專題08 一線三角型（原卷版）-2022-2023學年九年級數(shù)學相似三角形基本模型探究（北師大版）

專題08一線三角型【基本模型】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補充：其他常見的一線三等角圖形【例題精講】例1.如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點，使得AE⊥DE．(1)求證：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的長．例2．【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結CP，作，PE與邊BC交于點E，當是等腰三角形時，直接寫出AP的長．【變式訓練1】如圖，已知邊長為10的正方形ABCD，E是BC邊上一動點（與B、C不重合），連結AE，G是BC延長線上的點，過點E作AE的垂線交∠DCG的角平分線于點F，若FG⊥BG．（1）求證：△ABE∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面積；（3）當△CEF的面積最大時，求EC．【變式訓練2】如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長．【變式訓練3】如圖，矩形ABCD中，E為AD邊上一點（不與點A、D重合），EF⊥BE交CD于點F．（1）求證：EA·ED＝AB·DF；（2）若BE平分∠ABD，點G為BC中點，AG交BE于點K，H為AB邊上一點，∠BEH＝45°，BD交EF于點J，當＝時，求；（3）若AB＝BC，點K為線段BE的三等分點（BK＜EK），點J為射線EF上一點，且EK＝EJ，當＝_________時（直接寫結果），tan∠DJE＝．【課后訓練】1．如圖，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中點，連接AE，tan∠AEB，P是AD邊上一動點，沿過點P的直線將矩形折疊，使點D落在AE上的點處，當是直角三角形時，PD的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或2．如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E為邊AD上一個動點，連接BE，取BE的中點G，點G繞點E逆時針旋轉90°得到點F，連接CF，在點E從A到D的運動過程中，點G的運動路徑=________，△CEF面積的最小值是________．3．如圖，在矩形中，，，是邊上一點，連接，將沿折疊使點落在點，連接并延長交于點，連接．若是以為腰的等腰三角形，則的長為________．4．等邊△ABC邊長為6，P為BC上一點，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點落在點P上，使三角板繞P點旋轉．(1)如圖1，當P為BC的三等分點，且PE⊥AB時，判斷△EPF的形狀；(2)在（1）問的條件下，F(xiàn)E、PB的延長線交于點G，如圖2，求△EGB的面積；(3)在三角板旋轉過程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長．5．【推理】如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結BE，CF，延長CF交AD于點G．（1）求證：．【運用】（2）如圖2，在【推理】條件下，延長BF交AD于點H．若，，求線段DE的長．【拓展】（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結CF，延長CF，BF交直線AD于G，兩點，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．6．在中與中，，，將繞點順時針旋轉，連接，點分別是的中點，連接．（1）觀察猜想如圖1，當點與點重合時，與的數(shù)量關系是__________，位置關系是__________；（2）類比探究當點與點不重合時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請僅就圖2的情形給出證明；如果不成立，請說明理由．（3）問題解決在旋轉過程中，請直接寫出的面積的最大值與最小值．7．已知正方形的邊長為4，一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉，角的兩邊分別與邊、的延長線交于點E、F，連接．設．（1）如圖1，當被對角線平分時，求a、b的值；（2）當是直角三角形時，求a、b的值；（3）如圖3，探索繞點A旋轉的過程中，的面積是否發(fā)生變化？請說明理由．8．如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是對角線BD的中點，直角∠GEF的兩直角邊EF、EG分別交CD、BC于點F、G．（1）若點F是邊CD的中點，求EG的長．（2）當直角∠GEF繞直角頂點E旋轉，旋轉過程中與邊CD、BC交于點F、G．∠EFG的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出tan∠EFG的值．（3）當直角∠GEF繞頂點E旋轉，旋轉過程中與邊CD、BC所在的直線交于點F、G．在圖2中畫出圖形，并判斷∠EFG的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請直接寫出tan∠EFG的值．（4）如圖3，連接CE交FG于點H，若，請求出CF的長．9．如圖，長方形紙片ABCD中，AB＝8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD上的E點處，折痕的一端G點在邊BC上．（1）如圖1，當折痕的另一端F在AB邊上且AE＝