青島2023-2024學(xué)年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

青島三中2023-2024學(xué)年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=2+z\z-Z1=5,則|z|=

A.1B.新

C.5D.5s/5

執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入"=[,則輸出的〃的值為(

2.)

2

35

A.-B.2C.-D.3

22

3.一袋中裝有5個紅球和3個黑球(除顏色外無區(qū)別)，任取3球，記其中黑球數(shù)為X,則E(x)為()

97162

A.—B.—C.一D.—

88256

4.下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個視圖相同的幾何體是()

A.正方體B.球體

C.圓錐D.長寬高互不相等的長方體

5.已知函數(shù)/(x)=log〃(|x-2|-a)(a>0,且”1),則“/⑺在(3,+s)上是單調(diào)函數(shù)”是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.復(fù)數(shù)z=(2+z)(l+i)的共甄復(fù)數(shù)為()

A.3-3zB.3+3zC.l+3zD.l-3z

]nY

7.已知函數(shù)/(x)=--f+2勿—a(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()

(211(2n

A.1-00,^+-B.[-8,3+-I

C.e2--,+oo^|D.卜一L+coj

8.集合P={xwN|-2<x—1<2}的子集的個數(shù)是()

A.2B.3C.4D.8

9.復(fù)數(shù)的z=-1-2i(z?為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10.已知集合4={工￡可僅2V8x},B={2,3,6},C={2,3,7}，則BD&C)=()

A.{2,3,4,5}B.{2,3,4,5,6)

C.{1,2,3,4,5,6}D.{1,3,4,5,6,7)

11.若函數(shù)＞=2s2x+°)(同＜2的圖象經(jīng)過點C，

則函數(shù)/(x)=sin(2x-0+cos(2x-0)圖象的一條

對稱軸的方程可以為()

7i377rYin137r

A.x—B.x—C.x—D.x=------

24242424

12.已知向量a=(3sinx,-2),b=(1,cosx),當(dāng)a_LZ;時，(2s+()

121266

A.——B.—C.——D.——

13131313

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)S“為等比數(shù)列{a“}的前項和，若q=l,且3.,2S2，$3成等差數(shù)列，則?！?_____.

2222

14.已知橢圓。|：1+3=1(°＞匕＞0)與雙曲線。2：」一當(dāng)=1(加＞0,〃＞0)有相同的焦點及、F,其中耳為左

abmri2

焦點.點P為兩曲線在第一象限的交點，4、02分別為曲線G、G的離心率，若"和是以PF［為底邊的等腰三角

形，則02-G的取值范圍為________.

15.在平行四邊形ABC。中，已知A3=l,AD=2,ZBAD=60%若CE=ED，DF=2FB，則

AEAF=-

16.戊戌年結(jié)束，己亥年伊始，小康，小梁，小譚，小楊，小劉，小林六人分成四組，其中兩個組各2人，另兩個組

各1人，分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講，則不同的分配方案有種(用數(shù)字作答)，

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的某小區(qū)前修建了一個弓形景觀湖.如圖，該弓形所在的圓是以為直徑的

圓，且AB=3OO米，景觀湖邊界CD與平行且它們間的距離為500米.開發(fā)商計劃從A點出發(fā)建一座景觀橋

(假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行)，橋面在湖面上的部分記作PQ.設(shè)NAOP=26.

(1)用。表示線段PQ,并確定sin26?的范圍;

(2)為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景，所以要將PQ的長度設(shè)計到最長，求PQ的最大值.

18.(12分)如圖，在直三棱柱A3C—4與￡中，CA=CB,點P,。分別為Ag,CG的中點.求證:

B

(1)尸。//平面ABC；

(2)平面A551A.

19.(12分)已知函數(shù)g(x)=(》+左)ln(x+左)一%.

(1)若左=1,/'(f)=g'(f),求實數(shù)/的值.

(2)若a,beR+,f(a)+g(b)>f(O)+g(0)+ab,求正實數(shù)人的取值范圍.

20.(12分)在AABC角中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c,若asinB=6bcosA.

(1)求角4

(2)若AABC的面積為。=5,求AABC的周長.

21.(12分)三棱柱ABC—A4G中，平面朋與呂，平面ABC,AB^A\=^B=4,BC=2,AC=26，點F

為棱A5的中點，點E為線段AG上的動點.

(1)求證：EFA.BC；

(2)若直線B|E與平面4尸G所成角為60。，求二面角石-5片-A的正切值?

22.(10分)設(shè)函數(shù)/(x)=lnx—ax,aeR,a/0.

(1)求函數(shù)7(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(x)=0有兩個零點的，

⑴求。的取值范圍；

(?)求證：西隨著上的增大而增大.

x\

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

由z-Z1=5可得z=?,所以|z|=J=”5.「得二向,故選B.

4Iz|||2+i|J5

2、C

【解析】

由程序語言依次計算，直到a<6時輸出即可

【詳解】

程序的運行過程為

]_25

n12

222

531

a—2—1—

222

m2

bIn-0In2In-

222

當(dāng)"=2時，l>ln2；72=9時，J_<]nW,此時輸出〃=*.

2222

故選：C

【點睛】

本題考查由程序框圖計算輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題

3、A

【解析】

由題意可知，隨機變量X的可能取值有0、1、2、3,計算出隨機變量X在不同取值下的概率，進(jìn)而可求得隨機變

量X的數(shù)學(xué)期望值.

【詳解】

由題意可知，隨機變量X的可能取值有0、1、2、3,

「3J。親*X=2）=胃*,尸"3）哈咤.

貝!|…。）=消=n，P（X=1）=3=

C8JOC8

因此，隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=0x￥+lx￡+2x||+3x3=g.

565656568

故選：A.

【點睛】

本題考查隨機變量數(shù)學(xué)期望的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、C

【解析】

根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.

【詳解】

正方體的三個三視圖都是相等的正方形，球的三個三視圖都是相等的圓，圓錐的三個三視圖有一個是圓，另外兩個是

全等的等腰三角形，長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個兩兩不全等的矩形.

故選：C.

【點睛】

本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.

5、C

【解析】

先求出復(fù)合函數(shù)/(元)在(3,+8)上是單調(diào)函數(shù)的充要條件，再看其和0<。<1的包含關(guān)系，利用集合間包含關(guān)系與充

要條件之間的關(guān)系，判斷正確答案.

【詳解】

/(x)=logo(|x-21-a)(a>0,且awl),

由得x<2-a或無>2+a,

即/(x)的定義域為{尤|尤<2-?；騲>2+a},(a〉0,且awl)

令f=|x-2|-a,其在(—8,2—a)單調(diào)遞減，(2+a,+o。)單調(diào)遞增，

2+a<3

/(元)在(3,+8)上是單調(diào)函數(shù)，其充要條件為a〉0

awl

即0<a<1.

故選：C.

【點睛】

本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題，充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

直接相乘，得1+3"由共朝復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果

【詳解】

Vz=(2+z)(l+z)=l+3z

.??其共朝復(fù)數(shù)為1—3兀

故選：D

【點睛】

熟悉復(fù)數(shù)的四則運算以及共軌復(fù)數(shù)的性質(zhì).

7、B

【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)/‘(X),確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，根據(jù)零點存在定理可確定參數(shù)范圍.

【詳解】

/。)=匕處—2(x—e),當(dāng)xe(O,e)時，/'(%)>0,〃x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(e,+s)時，/'(x)<0,7Xx)單調(diào)

遞減，.?.在(0,+s)上/Xx)只有一個極大值也是最大值F(e)=，+e2-。，顯然1―0時，xf”時,

e

fMf-oo,

11

因此要使函數(shù)有兩個零點，則/(e)=—+/9—〃>0,.??〃</9+—.

ee

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)的零點，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，根據(jù)零點存在定理確定參數(shù)范圍.

8、D

【解析】

先確定集合P中元素的個數(shù)，再得子集個數(shù).

【詳解】

由題意P={xwN|—1<%<3}={0,1,2},有三個元素，其子集有8個.

故選：D.

【點睛】

本題考查子集的個數(shù)問題，含有〃個元素的集合其子集有2"個，其中真子集有2"-1個.

9、C

【解析】

所對應(yīng)的點為(-1,-2)位于第三象限.

【考點定位】本題只考查了復(fù)平面的概念，屬于簡單題.

10、C

【解析】

根據(jù)集合的并集、補集的概念，可得結(jié)果.

【詳解】

集合A={xeNH<8x}={xGN|0<xV8},

所以集合4={1,2,3,4,5,6,7)

B=[2,3,6},C={2,3,7},

故與。={1，4,5,6},

所以Bu(ac)={i,2,3,4,5,6}.

故選：C

【點睛】

本題考查的是集合并集，補集的概念，屬基礎(chǔ)題.

11、B

【解析】

n

由點，0求得9的值，化簡/(九)解析式，根據(jù)三角函數(shù)對稱軸的求法，求得了(%)的對稱軸，由此確定正確選項.

12

【詳解】

由題可知((冗71

2sin\2x^+p\=Q,\p\<一.(P--------

2"6

=^2sinf2x+

所以/(%)=sirn2x+—+cos2%+-^-j=A/2sin2x-\------1——

I664

.-5TC7T,-

令2xH-----=—Fkji,keZ,

122

=—+—,eZ

242

令左=3,得％

24

故選：B

【點睛】

本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)求參數(shù)，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)對稱軸的求法，屬于中檔題.

12、A

【解析】

2tanx,L

根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，求出tanx,cos2x+|U即可求解.

【詳解】

2

a_Lb>=3sinx—2cosx=0,:.tanx=§

.c2sinxcosx

cos2xH———sin2x--------------—

l2)sin-%+cos-x

2tanx_12

tan2x+113

故選:A.

【點睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運算、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、

【解析】

試題分析：?.?3S”2S2>5：成等差數(shù)列，，2x2（E+a2）=3oi-生+na?=3<i：=q=3,

又?.?等比數(shù)列；1,...丹，-鼻炭尚=斯".

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).

【名師點睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列

基本量的方程即可求解，考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.

14、L

【解析】

設(shè)1Hl==3由橢圓和雙曲線的定義得到s=a+m,t=a-m,根據(jù)AP4月是以尸耳為底邊的等腰

三角形，得到t=a-m=2c,從而有［-'=2,根據(jù)e2〉］，得到工<e,<1,再利用導(dǎo)數(shù)法求

4e?31

2e2

y=e2-el=2e2-e1=-一y-的范圍.

1-2e{

【詳解】

設(shè)閥|=凡|典=3

由橢圓的定義得s-+-t=2a9

由雙曲線的定義得s—r=2"，

所以s=a+m,t=a-m,

因為NPF\F?是以PF,為底邊的等腰三角形,

所以歸凰=間|=2c，

即t—a—m—2c，

因為弓=—fe2=—,

am

所以----^=2,

e\，2

因為02>1,所以°<—<1,

32

所以一-2d----<3,

eie2

即工(與<1,

31

而y=e?-1Ze??【若

1-2,

4,(1-ej

因為丁>0

。-2覆

所以y在［;』］上遞增，

所以y〉g.

故答案為：［g-00］

【點睛】

本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

5

15、

2

【解析】

設(shè)A3=a,AD=6,貝！|口=1,忖=2,得到AE=匕+ga,AF=|a+1&,利用向量的數(shù)量積的運算，即可求解.

【詳解】

由題意，如圖所示，設(shè)AB=a,AD=Z?,貝!1M=1,"=2,

又由CE=ED，DF=2FB，所以E為CD的中點，/為的三等分點,

?■1-,221

則AE=b+—a,AF=b+-(a-b)=—a+—b,

-——121?1251-2

所以AE-AF=(一Q+人)?(一〃+—〃)-—a+—a-b+—b

233363

151o5

=—xl02+—xlx2cos60°n+—x22=—.

3632

【點睛】

本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數(shù)量積的運算，其中解答中熟記向量的線性運算法則，以及向量的共線定

理和向量的數(shù)量積的運算公式，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.

16、1080

【解析】

按照先分組，再分配的分式，先將六人分成四組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人有種，再分別

奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有A：種，然后用分步計數(shù)原理求解.

【詳解】

x~?l

將六人分成四組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人有.J.5.j=45種,

A；

再分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有崗=24種，

則不同的分配方案有45x24=1080種.

故答案為：1080

【點睛】

本題主要考查分組分配問題，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)pQ=300sin?！?lt;sin26)<l；(2)50幾米.

cos，3

【解析】

QH

AQ=

(1)過點。作LAB于點〃，再在AOP中利用正弦定理求解AP,再根據(jù)乂sin］；—，求解A。,進(jìn)而求得

P。.再根據(jù)PQ>0確定sin2。的范圍即可.

⑵根據(jù)⑴有電5。后3石丘貴，再設(shè)了(。)=3垃sinB—-二,求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.

COS。

【詳解】

解：(1)

過點Q作于點〃,

貝!I”=500,

在AOP中，OA=OP=150,ZAOP=20,

7T

:.ZOAP=--0,

2

OPAP

由正弦定理得：.，乃A「sin2，,

（2）

AP^3OOsin0,

，o=QH=50V2

PQ=AP-AQ=3OOsin0—,

cos6>

PQ=3OOsin0-血色〉0,因為cos6>0,

cos，

Ji

化簡得在<sin2。41

3

（2）PQ=3OOsin0—=500(3匹sin。———

cos。Icos<9

令〃8)=3后sin。-一二,比<sin2，Vl,且2，e(0,萬),

cos33

/⑻=3"-黑tan。

cos20

/

(sin2+cos2。川口。,

二cos。3^2-

cos23

7

=cos6^3A/2-(tan20+l^tan<9j=COS^^3A/2-tan3S-tanS)

jr

因為，6（0,式）,故cos6>0

2

令/(6)=0,

即tan38+tan8—30=0,

(tanO-應(yīng))(tan1。+-Jltand+3)=0,

=

記tan0oy[2,0Oe10,—J,

當(dāng)0V%時，/（9）>0"（。）單調(diào)遞增;

當(dāng)oQ<^<|時，/⑹〈o，/⑹單調(diào)遞減,

又S加2%=拽〉走，

°33

???當(dāng)tan0=^2時,/'（'）取最大值,

此時sin6=顯,cos0=B,PQ=50面3在出，—一二]=5076

33Icos0J

??.PQ的最大值為50標(biāo)米.

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)在實際中的應(yīng)用，需要根據(jù)題意建立角度與長度間的關(guān)系，進(jìn)而求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)三

角函數(shù)值求解對應(yīng)的最值即可.屬于難題.

18、（1）見解析（2）見解析

【解析】

⑴取AB的中點。，連結(jié)PD,CD.根據(jù)線面平行的判定定理即得；⑵先證3耳LCD,CDLAB,AB和8四

都是平面內(nèi)的直線且交于點3,由(1)得CD〃PQ,再結(jié)合線面垂直的判定定理即得.

【詳解】

(1)取AB的中點O,連結(jié)P￡>,CD.

在AA3修中，p,。分別為AB],AB中點，

二.「?！?耳，且=用.在直三棱柱ABC—A§IG中，CCiBBI，CCI=BB>。為棱CQ的中點，

CQ//BB,,且CQ=g53].

PD//CQ,PD=CQ.

..四邊形PDCQ為平行四邊形，從而PQ〃CD.

又COu平面ABC,PQfX平面ABC,PQ〃平面ABC.

(2)在直三棱柱A3C-A3IG中，5與，平面ABC.又COu平面ABC,..5與，CD.CA=CB,D為AB中

點，:.CD±AB.

由(1)知CD〃尸Q,..34，PQ,ABLPQ.

又ABBB[=B,ABI平面ABB}\,BBlu平面ABB,A,,

PQ,平面ABAA.

【點睛】

本題考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定定理，難度不大.

19、(1)1(2)k31

【解析】

⑴求得了'(X)和g'(x),由左=1,r(/)=g'(。，得d—ln0+l)—1=0,令0。)=/—ln(/+l)—1,令導(dǎo)數(shù)求

得函數(shù)°。)的單調(diào)性，利用0(/)W0(O)=O,即可求解.

⑵解法一:令=/(%)—zzx+gS)—/(o)—g⑼，利用導(dǎo)數(shù)求得可力的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為MD^MinR+i))，

令《x)=(x+左)ln(x+左)—(x+l)ln(x+l)—曲次(%>0),利用導(dǎo)數(shù)得到［力的單調(diào)性，分類討論，即可求解.

解法二：可利用導(dǎo)數(shù)，先證明不等式，ex-x-l>Q，x—INlux,x-xliw-l<0,

令/z(x)=g(x)—依+/(。)—/(O)—g(O)(x>0),利用導(dǎo)數(shù)，分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

【詳解】

(1)由題意，得/(田)=/_］,g1x)=ln(x+左)，

由左=1,/'?)=g'(?！伲谩猯n(f+l)—1=0,

令/,則,

因為。"(。=』+］占了>0,所以“⑴在(—1,+8)單調(diào)遞增，

又“(0)=0,所以當(dāng)—1〈尤<0時，”(。>0,單調(diào)遞增；

當(dāng)x>0時，(p'(t)<Q,單調(diào)遞減；

所以00)W0(O)=O,當(dāng)且僅當(dāng)/=0時等號成立.

故方程①有且僅有唯一解f=0,實數(shù)f的值為1.

(2)解法一：令//(%)=/(x)—fer+gS)—/(O)—g(O)(x>0),

則”(%)="_(z?+i),

所以當(dāng)x>ln(b+l)時，//(x)>0,人(力單調(diào)遞增；

當(dāng)0<x<ln(〃+l)時，//(%)<0,入⑺單調(diào)遞減；

故〃(%)2/?(ln9+1))=f(in。+1))+g.)一/⑼一g(0)-Mn(Z?+1)

=(〃+左)ln(Z2+左)一(b+l)ln(Z2+l)—如左.

令=(x+左)ln(x+左)一(x+l)ln(x+l)—如左(%>0)>

則/(X)=ln(x+左)-ln(x+l).

⑴若左>1時，f(x)>0,/(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以《力>/(0)=0,滿足題意.

(ii)若左=1時，r(x)=O,滿足題意.

(iii)若0(左<1時，f(x)<0,，⑺在(0,+8)單調(diào)遞減，

所以/(x)<《0)=0.不滿足題意.

綜上述：左N1.

x

解法二：先證明不等式，e-x-l>09x-l>kvc9x-xlnx-l<0...(*).

令(p(x)=e"-x-1,

則當(dāng)行0時，(p'(x)=ex-l>0,0(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xWO時，^(x)=ex-l<0,°(x)單調(diào)遞減，

所以0(%)?0(0)=0,即e*—％—120(xeR).

變形得，ex>x+l?所以％>-1時，x>ln(%+l),

所以當(dāng)x>0時，x-l>]nx.

又由上式得，當(dāng)x>0時，—-l>ln—,l-x>-xiwcx-xlnx-l<0.

xxf

因此不等式(*)均成立.

令"(x)=g(x)-依+/(a)—/(o)—g(o)(x>0),

則”(x)=ln(x+k)一。，

⑴若。>1也時，當(dāng)x>e。—左時，//(%)>0,人(尤)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<x<e"—左時，〃(力<0,五(%)單調(diào)遞減;

^h{x}>h[ea-k)=g(e"—左)_丞。_k)+/(?)—/⑼-g⑼

=(%—l)a+左一1—Idnk.

(ii)若0<aWlnA時,//(x)>0,〃(尤)在(0,轉(zhuǎn))單調(diào)遞增，

a

所以Mx)>/z(O)=/(a)—/(O)=e-a-\.

因此，①當(dāng)0〈女W1時，此時1加<0,a>Ink,h(x)>(k-l)a+k-l-ldnk>0,

則需V

k-1-kink>0,

由(*)知，k-ldnk-l<0,(當(dāng)且僅當(dāng)左=1時等號成立)，所以左=1.

②當(dāng)左>1時，此時In上>0,a>Q,

貝!|當(dāng)a〉lnA?時，l)a+Z—1—Aink>(k—+左一1—Idnk

=—ln￡+左一1>0(由(*)知)；

當(dāng)0<aWlnA時,h(x)>ea-a-l>0(由(*)知).故對于任意。>0,尤)>0.

綜上述：左21.

【點睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于

恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參

數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

n

20、(1)-；(2)1.

3

【解析】

(1)由正弦定理化簡已知等式可得sinAsinbu^sinbcosA,求得tanA=G，結(jié)合范圍(0,n),可求

(2)利用三角形的面積公式可求從=8,由余弦定理解得Hc=7,即可得解△ABC的周長的值.

【詳解】

(1)由題意，在AABC中，因為asinB=WtbcosA,

由正弦定理，可得sinAsinB=^/3sinBcosA,

又因為(0,萬)，可得sin毋0,

所以sinA=陋cosA，即：tanA=若,

JT

因為ae(0,7t),所以A=H；

jr

(2)由(1)可知4=^，且。=5,

又由△ABC的面積26=bcsinA=be,解得bc=8,

由余弦定理〃2=52+。2.25ccosA,可得：25=b2+c2-bc=(5+c)2-3bc=(8+c)2-24,

2

整理得(b+c)=49,解得：b+c=7f

所以△ABC的周長a+b+c=5+7=l.

【點睛】

本題主要考查了正弦定理，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬

于基礎(chǔ)題.

2

21、(1)見解析；(2)-

3

【解析】

(1)可證面AEP,從而可得印

(2)可證點E為線段AG的三等分點，再過￡作用于G,過G作垂足為H,則NE7/G為二

面角E-3與-4的平面角，利用解直角三角形的方法可求tanNEHG.也可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用

兩個平面的法向量來計算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求tanZEHG.

【詳解】

證明：(1)因為45=44=4民/為中點，所以

因為平面4&耳3,平面ABC,平面441515c平面ABC=AB,平面招耳呂，

所以4R_L平面ABC,而BCu平面ABC,故

又因為+=4^2,所以BCLAC,則BCLAG，BC，4E,

又A￡CAE=A，故3CL面AEP,又EFu面AEF,所以BCLEF.

(2)由(I)可得：4G，面A^G，與E在面A產(chǎn)G內(nèi)的射影為AC，

則ZB.EQ為直線與E與平面A尸G所成的角，即ZB.EQ=60°.

因為3CLAC,所以用G，AC，4￡=2,所以￡0]=子，所以AE=￥，

即點E為線段AG的三等分點.

解法一：過E作EG，45i于G,則EG,平面

所以EGLBB1,過G作垂足為H,

則ZEHG為二面角E-BB,-A,的平面角，

因為EG=^，4G=2,GH=2乂6=瓜

32

2y/3

則在HfAEHG中，有‘/口”EG32,

GH3

2

所以二面角E-BB「A的平面角的正切值為j.

解法二：以點尸為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,-2,0）,A（0,0,2?3（0,2,0）,4（0,4,2檔），。（也,1,0）,

222

設(shè)點￡（用,No衣。），由=-=-AC得：（%,%,Zo,

即％=拽，%=2,zo=26,點E1孚,2,2若］,

3I3J

平面AA4B的一個法向量7〃=（1,0,0）,

<2^3目一.—.

又BE=-^-,0,273,臺耳=朋=（0,2,2月），

設(shè)平面EBB,的一個法向量為n=（x,y,z）,

’2石

--------X+2y/3y—0

則3，令x=JL則平面班用的一個法向量為撲=（3,6,-1）.

2y-\-2y/3z=0

加.〃3

設(shè)二面角E—5用一4的平面角為凡貝|cos8=^n=方,

網(wǎng)網(wǎng)VI3

22

即tan￡=g,所以二面角E—5