《高等數(shù)學(xué)上冊(cè) 第3版》 劉金林 習(xí)題及答案 第2章（導(dǎo)數(shù)）習(xí)題解答

PAGEPAGE32習(xí)題解答習(xí)題2.11．求函數(shù)在點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù)，并說(shuō)明在點(diǎn)處是否可導(dǎo)．解；．因?yàn)椋栽邳c(diǎn)處不可導(dǎo)．2．設(shè)，求及，并說(shuō)明是否存在．解；．因?yàn)椴淮嬖?，所以不存在?．設(shè)，求．解．4．討論下列函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性：(1)；解因?yàn)?，所以函?shù)在點(diǎn)處連續(xù)．因?yàn)椋?，所以，從而函?shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)．(2)；解因?yàn)?，所以函?shù)在點(diǎn)處連續(xù)．因?yàn)?，所以函?shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)．(3)．解因?yàn)?，所以函?shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，從而在點(diǎn)處不可導(dǎo)．5．若為偶函數(shù)，且存在，證明．證因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且存在，所以，從而．6．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，與均為常數(shù)，證明：．證因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，所以．7．利用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；解．(2)；解．(3)；解．(4)．解．8．求曲線在點(diǎn)處的切線方程與法線方程．解因?yàn)?，所以切線斜率為，法線斜率為．于是，所求切線方程為；所求法線方程為．9．求曲線在點(diǎn)處的切線方程與法線方程．解因?yàn)?，所以切線斜率為，法線斜率為．于是，所求切線方程為，即；所求法線方程為，即．10．在曲線上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線平行于直線．解設(shè)所求點(diǎn)為，則由題設(shè)知，，從而．故所求之點(diǎn)為．11．證明雙曲線上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為定值．證設(shè)為雙曲線上任一點(diǎn)，則雙曲線在該點(diǎn)處的切線斜率為．于是，切線方程為，即．切線在兩坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為與，故切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為．于是，雙曲線上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為定值．習(xí)題2.21．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；解．(2)；解．(3)；解．(4)；解．(5)；解．(6)；解．(7)；解．(8)；解．(9)；解．(10)；解．(11)；解．(12)．解．2．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；解．(2)；解．(3)；解．(4)；解．(5)；解．(6)；解．(7)；解．(8)；解(9)；解．(10)；解．(11)；解．(12)；解．(13)；解．(14)；解．(15)；解．(16)；解．(17)；解．(18)；解．(19)；解．(20)；解．(21)；解．(22)；解．(23)；解．(24)；解．(25)；解．(26)；解．(27)；解．(28)；解．(29)；解．(30)；解．3．求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：(1)，求；解，．(2)，求；解，．(3)，求；解，．(4)，求．解．4．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；解．(2)；解(3)；解．(4)；解．(5)；解．(6)．解．5．設(shè)，且為可導(dǎo)函數(shù)，求．解令，則，，從而．于是，．6．設(shè)，且為可導(dǎo)函數(shù)，求．解等式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，故．7．求下列分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；解當(dāng)時(shí)，．由于，故．于是，．(2)．解當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．由于，，故，，從而不存在．于是，（不存在）．習(xí)題2.31．求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1)；解，．(2)；解，．(3)；解，．(4)；解，．(5)；解，．(6)．解，．2．設(shè)二階可導(dǎo)，求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1)；解，．(2)．解，．3．求下列函數(shù)的指定階導(dǎo)數(shù)：(1)，求；解，，，．(2)，求；解．(3)，求．解．4．求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)：(1)；解，，，，一般地，．(2)；解，，，，一般地，．(3)；解，，，，一般地，．(4)；解因?yàn)椋裕?5)；解因?yàn)椋?，?6)；解因?yàn)?，所以?7)；解．(8)．解．習(xí)題2.41．求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．(2)；解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．(3)；解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．(4)．解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．2．求下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1)；解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．于是，．(2)；解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而于是，．(3)；解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得．從而．于是，．(4)．解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．于是，．3．求下列方程所確定的隱函數(shù)在處的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)：(1)；解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，①式①兩邊對(duì)求導(dǎo)，得②當(dāng)時(shí)，．將，代入式①得，．再將，，代入式②得，．(2)．解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，①式①兩邊對(duì)求導(dǎo)，得②當(dāng)時(shí)，．將，代入式①得，．再將，，代入式②得，．4．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；解兩邊取對(duì)數(shù)，得，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，于是，．(2)；解．(3)；解兩邊取對(duì)數(shù)，得，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，于是，．(4)．解兩邊取對(duì)數(shù)，得，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，于是，．5．求曲線在點(diǎn)處的切線方程與法線方程．解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．于是，切線斜率為，法線斜率為．故所求切線方程為，所求法線方程為．6．求曲線在點(diǎn)處的切線方程與法線方程．解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．于是，切線斜率為，法線斜率為．故所求切線方程為，．，所求法線方程為．7．求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)：(1)；解，．(2)；解，．(3)；解，．(4)．解，．8．求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)．解，，．9．求曲線在點(diǎn)處的切線方程與法線方程．解點(diǎn)對(duì)應(yīng)于參數(shù)．，所求切線的斜率為，所求法線的斜率為．故所求切線方程為，所求法線方程為．10．一長(zhǎng)為米的梯子斜靠在墻上，如果梯子下端以的速率滑離墻壁，試求當(dāng)梯子與墻壁的夾角為時(shí)，該夾角增加的速率．解設(shè)梯子離墻壁m時(shí)，梯子與墻壁的夾角為，則由題意得，兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得，，于是，，從而．故當(dāng)梯子與墻壁的夾角為時(shí)，該夾角增加的速率為．11．一氣球從離開(kāi)觀察員處離地面鉛直上升，當(dāng)氣球高度為時(shí)，其速率為．求此時(shí)觀察員視線的仰角增加的速率．解設(shè)氣球高度為時(shí)，觀察員視線的仰角為，則由題意得，兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得，，于是，，從而．故當(dāng)氣球高度為時(shí)，觀察員視線的仰角增加的速率為．12．注水入深上頂直徑的正圓錐形容器中，其速率為．當(dāng)水深為時(shí)，其表面上升的速率為多少？解設(shè)水深為時(shí)，其表面半徑為，則，從而容器中水的體積為．上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得，．于是，，從而．故當(dāng)水深為時(shí)，其表面上升的速率為，約為．習(xí)題2.51．設(shè)函數(shù)的圖形如圖2-6所示，試在圖2-6(a)、(b)、(c)、(d)中分別標(biāo)出點(diǎn)處的、及，并說(shuō)明其正負(fù)．解(a)，，；(b)，，；(c)，，；(d)，，．2．設(shè)，求，．解(1)．(2)．3．求下列函數(shù)的微分：(1)；解．(2)；解．(3)；解.(4);解．(5)；解.(6)；解．(7)；解．(8)．解．4．求下列方程所確定的隱函數(shù)的微分：(1)；解方程兩邊求微分，得，從而．(2)；解方程兩邊求微分，得，從而．(3)；解方程兩邊求微分，得，從而．(4)．解方程兩邊求微分，得，從而．5．將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入下列括號(hào)內(nèi)使等式成立：(1)；(2)；(3)；(4);(5)；(6)；(7)；(8)．解(1)應(yīng)填．(2)應(yīng)填．(3)應(yīng)填．(4)應(yīng)填．(5)應(yīng)填．(6)應(yīng)填．(7)應(yīng)填．6．設(shè)扇形的圓心角，半徑，如果不變，減少，問(wèn)扇形的面積大約改變了多少？又如果不變，增加，問(wèn)扇形的面積大約改變了多少？解.(1)如果不變，則（cm2）．故扇形的面積約減少．(2)如果不變，則（cm2）．故扇形的面積約增加．7．計(jì)算下列各式的近似值：(1)；(2)．解(1)令，，，則．(2)令，，，則．＊8．計(jì)算球體體積時(shí)，要求精確度在以內(nèi)，問(wèn)這時(shí)測(cè)量直徑的相對(duì)誤差不能超過(guò)多少？解設(shè)測(cè)量直徑的絕對(duì)誤差為，由直徑計(jì)算體積的絕對(duì)誤差為，則．因?yàn)?，所以，于是，，從而，即測(cè)量直徑的相對(duì)誤差不能超過(guò)．總習(xí)題21．選擇題(1)設(shè)，則（）．(A)(B)(C)(D)解因?yàn)椋裕詰?yīng)選D．(2)設(shè)，則在處（）．(A)左、右導(dǎo)數(shù)都存在但不相等(B)左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等(C)左導(dǎo)數(shù)存在、右導(dǎo)數(shù)不存在(D)左導(dǎo)數(shù)不存在、右導(dǎo)數(shù)存在解因?yàn)椋?，所以函?shù)在點(diǎn)處左導(dǎo)數(shù)存在、右導(dǎo)數(shù)不存在．故應(yīng)選Ｃ．(3)設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，，則是在處可導(dǎo)的（）．(A)充分必要條件(B)充分非必要條件(C)必要非充分條件(D)非充分非必要條件解因?yàn)楹瘮?shù)在處可導(dǎo)，所以；．于是，在處可導(dǎo)．故應(yīng)選Ａ．(4)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則在點(diǎn)處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是（）．(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在解因?yàn)?，所以?yīng)選D．(5)設(shè)，若存在，而不存在，則（）．(A)(B)(C)(D)解因?yàn)?，，所以，但不存在．故?yīng)選Ｂ．(6)若，在內(nèi)，，則在內(nèi)（）．(A)，(B)，(C)，(D)，解因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，從而是偶函數(shù)，是奇函數(shù)．于是，當(dāng)時(shí)，，從而，．故應(yīng)選Ｃ．(7)的不可導(dǎo)點(diǎn)共有（）．(A)個(gè)(B)個(gè)(C)個(gè)(D)個(gè)解據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，容易證明：是函數(shù)的可導(dǎo)點(diǎn)而是函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)．所以函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)共有個(gè)，即應(yīng)選Ｃ．2．填空題(1)設(shè)，則．解因?yàn)椋裕谑?，，從而?2)設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，且，，則．解因?yàn)椋裕?3)已知，，則．解因?yàn)?，所以?4)設(shè)，則．解因?yàn)闉槭醉?xiàng)系數(shù)為1的10次多項(xiàng)式，所以．(5)設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且，則．解因?yàn)楹瘮?shù)在處連續(xù)，且，所以，且．于是，．(6)設(shè)，則．解．(7)設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，且，則．解，(8)曲線在點(diǎn)處的切線方程為．解因?yàn)?，所以切線斜率．于是切線方程為．(9)設(shè)函數(shù)由方程確定，則．解方程兩邊取對(duì)數(shù)得，再兩邊求微分得，故．(10)設(shè)曲線與都通過(guò)點(diǎn)，且在該點(diǎn)有公共切線，則，，．解因?yàn)橛深}設(shè)得，，即，解之得．3．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；解．(2)；解．(3)；解．(4)；解．(5)；解兩邊取對(duì)數(shù)，得，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，于是，．(6)；解．(7)；解當(dāng)時(shí)，，由于，，故，，從而不存在．于是，（不存在）．(8)．解當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．由于，，故，，從而不存在．于是，（不存在）．4．求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得，從而．(2)．解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得，從而．5．設(shè)函數(shù)由方程確定，求．解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得，從而，．于是．6．設(shè)函數(shù)由方程確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，求．解方程兩邊取對(duì)數(shù)得，方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得，從而，．7．求下列參數(shù)方程所確