第1章滲流理論基礎(chǔ)

1第1章滲流理論基礎(chǔ)河北工程大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院2講課內(nèi)容1.1滲流的基本概念1.2滲流基本定律1.3巖層透水特征分類1.4突變界面的水流折射和等效滲透系數(shù)1.5流網(wǎng)1.6滲流的連續(xù)性方程3講課內(nèi)容1.7承壓水運動的基本微分方程1.8越流含水層（半承壓含水層）中地下水非穩(wěn)定運動的基本微分方程1.9潛水運動的基本微分方程1.10定解條件1.11描述地下水運動的數(shù)學(xué)模型及其解法41.1滲流的基本概念1.1.1地下水在含水巖石中的運動在地下水動力學(xué)中，把具有孔隙的巖石稱為多孔介質(zhì)。含有孔隙水的巖層，如砂層或疏松砂巖等稱為孔隙介質(zhì)，也稱多孔介質(zhì)。含裂隙水的巖石，如裂隙發(fā)育的石英巖、花崗巖等稱為裂隙介質(zhì)。廣義地說，可以把孔隙介質(zhì)、裂隙介質(zhì)和某些巖溶不十分發(fā)育的由石灰?guī)r和白云巖組成的介質(zhì)都稱為多孔介質(zhì)。

51.1滲流的基本概念在多孔介質(zhì)中，固、液、氣三相都可能存在。固相的稱為骨架。氣相的空氣主要存在于非飽和帶中。液相的地下水可能以吸著水、薄膜水、毛管水和重力水等多種形式存在。吸著水和薄膜水的運動屬于專門課題，主要研究重力水的運動。61.1滲流的基本概念

1.1.2地下水和多孔介質(zhì)的性質(zhì)

1）地下水的狀態(tài)方程在等溫條件下，水的壓縮系數(shù)為：

71.1滲流的基本概念

2）多孔介質(zhì)的某些性質(zhì)（1）多孔介質(zhì)的孔隙性孔隙度是指孔隙體積和多孔介質(zhì)總體積之比。這里的孔隙體積Vv是指孔隙的總體積，不管這些孔隙是否對地下水運動有意義。從地下水運動的角度來看，只有那些相互連通的孔隙才是有意義的。81.1滲流的基本概念對于細粒土，如一些粘性土，因為顆粒表面的結(jié)合水占據(jù)了相當(dāng)一部分孔隙空間，所以對地下水運動有效的孔隙要比總的孔隙為少?；ハ噙B通的、不為結(jié)合水所占據(jù)的那一部分孔隙稱為有效孔隙。有效孔隙體積與多孔介質(zhì)總體積之比稱為有效孔隙度ne。即：91.1滲流的基本概念還有一種特殊類型的孔隙，稱為死端孔隙（圖1-1)。101.1滲流的基本概念從地下水運動的角度來說，這種孔隙是無效的。其中的水在疏干時能排出，對于排水來說是有效的。研究地下水運動時所指的有效孔隙度和研究排水時所指的有效孔隙度（即給水度）是不完全相同的。111.1滲流的基本概念

（2）多孔介質(zhì)的壓縮性在天然條件下，一定深度處的多孔介質(zhì)。要受到上覆巖層荷重的壓力。設(shè)作用在該介質(zhì)表面的壓強為δ；如果壓強δ增加，要引起多孔介質(zhì)的壓縮。和水的壓縮系數(shù)β類似，多孔介質(zhì)壓縮系數(shù)a的表達式為：121.1滲流的基本概念

1.1.3貯水率和貯水系數(shù)作用于骨架上力的增加會引起含水層的壓縮，而水壓力的減少將導(dǎo)致水的膨脹。含水層本來就充滿了水，骨架的壓縮和水的膨脹都會引起水從含水層中釋出，前者就象用手擠壓充滿了水的海綿會擠出水一樣。131.1滲流的基本概念為了討論水頭降低時含水層釋出水的特征，取面積為1m2

、厚度為1m（即體積為1m3）的含水層，考察當(dāng)水頭下降1m時釋放的水量。

式中稱為貯水率或釋水率。其量綱為〔L-1〕。141.1滲流的基本概念由于水頭降低引起的含水層釋水現(xiàn)象稱為彈性釋水。相反，當(dāng)水頭升高時，會發(fā)生彈性貯存過程。把貯水率乘上含水層厚度M，稱為貯水系數(shù)或釋水系數(shù)。它表示在面積為1個單位、厚度為含水層全厚度M的含水層柱體中，當(dāng)水頭改變一個單位時彈性釋放或貯存的水量，無量綱。

151.1滲流的基本概念

161.1滲流的基本概念大部分承壓含水層的貯水系數(shù)在10-3

到10-5之間。潛水含水層的給水度值一般為0.05~0.25

。砂質(zhì)潛水含水層貯水率的數(shù)量級是10-7cm-1。由此可知，潛水含水層的重力釋水量要比彈性釋水量大幾個數(shù)量級。因此，在潛水計算中，可忽略彈性釋水量，只考慮重力釋水量。

171.1滲流的基本概念必須區(qū)別彈性釋水和重力排水的不同特點。潛水含水層被疏干時，大部分水是在重力作用下排出的。因疏干不僅限于水位變動帶，故給水度值不僅與這個帶的巖性有關(guān)，而且還與包氣帶排水部分的巖性有關(guān)。承壓含水層則是減壓造成的彈性釋放，故貯水系數(shù)值應(yīng)與整個含水層和水的彈性性質(zhì)有關(guān)。

181.1滲流的基本概念一般假設(shè)彈性釋放是在瞬時完成的，并假設(shè)不隨時間變化。潛水含水層的重力疏干則不同，地下水位下降所引起的水量釋放有一個過程。

191.1滲流的基本概念當(dāng)含水層水位下降較快時，由于飽水帶中水分的運動滯后于地下水位的降落速度，因而被疏干部分所含的水不是隨著地下水位的下降同時排出的。在較短的時間內(nèi)，從土層中釋放出的水量遠小于土層被疏干后全部釋放的水量，存在著滯后疏干現(xiàn)象，即隨著排水時間的長短不同，測出的給水度值也不同。當(dāng)水位急劇下降時，上述現(xiàn)象更為明顯。

201.1滲流的基本概念給水度為時間的函數(shù)。排水時間越長，給水度越大，并逐漸趨近于一個固定值〔圖1-3（c）〕。一般所指的給水度就是指重力排水結(jié)束時所測得的給水度值。在實際工作中，由于排水時間不夠長，測出的給水度值往往小于所給出的值。

211.1滲流的基本概念

1.1.4滲流地下水是沿著一些形狀不一、大小各異、彎彎曲曲的通道流動的〔如圖1-4（a）所示〕。因此，研究個別孔隙或裂隙中地下水的運動很困難，實際上也無此必要。因此，人們不去直接研究單個地下水質(zhì)點的運動特征，而研究具有平均性質(zhì)的滲透規(guī)律。221.1滲流的基本概念

四、滲流地下水是沿著一些形狀不一、大小各異、彎彎曲曲的通道流動的〔如圖1-4（a）所示〕。因此，研究個別孔隙或裂隙中地下水的運動很困難，實際上也無此必要。因此，人們不去直接研究單個地下水質(zhì)點的運動特征，而研究具有平均性質(zhì)的滲透規(guī)律。231.1滲流的基本概念實際的地下水流僅存在于空隙空間。為了便于研究，用一種假想水流來代替真實的地下水流。這種假想水流的性質(zhì)（如密度、粘滯性等）和真實地下水相同；但它充滿了既包括含水層空隙的空間，也包括巖石顆粒所占據(jù)的空間。241.1滲流的基本概念假想水流運動時，滿足以下條件：在任意巖石體積內(nèi)所受的阻力等于真實水流所受的阻力；通過任一斷面的流量和實際水流相同。通過任一點的壓力或水頭均和實際水流相同（以后將定義一個點的壓力、水頭等）。251.1滲流的基本概念假想水流運動時，滿足以下條件：在任意巖石體積內(nèi)所受的阻力等于真實水流所受的阻力；通過任一斷面的流量和實際水流相同。通過任一點的壓力或水頭均和實際水流相同（以后將定義一個點的壓力、水頭等）。261.1滲流的基本概念

1.1.5滲流速度滲流是充滿整個巖石截面的假想水流。在垂直于滲流方向取的一個巖石截面，稱為過水?dāng)嗝?。地下水的過水?dāng)嗝媸钦麄€巖石截面，既包括空隙面積也包括固體顆粒所占據(jù)的面積。當(dāng)滲流平行流動時，過水?dāng)嗝鏋槠矫?，彎曲流動時則為曲面（圖1-6）。271.1滲流的基本概念

五、滲流速度滲流是充滿整個巖石截面的假想水流。在垂直于滲流方向取的一個巖石截面，稱為過水?dāng)嗝?。地下水的過水?dāng)嗝媸钦麄€巖石截面，既包括空隙面積也包括固體顆粒所占據(jù)的面積。當(dāng)滲流平行流動時，過水?dāng)嗝鏋槠矫?，彎曲流動時則為曲面（圖1-6）。281.1滲流的基本概念設(shè)通過過水?dāng)嗝鍭有一個滲流量Q，則滲流速度（或稱滲透速度，比流量）為：滲流速度代表滲流在過水?dāng)嗝嫔系钠骄魉?。它不代表任何真實水流的速度，只是一種假想速度。假設(shè)整個過水?dāng)嗝娑急凰錆M時，地下水就以這種速度流動。291.1滲流的基本概念實際上，地下水僅僅在空隙中流動。在空隙中的不同地點，地下水運動的方向和速度都可能不同，平均速度稱為實際平均流速。速度v和地下水的實際平均流速之間有下列關(guān)系：301.1滲流的基本概念

311.1滲流的基本概念與多孔介質(zhì)空隙有關(guān)的物理量如空隙度、滲透系數(shù)、滲流速度、滲流的密度等都是在合適的典型單元體上的平均值。以速度為例：典型單元體：以(x,y,z)為中心的，具有合適的宏觀尺寸的球或立方體。321.1滲流的基本概念

331.1滲流的基本概念

1.1.6地下水的水頭和水力坡度（1）地下水的水頭沿用《水力學(xué)》中水頭的概念測壓管水頭為：總水頭為測壓管水頭和流速水頭之和，即341.1滲流的基本概念自然界中地下水的運動很緩慢，流速水頭很小，可以忽略不計。例如，當(dāng)?shù)叵滤魉賣=864m/d時（這對地下水來說已經(jīng)是很快的運動速度了），流速水頭僅僅為0.0005cm左右，比測壓管水頭少幾個數(shù)量級，可以忽略不計。351.1滲流的基本概念在地下水運動計算中，可以認為總水頭H等于測壓管水頭Hn即：361.1滲流的基本概念

（2）等水頭面和水力坡度在地下水動力學(xué)中，把大小等于梯度值，方向沿著等水頭面的法線指向水頭降低方向的矢量稱為水力坡度，用J表示，即：371.1滲流的基本概念1.1.7地下水運動特征的分類表征滲流運動特征的物理量稱為滲流的運動要素。主要有滲流量Q，滲流速度v，壓強p，水頭H等。按照這些運動要素和時間的關(guān)系，可把地下水的運動分為穩(wěn)定運動和非穩(wěn)定運動。地下水不斷地得到補給、排泄，嚴(yán)格地說來，運動都是非穩(wěn)定的。穩(wěn)定運動只是一種暫時的平衡狀態(tài)。38

1.1滲流的基本概念根據(jù)地下水運動方向（即滲透流速矢量的方向）與空間坐標(biāo)軸的關(guān)系，可把地下水分為一維運動，二維運動和三維運動。當(dāng)?shù)叵滤匾粋€方向流動時，把這個方向取作坐標(biāo)軸，地下水的滲透流速只有沿這一坐標(biāo)軸的方向有分速度，其余坐標(biāo)軸方向的分速度均為零。這類運動稱為地下水的一維運動。如等厚的承壓含水層中的地下水運動（圖1-7）。一維運動也稱單向運動。

391.1滲流的基本概念40

1.1滲流的基本概念如果地下水的滲透流速沿二個坐標(biāo)軸方向都有分速度，僅僅一個坐標(biāo)軸方向的分速度為零，則稱為地下水的二維運動，如圖1-8的渠道向河流滲漏時的地下水運動。此時，河、渠幾乎平行，而且很長。垂直渠、河方向發(fā)生滲漏，因而沿y軸方向的分速度等于零。直角坐標(biāo)系的二維運動也稱平面流動。

411.1滲流的基本概念42

1.1滲流的基本概念此時的地下水流動是平行于某一垂直平面或水平平面進行的，計算時只要沿垂直于該平面的方向（圖上為y軸方向）取單位寬度即可。單位寬度的滲流量稱為單寬流量q

。顯然，總流量Q等于單寬流量q乘上寬度B，即：Q=qB

43

1.1滲流的基本概念地下水的滲透流速沿空間三個坐標(biāo)軸的分量均不等于零，則稱為地下水的三維運動，多數(shù)的地下水運動都是三維運動，也稱空間流動，如圖1-9河彎處的潛水運動。44

45

1.1滲流的基本概念地下水運動的維數(shù)，和所選取的坐標(biāo)系有關(guān)。例如在軸對稱條件下，如選用直角坐標(biāo)系（x,y,z坐標(biāo)系），則為三維運動。如選用柱坐標(biāo)系（r，θ，z坐標(biāo)系）則變?yōu)槎S運動（圖1-10）。461.1滲流的基本概念

1.1.8地下水流態(tài)的判別地下水的運動有層流和紊流兩種狀態(tài)（圖1-11）。判別地下水流態(tài)的方法有多種，但常用的還是用Reynolds數(shù)來判別，不同研究者導(dǎo)出的Reynolds數(shù)的表達式不同。最常用的為：式中，u為地下水的滲流速度；d為含水層顆粒的平均粒徑；v為地下水的運動粘度（即粘滯系數(shù)）。471.1滲流的基本概念如果求得的Reynolds數(shù)小于臨界Reynolds數(shù)，則地下水處于層流狀態(tài)；若大于臨界Reynolds數(shù)則為紊流狀態(tài)。對于地下水，用實驗方法求臨界Reynolds數(shù)比較困難，不同研究者的結(jié)果也不盡相同。有些研究者求得的該值為150~300

。天然孔隙含水層中地下水流的Reynolds數(shù)和裂隙中地下水流的水力坡度，遠小于臨界Reynolds數(shù)和臨界水力坡度。因此，天然地下水多處于層流狀態(tài)。481.1滲流的基本概念49思考題：1.試把滲流和空隙中的真實水流進行對比，看看其流量、水頭、過水?dāng)嗝?、流速大小和水流運動方向有何不同？并說明兩者之間的關(guān)系，并列表表示之。

2.地下水能從壓力小處向壓力大處運動嗎？為什么？501.2滲流基本定律

1.2.1Darcy定律及其適用范圍1856年，法國的H.Darcy

在裝滿砂的圓筒中圖1-12)511.2滲流基本定律進行實驗，得到如下關(guān)系式：式中：Q為滲流量；H1

和H2為通過砂樣前后的水頭；L為砂樣沿水流方向的長度；A為試驗圓筒的橫截面積，包括砂粒和孔隙二部分面積在內(nèi)；K為比例系數(shù)，稱為滲透系數(shù)。

521.2滲流基本定律上述兩個關(guān)系式稱為Darcy定律。滲流速度v與水力坡度J成線性關(guān)系，故又稱線性滲透定律。在Darcy實驗中，地下水做一維的均勻運動，即滲流速度和水力坡度的大小和方向沿流程不變。我們把它推廣到更一般的三維情況，寫出Darcy定律的微分形式：531.2滲流基本定律

當(dāng)滲流速度由低到高時，地下水運動狀態(tài)分為三種情況（圖1-14):(1)地下水低速度運動時，即Reynolds數(shù)小于1到10之間的某個值時，為粘滯力占優(yōu)勢的層流運動，適用Darcy定律。

(2)隨著流速的增大，當(dāng)Reynolds數(shù)大致在1到100之間時，為一過渡帶，由粘滯力占優(yōu)勢的層流運動轉(zhuǎn)變?yōu)閼T性力占優(yōu)勢的層流運動再轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鬟\動。

(3)高Reynold數(shù)時為紊流運動。

541.2滲流基本定律Darcy定律有一定的適用范圍。超出這個范圍地下水的運動不再符合Darcy定律。先討論Darcy定律適用的上限。如果作滲流速度v和水力坡度J的關(guān)系曲線（如圖1-13所示），若符合Darcy定律則為直線。直線的斜率為滲透系數(shù)的倒數(shù)。。

551.2滲流基本定律

絕大多數(shù)的天然地下水運動服從Daroy定律。例如，當(dāng)?shù)叵滤ㄟ^平均粒徑d=0.5mm的粗砂層，水溫為15℃時，運動粘滯度為0.1m2/d；當(dāng)Reynolds數(shù)為1時，代入（1-25）式有：這表明，在粗砂中，當(dāng)滲流速度時，服從Darcy定律。561.2滲流基本定律

571.2滲流基本定律1.2.2滲透系數(shù)、滲透率和導(dǎo)水系數(shù)滲透系數(shù)K，也稱水力傳導(dǎo)系數(shù)，是一個重要的水文地質(zhì)參數(shù)。當(dāng)水力坡度等于1時，滲透系數(shù)在數(shù)值上等于滲流速度。水力坡度無量綱，所以滲透系數(shù)具有速度的量綱。滲透系數(shù)的單位和滲流速度的單位相同，常用cm/s或m/d表示。581.2滲流基本定律滲透系數(shù)不僅取決于巖石的性質(zhì)（如粒度、成分、顆粒排列、充填狀況、裂隙性質(zhì)及其發(fā)育程度等），而且與滲透液體的物理性質(zhì)（容重、粘滯性等）有關(guān)。理論分析表明，空隙大小對K值起主要作用，這就在理論上說明了為什么顆粒愈粗，透水性愈好。591.2滲流基本定律如果在同一套裝置中對于同一塊土樣分別用水和油來做滲透試驗，在同樣的壓差作用下，得到的水的流量要大于油的流量，即水的滲透系數(shù)要大于油的滲透系數(shù)。這說明，對同一巖層而言，不同的液體具有不同的滲透系數(shù)。601.2滲流基本定律考慮到滲透液體性質(zhì)的不同，Darcy定律有如下形式：

k表征巖層滲透性能的常數(shù)，稱為滲透率或內(nèi)在滲透率。僅僅取決于巖石的性質(zhì)，而與液體的性質(zhì)無關(guān)。

比較（1-28）式和（1-31）式，可求出滲透系數(shù)和滲透率之間的關(guān)系為611.2滲流基本定律

通常采用的單位cm2是或D(Darcy）。D定義：在液體的動力粘度為0.001Pa·s,壓強差為101325Pa的情況下，通過面積為1cm2

、長度為1cm巖樣的流量為1cm3/s時，巖樣的滲透率為1D

。D和cm這二個單位之間的關(guān)系為：

621.2滲流基本定律一般情況下，地下水的容重和粘滯性改變不大，可以把滲透系數(shù)近似當(dāng)作表示透水性的巖層常數(shù)。當(dāng)水溫和水的礦化度急劇改變時，如熱水、鹵水的運動，容重和粘滯性改變的影響就不能忽略了。

631.2滲流基本定律研究證實，滲透系數(shù)值和試驗范圍（如抽水試驗的影響范圍）有關(guān)，隨著它的增大而增大。這種現(xiàn)象稱為尺度效應(yīng)。滲透系數(shù)是尺度的函數(shù)，這就不難解釋用長時間大降深群孔抽水試驗求得的滲透系數(shù)值較用短時間小降深抽水試驗求得的滲透系數(shù)值大的原因了。抽水試驗持續(xù)時間越長，影響范圍越大，因而在一定范圍內(nèi)，滲透系數(shù)值會隨著抽水持續(xù)時間的增長而增大了。641.2滲流基本定律滲透系數(shù)K雖然能說明巖層的透水性，但它不能單獨說明含水層的出水能力。一個滲透系數(shù)較大的含水層，如果厚度非常小，它的出水能力也是有限的，開采價值不大。為此，引出了導(dǎo)水系數(shù)的概念。根據(jù)Darcy定律651.2滲流基本定律661.3巖層透水特征分類1.3.1巖層透水特征分類根據(jù)巖層透水性隨空間坐標(biāo)的變化情況，可把巖層分為均質(zhì)的和非均質(zhì)的二類。在滲流場中，所有點都具有相同的滲透系數(shù)，則稱該巖層是均質(zhì)的；否則為非均質(zhì)的。滲透系數(shù)為坐標(biāo)的函數(shù)。自然界中絕對均質(zhì)的巖層是沒有的，均質(zhì)與非均質(zhì)只是相對而言。

671.3巖層透水特征分類非均質(zhì)巖層有兩種類型。一類透水性是漸變的，如山前洪積扇，由山口至平原，K逐漸變小。另一類透水性是突變的，如在砂層中夾有一些小的粘土透鏡體。

681.3巖層透水特征分類根據(jù)巖層透水性和滲流方向的關(guān)系，分為各向同性和各向異性二類。滲流場中某一點的滲透系數(shù)不取決于方向，即不管滲流方向如何都具有相同的滲透系數(shù)，則介質(zhì)是各向同性的；否則是各向異性的。各向同性和各向異性也是相對而言的。某些扁平形狀的細粒沉積物，水平方向的滲透系數(shù)常較垂直方向大。在基巖區(qū)，構(gòu)造斷裂常有方向性，沿裂隙方向滲透系數(shù)較大。

691.3巖層透水特征分類不要把均質(zhì)與非均質(zhì)的概念和各向同性與各向異性的概念混淆起來。前者是巖層透水性和空間坐標(biāo)的關(guān)系，后者是指巖層透水性和水流方向的關(guān)系。均質(zhì)巖層也可以是各向異性的。如某些黃土，垂直方向的滲透系數(shù)大于水平方向的滲透系數(shù)，因而是各向異性的；而不同點上相同方向的滲透系數(shù)又是相等的，因而是均質(zhì)的。

701.3巖層透水特征分類圖1-17用橢圓表示滲流場中A點和B點的滲透系數(shù)，兩橢圓形狀完全相同，表示同一方向有相同的滲透系數(shù)。類似地，也有非均質(zhì)各向同性介質(zhì)。

711.3巖層透水特征分類72

1.4突變界面的水流折射和等效滲透系數(shù)

1.4.1越過透水性突變界面時的水流折射 對具有滲透系數(shù)為K1、K2的兩含水層的交界面，在交界面上滿足：73

1.4突變界面的水流折射和等效滲透系數(shù)

1.4.2層狀巖層的等效滲透系數(shù)（1）巖層與水流流向平行分布的等效Kp

（2）巖層與水流方向垂直分布的 等效Kv74

1.5流網(wǎng)

1.5.1流函數(shù)與勢函數(shù)1）流線定義

∴沿流線有：對各向同性含水層，有Kxx=Kyy=K，令函數(shù)ψ（x,y）滿足：

則有： 沿流線ψ（x,y）=const，故稱之為流線?；?51.5流網(wǎng)

761.5流網(wǎng)2）流函數(shù)的特性

（1）沿流線ψ（x,y）=const；

（2）通過兩條流線的單寬流量為兩流函數(shù)之差

q=ψ2–ψ1

（3）對均質(zhì)函數(shù)層，流函數(shù)滿足Laplace方程

771.5流網(wǎng)3）勢函數(shù)φ（x,y）

對各向同性含水層，定義

則有：

φ（x,y）=Const

稱為等勢線。可見對均質(zhì)含水層，等勢線即等水頭線H（x,y）=Const。

78

1.5流網(wǎng)

1.5.2流網(wǎng)及其性質(zhì)在滲流場內(nèi)，取一組流線和一組等勢線（當(dāng)容重不變時取一組等水頭線）組成的網(wǎng)格稱為流網(wǎng)。流網(wǎng)具有下列特性：

1）在各向同性介質(zhì)中，流線與等勢線處處垂直，故流網(wǎng)為正交網(wǎng)網(wǎng)格。在均質(zhì)各向同性含水層中，流線與等水頭線正交

79

1.5流網(wǎng)

2)在均質(zhì)各向同性介質(zhì)中，流網(wǎng)每一網(wǎng)格的邊長比為常數(shù)801.5流網(wǎng)3)當(dāng)流網(wǎng)中各相鄰流線的流函數(shù)差值相同，且每個網(wǎng)格的水頭差值相等時，通過每個網(wǎng)格的流量相等。通過流網(wǎng)每一網(wǎng)格的流量為：

4)當(dāng)二個透水性不同的介質(zhì)相鄰時，在一個介質(zhì)中為曲邊正方形的流網(wǎng)，越過界面進入另一介質(zhì)中，則變成曲邊矩形（圖1-26)811.5流網(wǎng)

821.5流網(wǎng)831.5流網(wǎng)

1.5.3流網(wǎng)的應(yīng)用利用流網(wǎng)可以確定滲流各要素。

1)水頭和滲透壓強

滲流區(qū)內(nèi)任意點的水頭H

，可以由等水頭線確定。知道了水頭，可通過下式計算該點上的滲透壓強：

式中，z為該點到基準(zhǔn)面的距離。如該點位于基準(zhǔn)面下方，則取正值；反之，取負值。841.5流網(wǎng)2）水力坡度和滲流速度通過某點作流線，沿流線量出相鄰兩等水頭線間的距離；若知道這兩條等水頭線間的水頭差，則該點的水力坡度和滲流速度分別為：851.5流網(wǎng)3）流量在各向同性滲流場中，若同一網(wǎng)帶內(nèi)水頭差值相等，則每個網(wǎng)格的流量相等。因此，整個滲流區(qū)單位寬度的流量q應(yīng)等于各個流線間所夾條帶（流帶）的流量之和。即：式中，為第條流帶選定的兩等水頭線間網(wǎng)格的長和寬的比值，n為流帶的數(shù)目。86

若網(wǎng)格是曲邊正方形，網(wǎng)格又是完整的，則上式簡化為：流網(wǎng)刻畫了滲流場的水流特征。有了它，可以很方便地確定各滲流要素，解決滲流問題。因此，流網(wǎng)對解決穩(wěn)定滲流間題有很大的實用意義。從流網(wǎng)（或等水頭線或流線）的定性分析，可以了解水文地質(zhì)條件，如地下水與河流的互補關(guān)系等。1.5流網(wǎng)871.5流網(wǎng)在給定區(qū)域，作出不同年分的流網(wǎng)圖（或等水頭線圖），可分析水文地質(zhì)條件的變化，對地下水資源評價有實際意義。繪制流網(wǎng)的方法有很多，除了應(yīng)用解析解的結(jié)果可以繪制流網(wǎng)外，主要通過各種模擬試驗繪制流網(wǎng)，也可以用漸近法徒手近似地繪制流網(wǎng)。881.5流網(wǎng)圖1-27a表示導(dǎo)水性變化時的等水頭線的疏密變化。圖1-27b和c表示存在不透水帶或強透水帶時的流網(wǎng)。圖1-27中的流網(wǎng)圖是平面圖。圖1-28為Hubbert流動模型的剖面流網(wǎng)圖。從圖上看出，在有入滲補給或入滲補給結(jié)束只有排泄的情況下，潛水面（浸潤曲線）既非流線也非等水頭線，只有當(dāng)無入滲和蒸發(fā)的穩(wěn)定流動時，浸潤曲線才是流線。891.5流網(wǎng)

901.5流網(wǎng)

911.6滲流的連續(xù)性方程由質(zhì)量守恒定律：單位時間單元體內(nèi)流體質(zhì)量的增加等于流入單元體的流體質(zhì)量減去流出單元體的質(zhì)量，可得：

對恒定問題或不可壓流體且含水層骨架不被壓縮，則有：921.7承壓水運動的基本微分方程基本微分方程是研究承壓含水層中地下水運動的基礎(chǔ)。反映了承壓含水層中地下水運動的質(zhì)量守恒關(guān)系，表明單位時間內(nèi)流入、流出單位體積含水層的水量差等于同一時間內(nèi)單位體積含水層彈性釋放（或彈性貯存）的水量。通過應(yīng)用Darcy定律反映了地下水運動中的能量守恒與轉(zhuǎn)化關(guān)系?；疚⒎址匠瘫磉_了滲流區(qū)中任何一個“局部”都必須滿足質(zhì)量守恒和能量守恒定律。931.7承壓水運動的基本微分方程941.7承壓水運動的基本微分方程二維流穩(wěn)定流二維流非穩(wěn)定流三維流非穩(wěn)定流951.8越流含水層（半承壓含水層）中地下水非穩(wěn)定運動的基本微分方程在自然界中，有不少這樣的情況：承壓含水層的上、下巖層并不是絕對隔水的，其中一個或者兩個可能是弱透水層。含水層會通過弱透水層和相鄰含水層發(fā)生水力聯(lián)系，但它還是承壓的。因此，稱其為半承壓含水層。含水層和相鄰含水層間存在水頭差時，地下水便會從高水頭含水層通過弱透水層流向低水頭含水層。961.8越流含水層（半承壓含水層）中地下水非穩(wěn)定運動的基本微分方程當(dāng)弱透水層的滲透系數(shù)K，比主含水層的滲透系數(shù)K小很多時，可以近似地認為水基本上是垂直地通過弱透水層，折射900

后在主含水層中基本上是水平流動的。經(jīng)用有限元法對此進行研究，發(fā)現(xiàn)當(dāng)主含水層的滲透系數(shù)比弱透水層的滲透系數(shù)大二個以上數(shù)量級時，這個假定所引起的誤差一般小于5％。971.8越流含水層（半承壓含水層）中地下水非穩(wěn)定運動的基本微分方程實際上，含水層的滲透系數(shù)常常比相鄰弱透水層的滲透系數(shù)高出三個數(shù)量級，故上述假設(shè)是允許的。這種情況下，主含水層中的水流可近似地作二維流問題處理，將水頭看作是整個含水層厚度上水頭的平均值。981.8越流含水層（半承壓含水層）中地下水非穩(wěn)定運動的基本微分方程991.8越流含水層（半承壓含水層）中地下水非穩(wěn)定運動的基本微分方程越流含水層（半承壓含水層）中地下水非穩(wěn)定運動的基本微分方程式中，分別稱為上，下兩個弱透水層的越流因素。越流因素B的量綱為［L］。弱透水層的滲透性愈小，厚度越大，則B越大，越流量越小。1001.8越流含水層（半承壓含水層）中地下水非穩(wěn)定運動的基本微分方程

另一個反映越流能力的參數(shù)是越流系數(shù)。定義：當(dāng)主含水層和供給越流的含水層間的水頭差為一個長度單位時，通過主含水層和弱透水層間單位面積界面上的水流量。因此

分別為弱透水層的滲透系數(shù)和厚度。1011.9潛水運動的基本微分方程一維流非穩(wěn)定流二維流非穩(wěn)定流1021.9潛水運動的基本微分方程Boussinesq方程是研究潛水運動的基本微分方程。方程中的含水層厚度h也是個未知數(shù)，因此，它是一個二階非線性偏微分方程。除某些個別情況能找到幾個特解外，一般沒有解析解。為了求解，往往近似地把它轉(zhuǎn)化為線性方程后求解。目前廣泛采用的是數(shù)值法。1031.9潛水運動的基本微分方程推導(dǎo)方程時應(yīng)用了Dupuit假設(shè)，忽略了彈性貯存；取的小土體是一個包括整個含水層厚度在內(nèi)的土柱，與推導(dǎo)承壓水非穩(wěn)定運動方程時取的無限小的單元i體不同。因此，應(yīng)用Boussinesq方程得到的H(x,y,t）只代表該點整個含水層厚度上平均水頭的近似值，不能用它來計算同一垂直剖面上不同點的水頭變化。

1041.9潛水運動的基本微分方程承壓含水層與潛水含水層二維運動方程的統(tǒng)一表示形式

其中：承壓含水層承壓含水層潛水含水層潛水含水層105

1.10定解條件從前面幾節(jié)可以看出，不同類型的地下水流用不同形式的偏微分方程描述；同一形式的偏微分方程又代表著整個一大類地下水流的運動規(guī)律。例如，均質(zhì)各向同性無越流承壓含水層中地下水的穩(wěn)定滲流都用一個LaPlace方程描述。

1061.10定解條件由于補給、徑流、排泄條件的差異，以及邊界性質(zhì)、邊界形狀的不同，不同含水層中水頭的分布卻毫無共同之處。如用它來研究地下水向井的運動和壩下滲流，兩者的水頭分布是不會相同的。由于方程本身并不包含反映滲流區(qū)特定條件的信息，所以每個方程有無數(shù)個可能的解，每一個解對應(yīng)于一個特定滲流區(qū)中的水流情況。

1071.10定解條件

為了從大量可能解中求得和所研究特定問題相對應(yīng)的唯一的特解，就需要提供偏微分方程本身所沒有包括的一些補充信息。它們是：

(1)方程中有關(guān)參數(shù)的值。方程中總是包含一些表示含水層水文地質(zhì)特征的參數(shù)，如導(dǎo)水系數(shù)T、貯水系數(shù)產(chǎn)”等。有時還包含表示含水層所受天然或人為影響的源匯項W。只有當(dāng)這些參數(shù)在所研究的滲流區(qū)中的實際數(shù)值被確定后，方程本身才算確定。1081.10定解條件

(2)滲流區(qū)的范圍和形狀（邊界有時是無限的，有時部分是未知的）。一個偏微分方程，只有規(guī)定了它所定義的區(qū)域（即滲流區(qū)）后，才能談得上對它的求解。

(3)邊界條件，即滲透區(qū)邊界所處的條件，用來表示水頭H（或滲流量）在滲流區(qū)邊界上所應(yīng)滿足的條件，也就是滲流區(qū)內(nèi)水流與其周圍環(huán)境相互制約的關(guān)系。1091.10定解條件(4)初始條件。非穩(wěn)定滲流問題，除了需要列出邊界條件外，還要列出初始條件。所謂初始條件就是在某一選定的初始時刻（t=0）滲流區(qū)內(nèi)水頭H的分布情況。邊界條件和初始條件合稱定解條件。求解非穩(wěn)定滲流問題要同時列出邊界條件和初始條件；求解穩(wěn)定滲流間題只要列出邊界條件。1101.10定解條件一個或一組數(shù)學(xué)方程與其定解條件加在一起，構(gòu)成一個描述某實際問題的數(shù)學(xué)模型。前者用來刻畫研究區(qū)地下水的流動規(guī)律，后者用來表明所研究實際問題的特定條件，兩者缺一不可。用這樣的模型來再現(xiàn)一個實際水流系統(tǒng)。給定了方程或方程組和相應(yīng)定解條件的數(shù)學(xué)物理問題又稱定解問題。1111.10定解條件1.10.1邊界條件地下水流問題中的邊界條件有下列幾種類型：

1）第一類邊界條件（Dirichlet條件）

如果在某一部分邊界上，各點在每一時刻的水頭都是已知的，則這部分邊界就稱為第一類邊界或給定水頭的邊界，表示為：1121.10定解條件可以作為第一類邊界條件來處理的情況當(dāng)河流或湖泊切割含水層，兩者有直接水力聯(lián)系時，這部分邊界就可以作為第一類邊界處理。此時，水頭是一個由河湖水位的統(tǒng)計資料得到的關(guān)于t的函數(shù)。但要注意，某些河、湖底部及兩側(cè)沉積有一些粉砂、亞粘土和粘土，使地下水和地表水的直接水力聯(lián)系受阻，就不能作為第一類邊界條件來處理。1131.10定解條件區(qū)域內(nèi)部的抽水井或疏干巷道也可以作為給定水頭的內(nèi)邊界來處理。此時，水頭通常是按某種要求事先給定。

注意，給定水頭邊界不一定是定水頭邊界。上面介紹的都只是給定水頭的邊界。所謂定水頭邊界，意味著函數(shù)不隨時間而變化。當(dāng)區(qū)域內(nèi)部的水頭比它低時，它就供給水，要多少有多少。當(dāng)區(qū)域內(nèi)部的水頭比它高時，它吸收水，需要它吸收多少就吸收多少。1141.10定解條件在自然界，這種情況很少見。就是附近有河流、湖泊，也不一定能處理為定水頭邊界，還要視河流、湖泊與地下水水力聯(lián)系的情況，以及這些地表水體本身的徑流特征而定。在沒有充分依據(jù)的情況下，千萬不要隨意把某段邊界確定為定水頭邊界，以免造成很大誤差。

1151.10定解條件2）第二類邊界條件（Neumann條件）當(dāng)知道某一部分邊界單位面積（二維空間為單位寬度）上流入（流出時用負值）的流量q時，稱為第二類邊界或給定流量的邊界。相應(yīng)的邊界條件表示為：1161.10定解條件

3）第三類邊界條件（混合邊界條件）為和的線性組合已知，即：1171.10定解條件當(dāng)研究區(qū)的邊界上如果分布有相對較薄的一層弱透水層，邊界的另一側(cè)是地表水體或另一個含水層分布時，則可以看做是這類邊界。如圖1.38。1181.10定解條件

1191.10定解條件

1201.10定解條件1.10.2初始條件所謂初始條件，就是給定某一選定時刻滲流區(qū)內(nèi)各點的水頭值，即：1211.10定解條件初始條件對計算結(jié)果的影響，將隨著計算時間的延長逐漸減弱?？梢愿鶕?jù)需要，任意選擇某一個瞬時作為初始時刻，不一定是實際開始抽水的時刻，也不要把初始狀態(tài)理解為地下水沒有開采以前的狀態(tài)。1221.11描述地下水運動的數(shù)學(xué)模型及其解法1.11.1地下水流問題的數(shù)學(xué)模型要確定一個地下水流問題的數(shù)學(xué)模型，只有在查明地質(zhì)、水文地質(zhì)條件的基礎(chǔ)上才有可能。天然地質(zhì)體一般比較復(fù)雜，且處于不停的變動之中。為了便于解決問題，必須忽略一些和研究問題無關(guān)或關(guān)系不大的因素，使問題簡化。這種對地質(zhì)、水文地質(zhì)條件加以概化后所得到的是天然地質(zhì)體的一個物理模型。

1231.11描述地下水運動的數(shù)學(xué)模型及其解法再從這個物理模型出發(fā)，用簡潔的數(shù)學(xué)語言，即一組數(shù)學(xué)關(guān)系式來刻畫它的數(shù)量關(guān)系和空間形式，從而反映所研究地質(zhì)體的地質(zhì)、水文地質(zhì)條件和地下水運動的基本特征，達到復(fù)制或再現(xiàn)一個實際水流系統(tǒng)基本狀態(tài)的目的。這樣建立的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)便是數(shù)學(xué)模型。這個過程通常稱為建立模型。

1241.11描述地下水運動的數(shù)學(xué)模型及其解法通過幾個例子來說明如何用數(shù)學(xué)模型來描述地下水流問題。例:研究區(qū)的地質(zhì)情況如圖1-37所示。設(shè)W(x,y,t）代表單位時間、單位面積上的垂向補