（復(fù)習(xí)課）2024年高中數(shù)學(xué)高二暑假講義01 平面向量（原卷版）

第第頁復(fù)習(xí)課高中數(shù)學(xué)高二暑假講義01平面向量【例題講解】例1.如圖所示，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up14(→))，P是BN上的一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up14(→))＝meq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up14(→))，則實(shí)數(shù)m的值為．例2.(1)已知點(diǎn)A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量eq\o(AB,\s\up14(→))在eq\o(CD,\s\up14(→))方向上的投影為()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2)D．－eq\f(3\r(15),2)(2)如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，eq\o(AM,\s\up14(→))＝2eq\o(MD,\s\up14(→)).若eq\o(AC,\s\up14(→))·eq\o(BM,\s\up14(→))＝－3，則eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AD,\s\up14(→))＝.向量數(shù)量積的求解策略(1)利用數(shù)量積的定義、運(yùn)算律求解．在數(shù)量積運(yùn)算律中，有兩個形似實(shí)數(shù)的完全平方公式在解題中的應(yīng)用較為廣泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述兩公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2這一類似于實(shí)數(shù)平方差的公式在解題過程中可以直接應(yīng)用．(2)借助零向量．即借助“圍成一個封閉圖形且首尾相接的向量的和為零向量”，再合理地進(jìn)行向量的移項(xiàng)以及平方等變形，求解數(shù)量積．(3)借助平行向量與垂直向量．即借助向量的拆分，將待求的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為有垂直向量關(guān)系或平行向量關(guān)系的向量數(shù)量積，借助a⊥b，則a·b＝0等解決問題．(4)建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算求解數(shù)量積．【例3】(1)設(shè)向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)，若a⊥(ma－b)，則m＝.(2)設(shè)a＝(2,0)，b＝(1，eq\r(,3))．①若(λa－b)⊥b，求λ的值；②若m＝λa＋μb，且|m|＝2eq\r(,3)，〈m，b〉＝eq\f(π,6)，求λ，μ的值．向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)；②a－b＝(a1－b1，a2－b2)；③λa＝(λa1，λa2)；④a·b＝a1b1＋a2b2；⑤a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2(λ∈R)，或eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)(b1≠0，b2≠0)；⑥a⊥b?a1b1＋a2b2＝0；⑦|a|＝eq\r(,a·a)＝eq\r(,a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))；⑧若θ為a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2,\r(,a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))\r(,b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2))).【例4】(1)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝()A．－4B．－3C．－2D．－1(2)設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4,1)．①若eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(CD,\s\up14(→))，求D點(diǎn)的坐標(biāo)．②設(shè)向量a＝eq\o(AB,\s\up14(→))，b＝eq\o(BC,\s\up14(→))，若ka－b與a＋3b平行，求實(shí)數(shù)k的值．1．證明共線問題常用的方法(1)向量a，b(a≠0)共線?存在唯一實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共線?x1y2－x2y1＝0.(3)向量a與b共線?|a·b|＝|a||b|.(4)向量a與b共線?存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0.2．證明平面向量垂直問題的常用方法a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．【例5】已知向量e1，e2，且|e1|＝|e2|＝1，e1與e2的夾角為eq\f(π,3).m＝λe1＋e2，n＝3e1－2e2.(1)求證：(2e1－e2)⊥e2；(2)若|m|＝|n|，求λ的值；(3)若m⊥n，求λ的值；(4)若m與n的夾角為eq\f(π,3)，求λ的值．1．解決向量模的問題常用的策略(1)應(yīng)用公式：|a|＝eq\r(x2＋y2)(其中a＝(x，y))．(2)應(yīng)用三角形或平行四邊形法則．(3)應(yīng)用向量不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(4)研究模的平方|a±b|2＝(a±b)2.2．求向量的夾角設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，兩向量夾角θ(0≤θ≤π)的余弦cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).課堂跟蹤訓(xùn)練1.已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．02.已知正方形ABCD的面積為2，點(diǎn)P在邊AB上，則eq\o(PD,\s\up14(→))·eq\o(PC,\s\up14(→))的最大值為()A.eq\f(\r(,6),2)B.eq\f(3,2)C．2D.eq\r(,2)3.已知A(－1，－1)，B(sinθ，cosθ)，C(2,5)三點(diǎn)共線，且θ≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)．求tanθ.4．已知c＝ma＋nb，c＝(－2eq\r(3)，2)，a⊥c，b與c的夾角為eq\f(2π,3)，b·c＝－4，|a|＝2eq\r(2)，求實(shí)數(shù)m，n的值及a與b的夾角θ.平面向量檢測卷一、單選題1．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知正方形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝（

）A．2 B．6 C．4 D．SKIPIF1<03．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．2 B．-2 C．6 D．-64．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形5．若平面四邊形ABCD滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該四邊形一定是（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形二、多選題6．下列向量中與SKIPIF1<0共線的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．關(guān)于平面向量，有下列四個命題，其中說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，則SKIPIF1<0C．非零向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0D．點(diǎn)SKIPIF1<0，與向量SKIPIF1<0同方向的單位向量為SKIPIF1<08．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的正弦值為SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0三、填空題9．點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為______．10．已知SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0____________．11．已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是___________．12．如圖，四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的動點(diǎn)，則SKIPIF1<0________，則SKIPIF1<0的最大值為________．四、解答題13．已知點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的坐標(biāo)；（2）若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0軸上一點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo).14.已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2,2eq\r(3))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))(λ2≠λ)．(1)求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))及eq\o(OA,\s\up6(→))在eq\o(OB,\s\up6(→))上的投影；(2)證明：A，B，C三點(diǎn)共線，并在eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))時，求λ的值；(3)求|eq\o(OC,\s\up6(→))|的最小值．15．已知向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的對應(yīng)關(guān)