2024年1月廣安市高2021級高三一診理科數學試卷及答案（原卷）

秘密★啟用前

廣安市高2021級第一次診斷性考試

數學（理科）

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、座位號和準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本

試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的。

1.已知集合4=｛工|一3＜工＜2｝,8=｛工|工2+4工一540｝,則AflB=

A.0B.（-3,1]C.[-l,2）D.（-3,2）

2.復數2=罟+「則|z|=

A.1B.72C.2D.4

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x值為2023,則輸出的y值為

4.甲、乙兩個口袋中均裝有1個黑球和2個白球，現(xiàn)分別從甲、乙兩口袋中隨

機取一個球交換放入另一口袋，則甲口袋的三個球中恰有兩個白球的概率為

A2

AR51

-3B-VC9

5,已知數列｛a.｝是等差數歹h數列｛6”｝是等比數歹J,若%+%+為=9,慶仇仇=3",則骷攀=

1十b2b8

A.2B.V3C.-|D.尊

4J

數學（理科）試題第1頁（共4頁）

6.如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為BC的中點，F(xiàn)為CD邊上一點,

若衣?AE=|AE|2,i3iJ|AF|=

A.717B.2"

C.276D.5

7.“片一看”是“函數ksin（2H-p的圖象關于直線工=*對稱”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知耳㈤為雙曲線C：。-g=l（a>0,6>0）的左、右焦點，點A在C上，若|RA|=2|FzA|,

NA居尺=30°,△APB的面積為66■，則C的方程為

A.（—g=l—C.^-^=lD.導_要1

96366963

9.甲、乙、丙、丁4個學校將分別組織部分學生開展研學活動，現(xiàn)有A,E,C,D,E五個研學基地供

選擇，每個學校只選擇一個基地，則4個學校中至少有3個學校所選研學基地不相同的選擇種

數共有

A.420B.460C.480D.520

1。.若點P是函數〃幻=^^圖象上任意一點，直線Z為點P處的切線，則直線I傾斜角

的取值范圍是

傳，豹

C.

11.如圖，在正方體ABCD-AiBCiP中，點P是線段AS上的動點（含

端點），點Q是線段AC的中點，設PQ與平面AC。所成角為。，則

cos6的最小值是

A.B

o-T

c?等D.挈

_2

12.已知O為坐標原點，B，F(xiàn)z是橢圓C：余■十方=1（。>6>0）的左、右焦點,A,B分別為C的左、

右頂點.P為C上一點，且軸，直線與軸交于點直線BM與交于點

PF2±XAPyM,PF?Q,

直線EQ與？軸交于點N.若|0N|=^|0M|,則C的離心率為

數學（理科）試題第2頁（共4頁）

二、填空題迷題共4小題，每小題5分，共20分。

?44—H,

13.已知實數N4滿足-y+2）0,則2z+3y的最大值為?

、:y&z+2,

14.寫出一個同時具有下列性質①②③的函數:.

①偶函數；②最大值為2；③最小正周期是

15.在正四棱臺48。。一人1561內有一個球與該四棱臺的每個面都相切（稱為該四棱臺的內

切球），若A1場=2,AB=4,則該四棱臺的外接球（四棱臺的頂點都在球面上）與內切球的半

徑之比為.

16.若點P為aABC的重心，35sinA?PA+21sinB-PB+15sinC?詼=0,則cosZBAC=

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個

試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生依據要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.（12分）

某工廠注重生產工藝創(chuàng)新，設計并試運行了甲、乙兩條生產線.現(xiàn)對這兩條生產線生產的產

品進行評估，在這兩條生產線所生產的產品中，隨機抽取了300件進行測評，并將測評結果

（“優(yōu)”或“良”）制成如下所示列聯(lián)表：

良優(yōu)合計

甲生產線4080120

乙生產線80100180

合計120180300

（1）通過計算判斷，是否有90%的把握認為產品質量與生產線有關系？

（2）現(xiàn)對產品進行進一步分析,在測評結果為“良”的產品中按生產線用分層抽樣的方法抽取

了6件產品.若在這6件產品中隨機抽取3件，求這3件產品中產自于甲生產線的件數X

的分布列和數學期望.

附表及公式：

2

P（K>k0）0.150.100.050.0250.010

k02.0722.7063.8415.0246.635

其中箕=3+6）（：篙（^2）（6+/嚴—+6+,++

18.（12分）

已知數列Q.｝與正項等比數列｛4｝滿足③=1。826<〃61^）,且

（1）求匕力與也,）的通項公式；

⑵設G尸％?6”,求數列g）的前〃項和S”.

從①AT16,仇=128；②仇=4,優(yōu)-6也=0這兩個條件中任選一個,補充在上面問題中并作答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

數學（理科）試題第3頁（共4頁）

19.（12分）

已知。為坐標原點，過點P（2,0）的動直線/與拋物線C：y=4z相交于A,B兩點.

⑴求5X-0B；

（2）在平面直角坐標系式為中，是否存在不同于點P的定點Q,使得/AQR=NBQP恒成

立？若存在，求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

20.（12分）

如圖，在三棱柱ABC-AiBiG中，直線C】B_L平面ABC,平面AAiC】CJ_平面BB】GC.

（D求證:ACJ_BBi；

（2）若AC=BC=BG=2,在棱AI】上是否存在一點P,使二面角

P—BC-G的余弦值為嚕？若存在，求翳的值;若不存

在?請說明理由.

21.（12分）

已知函數f（z）=az3+2sinz—zcosz（其中a為實數）.

⑴若a=-*，工￡（0號）,證明」（工）>0;

（2）探究人外在（-n,“）上的極值點個數.

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題

記分。

22.［選修4一4：坐標系與參數方程］（10分）

-cE=￡cosa,

在直角坐標系zO?中，已知曲線C：〃+y=|H|+y（其中y>0）,曲線C,J（t為

j=2sina

參數,e>0）,曲線⑸n°'（t為參數，t>0,0VaV^）.以坐標原點0為極點，工軸的

,y=tcosaa'

正半軸為極軸建立極坐標系.

（垃求C的極坐標方程；

（2）若曲線C與C］，Q分別交于A,B兩點，求AOAB面積的最大值.

23.［選修4—5：不等式選講］（10分）

設函數/（x）=|2x—2|+|x+2|.

（1）解不等式，（工）45—2小

（2）令人公的最小值為T,正數a,b滿足>+/+26=丁,證明:a+642&-L

數學（理科）試題第4頁（共4頁）

理科數學參考答案

1.B2.C3.D4.B5.C6.D7.A8.B9.C10.C11.A12.B

13.11

2

14./(x)=2cos2力(答案不唯一，f(工)=2|sinx|,/(x)=2sinx,/(x)=|sin1rl+1,=

cos2^+1等均可)

IK唇

15.-^-

13

16?瓦

300X(40X100—80X80)2

17.【解析】(1)由題,K2=冷3.704>2,7064分

120X180X120X180Li/

因此，有90%的把握認為產品質量與生產線有關系...............................5分

(2)6件產品中產自于甲、乙生產線的分別有2件和4件，則X可能值為0,1,2.

則P(X=O)=^=^Y；P(X=1)=^=|§=^；P(X=2)=詈=4V.

則X的分布列為

X012

131

P

555

....................................................10分

所以,E(X)=0X1+l義春+2X1=1.12分

000

18.【解析】(1)若選①,

因為數列泌“｝是正項等比數列，設公比為Q，所以仇=仇夢,

又仇=16,仇=128,所以128=16",

解得q=2,3分

所以仇得=竽=4,所以■仇礦一』一』*】.

所以a?=log2Z>?=n+l.

故數列?”｝的通項公式為?！?〃+1,｛6”｝的通項公式為6“=2"+】.6分

數學(理科)試題答案第1頁(共5頁)

若選②,

由bs—6i仇=0,得bs=-63.

因為數列｛仇｝是正項等比數列，設｛R｝的公比為q,所以瓦寸=瓦?仇小

因為仇=4,所以/=4,又①>0,所以q=2,........................................................................3分

所以a=瓦q"T=4?2”7=2"+I,

所以an=logzbn=n+l.

數列｛公｝的通項公式為4=找+1，｛兒｝的通項公式為6”=2”+L.......................................6分

M+1

(2)c?=a??Z>M=(n+l)?2,

所以S”=2?2?+3?23+4?2,+…+S+1)*2”+1........................................................7分

2s“=2?23+3?24H-----Fn?2n+1+(n+l)-2n+2.

兩式相減，得一S”=2-22+23+2,+…+2”+1—(〃+1)?2”+2,.......................................9分

所以一S.=2+(2i+22+23+24+…+2”+i)-(〃+l)?2”+2

=2+2(1-2"+1)--(n+l)?2n+z=-n?2n+2.

1—N

故S“=〃?2”+2.......................................................................................................................12分

19.【解析】(1)由題知，直線2與軸不垂直，

故可設直線2的方程為2=n2)+2,A(g,“),B(X2,y2).

(y2=4x,

由，得/一4/ny-8=0...........................................................................................2分

［尤=/n)+2

顯然,△=16/+32>0,

于是"+?2=4利,？1"=-8,21力2=上?避=4.................................................................4分

所以示?冠=應/z+/iV2=-4..........................................................................................5分

(2)當直線人八軸時":比=2,A(2,2V^),B(2,—2V^),

故當NAQP=NBQP時，點QG比軸...............................................6分

當直線I與力軸不垂直時，由拋物線的對稱性知，滿足條件的點QG力軸，設Q(*0),

由NAQP=NBQP得々用+笈/=0,即^—+-^—=0,................................................8分

Xi-n22—〃

整理得”(12一九)+/2(力”)=0,即

%(a川+2-〃)+)2(利》1+2-〃)=0,

所以2?2/1”+(2-“)(/1+北)=0......................................................................................10分

故-16m+4(2—n)m=0，解得n=-2.

綜上，存在定點Q(—2,0)滿足條件...............................................12分

數學（理科）試題答案第2頁（共5頁）

20.【解析】（1）在平面BBiGC中作于H,

因為平面A4GC_L平面BB.GC,

且平面AACCn平面BB1C1C=CC1,

所以BH_L平面AA】GC,從而AC_LBH.2分

在三棱柱ABC—AiBiG中，38,平面ABCACU平面ABC,

所以AC_LGB.

又因為8G口6H=8,所以AC_L平面BB.C.C,

因止匕AC」_B8i.5分

（2）由（1）可知，CA,CB,BG兩兩垂直，如圖，以C為原點建立空間直角坐標系.

則A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,2,2),B1(0,4,2),B,A1=BA=(2,-2,0).

^B1P=AB1A1=(2A,-2A,0),A6E0,l1,

則P(2A,4-2A,2).7分

設平面PBC的一個法向量為n}(x,y,z)

因為前=(232—2儲2),無=(0,2,0),

所以

0,

z=,

則有

)=0.

令x=1,得=(1,0,—A).10分

而平面BCG的一個法向量可以是孫=（1，0,0），

?i?n|(l,0,-A)?(1,0,0)3/10

則|cos〈〃1,〃2〉I2，解得a=；,

II,I?2ITI+A710O

B.P1

即P為棱氏AI的三等分點12分

'All—3°

21.【解析】(1)由題知a=—,時"(1)=—十I+2sin%—xcosz,%G

貝lj/'(%)=—?1■/+%sinz+cosi,令g(x)=/'(1)=一^-久之+isinx+cos%.

所以g'（z）=—3Z+ZCOSK=K（COSZ-3X0,

則g（i）即/（Z）在（0,5）上單調遞減............................................2分

又/'（。）=1，f'（y）=_yx（y）十年=手（1-牛），故m-e（。號））=。，

當0＜%〈乃時，/（久）＞0,/（力）單調遞增；?＜了＜￡時，/（力）＜°J（久）單調遞減，

乙

數學（理科）試題答案第3頁（共5頁）

3

所以2=21為"2）在（o,屈上的極大值點，又八0）=0,7■傳）=一言+2>0,

所以，當々=一：,26（0晝）時"（%）》0?...............................................................................4分

（2）由/（2）+2sin2—JCCOS2，得f/（J；）=3axz+cosx+J；sinx>

依題意，只需探究了'（工）=3aX2+cosx+%sin%在（一兀,兀）上的零點個數即可，

由于/（一為=/（2），則/（%）為偶函數，/（0）=1,

故只需探究/（力）在（0,穴）上的零點個數即可.

令“（2）=/'（2）=3a尤②+85龍+25由力,貝!|/（尤）=6az+2cos2=2（6a+cos2）,

（I）當6a>1,即《時，6a+cosz》0,此時〃'（力）>0在（0,兀）恒成立，

則〃（力即/（無）單調遞增，故/（x）^/（0）=l,

此時尸（無）在（0,Q上無零點，則外%）在（一兀,兀）上的極值點個數為0...............................6分

（II）當一l<6a<l,即一］?<&<《時，三期6（0,兀），使得Xo（6a+cos2o）=0,即cos%）=—Qa,

6o

可知0<%<無（）時，/（力）>0；1ro〈尤〈兀時，/（力）<0,

所以〃（力）即%）在（0,%）上單調遞增，在（力。，兀）上單調遞減,....................7分

由于/（0）=l,/（7t）=3a7r2-l,

①若/'（兀）=34兀2一130,即工時，

O7T0

/（2）在（0,兀）上沒有零點，則/'（充）在（一兀,兀）上沒有零點，

故此時外步）在（一穴,兀）上的極值點個數為0...........................................................................8分

②若f'（7T）=3a/—1<0,即—［〈々〈/彳時，

007T

/'（乃在（0,”）上有1個零點，則乃在（一穴,工）上有2個零點，

所以，”為在（一兀,冗）上的極值點個數為2................................................................................10分

（DD當6曲一1,即。&一金■時，VxG（0,3/（尤）<0,

0

所以〃（比）即/（2）單調遞減，由于/（0）=1,/（?）=3^2-1<0,

（支）在（0,7t）有且僅有1個零點，則/'（力）在（一兀,兀）上有2個零點,

此時在（一兀,兀）上的極值點個數為2.

綜上所述：當。、工"時，/'（力）在（一兀,穴）上的無極值點；。<丁彳時"（力）在（一穴，兀）上的極值

OK07T

點個數為2.12分

數學（理科）試題答案第4頁（共5頁）

22.【解析】(1)因為x=pcos0,y=psin0,

由22+/=,得p2=ipcosdl+psinj........................................2分

由y>0知，p=>0,且2￡兀<0<2攵穴+式,

故p=Icos引+sind,247r<￡<2笈兀+兀GZ........................................4分

(范圍