩側(cè)函數(shù)值符號相反，故A選項中函數(shù)零點可以用二分法求近似值，C選項不能用二分法求零點．2．函數(shù)y＝eq\f(3,x)－lnx的零點所在區(qū)間是()A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)答案B解析因為函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，且函數(shù)y＝eq\f(3,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；y＝－lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)y＝eq\f(3,x)－lnx為定義在(0，＋∞)上的連續(xù)減函數(shù)，又當(dāng)x＝2時，y＝eq\f(3,2)－ln2>0；當(dāng)x＝3時，y＝1－ln3<0，兩函數(shù)值異號，所以函數(shù)y＝eq\f(3,x)－lnx的零點所在區(qū)間是(2,3)．3．函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案B解析由f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(－1)＝eq\f(1,e)－3<0，f(0)＝1>0，因此函數(shù)f(x)有且只有一個零點.題型一函數(shù)零點所在區(qū)間的判定例1(1)函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點所在的區(qū)間是()A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)答案B解析由題意得，f(x)＝lnx＋2x－6，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3>0，則f(2)f(3)<0，∴零點在區(qū)間(2,3)上．延伸探究用二分法求函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6在區(qū)間(2,3)內(nèi)的零點近似值，至少經(jīng)過________次二分后精確度達(dá)到0.1()A．2B．3C．4D．5答案C解析∵開區(qū)間(2,3)的長度等于1，每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，?jīng)過n次操作后，區(qū)間長度變?yōu)閑q\f(1,2n)，故有eq\f(1,2n)≤0.1，解得n≥4，∴至少需要操作4次．(2)(2023·蚌埠模擬)已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0,－log2x3＝0，則()A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2 D．x2<x3<x1答案A解析設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上單調(diào)遞增，f(－1)＝－eq\f(1,2)，f(0)＝1，即f(－1)f(0)<0，由函數(shù)零點存在定理可知，－1<x1<0.設(shè)函數(shù)g(x)＝x＋log2x，易知g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)，g(1)＝1，即geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))g(1)<0，由函數(shù)零點存在定理可知，eq\f(1,2)<x2<1，設(shè)函數(shù)h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2x，易知h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，h(1)＝eq\f(1,3)，h(x3)＝0，因為h(1)>h(x3)，由函數(shù)單調(diào)性可知，x3>1，即－1<x1<0<x2<1<x3.思維升華確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．跟蹤訓(xùn)練1(1)函數(shù)f(x)＝ex－x－2在下列哪個區(qū)間內(nèi)必有零點()A．(－3，－2) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案D解析易得f(－3)＝eq\f(1,e3)＋1>0，f(－2)＝eq\f(1,e2)>0，f(－1)＝eq\f(1,e)－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因為f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(1,2)內(nèi)存在零點．(2)若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間()A．(a，b)和(b，c)內(nèi)B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)答案A解析函數(shù)y＝f(x)是開口向上的二次函數(shù)，最多有兩個零點，由于a<b<c，則a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在區(qū)間(a，b)和區(qū)間(b，c)內(nèi)各有一個零點．題型二函數(shù)零點個數(shù)的判定例2(1)若函數(shù)f(x)＝|x|，則函數(shù)y＝f(x)－的零點個數(shù)是()A．5B．4C．3D．2答案D解析在同一平面直角坐標(biāo)系中作出f(x)＝|x|，g(x)＝的圖象如圖所示，則y＝f(x)－的零點個數(shù)，即f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù)，由圖可知選D.(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(4＋x)＝f(x)，當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝2x－2，則f(x)在區(qū)間(0,8)上零點的個數(shù)為()A．2B．3C．4D．5答案C解析因為f(4＋x)＝f(x)，所以函數(shù)的周期為4，當(dāng)x∈[0,2]時，令f(x)＝2x－2＝0，得x＝1，即f(1)＝0，因為函數(shù)是偶函數(shù)且周期為4，所以有f(1)＝f(－1)＝f(3)＝f(7)＝f(－3)＝f(5)＝0，所以f(x)在區(qū)間(0,8)上零點的個數(shù)為4.思維升華求解函數(shù)零點個數(shù)的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個解，則f(x)有多少個零點；(2)定理法：利用定理時往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等；(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)得出函數(shù)的零點個數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022·泉州模擬)設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,－x2－2x，x≤0，))則關(guān)于x的函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點的個數(shù)為()A．3B．7C．5D．6答案B解析根據(jù)題意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝1或f(x)＝eq\f(1,2).作出f(x)的簡圖如圖所示，由圖象可得當(dāng)f(x)＝1和f(x)＝eq\f(1,2)時，分別有3個和4個交點，故關(guān)于x的函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點的個數(shù)為7.(2)函數(shù)f(x)＝eq\r(36－x2)·cosx的零點個數(shù)為______．答案6解析令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定義域為[－6,6]．令f(x)＝0得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cosx＝0得x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，又x∈[－6,6]，∴x的取值為－eq\f(3π,2)，－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,2).故f(x)共有6個零點．題型三函數(shù)零點的應(yīng)用命題點1根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)例3(2023·黃岡模擬)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2，x≤2，,log3x－1，x>2，))g(x)＝kx－3k，若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個交點，則實數(shù)k的取值范圍為()A．(2eq\r(2)－6,0) B．(2eq\r(3)－6,0)C．(－2,0) D．(2eq\r(5)－6,0)答案D解析作出函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2，x≤2，,log3x－1，x>2))的圖象，如圖所示，設(shè)與y＝4－x2相切的直線為l，且切點為P(x0,4－xeq\o\al(2,0))，因為y′＝－2x，所以切線的斜率為k＝－2x0，則切線方程為y－4＋xeq\o\al(2,0)＝－2x0(x－x0)，因為g(x)＝kx－3k過定點(3,0)，且在切線l上，代入切線方程求得x0＝3－eq\r(5)或x0＝3＋eq\r(5)(舍去)，所以切線的斜率為k＝2eq\r(5)－6，因為函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個交點，由圖象知，實數(shù)k的取值范圍為(2eq\r(5)－6,0)．命題點2根據(jù)函數(shù)零點的范圍求參數(shù)例4函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))答案D解析由題意知，方程ax＝x2＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，即a＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，設(shè)t＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，則t的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).所以實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).思維升華根據(jù)函數(shù)零點的情況求參數(shù)的三種常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.跟蹤訓(xùn)練3(1)函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．0<a<3 B．1<a<3C．1<a<2 D．a(chǎn)≥2答案A解析因為函數(shù)y＝2x，y＝－eq\f(2,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，a)×(3－a)<0，解得0<a<3.(2)(2023·唐山模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x)，x>0，,x2＋2x，x≤0，))若g(x)＝f(x)－a有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(－1,0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,e)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))∪{－1}答案B解析設(shè)h(x)＝eq\f(lnx,x)(x>0)，則h′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，令h′(x)>0，得0<x<e，令h′(x)<0，得x>e，所以函數(shù)h(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減．所以h(x)max＝h(e)＝eq\f(1,e).因為函數(shù)g(x)＝f(x)－a有3個零點，所以方程f(x)＝a有3個解．作出函數(shù)y＝f(x)和y＝a的圖象如圖所示，所以a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,e))).課時精練1．(2022·焦作模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋eq\f(x,3)的零點為x0，則x0所在的區(qū)間是()A．(－4，－2) B．(－2，－1)C．(1,2) D．(2,4)答案B解析易知f(x)在R上單調(diào)遞增且連續(xù)，f(－2)＝eq\f(1,4)－eq\f(2,3)<0，f(－1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)>0，所以x0∈(－2，－1)．2．用二分法研究函數(shù)f(x)＝x5＋8x3－1的零點時，第一次經(jīng)過計算得f(0)<0，f(0.5)>0，則其中一個零點所在區(qū)間和第二次應(yīng)計算的函數(shù)值分別為()A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0,0.5)，f(0.375)C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25)答案D解析因為f(0)f(0.5)<0，由函數(shù)零點存在定理知，零點x0∈(0,0.5)，根據(jù)二分法，第二次應(yīng)計算

f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋0.5,2)))，即f(0.25)．3．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3，x≤0，,log2x－3x＋4，x>0))的零點個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案C解析當(dāng)x≤0時，令f(x)＝x2－2x－3＝0，得x＝－1(x＝3舍去)，當(dāng)x>0時，令f(x)＝0，得log2x＝3x－4，作出y＝log2x與y＝3x－4的圖象，如圖所示，由圖可知，y＝log2x與y＝3x－4有兩個交點，所以當(dāng)x>0時，f(x)＝0有兩個零點，綜上，f(x)有3個零點．4．已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)－eq\f(1,x)＋m在區(qū)間(1,3]上有零點，則實數(shù)m的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))∪(0，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))∪(0，＋∞)D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0))答案D解析由于函數(shù)y＝log2(x＋1)，y＝m－eq\f(1,x)在區(qū)間(1,3]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(1,3]上單調(diào)遞增，由于函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)－eq\f(1,x)＋m在區(qū)間(1,3]上有零點，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1<0，,f3≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,m＋\f(5,3)≥0，))解得－eq\f(5,3)≤m<0.因此，實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0)).5．已知函數(shù)f(x)＝x2－2|x|－m的零點有兩個，則實數(shù)m的取值范圍為()A．(－1,0) B．{－1}∪(0，＋∞)C．[－1,0)∪(0，＋∞) D．(0,1)答案B解析在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝x2－2|x|的圖象和直線y＝m，可知當(dāng)m>0或m＝－1時，直線y＝m與函數(shù)y＝x2－2|x|的圖象有兩個交點，即函數(shù)f(x)＝x2－2|x|－m有兩個零點．6．函數(shù)f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的圖象與直線y＝k的交點個數(shù)不可能是()A．1B．2C．4D．6答案D解析由題意知，f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinx，x∈[0，π]，,－sinx，x∈π，2π]，))在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．由其圖象知，直線y＝k與y＝f(x)的圖象交點個數(shù)可能為0,1,2,3,4.7．(2023·南京模擬)在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理可應(yīng)用到有限維空間，是構(gòu)成一般不動點定理的基石，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer)，簡單地講，就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f(x)，存在一個點x0，使得f(x0)＝x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列函數(shù)是“不動點”函數(shù)的個數(shù)是()①f(x)＝2x＋x；②f(x)＝x2－x－3；③f(x)＝＋1；④f(x)＝|log2x|－1.A．1B．2C．3D．4答案C解析對于①，若f(x0)＝x0，則＝0，該方程無解，故該函數(shù)不是“不動點”函數(shù)；對于②，若f(x0)＝x0，則xeq\o\al(2,0)－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故該函數(shù)是“不動點”函數(shù)；對于③，若f(x0)＝x0，則＋1＝x0，可得xeq\o\al(2,0)－3x0＋1＝0，且x0≥1，解得x0＝eq\f(3＋\r(5),2)，故該函數(shù)是“不動點”函數(shù)；對于④，若f(x0)＝x0，則|log2x0|－1＝x0，即|log2x0|＝x0＋1，作出y＝|log2x|與y＝x＋1的函數(shù)圖象，如圖，由圖可知，方程|log2x|＝x＋1有實數(shù)根x0，即存在x0，使|log2x0|－1＝x0，故該函數(shù)是“不動點”函數(shù)．8．已知函數(shù)f(x)＝x－eq\r(x)(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx(x>0)的零點分別為x1，x2，x3，則()A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3C．x2<x3<x1 D．x3<x1<x2答案C解析函數(shù)f(x)＝x－eq\r(x)(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx(x>0)的零點，即為y＝x與y＝eq\r(x)(x>0)，y＝－ex，y＝－lnx(x>0)的交點的橫坐標(biāo)，作出y＝x與y＝eq\r(x)(x>0)，y＝－ex，y＝－lnx(x>0)的圖象，如圖所示．可知x2<x3<x1.9．已知指數(shù)函數(shù)為f(x)＝4x，則函數(shù)y＝f(x)－2x＋1的零點為________．答案1解析由f(x)－2x＋1＝4x－2x＋1＝0，得2x(2x－2)＝0，x＝1.10．(2023·蘇州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)滿足以下條件：①f(x)的定義域為R，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②?x∈R，f(x)＝f(－x)；③當(dāng)x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2時，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0；④f(x)恰有兩個零點，請寫出函數(shù)f(x)的一個解析式________．答案f(x)＝x2－1(答案不唯一)解析因為?x∈R，f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函數(shù)，因為當(dāng)x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2時，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因為f(x)恰有兩個零點，所以f(x)圖象與x軸只有2個交點，所以函數(shù)f(x)的一個解析式可以為f(x)＝x2－1(答案不唯一)．11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))且關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(1，＋∞)解析方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，即f(x)＝－x＋a有且只有一個實根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝－x＋a有且只有一個交點．如圖，在同一直角坐標(biāo)系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a表示直線y＝－x＋a在y軸上的截距．由圖可知，當(dāng)a≤1時，直線y＝－x＋a與y＝f(x)有兩個交點，當(dāng)a>1時，直線y＝－x＋a與y＝f(x)只有一個交點．故實數(shù)a的取值范圍是(1，＋∞)．12．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x≤1，,x－22，x>1，))函數(shù)y＝f(x)－a有四個不同的零點x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，則＝________.答案eq\f(1,2)解析y＝f(x)－a有四個不同的零點x1，x2，x3，x4，即方程f(x)＝a有四個不同的解，即y＝f(x)的圖象與直線y＝a有四個交點．在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出y＝f(x)與y＝a的圖象，如圖所示，由二次函數(shù)的對稱性可得，x3＋x4＝4.因為，所以＝2，故＝eq\f(1,2).13．已知函數(shù)f(x)＝|ex－1|＋1，若函數(shù)g(x)＝[f(x)]2＋(a－2)f(x)－2a有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案A解析令t＝f(x)，則函數(shù)g(t)＝t2＋(a－2)t－2a，由t2＋(a－2)t－2a＝0得，t＝2或t＝－a.f(x)＝|ex－1|＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≥0，,2－ex，x<0，))作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，當(dāng)t＝2時，方程f(x)＝|ex－1|＋1＝2有且僅有一個根，則方程f(x)＝|ex－1|＋1＝－a必有兩個不同的實