2024屆佛山市普通高中數(shù)學(xué)高二年級上冊期末監(jiān)測試題含解析

2024屆佛山市普通高中數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設(shè)a,b,c,dGR,a>b,c<d,則下列不等式中一定成立的是（）

^..a+ob+dB.a-ob-d

,,ab

C.aobdD.—>—

dc

2.設(shè)數(shù)列｛&｝的前八項和為S〃，當(dāng)“eN*時，an,n+1,%用成等差數(shù)列，若S“=2020,且為<3,則”的最

大值為（）

A.63B.64

C.65D.66

3.在空間四邊形。45c中，Q4=a，OB=b>OC=c，點M在線段上，且=N為BC中點,

則等于（）

1-2,1-

A.一〃——b+—cB.——a+~b+—c

232322

irn2r2r2：lr

C.—aT-b—cD.—a+—b——c

223332

4.如圖，A、3分別是橢圓的左頂點和上頂點，從橢圓上一點P向》軸作垂線，垂足為右焦點產(chǎn)，且〃。尸，點P

到右準(zhǔn)線的距離為G，則橢圓方程為（）

322

A.---1---=1B.±+工=1

6342

5.某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:

廣告費用、(萬元)4235

銷售額「(萬元)49263954

根據(jù)上表可得回歸方程夕=良+6中的B為9.4,據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為

A.63.6萬元B.65.5萬元

C.67.7萬元D.72.0萬元

6.在正方體ABC。—A與中，AC^xA^+yAB+zAD,貝！|(x,y,z)=()

A.(1,1,1)B.(1,1,O)

C.(l,l,-1)D.(1,O,-1)

7.設(shè)拋物線C:y2=2px的焦點為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/.P是拋物線C上異于。的一點，過P作尸。，/于Q,則線段尸Q的

垂直平分線()

A.經(jīng)過點PB.經(jīng)過點0

C.平行于直線OPD.垂直于直線0P

8.下列命題中正確的個數(shù)為()

①若向量a,匕與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則。//匕；

②若向量a+b,b+c,c+a是空間一組基底，則a,b，c也是空間的一組基底；

③{a,。,c}為空間一組基底，若xa+yZ?+zc=O(尤,y,zwR),則爐+/+22=0；

④對于任意非零空間向量。=(4,%,%),〃=低也,&),若則消=,=/"

A.lB.2

C.3D.4

9.傾斜角為45。，在V軸上的截距是-2的直線方程為()

A.x-y+2=0B.x-y-2=0

C.x-\[2y-2=0D.x+V2y+2=0

10.直線y=1的傾斜角為()

A30°B.45°

C.60°D.75°

11.設(shè)aeH,直線ar+2y-l=。與直線x+ay+l=。平行，則。=()

A.72B.-72

C.+V2D.±l

12.給出下列結(jié)論:

①如果數(shù)據(jù)石，孫，X”的平均數(shù)為3,方差為0.2,則3占+5,3%+5,，3%+5的平均數(shù)和方差分別為14和1.8；

②若兩個變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)r的值越接近于L③對A、B、C三種個體按3：1:2的比例進(jìn)行分層

抽樣調(diào)查，若抽取的A種個體有15個，則樣本容量為30.則正確的個數(shù)是().

A.3B.2

C.1D.0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.過雙曲線C：二—=1(?>O,Z?>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交C于點P.若點P的橫坐標(biāo)為

a

2a,則C的離心率為-.

14.已知數(shù)列｛4｝的前"項和為邑,"=1,匕1—%>。)，則g++5=.

15.若1,0),則與向量。同方向的單位向量的坐標(biāo)為.

16.從編號為01,02,…，60的60個產(chǎn)品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個樣本，已知樣本中的前兩個編號分別為02,

08(編號按從小到大的順序排列)，則樣本中最大的編號是

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知橢圓C'+j_=1(。〉人〉0)的右頂點為4,上頂點為反離心率為不，=

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓的右焦點為尸，過點尸的直線,與橢圓C相交于O,E兩點,直線1：x=4與x軸相交于點H,過點O

作。垂足為2

①求四邊形(O為坐標(biāo)原點)面積的取值范圍;

②證明：直線過定點G,并求點G的坐標(biāo)

n

18.（12分）在數(shù)列數(shù)“｝中,%=1,an+1=2an+2,

⑴設(shè)〃=翡，證明：數(shù)列｛包｝是等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛4｝的前〃項和.

19.（12分）在直角坐標(biāo)系中，點尸到兩點河（0,-石）、N（0,6）的距離之和等于4,設(shè)點尸的軌跡為C,直線

y=Ax+l與。交于A、B兩點

（1）求曲線。的方程；

（2）若Q4_LO3，求左的值

20.（12分）已知數(shù)列｛4｝是遞增的等差數(shù)列，4=3,若。1，%一。1，%+4成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

3

（2）若b,=-----,數(shù)列也｝的前〃項和S“，求S”.

aa

?n+l

21.（12分）已知函數(shù)〃龍）=e『—lux.

（1）當(dāng)。=1時，討論了（%）的單調(diào)性;

（2）當(dāng)知2時，證明：/（x）＞0.

22.（10分）已知函數(shù)〃x）=;vlnx—x+1

（I）求"％）的單調(diào)區(qū)間和最值;

（II）設(shè)。＞1,證明：當(dāng)xe（L。）時，（a—l）logaX＞x—1

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解題分析】利用特殊值法可判斷ACD的正誤，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可判斷B的正誤.

【題目詳解】對于A中，令a=l,b=-l,d=1?c=-l,滿足a>6,c<d,但a+c=Z?+d,

故A錯誤；

對于B中，因為a>"c<d,所以由不等式的可加性，可得a+d>b+c,

所以a-c>b-d,故B正確；

對于C中，令a=l,b=-l,d=l,c=-l,滿足。>6,c<d,但ac=bd,

故C錯誤；

（2b

對于D中，令q=2,b=—lfd=—l,c=—2滿足c<d但一<一,

99dc

故D錯誤

故選：B

2、A

【解題分析】根據(jù)等差中項寫出式子，由遞推式及求和公式寫出S62和臬“進(jìn)而得出結(jié)果.

【題目詳解】解：由%,n+g,。,用成等差數(shù)列，可得。“+4+1=2〃+1,“eN*

貝!]4]+%=3,/+。4=7,[5+4=11，L

可得數(shù)列｛4｝中，每隔兩項求和是首項為3,公差為4的等差數(shù)列.

則S62=3x31+31；°-4=1953<2020,

3231

564=3x32+^x4=2080>2020,

則〃的最大值可能為63.

由4+4+1=2〃+1，〃eN*，可得4+1+?！?2=2〃+3?

$63=4+（。2+/）+（。4+為）++（。62+。63）=%+5+9++125

=4+31x5+=2015+4

因為〃i+%=3,。1=3—。2，%<3,即一%>—3,所以％〉0,貝!|

563=2015+^>2015,當(dāng)且僅當(dāng)q=5時，S63=2020,符合題意，

故〃的最大值為63?

故選：A.

【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和遞推式的應(yīng)用，考查分析問題能力，屬于難題.

3、B

【解題分析】由題意結(jié)合圖形，直接利用MN=ON+VO,求出ON，然后即可解答.

【題目詳解】解：因為空間四邊形04BC如圖，OA=a>OB=b，OC=c>

點M在線段上，且OM=2MA,N為3c的中點,

所以。N=LC+L/J.

22

21I

所以M2V=ON+MO=——a+-b+-c.

322

故選：B.

4、A

Y2

【解題分析】設(shè)橢圓方程為T=1（?〉6〉0）,設(shè)該橢圓的焦距為2c,則歹（c,0），求出點P的坐標(biāo)，根據(jù)

a琮

〃。「可得出七B=ep,可得出b=c,a=顯，結(jié)合已知條件求得。的值，可得出。、b的值，即可得出橢圓

的方程.

V2y2

【題目詳解】設(shè)橢圓方程為二+=l(a>b>0),設(shè)該橢圓的焦距為2c,則/（G。）,

a"

由圖可知，點P第一象限，將x=c代入橢圓方程得(+貴=1,

a2b2

(h4(h2^

得y2=/i----=—,所以，點尸C,一

易知點4(—a,0)、B(O,b),kAB=~,k0P=—,

aac

b方2_____

因為AB〃QP,則=%op，得———，可得b=c,則〃=J/+「=,

aac一

點P到右準(zhǔn)線的距離為為L—c=2c—c=c=百，則。=遙，b=c=6

C

22

因此，橢圓的方程為土+乙=1.

63

故選：A.

5、B

4+2+3+549+26+39+54

【解題分析】不^^=35產(chǎn)----------------二42,

4

???數(shù)據(jù)的樣本中心點在線性回歸直線上,

回歸方程$=6%+6中的石為9.4,

.*.42=9.4x3.5+a,

：.d=9.1,

.?.線性回歸方程是y=9.4x+9.1,

廣告費用為6萬元時銷售額為9.4x6+9.1=65.5

考點：線性回歸方程

6,A

【解題分析】根據(jù)空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的幾何意義進(jìn)行求解即可.

【題目詳解】因為AC；=AC+CG=AB+5C+CG=AB+AD+M,

而AQ=xA^+yAB+zAD,

所以有x=l,y=Lz=l,

故選：A

7、A

【解題分析】依據(jù)題意作出焦點在x軸上的開口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段用2

的垂直平分線經(jīng)過點P,即可求解.

【題目詳解】如圖所示：

因為線段FQ的垂直平分線上的點到F,Q的距離相等，又點P在拋物線上,根據(jù)定義可知，|尸|尸司，所以線段FQ

的垂直平分線經(jīng)過點P.

故選：A.

8、C

【解題分析】根據(jù)題意、空間向量基底的概念和共線的運算即可判斷命題①②③，根據(jù)空間向量的平行關(guān)系即可判斷

命題④.

【題目詳解】①：向量°力與空間任意向量都不能構(gòu)成一個基底，則°與b共線或a與b其中有一個為零向量，所以

a//b，故①正確；

②：由向量a+Ab+c,c+a是空間一組基底，則空間中任意一個向量d，存在唯一的實數(shù)組(%，y，z)使得

d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+?)=(%+z)a+(x+y)b+(y+z)c,

所以a,b,c也是空間一組基底，故②正確；

③：由｛a,。,c｝為空間一組基底，xa+yb+zc=0(%,y,zeR),

則x=y=z=0,所以x?+V+z?=0,故③正確；

④：對于任意非零空間向量a=(&生)，〃=(外b2,偽)，若a//b，

a1=他

則存在一個實數(shù)2使得a=Ab，有出=彳仇，

。3=4b3

又偽，b2,打中可以有為0的，分式?jīng)]有意義，故④錯誤.

故選:c

9、B

【解題分析】先由傾斜角為45。，可得其斜率為1,再由y軸上的截距是-2,可求出直線方程

【題目詳解】解：因為直線的傾斜角為45。，所以直線的斜率為左=tan45。=1,

因為直線在V軸上的截距是-2,

所以所求的直線方程為y=x—2,即尤—y_2=0,

故選：B

10、C

【解題分析】設(shè)直線y=1傾斜角為夕，則tane=6,再結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.

【題目詳解】設(shè)直線y=—1的傾斜角為。，則tang=6，

所以6=g.

故選：C

11、C

【解題分析】根據(jù)直線平行求解即可.

【題目詳解】因為直線以+2y-1=。與直線x+ay+l=O平行，

所以/=2,

即“=土立，經(jīng)檢驗，滿足題意.

故選：C

12、B

【解題分析】對結(jié)論逐一判斷

【題目詳解】對于①，貝!!3%+5,3々+5，，3%,+5的平均數(shù)為3x3+5=14,方差為0.2x32=1.8，故①正確

對于②，若兩個變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1,故②錯誤

對于③，對A、B、C三種個體按3：1：2的比例進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取的4種個體有15個，則樣本容量為

15義3+；+2=30,故③正確

故正確結(jié)論為2個

故選:B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2+73

22L

【解題分析】雙曲線3-與=1的右焦點為（。,0）.不妨設(shè)所作直線與雙曲線的漸近線y=-x平行，其方程為

aba

h丫222222

y=-（x-c）,代入=一1=1求得點P的橫坐標(biāo)為x=巴士1,由巴士1=2。，得（一）2—4—+1=0,解之得

aab2c2caa

-=2+V3,-=2-73（舍去，因為離心率￡〉1）,故雙曲線的離心率為2+G.

aaa

考點：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.直線方程.

〃+1

1c,11、

【解題分析】根據(jù)題意求得4+1-4=1,得到4=〃，利用等差數(shù)列的求和公式，求得不=2,(---------),結(jié)合裂項

3“nn+\

法求和法，即可求解.

【題目詳解1由d+i-an+1=a；+an,可得a^+l-a：=an+l+an,即(an+l-an)(%+an)=an+1+an,

因為。“〉0,所以4+i—a”=1,

又因為q=l,所以a“=l+("-l)xl=〃,

可得S—

所以$；=訴1=2義(7Q)

111C.八1、」1、11C八1、2〃

所以不+《++不=2義[(1_3)+(3一￡)++Z(---------7)]-2x(1-------)=-----.

n〃+1〃+1n+1

In

故答案為:

n+1

fl1?

、

15”22)

【解題分析】由空間向量的模的計算求得向量的模，再由單位向量的定義求得答案.

【題目詳解】解：因為a=(l，-1，、后)，所以同=J12+(_Q2+(、Q)2=2,所以與向量a同方向的單位向量的坐標(biāo)為

16、56

【解題分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義得到編號之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論.

【題目詳解】由已知樣本中的前兩個編號分別為02,08,

則樣本數(shù)據(jù)間距為8-2=6,則樣本容量為竺=10,

6

則對應(yīng)的號碼數(shù)x=2+6(〃—

則當(dāng)〃=10時，x取得最大值為56

故答案為：56

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17、⑴土+匕=1

43

（2）①（0,6］；②詳見解析；R,0L

C1

e=—=—

a2

22

【解題分析】（1）由題得yja+b即求;

/=6?+c2

絲巨I,進(jìn)而可得四邊形面積，再利用對

（2）①由題可設(shè)?！?%=9+1,利用韋達(dá)定理法可得卜一

3r+4

勾函數(shù)的性質(zhì)可求范圍；②由題可得后2：，-乂=三匚三（》-4）,令y=0,通過計算可得x=』，即得.

4-X22

【小問1詳解】

C1

e----

a2

由題可得＜4a+b2=近,

a=b2+c2

解得a=4,/=3,，=1,

22

...橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程L+^=1.

43

【小問2詳解】

①由題可知尸（1,0）,可設(shè)直線DE：x=9+l,D（xl,y1）,E（x2,y2）,

x=ty+l

由尤2y2_,可得（3產(chǎn)+4）巾+6力—9=0,

U3

二A=⑹丫-4(3r+4)x(-9)>0,%+%=,%%=，

1I_.iII1,12"v?2+24"+1

二四邊形。。HE面積S=ri-Yj-y=-x4x————

2111-122123產(chǎn)+43產(chǎn)+4

S24m24

2

令m=J產(chǎn)+1,m>lf則3m+13Hl+J_，

m

因為加21,所以3加+124,當(dāng)根=1時，取等號，

m

,0<S<6,

???四邊形ODHE面積取值范圍為(0,6]；

②由上可得R(4,%),直線—%=產(chǎn)2%—4),

4_%2

令y=。，得戶型凸―力,

>2乂一%

_6/_9

由'+%=養(yǎng)百，四%=武w’可得3(%+%)=2缶%’

3

.彳(弘+%)+%-4%5

''x=------------------------=-，

X-為2

直線過定點G[,O].

18、(1)略(2)S?=nx2n-2n+1

【解題分析】(1)題中條件勿=券，而要證明的是數(shù)列「是等差數(shù)列，因此需將條件中所給的；的遞推公式

口用=24+2"轉(zhuǎn)化為；的遞推公式：智=2+1,從而2+1=2+1,I=2=1,進(jìn)而得證；(2)由(1)可

得，q=〃2"T,因此數(shù)列二的通項公式可以看成一個等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，故可考慮采用錯位相減法求其

前項和，即有：S-11-22：+32;-------M.-1I①，①.得：

25-12'-21+32---，「：I-2②，

②-①得；一2-12:-2-2;--2-2-2-1.

試題解析：⑴???。用=24+2"，器=券+1,又?."，=券，.?.&]=〃+1，

b=三=1,.?.則也｝是：為首項[為公差的等差數(shù)列；

■

l

由(1)得bn=l+(n-l)-l=n,：.an=nT~,

1

.-.$c=lx20+2x2+3x21+…+0?-l)x2i-八2-①，

1l

①.2得：25x=1>2+22*-3F-----（n-l）x2*+nx2

②-①得：-2-12'-2-2;--2--<2-2-1.

考點：1.數(shù)列的通項公式；2.錯位相減法求數(shù)列的和.

2[

19、（1）x2+=1;（2）k=±-.

42

【解題分析】（1）本題可根據(jù)橢圓的定義求出點P的軌跡C;

（2）本題首先可設(shè)A（玉,%）、5（尤2,%），然后聯(lián)立橢圓與直線方程，通過韋達(dá)定理得出

今十￡

-2k

+x=-一"，最后通過Q4_L03得出為々+%%=0,代入王%2、%+%的值并計算，即可得出結(jié)果.

2T-Irv

【題目詳解】（1）因為點P到兩點M（0,-右）、N僅6）的距離之和等于4,

所以結(jié)合橢圓定義易知，點P的軌跡是以點V、N為焦點且2a=4的橢圓，

則a=2,c=JLb=Ja2-c2=1>點P的軌跡。：/+乙=1.

4

（2）設(shè)A（XI,yJ,_8（無2，%），

聯(lián)立〈尤+T=1，整理得（4+公）f+2.—3=0,

y=kx+l

-3-2k

貝U%,X9=7"，%+=T，

1-4+左21，4+左2

因為。4_L03，所以X]%+%%=0，

即XxX2+（區(qū)]+l）（Axo+1）=0,整理得（左2+1）%為2+k（石+尤2）+1=0，

貝1（42+。？二2^左？3T1=0,整理得4左2=1,解得女=士"

\）4+左24+左22

【題目點撥】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)橢圓定義求動點軌跡以及直線與拋物線相關(guān)問題的求解，橢圓的定義為動點

到兩個定點的距離為一個固定的常數(shù)，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計算能力，是難題.

3n

20、（1）a=2n-l；（2）-----.

n2n+l

【解題分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)題意列出方程組，求得4,d的值，即可求解；

,33/11、

（2）由（1）求得優(yōu)=------=-（-~ryf），結(jié)合“裂項法”即可求解.

%%22n-12〃+1

【題目詳解】(D設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為dS>0),

因為。2=3,若〃1，。3-41，。8+。1成等比數(shù)列，

“I+d=3

可得<%(2q+7d)=(2d『，解得a[=l,d=2,

d>0

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為4=1+(〃—1)義2=2〃—1.

(2”；2"+i)=《Cr》

(2)由(1)可得用=-----

44+1

所以s〃=|[(i_5+q_g+,-；)+3n

+(

2n-l"]=5(1一"=

2?+1

【題目點撥】關(guān)于數(shù)列的裂項法求和的基本策略:

1、基本步驟：

裂項：觀察數(shù)列的通項，將通項拆成兩項之差的形式;

累加：將數(shù)列裂項后的各項相加；

消項：將中間可以消去的項相互抵消，將剩余的有限項相加，得到數(shù)列的前幾項和.

2、消項的規(guī)律：

消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項.

21、(1)/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L+8)上單調(diào)遞增

(2)證明見解析

【解題分析】(1)當(dāng)。=1時，利用/(%)求得八%)的單調(diào)區(qū)間.

(2)將問題轉(zhuǎn)化為證明/(%)=/-2-19>0,利用導(dǎo)數(shù)求得了(%)的最小值大于零，從而證得不等式成立.

【小問1詳解】

當(dāng)a=］時，/(x)=e-—=工，

且了(1)=0,

又y=e'T與y