陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)2024屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題（含答案解析）

2024屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生將答題卡有關(guān)項(xiàng)目填寫清楚.2.全部答案在答題卡上作答，答在本試題上無效.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先求得，然后求得的模.【詳解】，則.故選：B2.已知集合，，則下圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，用列舉法表示集合A，再結(jié)合韋恩圖列式求解作答.【詳解】依題意，，而陰影部分表示的集合是，又，則，所以.故選：C3.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為（）A. B.6 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為：,故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.4.若直線把圓分成長(zhǎng)度為1：2的兩段圓弧，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直線和圓相交于，則根據(jù)較短弧長(zhǎng)與較長(zhǎng)弧長(zhǎng)之比為得到,利用點(diǎn)與直線的距離建立條件關(guān)系即可．【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，設(shè)直線和圓相交于，若較短弧長(zhǎng)與較長(zhǎng)弧長(zhǎng)之比為，則，則圓心到直線的距離，即，即，故選:D5.函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊值可得答案.【詳解】由題知的定義域?yàn)?，又因?yàn)?，所以為偶函?shù)，即圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除A、C；又，排除D.故選：B.6.在梯形中，，為的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量的線性運(yùn)算可得，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，，則，則，所以.故選：A7.若直線在軸上的截距在范圍內(nèi)，則該直線在軸上的截距大于的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由幾何概型的概率計(jì)算公式，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】所有的基本事件構(gòu)成的區(qū)間長(zhǎng)度為，因?yàn)橹本€在軸上的截距大于，所以直線在軸上的截距小于，所以“直線在軸上的截距大于”包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)間長(zhǎng)度為，由幾何概型概率公式可得“直線在軸上的截距大于”的概率為，故選:B8.若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用零點(diǎn)存在定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性列不等式求解即可.

【詳解】若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，單調(diào)遞增,又因?yàn)榱泓c(diǎn)存在定理，.故選：A.9.甲乙兩人在一座7層大樓的第一層進(jìn)入電梯，假設(shè)每人從第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和是6的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，所求事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再用古典概型概率計(jì)算公式求解即可.【詳解】將甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)配對(duì)，組成種等可能的結(jié)果，用表格表示如下：甲乙234567234567記事件“甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和是”，則事件的可能結(jié)果有種，即，所以事件的概率為：，故選：C.10.已知函數(shù)，若，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知可得函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)性從而得到，求出，再由求出可得的解析式，再計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，又，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在區(qū)間上單調(diào)，所以，即，．又，，，所以，所以，所以．故選：B.11.鈍角中，，則（）A.0 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理可得，然后討論角A的范圍可得，然后可得答案.【詳解】由正弦定理角化邊可得，整理得，因?yàn)?，所以由誘導(dǎo)公式可得，若，則，又，所以，則，三角形為直角三角形，不滿足題意；顯然時(shí)不滿足題意，所以，所以，又，，所以，即，所以.故選：A12.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為，.這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形.若，記橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則的取值范圍是A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：設(shè)橢圓和雙曲線半焦距為，，由于是以為底邊的等腰三角形，若，即有，由橢圓的定義可得，由雙曲線定義可得，即由，再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得，可得，既有，由離心率公式可得，由于，則由，則的取值范圍是，故選C.考點(diǎn)：圓錐曲線的幾何性質(zhì).【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了圓錐曲線的幾何性質(zhì)，其中解答中涉及到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓與雙曲線的離心率等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，本題的解得中借助三角形的三邊之間的關(guān)系，列出關(guān)于表達(dá)式是解答的關(guān)鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13若，，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，，又，則，因?yàn)?，所以，即，所以（?fù)舍），，則.故答案為：.14.若滿足約束條件，則的最小值為___________．【答案】.【解析】【分析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象求出最優(yōu)解，再計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的最小值．【詳解】解：畫出，滿足約束條件，表示的平面區(qū)域，如圖所示；結(jié)合圖象知目標(biāo)函數(shù)過時(shí)，取得最小值，由，解得，所以的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合解題方法，是基礎(chǔ)題．15.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A為上頂點(diǎn)，若的面積為，則的周長(zhǎng)為____．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)三角形的面積計(jì)算得到，再確定，計(jì)算周長(zhǎng)即可.【詳解】，則，解得，所以，則，故的周長(zhǎng)為故答案為：.16.在三棱錐中，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，側(cè)棱PA⊥平面ABC，且，則三棱錐的外接球表面積為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，可得此三棱錐外接球，即以為底面以為高的正三棱柱的外接球，即可求解．【詳解】根據(jù)已知，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，可得此三棱錐外接球，即以為底面以為高的正三棱柱的外接球．設(shè)正三棱柱的上下底面的中心分別為，則外接球的球心為的中點(diǎn)，的外接圓半徑為，，所以球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為，故答案為：．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）．【答案】（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù)和方差.（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷.【詳解】（1），，，.（2）依題意，，，，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.18.已知等差數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，然后根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組，解出，從而可求出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)通項(xiàng)公式可判斷出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，然后分情況討論求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得，解得，故．【小問2詳解】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則．綜上，.19.如圖，三棱錐，均為底面邊長(zhǎng)為?側(cè)棱長(zhǎng)為的正棱錐，且A?B?C?D四點(diǎn)共面（點(diǎn)P，Q在平面的同側(cè)），交于點(diǎn)O.（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)由已知利用線面垂直判定定理證明平面，根據(jù)面面垂直判定定理證明平面平面；(2)由條件證明平面，再根據(jù)結(jié)合體積公式求體積值.【小問1詳解】因?yàn)?，O為的中點(diǎn)，所以，同理可得，又由，平面，所以平面.又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】如圖所示，分別過P，Q作平面的垂線，垂足分別為，，則，在上，且，分別為的三等分點(diǎn)，且，，，所以四邊形為矩形，所以，且，所以，由（1）得平面平面，而平面平面，，所以平面，則，三棱錐的體積為.20.設(shè)直線的方程為，該直線交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn).（1）若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；（2）證明：以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去得到，從而中點(diǎn)坐標(biāo)可以用表示，從而求出并得到直線的方程.（2）分直線l過不過B點(diǎn)進(jìn)行討論，結(jié)合（1）可得，利用韋達(dá)定理可以得到，從而以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).小問1詳解】聯(lián)立方程組，消去得.設(shè)，則因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，解得，此時(shí)，所以直線的方程為.【小問2詳解】因?yàn)樵趻佄锞€上，當(dāng)直線過時(shí)，，解得，滿足，此時(shí)有一點(diǎn)與重合，易得此時(shí)以線段為直徑的圓過點(diǎn)；當(dāng)直線不過時(shí)，由（1）可得，則，，所以，所以，因此，此時(shí)以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)，綜上所述，以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，將代入，求導(dǎo)得，即可判斷其單調(diào)性；（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到最小值，即可證明.【小問1詳解】當(dāng)，，定義域?yàn)?，所以，令，解得，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，那么按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào).[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并分別指出是何種曲線；（2）曲線是否有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)？若有，求出兩公共點(diǎn)間的距離；若沒有，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）答案見解析（2）有，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，先將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后再說明曲線類型即可；利用公式將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后說明曲線類型；（2）用圓心到直線的距離判斷直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，然后結(jié)合勾股定理求解弦長(zhǎng)即可.【小問1詳解】由消去得，.曲線的普通方程為，曲線是一個(gè)以為圓心，為半徑的圓.，曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線是一條直線.【小問2詳