4.1.6直角三角形的性質(zhì)

第1頁（共1頁）一．選擇題（共23小題）1．（2009秋?東陽市期末）如圖，∠BAC=90°，AD⊥BC，則圖中互余的角有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對【分析】此題直接利用直角三角形兩銳角之和等于90°的性質(zhì)即可順利解決．【解答】解：∵∠BAC=90°∴∠B+∠C=90°①；∠BAD+∠CAD=90°②；又∵AD⊥BC，∴∠BDA=∠CDA=90°，∴∠B+∠BAD=90°③；∠C+∠CAD=90°④．故共4對．故選：C．【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)互余定義，找到和為90°的兩個角即可．2．（2005?昆山市自主招生）一個三角形三邊的長是6，8，10，同時平分這個三角形周長和面積的直線有（）條．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形．應分情況討論：（1）若直線過△ABC的某個頂點；（2）若直線交△ABC的某兩條邊．【解答】解：（1）若直線過△ABC的某個頂點．如圖，假設直線過點A．如果直線平分△ABC的面積，則有BN=NC，此時，AC＞AB，所以周長相等不可能．同理直線過B、C也不存在；（2）若直線交AB、BC于點M、N．如圖，設BN=x，則BM=12﹣x，作MD⊥BC，由Rt△MBD∽Rt△ABC，可得MD=；根據(jù)S△MBN=MD?BN=S△ABC，得BN=6+，BM=6﹣，即這樣的直線存在，且只有一條，綜上，同時平分這個三角形周長和面積的直線有1條．故選：A．【點評】此題主要分情況考慮．分析的時候，首先保證符合其中一個條件，再進一步看是否滿足另一個條件．3．（2016秋?拱墅區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A﹣∠B=70°，則∠A的度數(shù)為（）A．80° B．70° C．60° D．50°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠A+∠B=90°，然后與∠A﹣∠B=70°聯(lián)合求解即可．【解答】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，又∠A﹣∠B=70°，∴∠A=（90°+70°）=80°．故選：A．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，主要利用了直角三角形兩銳角互余．4．（2016秋?東方期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=61°，則∠B=（）A．61° B．39° C．29° D．19°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可解決問題；【解答】解：Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=61°，∴∠B=90°﹣∠A=29°，故選：C．【點評】本題考查直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是記住直角三角形兩銳角互余．5．（2016秋?三亞校級期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，則∠B=（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)進行解答．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，∴∠A+∠B=90°（直角三角形的兩個銳角互余），∴∠B=40°．故選：B．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)．解答該題時利用了直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余．6．（2017春?南崗區(qū)校級期中）直角三角形兩個銳角平分線相交所成角的度數(shù)為（）A．90° B．135° C．120° D．45°或135°【分析】根據(jù)題意可以求得直角三角形兩個銳角平分線相交所成角的度數(shù)，本題得以解決．【解答】解：直角三角形兩個銳角平分線相交所成角的度數(shù)為：180°﹣90°×0.5=180°﹣45°=135°或180°﹣135°=45°，故選：D．【點評】本題考查直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確直角三角形的兩個銳角互余．7．（2017春?府谷縣期中）在△ABC中，若∠B與∠C互余，則△ABC是（）三角形．A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【分析】根據(jù)互為余角的兩個角的和等于90°可得∠B+∠C=90°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠A=90°，即可判斷△ABC的形狀．【解答】解：∵∠B與∠C互余，∴∠B+∠C=90°，在△ABC中，∠A=180°﹣（∠B+∠C）=180°﹣90°=90°，∴△ABC是直角三角形．故選：B．【點評】本題考查了直角三角形的定義，互余的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟記概念和定理是解題的關鍵．8．（2017春?汝城縣校級期中）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，則∠A=（）A．60° B．30° C．50° D．40°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠A+∠B=90°，再代入∠B的度數(shù)可得∠A的度數(shù)．【解答】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠B=40°，∴∠A=50°，故選：C．【點評】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關鍵是掌握在直角三角形中，兩個銳角互余．9．（2017秋?大石橋市校級月考）如圖，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=40°，則∠D的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠AEB的度數(shù)，根據(jù)對頂角相等求出∠DEC，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余計算即可．【解答】解：∵AB⊥BD，∠A=40°，∴∠AEB=50°，∴∠DEC=50°，又AC⊥CD，∴∠D=40°，故選：A．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩個銳角互余是解題的關鍵．10．（2016?宜興市三模）在一個直角三角形中，有一個銳角等于40°，則另一個銳角的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解．【解答】解：∵直角三角形中，一個銳角等于40°，∴另一個銳角的度數(shù)=90°﹣40°=50°．故選：B．【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．11．（2016?石家莊校級模擬）如圖，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，直尺與OC垂直，則∠1等于（）A．60° B．70° C．50° D．40°【分析】由平行線的性質(zhì)和對頂角相等得出∠1=∠2=∠3，由角平分線的定義求出∠AOC=∠AOB=20°，由直角三角形的性質(zhì)求出∠3=70°，即可得出∠1的度數(shù)．【解答】解：如圖所示：根據(jù)題意得：∠1=∠2=∠3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠AOB=20°，∴∠3=90°﹣20°=70°，∴∠1=70°；故選：B．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)；熟練掌握平行線的性質(zhì)，求出∠1=∠3是解決問題的關鍵．12．（2016春?祁陽縣期末）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=36°，則∠A=（）A．44° B．34° C．54° D．64°【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，即可得出∠A的度數(shù)．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=36°，∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣36°=54°，故選：C．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余；熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．13．（2015秋?嵊州市期末）在一個直角三角形中，有一個銳角等于60°，則另一個銳角的度數(shù)是（）A．75° B．60° C．45° D．30°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)列式進行計算即可得解．【解答】解：∵在一個直角三角形中，有一個銳角等于60°，∴另一個銳角的度數(shù)是90°﹣60°=30°．故選：D．【點評】本題主要考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，是基礎題，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．14．（2015秋?東昌府區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，∠ABC的平分線BE分別交CD、CA于點F、E，則下列結(jié)論正確的有（）①∠CFE=∠CEF；②∠FCB=∠FBC，③∠A=∠DCB；④∠CFE與∠CBF互余．A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【分析】①利用外角的性質(zhì)可得∠1=∠A+∠6，∠2=∠4+∠5，由角平分線的性質(zhì)可得：∠5=∠6，由同角的余角相等可得：∠A=∠4，進而可得∠1=∠2，即∠CFE=∠CEF；②采用分析法，若∠FCB=∠FBC，即∠4=∠5，由（1）可知：∠A=∠4，進而∠A=∠5=∠6，然后由直角三角形兩銳角互余可得∠A=30°，即只有當∠A=30°時，∠FCB=∠FBC而已知沒有這個條件；③由同角的余角相等可得：∠A=∠4，即∠A=∠DCB；④由∠1=∠2，∠1與∠5互余，可得∠2與∠5互余，即：∠CFE與∠CBF互余．【解答】解：如圖所示，①∵BE平分∠ABC，∴∠5=∠6，∵∠3+∠4=90°，∠A+∠3=90°，∴∠A=∠4，∵∠1=∠A+∠6，∠2=∠4+∠5，∠1=∠2，故∠CFE=∠CEF，所以①正確；②若∠FCB=∠FBC，即∠4=∠5，由（1）可知：∠A=∠4，∴∠A=∠5=∠6，∵∠A+∠5+∠6=180°，∴∠A=30°，即只有當∠A=30°時，∠FCB=∠FBC而已知沒有這個條件，故②錯誤；③∵∠3+∠4=90°，∠A+∠3=90°，∴∠A=∠4，即∠A=∠DCB，故③正確；④∵∠1=∠2，∠1+∠5=90°，∴∠2+∠5=90°，即：∠CFE與∠CBF互余，故④正確．故選：A．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，利用阿拉伯數(shù)字加弧線表示角更形象．15．（2016春?哈爾濱校級期中）直角三角形兩個銳角平分線相交所成的鈍角的度數(shù)為（）A．90° B．135° C．120° D．45°或135°【分析】本題可根據(jù)直角三角形內(nèi)角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和為180°進行求解．【解答】解：如圖：∵AE、BD是直角三角形中兩銳角平分線，∴∠OAB+∠OBA=90°÷2=45°，兩角平分線組成的角有兩個：∠BOE與∠EOD這兩個角互補，根據(jù)三角形外角和定理，∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°，∴∠EOD=180°﹣45°=135°，故選：B．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，熟知直角三角形的性質(zhì)是解答此題的關鍵．16．（2016春?云溪區(qū)校級期中）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=36°，則∠A的度數(shù)是（）A．44° B．36° C．54° D．64°【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，即可得出∠A的度數(shù)．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=36°，∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣36°=54°；故選：C．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余；熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．17．（2016秋?鄒平縣期中）直角三角形的兩個銳角平分線的夾角是（）A．45° B．135°C．45°或135° D．由兩個銳角的大小決定【分析】如圖，∠ACB=90°，OA、OB分別平分∠BAC和∠ABC，利用角平分線的定義得到∠OAB=BAC，∠OBA=∠ABC，則∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC），再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠BAC+∠ABC=90°，則∠OAB+∠OBA=45°，所以∠AOB=135°，然后利用兩直線的夾角為銳角可判定直角三角形的兩個銳角平分線的夾角是45°．【解答】解：如圖，∠ACB=90°，OA、OB分別平分∠BAC和∠ABC，∵OA、OB分別平分∠BAC和∠ABC，∴∠OAB=BAC，∠OBA=∠ABC，∴∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC），∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠OAB+∠OBA=45°，∴∠AOB=180°﹣45°=135°，∴直角三角形的兩個銳角平分線的夾角是135°或45°．故選：B．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和是解題的關鍵．18．（2016春?祁陽縣校級期中）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，則∠A的度數(shù)是（）A．66° B．36° C．56 D．46°【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，即可得出∠A的度數(shù)．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣54°=36°；故選：B．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余；熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．19．（2016秋?重慶期中）已知直角三角形中一個銳角為30°，則另一個銳角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解．【解答】解：∵直角三角形一個銳角為30°，∴另一個銳角=90°﹣30°=60°．故選：C．【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．20．（2016秋?保亭縣月考）在Rt△ABC中，∠A=30°，則另一個銳角，∠B=（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】根據(jù)在直角三角形中兩個銳角互余；【解答】解：另一個銳角=90°﹣30°=60°，故選：C．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)：兩個銳角互余．21．（2015春?冷水江市校級期末）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=44°，則∠A=（）A．66° B．36° C．56° D．46°【分析】直接根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=44°，∴∠A=90°﹣44°=46°．故選：D．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，熟知直角三角形的兩銳角互補是解答此題的關鍵．22．（2015春?祁陽縣期末）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，則∠A=（）A．44° B．34° C．54° D．64°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=46°，∴∠A=90°﹣46°=44°．故選：A．【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，是基礎題，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．23．（2014秋?江東區(qū)期末）如圖，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠BAD=30°，則∠C的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ADB=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠B=60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠BAD=30°，∴∠B=60°，∵∠BAC=90°，∴∠C=30°，故選：A．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟記直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．二．填空題（共20小題）24．（2007?包頭）如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6．沿DE折疊，使得點A與點B重合，則折痕DE的長為2．【分析】本題給出了折疊要注意找準相等的量，題目利用折痕和角平分線的性質(zhì)即可求得．【解答】解：由題意可得，BE平分∠ABC，DE=CE又∠A=30°，AC=6可得DE=AE∴DE=（6﹣DE）則DE=2．故答案為2．【點評】本題主要考查平分線的性質(zhì)，由已知能夠注意到DE=AE是解決的關鍵．25．（2017秋?金東區(qū)期末）若直角三角形的兩個銳角之差為34°，則此三角形較小銳角的度數(shù)為28°．【分析】根據(jù)直角三角形中兩銳角和為90°，再根據(jù)兩個銳角之差為34°，設其中一個角為x，則另一個為90°﹣x，即可求出最小的銳角度數(shù)．【解答】解：∵兩個銳角和是90°，∴設一個銳角為x，則另一個銳角為90°﹣x，∵一個直角三角形兩個銳角的差為34°，得：90°﹣x﹣x=34°，得：x=28°，∴較小的銳角的度數(shù)是28°．故答案為：28°．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，兩銳角和為90°，關鍵是根據(jù)兩銳角的關系設出未知數(shù)，列出方程．26．（2017?株洲）如圖示在△ABC中∠B=25°．【分析】由直角三角形的兩個銳角互余即可得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣65°=25°；故答案為：25°．【點評】本題考查了直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)；熟記直角三角形的性質(zhì)是解決問題的關鍵．27．（2016秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）在直角三角形中，一個銳角為57°，則另一個銳角為33°．【分析】利用直角三角形的兩銳角互余可求得答案．【解答】解：∵直角三角形的兩銳角互余，∴另一銳角=90°﹣57°=33°，故答案為：33°．【點評】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關鍵．28．（2016秋?建甌市期末）在直角三角形中，若一個銳角為35°，則另一個銳角為55°．【分析】直接根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵在直角三角形中，一個銳角為35°，∴另一個銳角=90°﹣35°=55°．故答案為：55°．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，熟知在直角三角形中，兩個銳角互余是解答此題的關鍵．29．（2016秋?七里河區(qū)校級期末）如圖所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，則∠B=∠DAC，∠C=∠BAD．【分析】先根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠B+∠C=90°，再由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°，那么根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠DAC+∠C=90°，∠B+∠BAD=90°，然后根據(jù)同角的余角相等即可得到∠B=∠DAC，∠C=∠BAD．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∵AD⊥BC于點D，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠B+∠BAD=90°，∴∠B=∠DAC，∠C=∠BAD．故答案為DAC，BAD．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，三角形的高，掌握直角三角形中，兩個銳角互余是解題的關鍵．30．（2017秋?沂水縣期中）如圖△ABC中，∠A：∠B=1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD=75°，則∠D=40°．【分析】先根據(jù)∠FCD=60°及三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)及∠A：∠B=1：2可求出∠A的度數(shù)，再由DE⊥AB及三角形內(nèi)角和定理解答可求出∠AFE的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．【解答】解：∵∠FCD=75°，∴∠A+∠B=75°，∵∠A：∠B=1：2，∴∠A=×75°=25°，∵DE⊥AB于E，∴∠AFE=90°﹣∠A=90°﹣25°=65°，∴∠CFD=∠AFE=65°，∵∠FCD=75°，∴∠D=180°﹣∠CFD﹣∠FCD=180°﹣65°﹣75°=40°．故答案為：40°【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，垂直定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)的應用，關鍵是求出∠DFC的度數(shù)．31．（2017秋?湖州期中）直角三角形ABC中有一個角是另一角的2倍小60°，則直角三角形中最小的角的度數(shù)為40°或15°．【分析】設直角三角形中一個銳角為x，另一個銳角為2x﹣60°，根據(jù)兩個銳角之和為90度即可求出答案．【解答】解：①當這兩個角是銳角，設直角三角形中一個銳角為x，另一個銳角為2x﹣60°，根據(jù)兩個銳角之和為90°可得，x+2x﹣60°=90°，解的x=50°，較小角為90°﹣50°=40°，②設直角三角形中一個銳角為x，則有2x﹣60=90°，x=75°，∴另一個銳角為15°，較小的角為15°故答案為40°或15°．【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握直角三角形中兩個銳角之和為90°，此題基礎題．32．（2017春?銅山區(qū)期中）如圖，已知∠AON=40°，OA=6，點P是射線ON上一動點，當△AOP為直角三角形時，∠A=50或90°．【分析】分別從若AP⊥ON與若PA⊥OA去分析求解，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案．【解答】解：當AP⊥ON時，∠APO=90°，則∠A=50°，當PA⊥OA時，∠A=90°，即當△AOP為直角三角形時，∠A=50或90°．故答案為：50或90．【點評】此題考查了直角三角形的性質(zhì)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應用．33．（2017春?灌陽縣期中）直角三角形中兩銳角平分線相交所成的角的度數(shù)是45°或135°．【分析】作出圖形，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABC+∠BAC=90°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠OAB+∠OBA=（∠ABC+∠BAC），然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠AOE，即為兩角平分線的夾角．【解答】解：如圖，∠ABC+∠BAC=90°，∵AD、BE分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，∴∠OAB+∠OBA=（∠ABC+∠BAC）=45°，∴∠AOE=∠OAB+∠OBA=45°，∴∠AOB=135°∴兩銳角的平分線的夾角是45°或135°，故答案為：45°或135°【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關鍵．34．（2017春?寶豐縣校級月考）在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=46°，則∠A的度數(shù)為44°．【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠A+∠B=90°，再代入∠A的度數(shù)可得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠B=46°，∴∠A=90°﹣46°=44°，故答案為：44°．【點評】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關鍵是掌握在直角三角形中，兩個銳角互余．35．（2017春?江陰市校級月考）直角△ABC中，∠A﹣∠B=20°，則∠C的度數(shù)是20°或90°．【分析】分∠A是直角或者∠C是直角兩種情況，進而求出∠C的度數(shù)．【解答】解：若∠A是直角時，∵△ABC是直角三角形，∠A﹣∠B=20°，∴∠B=70°，∴∠C=20°，若∠C是直角，∠A=55°，∠B=35°，滿足題意，即∠C的度數(shù)是20°或90°，故答案為20°或90°．【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是利用分類討論的思想．36．（2017春?平南縣月考）已知直角三角形的一個銳角為40°，則它的另一個銳角的度數(shù)為50°．【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，得另一個銳角的度數(shù)．【解答】解：∵直角三角形的兩個銳角互余，而一個銳角為40°，∴另一個銳角的度數(shù)為90°﹣40°=50°．故答案為50°【點評】此題考查了直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余．在計算的時候要細心．37．（2016?南安市模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，則∠B=50°．【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°．故答案為50．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，兩個銳角互余是解題的關鍵．38．（2016春?睢寧縣期末）若一直角三角形的兩個銳角的差是20°，則其較大銳角的度數(shù)是55°．【分析】設較大的銳角度數(shù)是x°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余表示出較小的銳角，然后列出方程求解即可．【解答】解：設較大的銳角度數(shù)是x°，則較小的銳角為（90﹣x）°，由題意得，x﹣（90﹣x）=20，解得x=55，即較大銳角的度數(shù)是55°．故答案為：55°．【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并列出方程是解題的關鍵．39．（2015秋?金東區(qū)期末）若直角三角形的兩個銳角之差為25°，則較小角的度數(shù)為32.5°．【分析】根據(jù)直角三角形中兩銳角和為90°，再根據(jù)兩個銳角之差為25°，設其中一個角為x，則另一個為90°﹣x，即可求出最小的銳角度數(shù)．【解答】解：∵兩個銳角和是90°，∴設一個銳角為x，則另一個銳角為90°﹣x，∵一個直角三角形兩個銳角的差為25°，得：90°﹣x﹣x=25°，得：x=32.5°，∴較小的銳角的度數(shù)是32.5°．故答案為：32.5°．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，兩銳角和為90°，關鍵是根據(jù)兩銳角的關系設出未知數(shù)，列出方程．40．（2016春?湘潭期末）如圖，一張長方形紙片，剪去一部分后得到一個三角形，則圖中∠1+∠2的度數(shù)是90°．【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余解答．【解答】解：由題意得，剩下的三角形是直角三角形，所以，∠1+∠2=90°．故答案為90°．【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．41．（2016秋?鄒平縣期末）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，BC=3cm，AB=6cm．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】解：如圖：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A∴∠A+∠B=90°∴∠A=30°，∠B=60°∴=，∵BC=3cm，∴AB=2×3=6cm．故答案為：6．【點評】此題較簡單，只要熟記30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可解答．42．（2016秋?鄞州區(qū)校級期中）在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=3∠B，則∠B=22.5°．【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余列方程求解即可．【解答】解：∵∠C=Rt∠，∴∠A+∠B=90°，∵∠A=3∠B，∴3∠B+∠B=90°，解得∠B=22.5°．故答案為：22.5．【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并列出關于∠B的方程是解題的關鍵．43．（2016秋?新化縣期中）如圖，在直角三角形ABC中，兩銳角平分線AM、BN所夾的鈍角∠AOB=135度．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的定義即可解答．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC+∠ABC=90°，又∵AM，BN為∠BAC，∠ABC的角平分線，∴∠CAM+∠NBC=45°，∴∠AOB=180°﹣（∠CAM+∠NBC）=135°，∴∠AOB=135°．故答案為：135【點評】本題考查的是角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理．三角形內(nèi)角和等于180°．三．解答題（共7小題）44．（2009秋?甘井子區(qū)期末）如圖1，在△ABC與△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AB=BD，M、M′分別為AB、BD中點．（1）探索CM與EM′有怎樣的數(shù)量關系？請證明你的結(jié)論；（2）如圖2，連接MM′并延長交CE于點K，試判斷CK與EK之間的數(shù)量關系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)線段中點的概念和已知的AB=BD，得BM=DM′；在△BCM與△DEM′中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AB=BD，可得Rt△BCM≌Rt△DEM′，則CM=EM′；（2）延長MK至L，使KL=MM'，連接LE，先證明△CMK≌△EM′L后即可得出答案；【解答】解：（1）CM=EM′．證明：根據(jù)線段中點的概念和已知的AB=BD，得BM=DM′；在Rt△BCM與Rt△DEM′中，，∴Rt△BCM≌Rt△DEM′（HL），∴CM=EM′；（2）CK=KE．理由如下：如圖2，延長MK至L，使KL=MM'，連接LE，則KL+KM′=MM'+KM′，即KM=LM′，由（1）可知CM=EM′，∵BD=AB，M是AB的中點，M'是BD的中點，∴BM=BM′，∴∠BMM′=∠BM′M，由（1）知Rt△BCM≌Rt△DEM′，∴∠BMC=∠EM′D，∴∠CMK=∠KM′E，在△CMK和△EM′L中∴△CMK≌△EM′L（SAS），∴CK=EL，又∵∠CKM=∠LKE=∠KLE，∴KE=LE，∴CK=KE．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)及三角形的角平分線，中線和高，難度較大，關鍵是巧妙作輔助線證明三角形全等．45．（2016秋?余干縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點，且∠ACD=∠B，求證：CD⊥AB．【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得：∠A+∠B=90°，則∠A+∠ACD=90°，由三角形內(nèi)角和及垂直定義可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)、垂直的定義及余角的性質(zhì)，屬于基礎題，熟練掌握同角或等角的余角相等是關鍵．46．（2017春?邵陽縣期中）已知：如圖所示，Rt△ABC