湖南省長沙市2024屆高三下學(xué)期六校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

長沙市2024屆高三六校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若集合，，則(

)A. B. C. D.2.已知向量，，且，則實數(shù)(

)A.1或4 B.1或 C.或1 D.或13.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(

)A.向右平行移動個單位長度 B.向左平行移動個單位長度

C.向右平行移動個單位長度 D.向左平行移動個單位長度4.“”是“圓與圓相切”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.若，，且，，則(

)A. B. C. D.6.若的展開式的常數(shù)項為60，則a的值為(

)A.4 B.4或 C.2 D.2或7.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中L表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，D表示衰減系數(shù)，G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下不含所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為參考數(shù)據(jù)：(

)A.72 B.74 C.76 D.788.已知，分別是橢圓的左，右焦點，M，N是橢圓C上兩點，且，，則橢圓C的離心率為(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.帶有編號1、2、3、4、5的五個球，則(

)A.全部投入4個不同的盒子里，共有種放法

B.放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，共有種放法

C.將其中的4個球投入4個盒子里的一個另一個球不投入，共有種放法

D.全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法10.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，則(

)A. B.

C.的面積為 D.的周長為11.已知函數(shù)則下列說法正確的是(

)A.當(dāng)時， B.

當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象相切

C.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則 D.若在區(qū)間上恒成立，則

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知雙曲線過點，則其漸近線方程為__________.13.已知復(fù)數(shù)z滿足，則__________.14.立方、塹堵、陽馬和鱉臑等這些名詞都出自中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)商功》，在《九章算術(shù)商功》中有這樣的記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.”意思是說：把一塊長方體沿斜線分成相同的兩塊，這兩塊叫“塹堵”，如圖，再把一塊“塹堵”沿斜線分成兩塊，其中以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為“陽馬”，余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為“鱉臑”，如圖，現(xiàn)有一四面體ABCD，已知，，，，，，根據(jù)上述史料中“鱉臑”的由來，可求得這個四面體的體積為__________，及該四面體的外接球的體積為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分已知等差數(shù)列的前n項和為，，求的通項公式;設(shè)數(shù)列的前n項和為，求16.本小題15分

如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，四邊形ADPQ是梯形，，，平面平面ABCD，且

求證：平面PDC；

求二面角的大小．17.本小題15分

要獲得某項英語資格證書必須依次通過聽力和筆試兩項考試，只有聽力成績合格時，才可繼續(xù)參加筆試的考試．已知聽力和筆試各自允許有一次補考機會，兩項成績均合格方可獲得證書．現(xiàn)某同學(xué)參加這項證書考試，根據(jù)以往模擬情況，聽力考試成績每次合格的概率均為，筆試考試成績每次合格的概率均為，假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響．

求他不需要補考就可獲得證書的概率；

求他恰好補考一次就獲得證書的概率；

在這項考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為，求參加考試次數(shù)的分布列和期望值．18.本小題17分已知橢圓C：的離心率為，分別為橢圓C的左、右頂點，點滿足求橢圓C的方程；設(shè)直線l經(jīng)過點P且與C交于不同的兩點，試問：在x軸上是否存在點Q，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值？若存在，求出點Q的坐標(biāo)及定值，若不存在，請說明理由.19.本小題17分

已知函數(shù)

Ⅰ當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

Ⅱ求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

Ⅲ當(dāng)時，若在時恒成立，求整數(shù)k的最大值．

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查交集的運算，屬于基礎(chǔ)題．

可解出集合A，B，然后進行交集的運算即可．【解答】

解：集合，；

2.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了向量共線定理，平面向量的坐標(biāo)計算，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

利用向量共線定理即可得出．【解答】

解：，，

與平行，

則，

解得或3.【答案】C

【解析】【分析】本題考查正弦型函數(shù)的圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.【解答】

解：由題意知：的圖象向右平行移動個單位長度可得到的圖象.4.【答案】A

【解析】【分析】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，充分、必要條件的判斷，屬于較易題.

根據(jù)圓與圓的位置相切關(guān)系和充分、必要條件的概念判斷即可.【解答】解：圓

圓心

，半徑為

；圓

圓心

，半徑

為

；當(dāng)兩圓相切時，可分為內(nèi)切和外切兩種，圓心距為

，①當(dāng)兩圓外切時：

，即

.②當(dāng)兩圓內(nèi)切時：

，即

.則根據(jù)充分條件和必要條件的判定原則，可知“

”是“圓

與圓

相切”的充分不必要條件.故選：A5.【答案】C

【解析】【分析】解：因為，，所以，則因為，，所以，，則故選【解答】

本題考查由一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值以及利用兩角和與差的正弦公式求值，屬于一般題.6.【答案】D

【解析】【分析】本題考查二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

求出二項展開式的通項，令，得，即可得到答案.【解答】

解：的展開式的通項為

，

令，得，

則，

解得，

故選7.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于中檔題.

由題意，當(dāng)時，，可得D，再解不等式，可得結(jié)果.【解答】

解：由于，所以，

依題意，則，

則，

由，

所以，即，

所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為74次.

故選：B8.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查橢圓的離心率的求法，考查橢圓的定義，是中檔題．

設(shè)，則，，，在中，求得，

在中，由勾股定理求出

，由此能求出橢圓的離心率．

【解答】

解：連接，設(shè)，則，，

，，

在中，

，即

，

在中

，

，又

，故選9.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查排列與組合的綜合應(yīng)用，計數(shù)原理的運用，屬于基礎(chǔ)題.

A由分步計數(shù)原理，五個球全部投入4個不同的盒子里放法數(shù)即可，B由排列數(shù)公式，利用排列數(shù)公式求出五個不同的球放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，共有多少種放法，C、D利用乘法原理即可判斷.【解答】解：由分步計數(shù)原理，五個球全部投入4個不同的盒子里共有種放法，故正確；

由排列數(shù)公式，五個不同的球放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，共有種放法，故錯誤；

將其中的4個球投入一個盒子里共有種放法，故正確；

全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有：種不同的放法，故正確.

故選10.【答案】ABD

【解析】【分析】本題主要考查利用余弦定理解三角形，正弦定理及變形，考查三角形的面積公式，屬于中檔題.

由余弦定理求出角B，由正弦定理求出ac，結(jié)合三角形面積公式求得S，利用配方法，得到的值，即可求出周長.【解答】

解：，，

，，

，由正弦定理可得，

，，

的面積為，

，，

，

或舍去，

的周長為

故選11.【答案】AB

【解析】【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用，涉及了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識點，考查轉(zhuǎn)化思想及運算求解能力，屬于較難題．

對于A，將代入，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得最小值；對于B，求出函數(shù)在點處的切線方程即可作出判斷；對于C，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，，求出函數(shù)的最大值即可；對于D，問題等價于恒成立，設(shè)，，求出函數(shù)的最小值即可．【解答】

解：對于A，當(dāng)時，，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，故選項A正確；

對于B，當(dāng)時，，，，

函數(shù)在處的切線方程為，故選項B正確；

對于C，，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則在上恒成立，則在上恒成立，

令，，則，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，

，故選項C錯誤；

對于D，當(dāng)時，恒成立，此時；

當(dāng)時，恒成立等價于恒成立，

即，即恒成立，

設(shè)，，則在上恒成立，

在上單調(diào)遞減，

，故選項D錯誤．

故選12.【答案】

【解析】【分析】本題考查雙曲線的漸近線公式，屬于基礎(chǔ)題.

由雙曲線經(jīng)過

可求得

a

，從而即得漸近線方程.【解答】解：因為雙曲線

過點

，即有

，解得

或

舍，而

，故漸近線方程

，即

.故答案為：

13.【答案】

【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

利用復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)直接求解．【解答】

解：復(fù)數(shù)z滿足，

故答案為：14.【答案】4

；

【解析】【分析】本題考查四面體的體積，線面垂直的判定，屬于中檔題.

由勾股定理的逆定理得，，，由線面垂直的判定得平面BCD，則四面體的體積為把四面體ABCD可補成長方體，可得，即可得R，進而得四面體的外接球的體積.【解答】

解：在四面體ABCD，，，，，，，

，，，

，，，

又，平面BCD，平面BCD，

平面BCD，

四面體的體積為

由題，四面體ABCD可補成如圖所示的長方體，

又四面體外接球即為所補成長方體的外接球，

，

，

故答案為：15.【答案】解：因為是等差數(shù)列，可設(shè)首項為，公差為d，

由題意得：，

，

解得，

是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為

由，數(shù)列，是公差為2的等差數(shù)列，通項公式

所以，

從而可得

可得

【解析】本題主要考查等差數(shù)列，裂項相消法求和，屬于中檔題.

由等差數(shù)列通項，前n項和公式可得，，進而得的通項公式;

利用裂項相消法求和即可.16.【答案】解：證明：，平面PDC，平面PDC，

平面PDC，

，平面PDC，平面PDC，

平面PDC，

，AB、平面PDC，

平面平面PDC，

平面QAB，平面

解：以D為原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，

則，，，，

，，，，

設(shè)平面CPB的法向量，

則，取，得，

設(shè)平面PBD的法向量，

則，取，得，

，

設(shè)二面角的大小為，由圖知為銳角，

，

【解析】推導(dǎo)出平面PDC，，平面PDC，平面PDC，由此能證明平面

以D為原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的大?。?/p>

本題考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．17.【答案】解：設(shè)“聽力第一次考試合格”為事件，“聽力補考合格”為事件；“筆試第一次考試合格”為事件，“筆試補考合格”為事件

不需要補考就獲得證書的事件為，注意到與相互獨立，

則

答：該考生不需要補考就獲得證書的概率為

恰好補考一次的事件是

則

由已知得，，3，4，

注意到各事件之間的獨立性與互斥性，可得

參加考試次數(shù)的期望值

【解析】本題主要考查了相互獨立事件的概率的求解公式的運用：若事件A，B相互獨立，則A與，相互獨立；；還考查了對一些復(fù)雜事件的分解：即對一個事件分解成幾個互斥事件的和，本題是把相互獨立與互斥結(jié)合的綜合考查．

設(shè)“聽力第一次考試合格”為事件，“聽力補考合格”為事件；“筆試第一次考試合格”為事件，“筆試補考合格”為事件

不需要補考就獲得證書的事件為．，且與相互獨立，根據(jù)相互獨立事件的概率公式可求;

他恰好補考一次就獲得證書，即為事件，根據(jù)相互獨立事件與互斥事件的概率公式可求

由已知得，，3，4，而即為即為，即為18.【答案】解：依題意得，，，，

，解得，

，，，

故橢圓C的方程為；

假設(shè)存在滿足條件的點，

當(dāng)直線l與x軸垂直時，它與橢圓只有一個交點，不滿足題意.

因此直線l的斜率k存在，設(shè)l：，

由，消y得，則，所以，

設(shè)，則，，

，

要使對任意，為定值，則只有，此時，，故在x軸上存在點，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值

【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)和圓錐曲線的定值問題，屬于難題.

由求出a的值，再由離心率得出c，從而得到橢圓方程；

當(dāng)直線l與x軸垂直時，它與橢圓只有一個交點，不滿足題意，因此直線l的斜率k存在，設(shè)l：，聯(lián)立方程，由為定值，從而得出結(jié)論.19.【答案】解：Ⅰ當(dāng)時，，，

所以，

令，即，單調(diào)遞增；

令，即，單調(diào)遞減；

所以在處取得極大值即，無極小值．

Ⅱ，，

①當(dāng)時，恒成立，

所以在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，

當(dāng)時，，遞增；

當(dāng)時，，遞減．

綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；