人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊 第7章 §7.5 正態(tài)分布 同步課時(shí)講練（原卷版）

第第頁§7.5正態(tài)分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1.利用實(shí)際問題的頻率分布直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.2.了解變量落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率大小.3.會(huì)用正態(tài)分布去解決實(shí)際問題．知識點(diǎn)一正態(tài)曲線與正態(tài)分布1．我們稱f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，為正態(tài)密度函數(shù)，稱其圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．2．若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．3．若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積．思考1正態(tài)曲線f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈R中的參數(shù)μ，σ有何意義？答案μ可取任意實(shí)數(shù)，表示平均水平的特征數(shù)，E(X)＝μ；σ>0表示標(biāo)準(zhǔn)差，D(X)＝σ2.一個(gè)正態(tài)密度函數(shù)由μ，σ唯一確定，π和e為常數(shù)，x為自變量，x∈R.思考2若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則X是離散型隨機(jī)變量嗎？答案若X～N(μ，σ2)，則X不是離散型隨機(jī)變量，由正態(tài)分布的定義：P(a<X≤b)為區(qū)域B的面積，X可取(a，b]內(nèi)的任何值，故X不是離散型隨機(jī)變量，它是連續(xù)型隨機(jī)變量．知識點(diǎn)二正態(tài)曲線的特點(diǎn)1．對?x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．2．曲線與x軸之間的面積為1.3．曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱．4．曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).5．當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸．6．當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①.7．當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ較小時(shí)曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；σ較大時(shí)，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖②.知識點(diǎn)三正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值及3σ原則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.盡管正態(tài)變量的取值范圍是(－∞，＋∞)，但在一次試驗(yàn)中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則．1．正態(tài)曲線中參數(shù)μ，σ的意義分別是樣本的均值與方差．(×)2．正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的．(×)3．正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對稱．(√)4．若X～N(μ，σ2)，則P(X<μ)＝eq\f(1,2).(√)一、正態(tài)曲線例1(1)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線如圖所示，則總體的均值μ＝，方差σ2＝.(2)(多選)一次教學(xué)質(zhì)量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列說法中不正確的是()A．甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小B．丙科總體的平均數(shù)最小C．乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都比甲小，比丙大D．甲、乙、丙總體的平均數(shù)不相同反思感悟利用正態(tài)曲線的特點(diǎn)求參數(shù)μ，σ(1)正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱，由此特點(diǎn)結(jié)合圖象求出μ.(2)正態(tài)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))，由此特點(diǎn)結(jié)合圖象可求出σ.跟蹤訓(xùn)練1(多選)下面給出的關(guān)于正態(tài)曲線的4個(gè)敘述中，正確的有()A．曲線在x軸上方，且與x軸不相交B．當(dāng)x>μ時(shí)，曲線下降，當(dāng)x<μ時(shí)，曲線上升C．當(dāng)μ一定時(shí)，σ越小，總體分布越分散，σ越大，總體分布越集中D．曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，且當(dāng)x＝μ時(shí)，位于最高點(diǎn)二、利用正態(tài)分布求概率例2設(shè)ξ～N(1,22)，試求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3≤ξ≤5)．延伸探究若本例條件不變，求P(ξ>5)．反思感悟利用正態(tài)分布的對稱性求概率由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等．跟蹤訓(xùn)練2已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)等于()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2三、正態(tài)分布的應(yīng)用例3有一種精密零件，其尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布N(20,4)．若這批零件共有5000個(gè)，試求：(1)這批零件中尺寸在18～22mm間的零件所占的百分比；(2)若規(guī)定尺寸在24～26mm間的零件不合格，則這批零件中不合格的零件大約有多少個(gè)？反思感悟求正態(tài)變量X在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法(1)根據(jù)題目中給出的條件確定μ與σ的值．(2)將待求問題向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化．(3)利用X在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練3在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)在已知該班同學(xué)中成績在80～85分的有17人，該班成績在90分以上的同學(xué)有多少人？根據(jù)對稱性求正態(tài)曲線在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率典例已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)等于()A．0.477B．0.954C．0.628D．0.977[素養(yǎng)提升]借助圖象較直觀的分析出P(ξ>2)與P(－2≤ξ≤2)概率的關(guān)系，提升了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)．1．設(shè)有一正態(tài)總體，它的正態(tài)曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝eq\f(1,\r(8π))，則這個(gè)正態(tài)總體的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是()A．10與8 B．10與2C．8與10 D．2與102．正態(tài)分布N(0,1)在區(qū)間(－2，－1)和(1,2)上取值的概率為P1，P2，則二者大小關(guān)系為()A．P1＝P2B．P1<P2C．P1>P2D．不確定3．已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.45%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%4．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，則c＝.5．在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則X在(0,2)內(nèi)取值的概率為．1．知識清單：(1)正態(tài)曲線及其特點(diǎn)．(2)正態(tài)分布．(3)正態(tài)分布的應(yīng)用，3σ原則．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合．3．常見誤區(qū)：概率區(qū)間轉(zhuǎn)化不等價(jià)．1．關(guān)于正態(tài)分布N(μ，σ2)，下列說法正確的是()A．隨機(jī)變量落在區(qū)間長度為3σ的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件B．隨機(jī)變量落在區(qū)間長度為6σ的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件C．隨機(jī)變量落在[－3σ，3σ]之外是一個(gè)小概率事件D．隨機(jī)變量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一個(gè)小概率事件2．(多選)已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)φi(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))(x∈R，i＝1,2,3)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()A．σ1＝σ2 B．μ1>μ2C．μ1＝μ2 D．σ2<σ33．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ<4)＝0.84，則P(ξ≤0)等于()A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.844．若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線上的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))，則該隨機(jī)變量的方差等于()A．10B．100C.eq\f(2,π)D.eq\r(\f(2,π))5.如圖所示是當(dāng)σ取三個(gè)不同值σ1，σ2，σ3的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖象，那么σ1，σ2，σ3的大小關(guān)系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ36．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，則實(shí)數(shù)a的值為．7．已知隨機(jī)變量X～N(2，σ2)，如圖所示，若P(X<a)＝0.32，則P(a≤X≤4－a)＝.8．已知X～N(4，σ2)，且P(2<X<6)≈0.6827，則σ＝，P(|X－2|<4)＝.9．已知隨機(jī)變量X～N(3，σ2)，且P(2≤X≤4)＝0.68，求P(X>4)的值．10．一投資者在兩個(gè)投資方案中選擇一個(gè)，這兩個(gè)投資方案的利潤X(萬元)分別服從正態(tài)分布N(8,32)和N(7,12)，投資者要求“利潤超過5萬元”的概率盡量大，那么他應(yīng)該選擇哪一個(gè)方案？11．在某市2020年3月份的高三線上質(zhì)量檢測考試中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(98,100)．已知參加本次考試的全市學(xué)生有9455人，如果某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績是108分，那么他的數(shù)學(xué)成績大約排在全市第()A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名12．一批電阻的電阻值X(單位：Ω)服從正態(tài)分布N(1000,52)，現(xiàn)從甲、乙兩箱出廠的成品中各隨機(jī)抽取一個(gè)電阻，測得電阻值分別為1011Ω和982Ω，可以認(rèn)為()A．甲、乙兩箱電阻均可出廠B．甲、乙兩箱電阻均不可出廠C．甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠D．甲箱電阻不可出廠，乙箱電阻可出廠13．某工廠生產(chǎn)一種螺栓，在正常情況下，螺栓的直徑X(單位：mm)服從正態(tài)分布X～N(100,1)．現(xiàn)加工10個(gè)螺栓的尺寸(單位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.根據(jù)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，概率低于0.003視為小概率事件，工人隨機(jī)將其中的8個(gè)交與質(zhì)檢員檢驗(yàn)，則質(zhì)檢員認(rèn)為設(shè)備需檢修的概率為()A.eq\f(44,45)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(41,45)14．已知隨機(jī)變量X～N(2,22)，且aX＋b(a>0)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則a＝，b＝.15．(多選)設(shè)X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對任意正數(shù)t，P(X≤t)>P(Y≤t)D．對任意正數(shù)t，P(X>t)>P(Y>t)16．十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康．經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加，為了制定提升農(nóng)民收入力爭早日脫貧的工作計(jì)劃，該地扶貧辦統(tǒng)計(jì)了2019年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)50位農(nóng)民的年平均收入eq\x\to(x)(單位：千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示)；(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民收入X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為年平均收入eq\x\to(x)，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計(jì)算得s2＝6.92，利用該正態(tài)分布，求：①在扶貧