人教版四年級下冊數(shù)學(xué)競賽試題 整數(shù)裂項(xiàng) 含詳解

第十八講整數(shù)裂項(xiàng)

開篇漫畫

左圖是五年級“分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)”一講的漫畫，本講漫畫

與之類似，附之以作參考

下圖是手繪草稿

開篇漫畫：

漫畫中的算式都擬人化（帶眼睛嘴巴胳膊腿啥的）.

有兩個(gè)人左右拉著算式“1x2x3”，使勁拽著，算式小人疼

得兩眼緊閉.

算式終于被拽開了，被分成了“Ix2x3x4-Oxlx2x3"，兩邊

的人由于用力太猛，都摔坐在地，左邊的人驚呼“?。?，右邊

的人驚呼“闖禍了?。?！”

兩個(gè)人急忙想著彌補(bǔ)錯(cuò)誤，一個(gè)人舉著“小”（除號）說

“變回去”，另一個(gè)人舉著“4-0”（算式）說“快?。?！”.

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有些較長的復(fù)雜數(shù)列求和，單靠硬算是很難計(jì)算得到結(jié)果的，同時(shí)也沒有公式可以直接

用來計(jì)算結(jié)果，例如計(jì)算Ix2+2x3+3x4++9x10,這時(shí)就可以用“裂項(xiàng)”的方法進(jìn)行求

解，裂項(xiàng)的本質(zhì)是“湊、抵、消”，通過把每一項(xiàng)分拆成兩項(xiàng)的差，使得相鄰兩項(xiàng)有共同可

以抵消的部分，相加抵消運(yùn)算.例如上題，可以如下操作：

Ix2=(lx2x3-0xlx2)+3

2x3=(2x3x4-lx2x3)+3

3x4=(3x4x5-2x3x4)+3

8X9=(8X9X10—7X8X9)+3

9x10=(9x10x11-8x9x10)-3

將上述所有算式相加后提取公除數(shù)，前后一加一減會相互抵消，最后得到

原式=1x2+2x3+3x4++8x9+9x10=(9x10x11-0x1x2)4-3；

所以Ix2+2x3++9x10=9*10x11+3=330.

例題1

計(jì)算：Ix2+2x3++19x20；

「分析」乘數(shù)是連續(xù)自然數(shù)，用前面課文中的方法進(jìn)行裂項(xiàng)分析吧！

練習(xí)1

計(jì)算：Ix2+2x3++49x50.

例題2

計(jì)算：11x12+12x13++99x100.

「分析」乘數(shù)依然是連續(xù)自然數(shù)，仍然是裂項(xiàng)分析！

練習(xí)2

計(jì)算：7x8+8x9++49x50.

例題3

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計(jì)算：(1)2x4+4x6++28x30;

(2)Ix3+3x5++27x29.

「分析」與例1、2不同，乘數(shù)不是連續(xù)的自然數(shù)，但是連續(xù)的偶數(shù)、奇數(shù)，能否裂項(xiàng)分析

呢？

練習(xí)3

計(jì)算：(1)2x4+4x6++22x24；(2)Ix3+3x5++9x11.

通過前面幾道例題我們來簡單的總結(jié)一下，什么樣的算式可以使用“整數(shù)裂項(xiàng)”的

方法.

(1)這個(gè)算式應(yīng)該是由多個(gè)整數(shù)項(xiàng)相加組成的，每個(gè)整數(shù)項(xiàng)又分別由多個(gè)整數(shù)相

乘得到；

(2)每個(gè)整數(shù)項(xiàng)中乘數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)該是一樣的，并且第一個(gè)乘數(shù)可以組成等差數(shù)列,

第二個(gè)乘數(shù)也可以組成等差數(shù)列；

(3)前一項(xiàng)的最后一個(gè)乘數(shù)和后一項(xiàng)的第一個(gè)乘數(shù)是一樣的.

例題4

計(jì)算：(1)4x7+7x10++40x43;

(2)2x5+5x8++50x53.

「分析」乘數(shù)構(gòu)成了等差數(shù)列，同樣是可以裂項(xiàng)分析的！

練習(xí)4

計(jì)算：(1)5x10+10x15++50x55；

(2)4x9+9x14++49x54.

前面幾道例題中，每個(gè)整數(shù)項(xiàng)中乘數(shù)的個(gè)數(shù)都是2,現(xiàn)在我們看一下更為復(fù)雜的題目.

例題5

計(jì)算：(1)Ix2x3+2x3x4+3x4x5++18x19x20;.

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(2)2x4x6+4x6x8++26x28x30.

I■分析」每個(gè)乘法算式都有三個(gè)乘數(shù)，裂項(xiàng)的方法與兩個(gè)乘數(shù)的算式是一樣的哦!

整數(shù)裂項(xiàng)的方法不單單可以應(yīng)用于上述形式的數(shù)列計(jì)算中，在斐波那契數(shù)列的計(jì)算中也

有非常廣泛的應(yīng)用，接下來我們來看一道這樣的題目.

例題6

已知斐波那契數(shù)列1、1、2、3、5、8…的第20項(xiàng)是6765,那么它的前18項(xiàng)的和是多少？

「分析」如果把前18項(xiàng)全寫出來相加，計(jì)算量會很大.能否裂項(xiàng)分析呢？題目所給的第20

項(xiàng)有什么用呢？哪一項(xiàng)裂項(xiàng)會出現(xiàn)第20項(xiàng)呢？

課堂內(nèi)外

平方和公式和立方和公式的推導(dǎo)

同學(xué)們還記得我們之前學(xué)習(xí)過的平方和公式嗎？平方和公式有很多推導(dǎo)的方法，

而今天學(xué)習(xí)的“整數(shù)裂項(xiàng)”的方法就是其中常見的一種.

12+22+32+42+.+〃2

=lx(2-l)+2x(3-l)+3x(4-l)+4x(5-l)++nx(n+l-l)

=1x2—1+2x3-2+3x4—3+4x5-4++〃x("+l)—"

=1X2+2X3+3X4+4X5++〃x(〃+l)—(1+2+3+4+-+n)

=+1)("+2)+3-(l+")x〃+2=+1)(2〃+1)+6.

同樣我們可以使用整數(shù)裂項(xiàng)的方法，推導(dǎo)出立方和公式：

13+23+33+43++4

=lx(2-l)x(3-2)+2x(3-l)x(4-2)++WX(/2+1-1)X(M+2-2)

=1X2X3+2X3X4++n(ji+l)(n+2)—[1x3+2x4+3x5++w(n+2)]—2x^l2+22++〃2)

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=〃(〃+1)(〃+2)(〃+3)+4—3x(1?+2?++〃2)—2x(l+2++〃)

=n{n+l)(n+2)(n+3)-J-4—n(n+l)(2n+l)4-2—+1)

="(〃+1J-

作業(yè)

1,計(jì)算：Ix2+2x3+3x4+-.+10x11=.

2.計(jì)算：2x4+4x6+6x8+..+20x22=

3,計(jì)算：Ix3+3x5+5x7+--+11x13=

4,計(jì)算：4x7+7x10+10x13++22x25=

5.計(jì)算：Ix2x3+2x3x4+3x4x5++10x11x12.

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第十八講整數(shù)裂項(xiàng)

1.例題1

答案：2660

詳解：

1x2=(1x2x3-0x1x2)+3;

2x3=(2x3x4-1x2x3)+3;

3x4=(3x4x5—2x3x4)+3;

19x20=(19x20x21-18x19x20)-3;

原式=(19x20x21—0x1x2)+3=2660.

2.例題2

答案：332860

詳解：

11x12=(11x12x13-10x11x12)-3;

12x13=(12x13x14-11x12x13)4-3;

13x14=(13x14x15-12x13x14)-3;

99x100=(99x100x101-98x99x100)-3;

原式=(99x100x101-10x11x12)4-3=332860.

3.例題3

答案：4480；4046

詳解：

(1)2x4=(2x4x6-0x2x4)+6;

4x6=(4x6x8-2x4x6)+6;

6x8=(6x8x10-4x6x8)4-6;

28x30=(28x30x32-26x28x30)4-6;

原式=(28x30x32—0x2x4)+6=4480.

(2)Ix3=lx3;

3x5=(3x5x7-1x3x5)4-6;

第6頁共10頁

5x7=(5x7x9—3x5x7)+6;

7x9=(7x9x11-5x7x9)+6;

27x29=(27x29x31-25x27x29)4-6;

原式=(27x29x31-1x3x5)+6+1x3=4046.

例題4

答案：8788；16490

詳解：

(1)4x7=(4x7xl0-lx4x7)-9;

7x10-(7x10x13-4x7x10)4-9;

10x13=(10x13x16-7x10x13)-9;

40x43=(40x43x46-37x40x43)4-9;

原式=(40x43x46—1x4x7)+9=8788.

(2)2x5=2x5;

5x8=(5x8x11-2x5x8)4-9;

8x11=(8x11x14-5x8x11)-9;

11x14=(11x14x17-8x11x14)4-9;

50x53=(50x53x56-47x50x53)-9;

原式=(50x53x56—2x5x8)+9+2x5=16490.

4.例題5

答案：35910；87360

詳解：

(1)1X2X3=(1X2X3X4-0X1X2X3)4-4;

2X3X4=(2X3X4X5-1X2X3X4)4-4;

3X4X5=(3X4X5X6-2X3X4X5)-J-4;

18x19x20=(18x19x20x21-17x18x19x20)-4;

原式=(18x19x20x21—0x1x2x3)+4=35910.

(2)2X4X6=(2X4X6X8-0X2X4X6)4-8;

4x6x8=(4x6x8x10-2x4x6x8)4-8;

6x8x10=(6x8x10x12-4x6x8x10)4-8;

26x28x30=(26x28x30x32-24x26x28x30)+8;

原式=(26x28x30x32—0x2x4x6)+8=87360.

5.例題6

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答案：6764

詳解：

=。3。2；

=。4—03；

原式=4。一%=6765一1=6764.

6.練習(xí)1

答案：41650

簡答：

1x2=(1x2x3-0x1x2)+3;

2x3=(2x3x4-1x2x3)+3;

3x4=(3x4x5-2x3x4)+3;

49x50=(49x50x51-48x49x50)4-3;

原式=(49x50x51—0x1x2)+3=41650.

7.練習(xí)2

答案：41538

簡答：

7x8=(7x8x9—6x7x8)+3;

8x9=(8x9x10-7x8x9)4-3;

9x10=(9x10x11-8x9x10)4-3;

49x50=(49x50x51-48x49x50)-3;

原式=(49x50x51—6x7x8)+3=41538.

8.練習(xí)3

答案：2288；215

簡答：

(1)2x4=(2x4x6-0x2x4)+6;

4x6=(4x6x8—2x4x6)+6;

6x8=(6x8x10-4x6x8)4-6;

22x24=(22x24x26-20x22x24)4-6;

原式=(22x24><26-0x2x4)+6=2288.

(2)Ix3=lx3;

第8頁共10頁

3x5=(3x5x7-lx3x5)-J-6;

5x7=(5x7x9-3x5x7)+6;

7x9=(7x9x11-5x7x9)4-6;

9x11=(9x11x13-7x9x11)-6;

原式=(9x11x13—1x3x5)+6+1x3=215.

9.練習(xí)4

答案：11000；10410

簡答：

(1)5x10=(5x10x15-0x5x10)-15;

10x15=(10x15x20-5x10x15)-15;

50x55=(50x55x60-45x50x55)+15;

原式=(50x55x60-0x5x10)+15=11000.

(2)4x9=4x9;

9x14=(9x14x19-4x9x14)4-15;

14x19=(14x19x24-9x14x19)-15;

49x54=(49x54x59-44x49x54)+15;

原式=(49x54x59-4*9x14)+15+4x9=10410.

10.作業(yè)1

答案：440

簡答：

1X2=(1X2X3-0X1X2)+3；

2x3=(2x3x4-lx2x3)+3；

10x11=(10x11x12-9x10x11)-3；

原式=(10x11x12-0x1x2)+3=10x11x12+3=440.

11.作