1.5.2解直角三角形的應(yīng)用-坡度

解直角三角形的應(yīng)用—坡度（2015?攀枝花模擬）如圖，將一個Rt△ABC形狀的楔子從木樁的底端點(diǎn)P沿水平方向打入木樁底下，使木樁向上運(yùn)動．已知楔子斜面的傾斜角為15°，若楔子沿水平方向前進(jìn)6cm（如箭頭所示），則木樁上升了（）A．6sin15°cm B．6cos15°cm C．6tan15°cm D．cm【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】計算題；壓軸題．【分析】運(yùn)用三角函數(shù)定義求解．【解答】解：∵tan15°=．∴木樁上升了6tan15°cm．故選C．【點(diǎn)評】考查三角函數(shù)的應(yīng)用．（2011?衡陽）如圖所示，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，則坡面AB的長是（）A．10m B．m C．15m D．m【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】由河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案．【解答】解：河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，即tan∠BAC===，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×5=10m，故選：A．【點(diǎn)評】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是先由已知得出∠BAC=30°，再求出AB．（2010?通化）如圖，一個小球由地面沿著坡度i=1：2的坡面向上前進(jìn)了10m，此時小球距離地面的高度為（）A．5m B．m C．m D．m【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】可利用勾股定理及所給的比值得到所求的線段長．【解答】解：∵AB=10米，tanA==．∴設(shè)BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2，∴AC=4，BC=2米．故選B．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對坡度、坡角的掌握情況．（2009?益陽）如圖，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A．5cosα B． C．5sinα D．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】利用所給的角的余弦值求解即可．【解答】解：∵BC=5米，∠CBA=∠α．∴AB==．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對坡度、坡角的理解及運(yùn)用．（2009?蘭州）如圖，在平地上種植樹木時，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為4m．如果在坡度為0.75的山坡上種樹，也要求株距為4m，那么相鄰兩樹間的坡面距離為（）A．5m B．6m C．7m D．8m【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】利用坡度先求得垂直距離，根據(jù)勾股定理求得坡面距離．【解答】解：∵水平距離為4m．∴鉛直高度為0.75×4=3m．根據(jù)勾股定理知：坡面相鄰兩株數(shù)間的坡面距離為5m．故選A．【點(diǎn)評】本題主要考查直角三角形問題．利用坡度tanα=0.75=求解．（2007?寧波）如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔AB，B是CD的中點(diǎn)，CD是水平的，在陽光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知鐵塔底座寬CD=12m，塔影長DE=18m，小明和小華的身高都是1.6m，同一時刻，小明站在點(diǎn)E處，影子在坡面上，小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長分別為2m和1m，那么塔高AB為（）A．24m B．22m C．20m D．18m【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】過點(diǎn)D構(gòu)造矩形，把塔高的影長分解為平地上的BD，斜坡上的DE．然后根據(jù)影長的比分別求得AG，GB長，把它們相加即可．【解答】解：過D作DF⊥CD，交AE于點(diǎn)F，過F作FG⊥AB，垂足為G．由題意得：．（2分）∴DF=DE×1.6÷2=14.4（m）．（1分）∴GF=BD=CD=6m．（1分）又∵．（2分）∴AG=1.6×6=9.6（m）．（1分）∴AB=14.4+9.6=24（m）．（1分）答：鐵塔的高度為24m．故選A．【點(diǎn)評】運(yùn)用所學(xué)的解直角三角形的知識解決實(shí)際生活中的問題，要求我們要具備數(shù)學(xué)建模能力（即將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題）．（2006?涼山州）涼山州政府在迎冬旅工程建設(shè)中需修建一座橋，設(shè)計引橋的傾斜角為α，引橋坡面長度為300米，則橋的高度為（）A．300sinα米 B．300cosα米 C．米 D．米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】利用所給角的正弦值即可求解．【解答】解：已知坡角和坡面長，則利用三角函數(shù)即可求得：橋的高度為300sinα米．故選A．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運(yùn)用．（2005?黃石）如圖，小陽發(fā)現(xiàn)電線桿AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD與地面成30°角，且此時測得1米桿的影長為2米，則電線桿的高度為（）A．9米 B．28米 C．米 D．（14+2）米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】計算題；壓軸題．【分析】先根據(jù)CD的長以及坡角求出坡面上的影子在地面上的實(shí)際長度，即可知道電線桿的總影長，從而根據(jù)1米桿的影長為2米來解答．【解答】解：延長AD交BC的延長線于F點(diǎn)，作DE⊥CF于E點(diǎn)．DE=8sin30°=4；CE=8cos30°=4；∵測得1米桿的影長為2米．∴EF=2DE=8∴BF=BC+CE+EF=20+4+8=28+4∴電線桿AB的長度是（28+4）=14+2米．故選D．【點(diǎn)評】此題主要是運(yùn)用所學(xué)的解直角三角形的知識解決實(shí)際生活中的問題．注意：在同一時刻的物高與水平地面上的影長成正比例．（2005?麗水）如圖，在山地上種樹，已知∠A=30°，AC=3米，則相鄰兩株樹的坡面距離AB是（）A．6米 B．米 C．2米 D．2米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據(jù)坡度角的余弦值=水平距離：坡面距離即可解答．【解答】解：cos30°=，∴AB=2．故選C．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對坡度坡角的理解及三角函數(shù)的運(yùn)用．（2001?貴陽）如圖，鐵路路基橫斷面為一個等腰梯形，若腰的坡度為i=2：3，頂寬是3米，路基高是4米，則路基的下底寬是（）A．7米 B．9米 C．12米 D．15米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題；等腰梯形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】梯形上底的兩個頂點(diǎn)向下底引垂線，得到兩個直角三角形和一個矩形．利用相應(yīng)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵腰的坡度為i=2：3，路基高是4米，∴DE=6米．又∵EF=AB=3．∴CD=6+3+6=15米．故選D．【點(diǎn)評】此題主要考查等腰梯形的性質(zhì)和坡度問題；注意坡度=垂直距離：水平距離．（1998?安徽）如圖，某地夏季中午，當(dāng)太陽移至房頂上方偏南時，光線與地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安裝水平擋光板AC，使午間光線不能直接射入室內(nèi)，那么擋光板的寬度AC為（）A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C．m D．m【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】計算題；壓軸題．【分析】在光線、遮陽板和窗戶構(gòu)成的直角三角形中，80°角的正切值=窗戶高：遮陽板的寬，據(jù)此即可解答．【解答】解：∵光線與地面成80°角，∴∠ACB=80°．又∵tan∠ACB=，∴AC=．故選D．【點(diǎn)評】此題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用．（2015?湖州模擬）如圖，坡面CD的坡比為，坡頂?shù)钠降谺C上有一棵小樹AB，當(dāng)太陽光線與水平線夾角成60°時，測得小樹的在坡頂平地上的樹影BC=3米，斜坡上的樹影CD=米，則小樹AB的高是米．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】此題是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，首先根據(jù)題意作圖（如圖），得Rt△AFD，Rt△CED，然后由Rt△CED，和坡面CD的坡比為，求出CE和ED，再由Rt△AFD和三角函數(shù)求出AF．進(jìn)而求出AB．【解答】解：由已知得Rt△AFD，Rt△CED，如圖，且得：∠ADF=60°，F(xiàn)E=BC，BF=CE，在Rt△CED中，設(shè)CE=x，由坡面CD的坡比為，得：DE=x，則根據(jù)勾股定理得：x2+=，得x=±，﹣不合題意舍去，所以，CE=米，則，ED=米，那么，F(xiàn)D=FE+ED=BC+ED=3+=米，在Rt△AFD中，由三角函數(shù)得：=tan∠ADF，∴AF=FD?tan60°=×=米，∴AB=AF﹣BF=AF﹣CE=﹣=4米，故答案為：4米．【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，解題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，由Rt△AFD，Rt△CED求出AB．（2013?成都）如圖，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，則該山坡的高BC的長為100米．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】在Rt△ABC中，由∠BAC=30°，AB=200米，即可得出BC的長度．【解答】解：由題意得，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=200米，故可得BC=AB=100米．故答案為：100．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)．（2013?十堰模擬）如圖所示，某人在D處測得山頂C的仰角為30°，向前走200米來到山腳A處，測得山坡AC的坡度i=1：0.5，則山的高度為米．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題；解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【專題】幾何圖形問題；壓軸題．【分析】此題是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，由題意，已知DA=200，∠CDB=30°，CB：AB=1：0.5，∠CBD=90°，求CB．設(shè)AB=x，則CB=2x，由三角函數(shù)得：=tan30°，即=，求出x，從求出CB．即求出山的高度．【解答】解：已知山坡AC的坡度i=1：0.5，∴設(shè)AB=x，則CB=2x，又某人在D處測得山頂C的仰角為30°，即，∠CDB=30°，∴=tan30°，即=，解得：x=，∴CB=2x=，故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，由山坡AC的坡度得出CB和AB的關(guān)系，再由三角函數(shù)求出AB，繼而求出CB．（2011?義烏市）如圖是市民廣場到解百地下通道的手扶電梯示意圖．其中AB、CD分別表示地下通道、市民廣場電梯口處地面的水平線，∠ABC=135°，BC的長約是m，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h是5m．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】此題乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h，即為過點(diǎn)C到AB延長線的垂線段CE的長，則由已知求得CE的長．【解答】解：過點(diǎn)C作AB的延長線的垂線CE，即乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h，已知∠ABC=135°，∴∠CBE=180°﹣∠ABC=45°，∴CE=BC?sin∠CBE=5?sin45°=5?=5．所以h=5，故答案為：5．【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．（2010?鞍山）如圖小明想測量電線桿AB的高度，發(fā)現(xiàn)電線桿的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4m，BC=10m，CD與地面成30°角，且此時測得1m桿的影子長為2m，則電線桿的高度約為8.7m．（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字，≈1.41，≈1.73）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題；近似數(shù)和有效數(shù)字．【專題】計算題；壓軸題．【分析】先根據(jù)CD的長以及坡角求出落在斜坡上的影長在地面上的實(shí)際長度，即可知AB的總影長，然后根據(jù)1m桿的影子長為2m，求解電線桿的高度．【解答】解：作DE⊥BC于E．則電線桿的高度分3部分進(jìn)行求解．BC對應(yīng)的電線桿的高度：根據(jù)同一時刻物高與影長成比例，得10÷2=5；在Rt△CDE中，根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半，得DE=2．再根據(jù)勾股定理，得CE=2；因?yàn)镈E⊥BC，則DE對應(yīng)的電線桿高度和DE相等，CE對應(yīng)的電線桿高度同樣根據(jù)：同一時刻物高與影長成比例，是2÷2=．故電線桿的高度是5+2+≈8.7．【點(diǎn)評】注意：影子平行于物體時，影子和物體的實(shí)際高度相等；影子垂直于物體時，根據(jù)同一時刻物高與影長成比例進(jìn)行計算．（2010?虹口區(qū)一模）如圖，一輛汽車沿著坡度為i=1：的斜坡向下行駛50米，則它距離地面的垂直高度下降了25米．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】設(shè)出垂直高度，表示出水平距離，利用勾股定理求解即可．【解答】解：設(shè)垂直高度下降了x米，則水平前進(jìn)了x米．根據(jù)勾股定理可得：x2+（x）2=502．解得x=25，即它距離地面的垂直高度下降了25米．【點(diǎn)評】此題的關(guān)鍵是熟悉且會靈活應(yīng)用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平寬度，綜合利用了勾股定理．（2010?邯鄲一模）如圖，某公園入口處原有三階臺階，每級臺階高為20cm，深為30cm，為方便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設(shè)臺階的起點(diǎn)為A，斜坡的起始點(diǎn)為C，現(xiàn)設(shè)計斜坡的坡度i=，則AC的長度是240cm．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】過B作AC的垂線，根據(jù)坡面BC的坡度和鉛直高度，可求出坡面BC的水平寬，進(jìn)而可求出AC的長．【解答】解：過B作BD⊥AC于D，則AD=30+30=60．Rt△BCD中，tan∠BCD=i=，BD=60．∴CD=BD÷i=300，∴AC=CD﹣AD=240（cm）．【點(diǎn)評】在坡度坡角問題中，需注意的是坡度是坡角的正切值，是坡面鉛直高度和水平寬度的比．（2010?黃埔區(qū)二模）某河堤的橫斷面是梯形ABCD，BC∥AD，河堤的高BE為4米，tan∠BAE=2，則迎水坡AB長為4.5米．（結(jié)果精確到0.1米）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】在Rt△ABE中，已知了∠BAE的正切值（即坡面AB的坡度）以及河堤高BE（即坡面AB的鉛直高度）的長，通過解直角三角形可求出水平寬度AE的長，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理求得坡面AB的長．【解答】解：Rt△ABE中，tan∠BAE=2，BE=4米，∴AE=BE÷tan∠BAE=2米；由勾股定理得：AB==2≈4.5（米）．即迎水坡AB長為4.5米．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運(yùn)用能力．（2009?安徽）長為4m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時調(diào)整為60°角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升高了2（）m．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】利用所給角的正弦函數(shù)求兩次的高度，相減即可．【解答】解：由題意知：平滑前梯高為4?sin45°=4?=．平滑后高為4?sin60°=4?=．∴升高了2（）m．故答案為：2（）【點(diǎn)評】本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用．（2009?沈陽）如圖，市政府準(zhǔn)備修建一座高AB=6m的過街天橋，已知天橋的坡面AC與地面BC的夾角∠ACB的正弦值為，則坡面AC的長度為10m．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】計算題；壓軸題．【分析】∠ACB的正弦值=垂直高度：坡面距離，據(jù)此可直接求解．【解答】解：在Rt△ABC中，sin∠ACB=，AB=6m，所以AC=m．故答案為：10【點(diǎn)評】本題考查銳角三角函數(shù)正弦值的應(yīng)用．（2009?西寧）如圖，某建筑物直立于水平地面，BC=9米，∠B=30°，要建造樓梯，使每階臺階高度不超過20厘米，那么此樓梯至少要建26階（最后一階不足20厘米按一階計算，≈1.732）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】利用30°的正切值求得樓梯高度AC即可．【解答】解：所有臺階高度和為AC的長．設(shè)此樓梯至少要建x階，可得tan30°==，∴x=15≈26（階）．【點(diǎn)評】此題由圖得出“所有臺階高度和為AC的長”是關(guān)鍵，還要注意統(tǒng)一單位．（2009?莆田質(zhì)檢）某梯子與地面所成的角α滿足45°≤α≤60°時，人可以安全地爬上斜靠在墻面上的梯子的頂端現(xiàn)有一個長6米的梯子，則使用這個梯子最高可以安全爬上米高的墻．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】當(dāng)角度是60度時，用梯子可以爬的高度最高，根據(jù)三角函數(shù)即可求解．【解答】解：高度是：6sin60°=6×=3米．故答案是：3．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，正確理解三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．（2008?沈陽）如圖所示，某河堤的橫斷面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB長13米，且tan∠BAE=，則河堤的高BE為12米．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】計算題；壓軸題．【分析】在Rt△ABE中，根據(jù)tan∠BAE的值，可得到BE、AE的比例關(guān)系，進(jìn)而由勾股定理求得BE、AE的長，由此得解．【解答】解：因?yàn)閠an∠BAE=，設(shè)BE=12x，則AE=5x；在Rt△ABE中，由勾股定理知：AB2=BE2+AE2，即：132=（12x）2+（5x）2，169=169x2，解得：x=1或﹣1（負(fù)值舍去）；所以BE=12x=12（米）．故答案為：12．【點(diǎn)評】本題主要考查的是銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的應(yīng)用．（2008?鄂爾多斯）如圖，在一個坡角為30°的斜坡上有一棵樹，高AB，當(dāng)太陽光與水平線成60°時，測得該樹在斜坡上的樹影BC的長為6m，則樹高AB=6m．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】延長AC交OE于點(diǎn)F，則可得∠OCF=∠ACB=30°，再確定∠BAC=30°，利用等腰三角形的性質(zhì)可得AB=BC=6m．【解答】解：∠BAC=90°﹣60°=30°，延長AC交OE于點(diǎn)F，則∠AFE=60°=∠0+∠OCF，∵∠O=30°，∴∠OCF=30°，∴∠ACB=30°，∴∠ACB=∠BAC=30°，∴BC=AB=6m．故答案為：6．【點(diǎn)評】對于此類問題常常轉(zhuǎn)化成直角三角形，可利用三角函數(shù)知識、勾股定理或相似三角形的知識來解決．（2008?聊城）為支援四川災(zāi)區(qū)，綠野橡膠篷布廠承接了一批活動房式帳篷的生產(chǎn)任務(wù)，蓬面使用的是PVC雙面涂塑蓬布，帳蓬的外部結(jié)構(gòu)和規(guī)格尺寸如圖所示（帳蓬頂部兩個斜面的坡度相同，頂部最高點(diǎn)到地面的距離為2.65米）．制作一頂這樣的帳蓬，至少需要47平方米的PVC雙面涂塑蓬布．（帳蓬的門、窗都需要蓬布．接縫等忽略不計，計算結(jié)果精確到1平方米）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】帳篷一共有8個面，利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求得頂部坡長后即可表示出所有面積．【解答】解：由圖可知：帳篷的頂部坡長=≈1.64，那么帳篷頂部的面積是兩個三角形和兩個長方形的面積和即：1.64×2×4.5+2××3×0.65，帳篷下面的面積是四個矩形的面積和，即：3×2×2+4.5×2×2，因此帳篷的面積總和為：1.64×2×4.5+3×0.65+3×2×2+4.5×2×2=46.71≈47平方米，因此，制作這樣一頂帳篷至少需要47平方米．【點(diǎn)評】本題中求得帳篷頂部的坡長是關(guān)鍵，計算帳篷面積時不要遺漏任何一個面．（2007?連云港）如圖是一山谷的橫斷面示意圖，寬AA′為15m，用曲尺（兩直尺相交成直角）從山谷兩側(cè)測量出OA=1m，OB=3m，O′A′=0.5m，O′B′=3m（點(diǎn)A，O，O′A′在同一條水平線上），則該山谷的深h為30m．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】過谷底構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，利用坡比定義表示山谷寬求解．【解答】解：設(shè)A、A′到谷底的水平距離為AC=m，A′C=n．∴m+n=15．根據(jù)題意知，OB∥CD∥O′B′．∵OA=1，OB=3，O′A′=0.5，O′B′=3．∴==3，==6．∴（+）×h=15．解得h=30（m）．【點(diǎn)評】本題考查坡度的定義及其應(yīng)用．（2007?泰安）如圖，一游人由山腳A沿坡角為30°的山坡AB行走600m，到達(dá)一個景點(diǎn)B，再由B沿山破BC行走200m到達(dá)山頂C，若在山頂C處觀測到景點(diǎn)B的俯角為45°，則山高CD等于（300+100）m．（結(jié)果用根號表示）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題；解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【專題】計算題；壓軸題．【分析】解此題時需兩次用到三角函數(shù)，即求出ED和CE后相加即可．【解答】解：過B作BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，如圖，∵在山頂C處觀測到景點(diǎn)B的俯角為45°，∴△BEC為等腰直角三角形，而BC=200m，∴CE=BC=100m；∵∠A=30°，AB=600m，∴BF=AB=300m，∴CD=CE+ED=（100+300）m．故答案為：100+300．【點(diǎn)評】本題是組合圖形，應(yīng)先分解圖形；認(rèn)清圖形間的關(guān)系，并解直角三角形；利用其關(guān)系求解．（2007?龍巖）當(dāng)太陽光與地面成55°角時，直立于地面的玲玲測得自己的影長為1.16m，則玲玲的身高約為1.66m．（精確到0.01m）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】身高、影長和光線構(gòu)成直角三角形，根據(jù)tan55°=身高：影長即可解答．【解答】解：玲玲的身高=影長×tan55°=1.16×1.428=1.656≈1.66（m）．【點(diǎn)評】本題考查了正切的概念、計算器的使用．（2007?湖州）小明發(fā)現(xiàn)在教學(xué)樓走廊上有一拖把以15°的傾斜角斜靠在欄桿上，嚴(yán)重影響了同學(xué)們的行走安全．他自覺地將拖把挪動位置，使其的傾斜角為75°，如果拖把的總長為1.80m，則小明拓寬了行路通道1.28m．（結(jié)果保留三個有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據(jù)余弦函數(shù)分別求出兩次拖把距墻根的距離，求差得解．【解答】解：∵AB=1.8，∠A=15°，∠FEC=75°，∴AC=AB?cos15°=1.746（米）；EC=EF?cos75°=AB?sin15°=0.468（米）．則AE=AC﹣EC=1.746﹣0.468≈1.28（米）．所以小明拓寬了行路通道1.28米．【點(diǎn)評】此題主要考查三角函數(shù)的運(yùn)用能力．（2007?寧波校級模擬）如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔AB，在陽光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知鐵塔底座寬CD=14m，塔影長DE=36m，小明和小華的身高都是1.6m，小明站在點(diǎn)E處，影子也在斜坡面上，小華站在沿DE方向的坡腳下，影子在平地上，兩人的影長分別為4m與2m，那么，塔高AB=20m．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】構(gòu)造矩形，把塔高的影長分為平地上的BD與斜坡上的DE的和．然后根據(jù)在平地和在斜坡上的影長的比分別求得AG，GB長，把它們相加即可．【解答】解：作DF⊥CD，交AE于點(diǎn)F，過F作FG⊥AB，垂足為G，可得矩形BDFG．由題意得：=∴DF==14.4（m）；∵GF=BD=CD=7（m），同理可得：=，∴AG=1.6÷2×7=5.6（m），∴AB=14.4+5.6=20（m）．∴鐵塔的高度為20m．故答案為：20．【點(diǎn)評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的難點(diǎn)是把塔高的影長分為在平地和斜坡上兩部分；關(guān)鍵是利用平地和斜坡上的物高與影長的比得到相應(yīng)的部分塔高的長度．（2006?濟(jì)南）如圖，一根電線桿的接線柱部分AB在陽光下的投影CD的長為1.2m，太陽光線與地面的夾角∠ACD=60°，則AB的長為2.1m．（精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：=1.414，=1.732）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】計算題；壓軸題．【分析】作BE∥CD，則形成一個平行四邊形，得BE=CD；然后利用60°角的正切函數(shù)進(jìn)行解答．【解答】解：作BE∥CD，則有平行四邊形CDBE．∴BE=CD=1.2，∠AEB=∠ACD=60°．∵tan60°=AB：BE，∴AB=tan60°×BE=×1.2≈2.1．【點(diǎn)評】本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．（2006?湘西州）如圖，我校為了籌備校園藝術(shù)節(jié)，要在通往舞臺的臺階上鋪上紅色地毯．如果地毯的寬度恰好與臺階的寬度一致，臺階的側(cè)面如圖所示，臺階的坡角為30°，∠BCA=90°，臺階的高BC為2米，那么請你幫忙算一算需要5.5米長的地毯恰好能鋪好臺階．（結(jié)果精確到0.1m，取=1.414，=1.732）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】由題意得，地毯的總長度至少為（AC+BC）．BC為已知，只需要借助于坡角的正弦值求出斜邊長即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，∠C=90°．∵tanA=，∴=2．∴AC+BC=2+2≈2×1.73+2=5.46≈5.5（m）．即地毯的長度至少需5.5m．【點(diǎn)評】解題的關(guān)鍵是明白每個臺階的兩條直角邊的和是直角△ABC的直角邊的和．（2003?寧夏）在傾斜角為30°的山坡上種樹，要求相鄰兩棵樹間的水平距離為3米，那么，相鄰兩棵樹間的斜坡距離為米．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】利用所給角的余弦函數(shù)求解．【解答】解：如圖，∠C=90°，∠A=30°，AC=3．∴AB=AC÷cos30°=2（米）．【點(diǎn)評】本題考查了余弦定義的應(yīng)用．（2003?陜西）如圖梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根C的距離為2米，梯子的頂端B到地面的距離為7米，現(xiàn)將梯子的底端A向外移動到A′，使梯子的底端A′到墻根C的距離等于3米，同時梯子的頂端B下降至B′，那么BB′①等于1米②大于1米③小于1米．其中正確結(jié)論序號是③．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】利用勾股定理求得AB長，進(jìn)而求得CB′求解．【解答】解：由勾股定理得：梯子AB=，CB′=．∴BB′=7﹣＜1，故選③．【點(diǎn)評】本題主要利用了勾股定理求解．（2015?淄博模擬）如圖，有一段斜坡BC長為10米，坡角∠CBD=12°，為方便殘疾人的輪椅車通行，現(xiàn)準(zhǔn)備把坡角降為5°．（1）求坡高CD；（2）求斜坡新起點(diǎn)A到原起點(diǎn)B的距離（精確到0.1米）．參考數(shù)據(jù)：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】幾何圖形問題；壓軸題．【分析】（1）根據(jù)坡角的定義直接代入數(shù)值解答即可．（2）在△ACD中先求出AD長，AB=AD﹣BD．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，CD=BCsin12°≈10×0.21=2.1米．（2）在Rt△BCD中，BD=BCcos12°≈10×0.98=9.8米；在Rt△ACD中，米，AB=AD﹣BD≈23.33﹣9.8=13.53≈13.5米．答：坡高2.1米，斜坡新起點(diǎn)與原起點(diǎn)的距離為13.5米．【點(diǎn)評】本題主要考查坡度坡角的定義，這兩個直角三角形有公共的直角邊，先求出公共邊的解決此類題目的基本出發(fā)點(diǎn)．（2015?三亞校級模擬）如圖是一座人行天橋，天橋的高12米，坡面的坡比為=1：1，為了方便行人推車過天橋，市政府決定降低坡度，使新的斜坡的坡角為30°，問離原坡底8米處的大型廣告墻M要不要拆除？【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】由原來的坡比求出CF的長度，然后根據(jù)新坡比求出FG，繼而根據(jù)BG=FG﹣FB可得出BG的長度，與8米進(jìn)行比較即可作出判斷．【解答】解：∵坡面的坡比為1：1，∴∠CBF=45°，又∵CF=12米，則FB=12米，由于新的斜坡的坡角為30°，如果坡底用字母G表示，則CG=24米，F(xiàn)G=12米，故可得：BG=12﹣12=8.784米＞8米，所以廣告牌M要拆除．【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解坡比所表示的含義，求出線段BG的長度是解答本題的關(guān)鍵，難度一般，（2013?錦州）如圖，某公司入口處有一斜坡AB，坡角為12°，AB的長為3m，施工隊(duì)準(zhǔn)備將斜坡修成三級臺階，臺階高度均為hcm，深度均為30cm，設(shè)臺階的起點(diǎn)為C．（1）求AC的長度；（2）求每級臺階的高度h．（參考數(shù)據(jù)：sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126．結(jié)果都精確到0.1cm）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】（1）過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，在Rt△ABE中利用三角函數(shù)求出AE，由AC=AE﹣CE，可得出答案；（2）在Rt△ABE中，求出BE，即可計算每級臺階的高度h．【解答】解：如右圖，過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，（1）在Rt△ABE中，AB=3m，cos12°≈0.9781，AE=ABcos12°≈2.934m=293.4cm，∴AC=AE﹣CE=293.4﹣60=233.4cm．答：AC的長度約為233.4cm．（2）h=BE=ABsin12°=×300×0.2079=20.79≈20.8cm．答：每級臺階的高度h約為20.8cm．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)坡度和坡角構(gòu)造直角三角形，并解直角三角形．（2013?眉山）如圖，某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長江邊一處長500米，高10米，背水坡的坡角為45°的防洪大堤（橫斷面為梯形ABCD）急需加固．經(jīng)調(diào)查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：背水坡面用土石進(jìn)行加固，并使上底加寬3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．（1）求加固后壩底增加的寬度AF；（2）求完成這項(xiàng)工程需要土石多少立方米？（結(jié)果保留根號）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】（1）分別過E、D作AB的垂線，設(shè)垂足為G、H．在Rt△EFG中，根據(jù)坡面的鉛直高度（即壩高）及坡比，即可求出水平寬FG的長；同理可在Rt△ADH中求出AH的長；由AF=FG+GH﹣AH求出AF的長．（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面積．梯形AFED的面積乘以壩長即為所需的土石的體積．【解答】解：（1）分別過點(diǎn)E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．∵四邊形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行且等于EG．故四邊形EGHD是矩形．∴ED=GH．在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10（米）．在Rt△FGE中，i==，∴FG=EG=10（米）．∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7（米）；（2）加寬部分的體積V=S梯形AFED×壩長=×（3+10﹣7）×10×500=25000﹣10000（立方米）．答：（1）加固后壩底增加的寬度AF為（10﹣7）米；（2）完成這項(xiàng)工程需要土石（25000﹣10000）立方米．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運(yùn)用能力．（2013?鞍山）如圖，某幼兒園為了加強(qiáng)安全管理，決定將園內(nèi)的滑滑板的傾斜度由45°降為30°，已知原滑滑板AB的長為5米，點(diǎn)D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板會加長多少？（精確到0.01）（參考數(shù)據(jù)：=1.414，=1.732，=2.449）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)AB=5米，∠ABC=45°，求出AC的長度，然后在Rt△ADC中，解直角三角形求AD的長度，用AD﹣AB即可求出滑板加長的長度．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=5，∠ABC=45°，∴AC=ABsin45°=5×=，在Rt△ADC中，∠ADC=30°，∴AD==5=5×1.414=7.07，AD﹣AB=7.07﹣5=2.07（米）．答：改善后滑滑板約會加長2.07米．【點(diǎn)評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用這兩個直角三角形公共的直角邊解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．（2013?成都模擬）如圖是成都市某街道的一座人行天橋的示意圖，天橋的高是10米，坡面的傾斜角為45°．為了方便行人推車過天橋，市政部門決定降低坡度，使新坡面的坡度為1：，若新坡角下需留3米的人行道，問離原坡面點(diǎn)A處10米的建筑物EF是否需要拆除？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】由已知天橋的高是10米，坡面的傾斜角為45°，易求得AB的長；又由新坡面的坡度為1：，根據(jù)坡度的定義，可求得BD的長，從而求得AD的長，然后將AD+3與10進(jìn)行比較，若大于則需拆除，反之不用拆除．【解答】解：根據(jù)題意得：∠CAB=45°，BC=10米．∴AB=BC=10米．∵i=1：，即：=，∴BD=10米，∴AD=10﹣10≈7.32（米），∵7.32+3＞10．答：離原坡角10米的建筑物需要拆除．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生坡度坡角問題．此題難度適中，解此題的關(guān)鍵是掌握坡度與坡角的定義，注意解直角三角形的應(yīng)用．（2013?安徽模擬）六一兒童節(jié)前夕，兒童樂園準(zhǔn)備將如圖所示的滑梯重新油漆一遍．已知滑梯左側(cè)是1米寬的滑道，右側(cè)是1米寬的臺階，頂部是邊長為1米的正方形平臺（油漆部分為右側(cè)臺階朝上和朝右的表面、頂部平臺和滑梯上表面）．現(xiàn)量得滑梯的高AC為2米，∠ABC=30°，∠EDC=45°，求需要油漆的總面積．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)可求AB的長，作EF⊥BD于F，根據(jù)梯形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可求FD=EF=2，再根據(jù)長方形的面積公式即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，∴AB=AC÷sin30°=2÷=4，作EF⊥BD于F，則EF=AC=2，∵∠EDC=45°，∴FD=EF=2，∴需要油漆的總面積為：（AB+AE+EF+FD﹣）×1=（4+1+2+2﹣）×1=（m2）．【點(diǎn)評】考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，本題需要油漆的總面積為：（AB+AE+EF+FD）×寬度．（2013?徐州模擬）如圖，一座堤壩的橫截面是梯形，根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，求壩高和壩底寬（精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】在Rt△ABF中求出BF，在Rt△CDE中求出DE、EC，從而可得出壩高和壩底寬．【解答】解：如圖，作DE垂直BC于點(diǎn)E，AF垂直BC于點(diǎn)F，在Rt△DEC中，∵CD=14m，∠DCE=30°，∴（m），∴（m），由梯形性質(zhì)，得AF=DE=7m，EF=AD=6m，Rt△AFB中，∵∠ABF=45°，∴BF=AF=7m，∴BC=BF+EF+CE=7+6+7=13+7=13+7×1.73≈25.1（m）．答：壩高為7m，壩底約為25.1m．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形的知識得出有關(guān)線段的長度，難度一般．（2012?郴州）如圖，水壩的橫斷面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，壩高BE=20米．汛期來臨，為加大水壩的防洪強(qiáng)度，將壩底從A處向后水平延伸到F處，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，求AF的長度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】可在Rt△ABE中，根據(jù)坡面AB的長以及坡角的度數(shù)，求得鉛直高度BE和水平寬AE的值，進(jìn)而可在Rt△BFE中，根據(jù)BE的長及坡角的度數(shù)，通過解直角三角形求出EF的長；根據(jù)AF=EF﹣AE，即可得出AF的長度．【解答】解：∵Rt△ABE中，∠BAE=45°，壩高BE=20米．∴AE=BE=20米，Rt△BEF中，BE=20，∠F=30°，∴EF=BE÷tan30°=20．∴AF=EF﹣AE=20﹣20≈15即AF的長約為15米．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運(yùn)用能力．當(dāng)兩個直角三角形有公共邊時，先求出這條公共邊是解答此類題的一般思路．（2012?鹽都區(qū)校級模擬）九年級甲班數(shù)學(xué)興趣小組組織社會實(shí)踐活動，目的是測量一山坡的護(hù)坡石壩高度及石壩與地面的傾角∠α．（1）如圖1，小明所在的小組用一根木條EF斜靠在護(hù)坡石壩上，使得BF與BE的長度相等，如果測量得到∠EFB=36°，那么∠α的度數(shù)是72°；（2）如圖2，小亮所在的小組把一根長為5米的竹竿AG斜靠在石壩旁，量出竿長1米時離地面的高度為0.6米，請你求出護(hù)坡石壩的垂直高度AH；（3）全班總結(jié)了各組的方法后，設(shè)計了如圖3方案：在護(hù)坡石壩頂部的影子處立一根長為a米的桿子PD，桿子與地面垂直，測得桿子的影子長為b米，點(diǎn)P到護(hù)坡石壩底部B的距離為c米，如果利用（1）得到的結(jié)論，請你用a、b、c表示出護(hù)坡石壩的垂直高度AH．（sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題；方案型．【分析】（1）BF與BE的長度相等，則由等邊對等角和三角形的外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角和，得到∠α的度數(shù)．（2）由于竿長1米時離地面的高度為0.6米，則有AG：AH=1：0.6，可求得AH的長．（3）由題意知，△CPD∽△PHA，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊相等可求得AH的長．【解答】解：（1）∵BF=BE．∴∠BFE=∠FEB．∴∠α=2∠EFB=72°．（2）∵竿長1米時離地面的高度為0.6米，MN∥AH．∴AG：AH=1：0.6∴AH=3米．（3）在Rt△ABH中，BH=AH÷tan72°=AH÷3=．由題意知，△CPD∽△PHA．∴DP：CP=AH：PH=AH：（PB+BH）=AH：（PB+）．即：a：b=AH：（c+）．解得：AH=．【點(diǎn)評】本題主要用到了等邊對等角和三角形的外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角和；平行線的性質(zhì)，正切的概念，相似三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)求解．（2012?南關(guān)區(qū)校級模擬）某風(fēng)景管理區(qū)為提高游客到某景點(diǎn)的安全性，決定將到達(dá)該景點(diǎn)的步行臺階進(jìn)行改善，把傾角由45°減至30°，已知原臺階坡面AB的長為5m（BC所在地面為水平面）．求改善后的臺階坡面大約加長多少？（，結(jié)果精確到0.1m）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】在直角三角形ABC中利用三角函數(shù)即可求得AC、然后在直角三角形ADC中求得AD的長，AD﹣AB即是所求的解．【解答】解：∵在直角三角形ABC中，AC=AB．sin45°=（m）在直角三角形ADC中，AD==÷=5（米），∴AD﹣AB=（5﹣5）（米）≈5×（1.414﹣1）=2.07≈2.1（米）．答：改善后的臺階坡面加長約2.1米．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，理解兩個直角三角形有公共的直角邊，先求出公共邊的解決此類題目的基本出發(fā)點(diǎn)．（2011?遵義）某市為緩解城市交通壓力，決定修建人行天橋，原設(shè)計天橋的樓梯長AB=6m，∠ABC=45°，后考慮到安全因素，將樓梯腳B移到CB延長線上點(diǎn)D處，使∠ADC=30°（如圖所示）．（1）求調(diào)整后樓梯AD的長；（2）求BD的長．（結(jié)果保留根號）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）首先由已知AB=6m，∠ABC=45°求出AC和BC，再由∠ADC=30°求出AD=2AC；（2）根據(jù)勾股定理求出CD，從而求出BD．【解答】解：（1）已知AB=6m，∠ABC=45°，∴AC=BC=AB?sin45°=6×=3，已知∠ADC=30°．∴AD=2AC=6．答：調(diào)整后樓梯AD的長為6m；（2）CD=AD?cos30°=6×=3，∴BD=CD﹣BC=3﹣3．答：BD的長為3﹣3（m）．【點(diǎn)評】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是運(yùn)用直角三角形函數(shù)求解．（2011?涼山州）在一次課題設(shè)計活動中，小明對修建一座87m長的水庫大壩提出了以下方案；大壩的橫截面為等腰梯形，如圖，AD∥BC，壩高10m，迎水坡面AB的坡度，老師看后，從力學(xué)的角度對此方案提出了建議，小明決定在原方案的基礎(chǔ)上，將迎水坡面AB的坡度進(jìn)行修改，修改后的迎水坡面AE的坡度．（1）求原方案中此大壩迎水坡AB的長（結(jié)果保留根號）；（2）如果方案修改前后，修建大壩所需土石方總體積不變，在方案修改后，若壩頂沿EC方向拓寬2.7m，求壩底將會沿AD方向加寬多少米？【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題；等腰梯形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】（1）過點(diǎn)B作BF⊥AD于F，在直角三角形ABF中解得AF，AB的值．（2）過點(diǎn)E作EG⊥AD于G．延長EC至點(diǎn)M，AD至點(diǎn)N，連接MN，由S△ABE=S梯形CMND從而解得DN的值．【解答】解：（1）過點(diǎn)B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵i==，且BF=10m．∴AF=6m，．答：此大壩迎水坡AB的長是2m；（2）過點(diǎn)E作EG⊥AD于G．在Rt△AEG中，∵，且EG=BF=10m∴AG=12m，∵AF=6m，∴BE=GF=AG﹣AF=6m，如圖，延長EC至點(diǎn)M，AD至點(diǎn)N，連接MN，∵方案修改前后，修建大壩所需土石方總體積不變．S△ABE=S梯形CMND，∴即BE=MC+ND．DN=BE﹣MC=6﹣2.7=3.3（m）．答：壩底將會沿AD方向加寬3.3m．【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的應(yīng)用，（1）過點(diǎn)B作BF⊥AD于F，在直角三角形ABF中從而解得AF，AB的長度；（2）作輔助線，面積不變，由S△ABE=S梯形CMND，解方程組得到ND．（2011?撫順）如圖，在斜坡AB上有一棵樹BD，由于受臺風(fēng)影響而傾斜，恰好與坡面垂直，在地面上C點(diǎn)處測得樹頂部D的仰角為60°，測得坡角∠BAE=30°，AB=6米，AC=4米．求樹高BD的長是多少米？（結(jié)果保留根號）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題；解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【專題】壓軸題；探究型．【分析】延長DB交AE于F，由∠ABD是直角可知BD⊥AB，在Rt△ABF中由銳角三角函數(shù)的定義可求出BF、AF的長，再判斷出△CDF的形狀，由DB=DF﹣BF即可得出結(jié)論．【解答】解：延長DB交AE于F，由題可得BD⊥AB，在Rt△ABF中∠BAF=30°，AB=6，∴BF=AB?tan∠BAF=2．∴cos30°=．∴AF=4．∠DFC=60°．∵∠C=60°，∴∠C=∠CFD=∠D=60°．∴△CDF是等邊三角形．∴DF=CF．∴DB=DF﹣BF=2+4．答：樹高BD的長是（2+4）米．【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義及等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．（2011?清遠(yuǎn)）如圖，小明以3米/秒的速度從山腳A點(diǎn)爬到山頂B點(diǎn)．己知點(diǎn)B到山腳的垂直距離BC為24米．且山坡坡角∠A的度數(shù)為28°，問小明從山腳爬上山頂需要多少時間？（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：sin28°=0.46，cos28°=0.87，tan28°=0.53）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】由∠C=90°，∠A=28°，利用sin∠A=，即可求得AB的值，又由小明以3米/秒的速度從山腳A點(diǎn)爬到山頂B點(diǎn)，即可求得答案．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=28°，∴sinA=，∵BC=24米，∴AB===≈52.17，∵小明以3米/秒的速度從山腳A點(diǎn)爬到山頂B點(diǎn)，∴52.17÷3≈17.4（s）．答：小明從山腳爬上山頂約需要17.4s．【點(diǎn)評】此題考查了坡度坡角問題．解題的關(guān)鍵是注意三角函數(shù)的應(yīng)用．（2010?遵義）如圖，水壩的橫斷面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAD=60°，坡長AB=20m，為加強(qiáng)水壩強(qiáng)度，降壩底從A處后水平延伸到F處，使新的背水坡角∠F=45°，求AF的長度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】過B作DF的垂線，設(shè)垂足為E；可在Rt△ABE中，根據(jù)坡面AB的長以及坡角的度數(shù)，求得鉛直高度BE和水平寬AE的值，進(jìn)而可在Rt△BFE中，根據(jù)BE的長及坡角的度數(shù)，通過解直角三角形求出EF的長；根據(jù)AF=EF﹣AE，即可得出AF的長度．【解答】解：過B作BE⊥DF于E．Rt△ABE中，AB=20m，∠BAE=60°，∴BE=AB?sin60°=20×=30，AE=AB?cos60°=20×=10．Rt△BEF中，BE=30，∠F=45°，∴EF=BE=30．∴AF=EF﹣AE=30﹣10≈13，即AF的長約為13米．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運(yùn)用能力．當(dāng)兩個直角三角形有公共邊時，先求出這條公共邊是解答此類題的一般思路．（2010?樂山）水務(wù)部門為加強(qiáng)防汛工作，決定對程家山水庫進(jìn)行加固．原大壩的橫斷面是梯形ABCD，如圖所示，已知迎水面AB的長為10米，∠B=60°，背水面DC的長度為10米，加固后大壩的橫斷面為梯形ABED．若CE的長為5米．（1）已知需加固的大壩長為100米，求需要填方多少立方米；（2）求新大壩背水面DE的坡度．（計算結(jié)果保留根號）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】壓軸題．【分析】（1）分別過A、D作下底的垂線，設(shè)垂足為F、G．在Rt△ABF中，已知坡面長和坡角的度數(shù)，可求得鉛直高度AF的值，也就得到了DG的長；以CE為底，DG為高即可求出△CED的面積，再乘以大壩的長度，即為所需的填方體積；（2）在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的長，即可得到GE的長；Rt△DEG中，根據(jù)DG、GE的長即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比．【解答】解：（1）分別過A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂點(diǎn)分別為F、G，如圖所示．在Rt△ABF中，AB=10米，∠B=60°，sin∠B=，∴AF=10×=5，DG=5．∴S△DCE=．需要填方：100×（立方米）；（2）在直角三角形DGC中，DC=10，∴GC=，∴GE=GC+CE=20，坡度i=．答：（1）需要土石方1250立方米．（2）背水坡坡度為．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運(yùn)用能力．（2010?新密市自主招生）某廠家新開發(fā)的一種摩托車如圖所示，它的大燈A射出的光線AB、AC與地面MN的夾角分別為8°和10°，大燈A離地面距離1m．（1）該車大燈照亮地面的寬度BC約是多少（不考慮其它因素）？（2）一般正常人從發(fā)現(xiàn)危險到做出剎車動作的反應(yīng)時間是0.2s，從發(fā)現(xiàn)危險到摩托車完全停下所行駛的距離叫做最小安全距離，某人以60km/h的速度駕駛該車，從60km/h到摩托車停止的剎車距離是m，請判斷該車大燈的設(shè)計是否能滿足最小安全距離的要求，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】（1）本題可通過構(gòu)造直角三角形來解答，過A作AD⊥MN于D，就有了∠ABN、∠ACN的度數(shù)，又已知了AE的長，可在直角三角形ABE、ACE中分別求出BE、CE的長，BC就能求出了．（2）本題可先計算出最小安全距離是多少，然后于大燈的照明范圍進(jìn)行比較，然后得出是否合格的結(jié)論．【解答】解：（1）過A作AD⊥MN于點(diǎn)D，在Rt△ACD中，tan∠ACD==，CD=5.6（m），在Rt△ABD中，tan∠ABD==，BD=7（m），∴BC=7﹣5.6=1.4（m）．答：該車大燈照亮地面的寬度BC是1.4m；（2）該車大燈的設(shè)計不能滿足最小安全距離的要求．理由如下：∵以60km/h的速度駕駛，∴速度還可以化為：m/s，最小安全距離為：×0.2+=8（m），大燈能照到的最遠(yuǎn)距離是BD=7m，∴該車大燈的設(shè)計不能滿足最小安全距離的要求．【點(diǎn)評】本題是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問題，可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個直角三角形中，使問題解決．（2008?泰州）如圖，某堤壩的橫截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i（即tanα）為1：1.2，壩高為5米，現(xiàn)為了提高堤壩的防洪抗洪能力，市防汛指揮部決定加固堤壩，要求壩頂CD加寬1米，形成新的背水坡EF，其坡度為1：1.4，已知堤壩總長度為4000米．（1）求完成該工程需要多少土方？（2）該工程由甲、乙兩個工程隊(duì)同時合作完成．按原計劃需要20天．準(zhǔn)備開工前接到上級通知，汛期可能提前，要求兩個工程隊(duì)提高工作效率，甲隊(duì)工作效率提高30%，乙隊(duì)工作效率提高40%，結(jié)果提前5天完成．問這兩個工程隊(duì)原計劃每天各完成多少土方？【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題；二元一次方程組的應(yīng)用．【專題】計算題；壓軸題．【分析】（1）欲求完成該工程需要多少土方，根據(jù)體積公式，在本題中，必須求出四邊形AFED的面積，上底、高為已知，只需用兩次坡度比求出AF的長．（2）根據(jù)題中兩個等量關(guān)系列方程組解答即可．【解答】解：（1）作DG⊥AB于G，作EH⊥AB于H，∴EH∥DG，∠EHG=∠DGB=90°，又∵CD∥AB，∴四邊形EHGD是矩形，∴EH=DG=5米，∵，∴AG=6米，∵，∴FH=7米，∴FA=FH+GH﹣AG=7+1﹣6=2（米）∴SADEF=（ED+AF）?EH=（1+2）×5=7.5（平方米）V=7.5×4000=30000（立方米）；答：需要30000立方米土方．（2）設(shè)甲隊(duì)原計劃每天完成x立方米土方，乙隊(duì)原計劃每天完成y立方米土方．根據(jù)題意，得，化簡，得，解之，得，答：甲隊(duì)原計劃每天完成1000立方米土方，乙隊(duì)原計劃每天完成500立方米土方．（9分）【點(diǎn)評】此題考查了三角函數(shù)、分式方程、方程組的解答以及梯形面積的計算，難易程度適中．（2008?廣東）如圖，梯形ABCD是攔水壩的橫斷面圖，（圖中i=1：是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求攔水壩的橫斷面ABCD的面積．（結(jié)果保留三位有效數(shù)字．參考數(shù)據(jù)：≈1．732，≈1.414）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】過點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，利用三角函數(shù)求得BF、AF、EC的長，從而求得下底BC的長，根據(jù)梯形的面積公式即可求得其面積．【解答】解：過點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F．在Rt△ABF中，∠B=60°，AB=6，∴AF=ABsin∠B=6sin60°=3．BF=ABcos∠B=6cos60°=3．∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC，∴四邊形AFED是矩形，∴DE=AF=3，F(xiàn)E=AD=4．在Rt△CDE中，i=，∴EC=ED=×3=9，∴BC=BF+FE+EC=3+4+9=16．∴S梯形ABCD=（AD+BC）?DE=（4+16）×3≈52.0．答：攔水壩的橫斷面ABCD的面積約為52.0面積單位．【點(diǎn)評】此題主要考查了學(xué)生對坡度坡角的理解，三角函數(shù)的運(yùn)用及梯形面積公式的掌握情況．（2008?遵義）我市某鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校教學(xué)樓后面靠近一座山坡，坡面上是一塊平地，如圖所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=60°，為防夏季因瀑雨引發(fā)山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對山坡進(jìn)行改造，經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過45°時，可確保山體不滑坡，改造時保持坡腳A不動，從坡頂B沿BC削進(jìn)到E處，問BE至少是多少米？（結(jié)果保留根號）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】BE=FG，應(yīng)根據(jù)三角函數(shù)值先求得斜坡的高度，再得到AF、AG的值，進(jìn)而求解．【解答】解：作BG⊥AD于G，作EF⊥AD于F，則在Rt△ABG中，∠BAD=60°，AB=40，所以就有BG=AB?Sin60°=20，AG=AB?Cos60°=20，同理在Rt△AEF中，∠EAD=45°，則有AF=EF=BG=20，所以BE=FG=AF﹣AG=20（﹣1）米．故BE至少是20（﹣1）米．【點(diǎn)評】本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．需注意構(gòu)造直角三角形是常用的輔助線方法．（2008?昆明）某住宅小區(qū)為了美化環(huán)境，增加綠地面積，決定在坡地上的甲樓和乙樓之間建一塊斜坡草地，如圖，已知兩樓的水平距離為15米，距離甲樓2米（即AB=2米）開始修建坡角為30°的斜坡，斜坡的頂端距離乙樓4米（即CD=4米），求斜坡BC的長度（結(jié)果保留根號）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】本題可通過構(gòu)建直角三角形來求解．如果過C作CE⊥AB于E，那么BE=15﹣AB﹣CD=9，直角三角形CBE中，有了∠CBE的度數(shù)，有了BE的長度，那么BC便可求出來了．【解答】解：過點(diǎn)C作CE⊥地面于點(diǎn)E∵兩樓水平距離為15米，且AB=2米，CD=4米∴BE=15﹣2﹣4=9米在Rt△BCE中，cos30°=BC=BE?==（米）答：斜坡BC的長度為米．【點(diǎn)評】可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個直角三角形中，使問題解決．（2007?長沙）如圖所示，某超市在一樓至二樓之間安裝有電梯，天花板與地面平行，請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算回答：小敏身高1.78米，她乘電梯會有碰頭危險嗎？姚明身高2.29米，他乘電梯會有碰頭危險嗎？（可能用到的參考數(shù)值：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】作CE⊥AC交AB于E，在Rt△ACE中，根據(jù)正切值求出CE的值，比較即可．【解答】解：姚明乘此電梯會有碰頭危險．（1分）理由：由題意可知：AC∥BD，∴∠CAB=∠ABD=27°．（2分）過點(diǎn)C作CE⊥AC交AB于點(diǎn)E，（3分）在Rt△ACE中，tan∠CAE=，（4分）∴CE=AC?tan∠CAE=4×tan27°≈4×0.51=2.04＜2.29．∴姚明乘此電梯會有碰頭危險．∵2.04＞1.78，∴小敏乘此電梯不會有碰頭危險．【點(diǎn)評】此題主要是運(yùn)用所學(xué)的解直角三角形的知識解決實(shí)際生活中的問題．（2007?婁底）去年夏季山洪暴發(fā)，幾所學(xué)校被山體滑坡推倒教學(xué)樓，為防止滑坡，經(jīng)過地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過45°時，可以確保山體不滑坡．某小學(xué)緊挨一座山坡，如圖所示，已知AF∥BC，斜坡AB長30米，坡角∠ABC=60°．改造后斜坡BE與地面成45°角，求AE至少是多少米？（精確到0.1米）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】計算題；壓軸題．【分析】連接BE，過E作EN⊥BC于N，則四邊形AEND是矩形，有NE=AD，AE=DN，在Rt△ADB和Rt△BEN中都已知一邊和一個銳角，滿足解直角三角形的條件，可求出AD和BD、AE的長．【解答】解：在Rt△ADB中，AB=30米∠ABC=60°AD=AB?sin∠ABC=30×sin60°=15≈25.98≈26.0（米），DB=AB?cos∠ABC=30×cos60°=15米．連接BE，過E作EN⊥BC于N∵AE∥BC∴四邊形AEND是矩形NE=AD≈26米在Rt△ENB中，由已知∠EBN≤45°，當(dāng)∠EBN=45°時，BN=EN=26.0米∴AE=DN=BN﹣BD=26.0﹣15=11米答：AE至少是11.0米．【點(diǎn)評】本題通過構(gòu)造直角三角形和矩形，利用直角三角形和矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念求解．（2006?紹興）某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個土坡，坡上面是一塊平地，如圖所示，BC∥AD，斜坡AB長22m，坡角∠BAD=68°，為了防止山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對該土坡進(jìn)行改造．經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過50°時，可確保山體不滑坡．（1）求改造前坡頂與地面的距離BE的長（精確到0.1m）；（2）為確保安全，學(xué)校計劃改造時保持坡腳A不動，坡頂B沿BC削進(jìn)到F點(diǎn)處，問BF至少是多少米？（精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin68°=0.9272，cos68°=0.3746，tan68°=2.4751，sin50°=0.766O，cos50°=0.6428，tan50°=1.1918）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】已知AB=22，∠BAD=68°利用sin68°可求出BE=AB?sin68°=20.40≈20.4；作FG⊥AD，G為垂足，連FA，則FG=BE利用tan50°求出AG的長17.12m，利用cos68°求出AE長，讓AG減AE即可．【解答】解：（1）作BE⊥AD，E為垂足，則BE=AB?sin68°=22×0.9272=20.40≈20.4（m）．（2）作FG⊥AD，G為垂足，連FA，則FG=BE．∵AG===17.12．∴AE=AB?cos68°=22×0.3746=8.24，∴BF=AG﹣AE=8.88≈8.9（m），即BF至少是8.9米．【點(diǎn)評】主要考查分析問題，綜合利用解直角三角形的知識解決實(shí)際問題的能力．（2007?恩施州）州政府投資3個億擬建的恩施民族高中，它位于北緯31°，教學(xué)樓窗戶朝南，窗戶高度為h米，此地一年的冬至這一天的正午時刻太陽光與地面的夾角最小為α，夏至這一天的正午時刻太陽光與地面的夾角最大為β．若你是一名設(shè)計師，請你為教學(xué)樓的窗戶設(shè)計一個直角形遮陽蓬BCD，要求它既能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)（如圖）．根據(jù)測量測得∠α=32.6°，∠β=82.5°，h=2.2米．請你求出直角形遮陽蓬BCD中BC與CD的長各是多少？（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin32.6°=0.54，sin82.5°=0.99，tan32.6°=0.64，tan82.5°=7.60）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】在Rt△BCD和Rt△ADC中，已知兩個銳角和公共邊CD，及CB=AC﹣AB，可以利用邊角關(guān)系，建立方程組求解．【解答】解：根據(jù)內(nèi)錯角相等可知，∠BDC=α，∠ADC=β．在Rt△BCD中，tanα=．①在Rt△ADC中，tanβ=．②由①、②可得：．把h=2.2，tan32.6°=0.64，tan82.5°=7.60代入上式，得：BC≈0.2（米），CD≈0.3（米）．所以直角遮陽蓬BCD中BC與CD的長分別是0.2米和0.3米．【點(diǎn)評】如何利用AB，α，β表示BC，CD是解題的關(guān)鍵，往往利用建立方程組的方法求解．（2005?宿遷）某數(shù)學(xué)興趣小組，利用樹影測量樹高．已測出樹AB的影長AC為9米，并測出此時太陽光線與地面成30°夾角．（1）求出樹高AB；（2）因水土流失，此時樹AB沿太陽光線方向倒下，在傾倒過程中，樹影長度發(fā)生了變化，假設(shè)太陽光線與地面夾角保持不變，試求樹影的最大長度．（計算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】（1）可根據(jù)正切值求出樹高AB；（2）以點(diǎn)A為圓心，以AB為半徑作圓弧，當(dāng)太陽光線與圓弧相切時樹影最長，點(diǎn)D為切點(diǎn)，DE⊥AD交AC于E點(diǎn)，求出AE的值即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°∵tanC=（2分）∴AB=AC?tanC（3分）=9×（4分）≈5.2（米）（5分）（2）以點(diǎn)A為圓心，以AB為半徑作圓弧，當(dāng)太陽光線與圓弧相切時樹影最長，點(diǎn)D為切點(diǎn)，DE⊥AD交AC于E點(diǎn)，（如圖）（7分）在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD（9分）=2×5.2=10.4（米）（10分）答