重慶市2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

重慶市魯能巴蜀中學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月月考

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1?已知向量0=(3,2),Z?=(l,—1),則(a+/?)?/?=()

A.-3B.0C.1D.3

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算即可求解.

【詳解】由向量。=(3,2),I)—(1,-1),可得力+「=(4,1),又Z?=(l,-1),

所以=4xl+lx(—1)=3.

故選：D

2.在aABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為〃，b,c,若層-則角5為()

A.二B.&C.亞D.名

6363

【答案】B

【分析】由余弦定理求出cosB即可求解出結(jié)果.

【詳解】在ASC中，由余弦定理得：

b2=a2+c2-2accosB,

又b2=a2-ac+c2,

所以2cos3=1,即cosB='，又BRO,九)，

2

jr

所以B=j

故選：B.

->f

3.己知平面向量：工滿足=3,若a+b=5,則：與了的夾角為()

A.0B.-C.—D."

23

【答案】A

->->

【分析】兩邊平方轉(zhuǎn)化=5,根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算，即可求得結(jié)果.

【詳解】由=5,得(4+8)=25,

即+2〃包+|/?|=25,即可得

a-b6

設(shè)。與b的夾角為，，則麗===

又因?yàn)橄[0,回，所以。=0.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角的計(jì)算，涉及數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

4.已知向量〃=(2,4),6=(41),則“2=0”是“°//6”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】

由a//b可求出幾=±四，再由充分性和必要性的定義即可得出答案.

【詳解】若°//6，則2xl_/e=o,解得:2=+V2.

所以;1=而a//b推不出;1=＞/L

故“2=0”是“alib”的充分而不必要條件

故選：A.

5.在ABC所在平面內(nèi)，。是延長線上一點(diǎn)且皮＞=4CD,E是AB的中點(diǎn)，設(shè)

AC=b，則()

14B.九+4

A.-a+—bZ

5544

「54D-

C.——a+—bZ

6364

【答案】C

【分析】

根據(jù)給定條件，借助向量的線性運(yùn)算用鈣、AC表示即可判斷作答.

【詳解】

4

在，ABC所在平面內(nèi)，。在8C延長線上，且班＞=4C。，則=又E是48的

中點(diǎn)，

14141454

所以即=EB+8O=—AB+—BC=-AB+—（AC-AB）=—a+—3-。）=——a+-b.

23232363

故選：c

cbA

6.在，ABC中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為d"c,若+8$2彳=1,則ABC的形狀

2c2

為（）

A.等邊三角形B.等腰三角形

試卷第2頁，共16頁

C.直角三角形D.鈍角三角形

【答案】C

【分析】運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的余弦公式和余弦定理，以及勾股定理

的逆定理，即可得解三角形的形狀.

【詳解】解：在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為b,c,

i-f-tc-boA.—r/口c—b.2A1—cosA擊好十s—r/口c—b<,

因?yàn)閊Fcos—=1,可用~~=sin—=-,整理可行---=1—cosA,

2c22c22c

由余弦定理可得T=i-"+\一"）

整理可得62+4=°2,

則NC為直角，

即有ABC為直角三角形.

故選：C.

7.已知平行四邊形8居4為中，￡8=2&A,F}F2=A.FXA,且瑞4=旭8/，則2=

（）

A.石B.2C.乖D.77

【答案】D

【分析】

利用數(shù)量積的運(yùn)算律求得A31F2B,結(jié)合已知利用勾股定理列式求解即可.

【詳解】

設(shè)乙8=x,貝l|G3=2x,F}F2=AX,因?yàn)槿?"8=怛8『

所以（gA—鳥2）,乙3=0，所以BA.與3=0,故43，區(qū)2,故8A=

由勾股定理知（孚］+/=（§］，解得力=近.

故選：D

8.在銳角ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且ABC的外接圓半徑為R,

若ABC的面積S=5R2sin3sinC,則的取值范圍為（）

5c

35

B.l，+8C.

53

【答案】A

【分析】

43

利用正弦定理及三角形面積公式求得sinA=《，進(jìn)而求得cosA=g,再利用正弦定理及

b43

兩角和正弦公式化簡得/=再利用正切函數(shù)性質(zhì)結(jié)合銳角三角形的性質(zhì)

c5tanC5

求解范圍即可.

【詳解】由正弦定理得sinB=3，sinC=三，所以S=ER2sinBsinC=3bc,

27?27?55

1174

又三角形面積公式S=50csinA,可知/sinA=M，所以sinA=《,

jr3

Xo<A<-,所以cosA=—,

由正弦定理得”2=包10=sin[無一(A+C)]=sin(4+C)

csinCsinCsinC

sinAcosC+cosAsinCsinA.43

=-----------FcosA=--------------1-—,

sinCtanC5tanC5

銳角MC中，WO<兀--A<C<兀^,因?yàn)檎泻瘮?shù)y=tanx在上單調(diào)遞增,

22

3

cosA_5_3

所以tanC>tan—彳—，從而

~si~n~Ar4T4

5

343435

-<t=--------+-<——-+-=-

55tanC53^53.

4

故選：A

二、多選題

9.下列結(jié)論正確的是（）

A.一個(gè)平面內(nèi)有且只有一對(duì)不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底

B.互為相反向量的兩個(gè)向量的模相等

C.方向相同的兩個(gè)向量，向量的模越大，則向量越大

D.向量G與6共線o存在不全為零的實(shí)數(shù)4,4,使

【答案】BD

【分析】

根據(jù)基底的定義即可判斷A；根據(jù)相反向量的定義即可判斷B；根據(jù)向量的定義即可判

斷C；根據(jù)共線向量的定義即可判斷D.

試卷第4頁，共16頁

【詳解】對(duì)于A,由平面基底的概念可知，

只要不共線的任何兩個(gè)向量都可以作為平面的一組基底向量，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,方向相反模模相等的兩個(gè)向量為相反向量，故B正確；

對(duì)于C,向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,向量d與6共線。存在不全為零的實(shí)數(shù)4，2，使44+46=0,故D正確.

故選：BD.

10.對(duì)于ABC,有如下命題，其中正確的有（）

A.若4>6,貝！JsinA>sin3

B.若sin2A=sin23,則，ABC是等腰三角形

C.若sin?A+sin?2?+cos2c<1,貝！1ABC為鈍角三角形

D.若AB=6,AC=1,3=30。，貝|ABC的面積為走或如

42

【答案】ACD

【分析】

對(duì)于A：利用正弦定理分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)正弦函數(shù)結(jié)合角的范圍分析判斷；對(duì)于

C：利用正、余弦定理邊角轉(zhuǎn)化分析判斷；對(duì)于D：利用余弦定理結(jié)合面積公式運(yùn)算求

解.

【詳解】設(shè)角AB,C所對(duì)的邊為仇c,

對(duì)于選項(xiàng)A：若2>6,貝！由正弦定理可得sinA>sin_B,故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：若sin2A=sin25,

因?yàn)锳5w（0,兀）,A+5v兀，貝Ij2A,2B€（0,2TI）,2A+2B<2TI,

TT

可得2A=2B或24+23=兀，則A=B或4+2=不，

2

可知ABC是等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：若sin?A+sin?B+cos2c<1,BOsin2A+sin2B<sin2C,

由正弦定理可得/+〃<c2,SPa2+b2-c2<0,

則cosC=""一廣<0,且Ce（O,7i）,

lab

可知角C鈍角，可知ABC為鈍角三角形，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閏=g,b=l,3=30。，

由余弦定理可得：/=〃2+。2_2QCCOS3,即1=4+3_3〃，解得a=l或。=2,

所以ABC的面積為工碇5m5='^或！〃麼1115='^,故D正確；

2422

故選：ACD.

11.點(diǎn)。在ASC所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）

A.若陽。4+|閡08+網(wǎng)℃=0,則點(diǎn)。是ASC的重心

ACAB)(BCBA、

B.若04=OB-=0,則點(diǎn)。是ABC的內(nèi)心

|AC|\AB\)

C.^(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0,則點(diǎn)。是的外心

D.若。為三角形ABC外心，且25O=BA+BC，則B為ABC的垂心

【答案】BCD

【分析】

根據(jù)題意構(gòu)造菱形，再證明在角平分線上即可判斷A,構(gòu)造等腰三角形，可證得

垂直底邊，故可得Q4是角平分線，即可判斷B,由三角形中線的向量表示化簡可得。在

三角形邊的中垂線上即可判斷C,利用向量運(yùn)算得。為AC中點(diǎn)，結(jié)合題意得NB=90

即可求解判斷D.

【詳解】對(duì)于A,在AB,AC上分別取點(diǎn)。，E,使得4。=絲,人石=絲，

cb

則|AO|=|AE|=1,以AD,AE為鄰邊作平行四邊形ADFE,如圖，

A

/A\K袂/

/VX.

//

，ini--

H

則四邊形AOEE是菱形，且4尸=4￡>+4￡=絲+生，所以,平分/BAC,

cb

因?yàn)?+=0即aOA+bOB+cOC=0,

所以a.0A+6-（0A+A3）+o（0A+AC）=0,（a+b+c）OA+bAB+cAC=0,

ll…％八b…c…be（ABAC）be…

以AO-----------ABH------------AC--------------------1------=-------------AF,

a+b+ca+b+c〃+Z?+c（cbJa+b+c

所以A,O,歹三點(diǎn)共線，即。在/&LC的平分線上，

同理可得。在其它兩角的平分線上，所以。為ASC的內(nèi)心，錯(cuò)誤；

試卷第6頁，共16頁

對(duì)于B,在AB,AC上分別取點(diǎn)，E,使得AE=/J,A￡>=*-,如圖,

|AC|IAB|

()

ArAR

貝|J|AZ)|=|AE|=1,且----------=DE,

\AC\\AB\

因?yàn)椤?,?r-11-=0,即。4J_￡)E，又|AD|=|AE|=1知，AO平分/BAC,

UACIlABU

同理，可得80平分/ABC,故。為JLBC的內(nèi)心，正確；

對(duì)于C,取AB,8C的中點(diǎn)分別為M,N,如圖，

A

M/\

N

因?yàn)?OA+OB)AB=(OB+OCABd=0,所以2OM.AB=2ON.BC=0，

即。M，AB,0N，3C,所以。是.ABC的外心，正確；

對(duì)于D,因?yàn)?80=8A+8C，所以。4=-0C，即。為AC中點(diǎn)，又。為三角形4BC外

心，

所以N3=90,則B為ABC的垂心，正確.

故選：BCD

12.如圖所示，在二ABC中,3C=4,且M點(diǎn)為BC邊的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有()

A.設(shè)G是AM的中點(diǎn)，貝！!GA+G8+GC=0

仆sinZBAMAC

B.--------------=-----

sinNG4MAB

C.若NBAC=g,則AM的最小值為2衛(wèi)

D.若N54M=F，則AC邊的最小值為26-2

6

【答案】BD

【分析】

利用向量線性運(yùn)算判斷A,兩次正弦定理代換求解判斷B,利用余弦定理及基本不等式

得6cV16,然后通過向量運(yùn)算得AM=^^即可求解范圍判斷C,通過正弦定理求得

ABM的外接圓圓。的半徑，然后利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解最值判斷D.

【詳解】

對(duì)于A,因?yàn)镸點(diǎn)為BC邊的中點(diǎn)，所以2AM=AB+AC，又G是AM的中點(diǎn)，

所以+—C」G3+^GC」GA,

244442

所以G2+GC+2G4=0，錯(cuò)誤；

42_BM

對(duì)于B,分別在_ABM和AACM中由正弦定理可得＜sin%1M,

、sinZAMCsinZCAM

BM=CM=2ABsin/CAM

因?yàn)樨恘Ul-二---------正確;

ZAMB+ZAMC=TIACsinZBAM

對(duì)于C,在ABC中，由余弦定理可得〃+H—兒=16,

所以）2+。2=bc+16Z2bc,則6cW16,當(dāng)且僅當(dāng)Z?=c=4時(shí)取等，

b1+c2+2Z?ccosA

4

b1+C1+bc

4

當(dāng)且僅當(dāng)匕=c=4時(shí)取等，故AM最大值為2出，錯(cuò)誤;

對(duì)于D,在一中，由正弦定理可得sm火一一，

Sin6

故_ABM的外接圓圓。的半徑為R=2,則點(diǎn)A在優(yōu)弧BM上運(yùn)動(dòng),

則AC的最小值為oc一R=yjoN2+CN2-R=22,正確.

試卷第8頁，共16頁

A

o

故選：BD

三、填空題

13.在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a:6:c=3:5:7,貝l|cos3=.

【答案】I?

【分析】利用余弦定理的推論即可求解.

【詳解】由a:〃：c=3:5:7知，不妨令a=31,則力=5%,c=lt,

由余弦定理的推論得COSB=a2+c*=⑶『+(7廳一⑸)?=11.

2ac2x3(x7/14

故答案為:曹.

14

JT

14.已知平面向量。與b的夾角為若1。1=1,b=(l,2),則。在6上的投影向量的坐

標(biāo)為.

【答案】［W'TJ

【分析】直接利用向量在向量上的投影向量的定義求解.

【詳解】向量a在向量b上的投影向量是同＜o(jì)s，?條=1；4=4(1,2)=絡(luò),

J\b\z7、1UI3J

15.濟(jì)南泉城廣場上的泉標(biāo)是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟(jì)南的標(biāo)志和象征.

小明同學(xué)想測量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場的A點(diǎn)測得泉標(biāo)頂端。的仰角為30。，他又

沿著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)34.2米，到達(dá)2點(diǎn)，又測得泉標(biāo)頂端。的仰角為50°,則小明

同學(xué)求出泉標(biāo)的高度約為米.

(參考數(shù)據(jù)：sin20°?0.342,sin50°?0.766,sin80°?0.985)

【答案】38.3

【分析】設(shè)CD=/z,則AD=2/z,在△AB。中利用正弦定理求解即可.

CD

【詳解】設(shè)CD=h,在一ACD中，ZCAD=30，則AD==2h,

sm30

sinZADBABsin(50_30)_342_sin20

在△回￡）中，由正弦定理得

sinZABD~ADsin(180-50)2hsin50

結(jié)合sin20。70.342,sin50°?0.766,解得/z=38.3.所以泉標(biāo)的高度約為38.3米.

故答案為：38.3

7T

16.已知平面四邊形ABCD滿足/CB4=/CAD=i，且AC=AD=1,則的最

大值為.

【答案］三電

2

【分析】

方法I：設(shè)/5AC=cr,將os用43表示，DC用D4,AC表示，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)

算律結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解；方法2：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，設(shè)/&4C=c,利

用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】

方法1：設(shè)/54C=c,

-2

DBDC=(DA+AB)(DA+AC)=DA+DAAC+ABDA+ABAC

=1+0+AB|-|￡)A-COS—a+AB|-|AC-cosa=\+cosa-sina+cos2a

3+0sin12a+：

<3+6，

—22

試卷第10頁，共16頁

當(dāng)且僅當(dāng)a=J時(shí)取等號(hào)，

O

所以08.OC的最大值為為“0.

2

方法2：以8為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，設(shè)NBAC=a,

則A(coscr,0),C(0,sina),D(cosa+sina,cosa),

故DB-DC=(-cosa—sina,-cosa)-(-cosa-sina,sina-cosa)

3+0sin12a+：

<3+^2,

=(cosa+sina)2-cosa(sina-cosa)=

22

當(dāng)且僅當(dāng)a=J時(shí)取等號(hào),

o

所以。8?OC的最大值為為“應(yīng).

2

故答案為：歸史.

四、解答題

17.已知向量。=(一2,3),a+b=(2,5).

⑴求|b|以及向量。與方的夾角的余弦值；

⑵己知。與。+用的夾角為銳角，求4的取值范圍.

【答案】(1)161=26；-婪；

65

(2)(-%0)

【分析】

(1)根據(jù)向量夾角公式計(jì)算求解即可；

(2)夾角為銳角時(shí)數(shù)量積為正，同時(shí)注意排除夾角為0的情況即可.

【詳解】(1)

由a=(-2,3),a+b=(2,5)，

=a+b—a=(4,2),

則|6|=116+4=2百；

a-b—8+6辰

COS(4,〃

\a\\b\713x2^/5~65

(2)

a+2Z?=(-2,3)+A(4,2)=(42-2,22+3),

由d與a+例的夾角為銳角，

則a-(a+助)=-2(4X-2)+3(2；l+3)=-8/l+4+6X+9=-24+13>0,

13

解得;

當(dāng)alia+用時(shí),有-2(22+3)-3(42—2)—0,有豆=。.

此時(shí)0+力?=(一2,3).

所以4的取值范圍為彳<?且XwO.

18.在，ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a",c,已知3=45。，匕=2收，a=2jL

⑴求角A；

⑵若-ABC是鈍角三角形，。在線段BC上且AD平分/BAC,求CD.

【答案】(1)60?；?20。；

⑵6-2君

【分析】

(1)利用正弦定理計(jì)算可得；

(2)首先求出C,由兩角差的正弦公式求出sinC,再由正弦定理求出：，由角平分線

b

的性質(zhì)得到警=W，即可求出co.

ABBD

【詳解】(1)在ABC中由正弦定理二二=二，即2叵=必且，

sinAsinBsinAsin45°

解得sinA=，

2

又0°<A<135°,所以A=60°或A=120。；

(2)因?yàn)锳BC是鈍角三角形，所以/&4C=120。，

所以C=180°-120°-45°=15°,

試卷第12頁，共16頁

所以sinC=sin15°=sin（45°一30°）

=sin45°cos300-cos45°sin30°

V2V3A/21A/6-72

=-------X--------------------X—=-------------------

22224

在.ABC中由正弦定理—一=一%,所以，=空［=---條—=￥-1,

sinCsmBbsinB7222

又AO平分/B4C,貝ljNC4D=4W,

-AC-ADsinZCAD

所以乎ACCD

=2________________

AB-BD

3ADB-AB-ADsinZBAD

2

BDc431

而一廠

又CD+BD=2^,所以CO+CO=2若

解得CO=6-2jL

19.在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知Z?cosC+ccos_B=3acos3,

b=40.

⑴求cos8：

⑵若-ABC的面積為40，求ABC的周長.

【答案】⑴g;

⑵8+40

【分析】

(1)利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式即可求解；

(2)利用三角形的面積公式可求得碇，利用余弦定理可得出a+c的值，即可得解.

【詳解】(1)

dbc

由----=-----=-----=2R有2HsinBcosC+27?sinCcosB=67?sinAcosB,

sinAsinBsinC

有sinBcosC+sinCeosB=3sinAcosB,

可得sin(5+C)=3sinAcos5,即sinA=3sinAcosB,

AG(0,TT),/.sinA>0,則cosB=；；

(2)cos5=；,/.sinB=Vb-嬴9層考

則S/^ABC=g〃csin5==4虛，可得ac=12,

2

由余弦定理/=Q?+<?2—2accosB,有32=(〃+-2〃c-,{a+c)2=64,

可得〃+c=8,貝lj的周長為8+4加.

20.在/IBC中，AB=2,AC=272,AE=EC，2BD=DC，AT)和BE交于點(diǎn)M.

⑴設(shè)AM=九4。，求4;

(2)求

3

【答案】⑴"

⑵-！O

12

【分析】(I)利用平面向量的線性運(yùn)算得AD=§AC+]AB,再由昆石三點(diǎn)共線列

式計(jì)算即可;

(2)用A3,AC表示MD,旌，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.

【詳解】⑴因?yàn)?5￡)=OC，所以2(AO—A3)=AC—AD,所以AD=；AC+*3,

12

所以AM=24〃=TAC+1/U8,又點(diǎn)〃在BE上，則8M=/的,

所以=,所以AAf=.AE+(l_f)AB=：fAC+(l_r)AB,

」一

2=-

2:,故

由平面向量基本定理得3,解得<

4

-2=l-r

[32

12

(2)由(1)知AO=—AC+—A3,AM=-AC+-AB,AE^-AC,

33422

所以MO=—=-AC+-AB,ME=AE-AM=-AC--AB,

12642

1112I2I1

所以=—AC+-AB|-|-AC--AB=—AC——AB=—x8——x4=--

12642481248126

21.如圖，在一ABC中，ZBAC=60P,BC=2,BM=；BC,AN=AAB，彳€(。,1).

試卷第14頁，共16頁

A

(i)若求|MN|的最大值.

⑵若AB-AC<32+1，^\MN^-NA-NB的最大值.

【答案】⑴子；

【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合正弦函數(shù)的的性質(zhì)求解即可;

(2)由題干及數(shù)量積的定義知?dú)v4