《高等數(shù)學(xué)上冊 第3版》 課件 D1-2 數(shù)列的極限

第二節(jié)第一章機動目錄上頁下頁返回結(jié)束數(shù)列的極限一、數(shù)列的概念二、極限思想概述三、數(shù)列極限的定義四、收斂數(shù)列的性質(zhì)劉徽目錄上頁下頁返回結(jié)束一、數(shù)列的概念定義注1．數(shù)列的定義機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義2．有界數(shù)列的定義機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義3．單調(diào)數(shù)列的定義注機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義4．子數(shù)列的定義注◎割圓術(shù)：播放——劉徽二、極限思想概述極限概念是由于求某些問題的精確解答而產(chǎn)生的．例如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（三世紀）發(fā)明的“割圓術(shù)”

利用圓的內(nèi)接正多邊形的面積來推算圓面積的方法，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用．

“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”機動目錄上頁下頁返回結(jié)束正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積機動目錄上頁下頁返回結(jié)束●極限思想:極限是變量的一種變化趨勢，極限是由近似過渡到精確的橋梁．機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、數(shù)列極限的定義考察下列四個數(shù)列：(1)(2)(3)(4)容易看出：當n無限增大時，數(shù)列（1）的一般項也無限增大；數(shù)列（2）的始終在1和－1兩點上來回跳動；它們都不趨近于一個確定的常數(shù)．而數(shù)列（3）與（4）的情形就不一樣，數(shù)列（3）無限趨近于常數(shù)0；數(shù)列（4）無限趨近于常數(shù)1．我們就稱常數(shù)0為數(shù)列（3）的極限；常數(shù)1為數(shù)列（4）的極限．機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1．數(shù)列極限的描述性定義問題:“無限趨近”的實質(zhì)是什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻畫它.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2．數(shù)列極限的分析定義（精確定義）注機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3．數(shù)列極限的幾何解釋機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1已知證明數(shù)列的極限為1.

證

欲使即只要因此,取則當時,就有故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明證欲使只要即取則當時,就有故故也可取也可由N

與

有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2已知證明等比數(shù)列證欲使只要即亦即因此,取,則當n>N

時,就有故的極限為0.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3設(shè)四、收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)１（數(shù)列極限的唯一性）

［簡言之，收斂數(shù)列的極限是唯一的．］機動目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì)２（收斂數(shù)列的有界性）

［簡言之，收斂數(shù)列必有界．］注20有界是數(shù)列收斂的必要條件而非充分條件，即：有界數(shù)列不一定收斂，無界數(shù)列一定發(fā)散.例如數(shù)列：有界，但發(fā)散．機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證由數(shù)列極限的定義,對于當時，于是，機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證從而有性質(zhì)３（收斂數(shù)列的保號性）

不妨設(shè)所以對推論如果數(shù)列從某項起有因為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì)４（收斂數(shù)列的子列收斂性）

［簡言之，收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂．且極限相同．］注20發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子數(shù)列．

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束*********************證

設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當時,有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當時,有從而有由此證得

*********************機動目錄上頁下頁返回結(jié)束返回劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫的《重差》對《九章算術(shù)》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯誤,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻.他的“