重慶市2023-2024學年高一年級下冊3月月考數(shù)學試題（含答案解析）

重慶市魯能巴蜀中學校2023-2024學年高一下學期3月月考

數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1?已知向量0=(3,2),Z?=(l,—1),則(a+/?)?/?=()

A.-3B.0C.1D.3

【答案】D

【分析】根據題意，利用向量的數(shù)量積的坐標運算公式，準確計算即可求解.

【詳解】由向量。=(3,2),I)—(1,-1),可得力+「=(4,1),又Z?=(l,-1),

所以=4xl+lx(—1)=3.

故選：D

2.在aABC中，角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,若層-則角5為()

A.二B.&C.亞D.名

6363

【答案】B

【分析】由余弦定理求出cosB即可求解出結果.

【詳解】在ASC中，由余弦定理得：

b2=a2+c2-2accosB,

又b2=a2-ac+c2,

所以2cos3=1,即cosB='，又BRO,九)，

2

jr

所以B=j

故選：B.

->f

3.己知平面向量：工滿足=3,若a+b=5,則：與了的夾角為()

A.0B.-C.—D."

23

【答案】A

->->

【分析】兩邊平方轉化=5,根據數(shù)量積運算，即可求得結果.

【詳解】由=5,得(4+8)=25,

即+2〃包+|/?|=25,即可得

a-b6

設。與b的夾角為，，則麗===

又因為夕€[0,回，所以。=0.

故選：A.

【點睛】本題考查向量夾角的計算，涉及數(shù)量積的運算，屬基礎題.

4.已知向量〃=(2,4),6=(41),則“2=0”是“°//6”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】

由a//b可求出幾=±四，再由充分性和必要性的定義即可得出答案.

【詳解】若°//6，則2xl_/e=o,解得:2=+V2.

所以;1=而a//b推不出;1=＞/L

故“2=0”是“alib”的充分而不必要條件

故選：A.

5.在ABC所在平面內，。是延長線上一點且皮＞=4CD,E是AB的中點，設

AC=b，則()

14B.九+4

A.-a+—bZ

5544

「54D-

C.——a+—bZ

6364

【答案】C

【分析】

根據給定條件，借助向量的線性運算用鈣、AC表示即可判斷作答.

【詳解】

4

在，ABC所在平面內，。在8C延長線上，且班＞=4C。，則=又E是48的

中點，

14141454

所以即=EB+8O=—AB+—BC=-AB+—（AC-AB）=—a+—3-。）=——a+-b.

23232363

故選：c

cbA

6.在，ABC中，內角AB,C的對邊分別為d"c,若+8$2彳=1,則ABC的形狀

2c2

為（）

A.等邊三角形B.等腰三角形

試卷第2頁，共16頁

C.直角三角形D.鈍角三角形

【答案】C

【分析】運用同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角的余弦公式和余弦定理，以及勾股定理

的逆定理，即可得解三角形的形狀.

【詳解】解：在ABC中，內角A,B,C的對邊分別為b,c,

i-f-tc-boA.—r/口c—b.2A1—cosA擊好十s—r/口c—b<,

因為^Fcos—=1,可用~~=sin—=-,整理可行---=1—cosA,

2c22c22c

由余弦定理可得T=i-"+\一"）

整理可得62+4=°2,

則NC為直角，

即有ABC為直角三角形.

故選：C.

7.已知平行四邊形8居4為中，￡8=2&A,F}F2=A.FXA,且瑞4=旭8/，則2=

（）

A.石B.2C.乖D.77

【答案】D

【分析】

利用數(shù)量積的運算律求得A31F2B,結合已知利用勾股定理列式求解即可.

【詳解】

設乙8=x,貝l|G3=2x,F}F2=AX,因為瑞4"8=怛8『

所以（gA—鳥2）,乙3=0，所以BA.與3=0,故43，區(qū)2,故8A=

由勾股定理知（孚］+/=（§］，解得力=近.

故選：D

8.在銳角ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且ABC的外接圓半徑為R,

若ABC的面積S=5R2sin3sinC,則的取值范圍為（）

5c

35

B.l，+8C.

53

【答案】A

【分析】

43

利用正弦定理及三角形面積公式求得sinA=《，進而求得cosA=g,再利用正弦定理及

b43

兩角和正弦公式化簡得/=再利用正切函數(shù)性質結合銳角三角形的性質

c5tanC5

求解范圍即可.

【詳解】由正弦定理得sinB=3，sinC=三，所以S=ER2sinBsinC=3bc,

27?27?55

1174

又三角形面積公式S=50csinA,可知/sinA=M，所以sinA=《,

jr3

Xo<A<-,所以cosA=—,

由正弦定理得”2=包10=sin[無一(A+C)]=sin(4+C)

csinCsinCsinC

sinAcosC+cosAsinCsinA.43

=-----------FcosA=--------------1-—,

sinCtanC5tanC5

銳角MC中，WO<兀--A<C<兀^,因為正切函數(shù)y=tanx在上單調遞增,

22

3

cosA_5_3

所以tanC>tan—彳—，從而

~si~n~Ar4T4

5

343435

-<t=--------+-<——-+-=-

55tanC53^53.

4

故選：A

二、多選題

9.下列結論正確的是（）

A.一個平面內有且只有一對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底

B.互為相反向量的兩個向量的模相等

C.方向相同的兩個向量，向量的模越大，則向量越大

D.向量G與6共線o存在不全為零的實數(shù)4,4,使

【答案】BD

【分析】

根據基底的定義即可判斷A；根據相反向量的定義即可判斷B；根據向量的定義即可判

斷C；根據共線向量的定義即可判斷D.

試卷第4頁，共16頁

【詳解】對于A,由平面基底的概念可知，

只要不共線的任何兩個向量都可以作為平面的一組基底向量，故A錯誤；

對于B,方向相反模模相等的兩個向量為相反向量，故B正確；

對于C,向量不能比較大小，故C錯誤；

對于D,向量d與6共線。存在不全為零的實數(shù)4，2，使44+46=0,故D正確.

故選：BD.

10.對于ABC,有如下命題，其中正確的有（）

A.若4>6,貝！JsinA>sin3

B.若sin2A=sin23,則，ABC是等腰三角形

C.若sin?A+sin?2?+cos2c<1,貝！1ABC為鈍角三角形

D.若AB=6,AC=1,3=30。，貝|ABC的面積為走或如

42

【答案】ACD

【分析】

對于A：利用正弦定理分析判斷；對于B：根據正弦函數(shù)結合角的范圍分析判斷；對于

C：利用正、余弦定理邊角轉化分析判斷；對于D：利用余弦定理結合面積公式運算求

解.

【詳解】設角AB,C所對的邊為仇c,

對于選項A：若2>6,貝！由正弦定理可得sinA>sin_B,故A正確；

對于選項B：若sin2A=sin25,

因為A5w（0,兀）,A+5v兀，貝Ij2A,2B€（0,2TI）,2A+2B<2TI,

TT

可得2A=2B或24+23=兀，則A=B或4+2=不，

2

可知ABC是等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；

對于選項C：若sin?A+sin?B+cos2c<1,BOsin2A+sin2B<sin2C,

由正弦定理可得/+〃<c2,SPa2+b2-c2<0,

則cosC=""一廣<0,且Ce（O,7i）,

lab

可知角C鈍角，可知ABC為鈍角三角形，故C正確；

對于選項D：因為c=g,b=l,3=30。，

由余弦定理可得：/=〃2+。2_2QCCOS3,即1=4+3_3〃，解得a=l或。=2,

所以ABC的面積為工碇5m5='^或！〃麼1115='^,故D正確；

2422

故選：ACD.

11.點。在ASC所在的平面內，則以下說法正確的有（）

A.若陽。4+|閡08+網℃=0,則點。是ASC的重心

ACAB)(BCBA、

B.若04=OB-=0,則點。是ABC的內心

|AC|\AB\)

C.^(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0,則點。是的外心

D.若。為三角形ABC外心，且25O=BA+BC，則B為ABC的垂心

【答案】BCD

【分析】

根據題意構造菱形，再證明在角平分線上即可判斷A,構造等腰三角形，可證得

垂直底邊，故可得Q4是角平分線，即可判斷B,由三角形中線的向量表示化簡可得。在

三角形邊的中垂線上即可判斷C,利用向量運算得。為AC中點，結合題意得NB=90

即可求解判斷D.

【詳解】對于A,在AB,AC上分別取點。，E,使得4。=絲,人石=絲，

cb

則|AO|=|AE|=1,以AD,AE為鄰邊作平行四邊形ADFE,如圖，

A

/A\K袂/

/VX.

//

，ini--

H

則四邊形AOEE是菱形，且4尸=4￡>+4￡=絲+生，所以,平分/BAC,

cb

因為++=0即aOA+bOB+cOC=0,

所以a.0A+6-（0A+A3）+o（0A+AC）=0,（a+b+c）OA+bAB+cAC=0,

ll…％八b…c…be（ABAC）be…

以AO-----------ABH------------AC--------------------1------=-------------AF,

a+b+ca+b+c〃+Z?+c（cbJa+b+c

所以A,O,歹三點共線，即。在/&LC的平分線上，

同理可得。在其它兩角的平分線上，所以。為ASC的內心，錯誤；

試卷第6頁，共16頁

對于B,在AB,AC上分別取點，E,使得AE=/J,A￡>=*-,如圖,

|AC|IAB|

()

ArAR

貝|J|AZ)|=|AE|=1,且----------=DE,

\AC\\AB\

因為。4,?r-11-=0,即。4J_￡)E，又|AD|=|AE|=1知，AO平分/BAC,

UACIlABU

同理，可得80平分/ABC,故。為JLBC的內心，正確；

對于C,取AB,8C的中點分別為M,N,如圖，

A

M/\

N

因為(OA+OB)AB=(OB+OCABd=0,所以2OM.AB=2ON.BC=0，

即。M，AB,0N，3C,所以。是.ABC的外心，正確；

對于D,因為280=8A+8C，所以。4=-0C，即。為AC中點，又。為三角形4BC外

心，

所以N3=90,則B為ABC的垂心，正確.

故選：BCD

12.如圖所示，在二ABC中,3C=4,且M點為BC邊的中點，則下列結論正確的有()

A.設G是AM的中點，貝！!GA+G8+GC=0

仆sinZBAMAC

B.--------------=-----

sinNG4MAB

C.若NBAC=g,則AM的最小值為2衛(wèi)

D.若N54M=F，則AC邊的最小值為26-2

6

【答案】BD

【分析】

利用向量線性運算判斷A,兩次正弦定理代換求解判斷B,利用余弦定理及基本不等式

得6cV16,然后通過向量運算得AM=^^即可求解范圍判斷C,通過正弦定理求得

ABM的外接圓圓。的半徑，然后利用點與圓的位置關系求解最值判斷D.

【詳解】

對于A,因為M點為BC邊的中點，所以2AM=AB+AC，又G是AM的中點，

所以+—C」G3+^GC」GA,

244442

所以G2+GC+2G4=0，錯誤；

42_BM

對于B,分別在_ABM和AACM中由正弦定理可得＜sin%1M,

、sinZAMCsinZCAM

BM=CM=2ABsin/CAM

因為貝nUl-二---------正確;

ZAMB+ZAMC=TIACsinZBAM

對于C,在ABC中，由余弦定理可得〃+H—兒=16,

所以）2+。2=bc+16Z2bc,則6cW16,當且僅當Z?=c=4時取等，

b1+c2+2Z?ccosA

4

b1+C1+bc

4

當且僅當匕=c=4時取等，故AM最大值為2出，錯誤;

對于D,在一中，由正弦定理可得sm火一一，

Sin6

故_ABM的外接圓圓。的半徑為R=2,則點A在優(yōu)弧BM上運動,

則AC的最小值為oc一R=yjoN2+CN2-R=22,正確.

試卷第8頁，共16頁

A

o

故選：BD

三、填空題

13.在ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a:6:c=3:5:7,貝l|cos3=.

【答案】I?

【分析】利用余弦定理的推論即可求解.

【詳解】由a:〃：c=3:5:7知，不妨令a=31,則力=5%,c=lt,

由余弦定理的推論得COSB=a2+c*=⑶『+(7廳一⑸)?=11.

2ac2x3(x7/14

故答案為:曹.

14

JT

14.已知平面向量。與b的夾角為若1。1=1,b=(l,2),則。在6上的投影向量的坐

標為.

【答案】［W'TJ

【分析】直接利用向量在向量上的投影向量的定義求解.

【詳解】向量a在向量b上的投影向量是同＜os，?條=1；4=4(1,2)=絡,

J\b\z7、1UI3J

15.濟南泉城廣場上的泉標是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟南的標志和象征.

小明同學想測量泉標的高度，于是他在廣場的A點測得泉標頂端。的仰角為30。，他又

沿著泉標底部方向前進34.2米，到達2點，又測得泉標頂端。的仰角為50°,則小明

同學求出泉標的高度約為米.

(參考數(shù)據：sin20°?0.342,sin50°?0.766,sin80°?0.985)

【答案】38.3

【分析】設CD=/z,則AD=2/z,在△AB。中利用正弦定理求解即可.

CD

【詳解】設CD=h,在一ACD中，ZCAD=30，則AD==2h,

sm30

sinZADBABsin(50_30)_342_sin20

在△回￡）中，由正弦定理得

sinZABD~ADsin(180-50)2hsin50

結合sin20。70.342,sin50°?0.766,解得/z=38.3.所以泉標的高度約為38.3米.

故答案為：38.3

7T

16.已知平面四邊形ABCD滿足/CB4=/CAD=i，且AC=AD=1,則的最

大值為.

【答案］三電

2

【分析】

方法I：設/5AC=cr,將os用43表示，DC用D4,AC表示，再根據數(shù)量積的運

算律結合三角函數(shù)的性質即可得解；方法2：以B為坐標原點建系，設/&4C=c,利

用向量數(shù)量積的坐標公式結合三角函數(shù)的性質即可得解.

【詳解】

方法1：設/54C=c,

-2

DBDC=(DA+AB)(DA+AC)=DA+DAAC+ABDA+ABAC

=1+0+AB|-|￡)A-COS—a+AB|-|AC-cosa=\+cosa-sina+cos2a

3+0sin12a+：

<3+6，

—22

試卷第10頁，共16頁

當且僅當a=J時取等號，

O

所以08.OC的最大值為為“0.

2

方法2：以8為坐標原點建系，設NBAC=a,

則A(coscr,0),C(0,sina),D(cosa+sina,cosa),

故DB-DC=(-cosa—sina,-cosa)-(-cosa-sina,sina-cosa)

3+0sin12a+：

<3+^2,

=(cosa+sina)2-cosa(sina-cosa)=

22

當且僅當a=J時取等號,

o

所以。8?OC的最大值為為“應.

2

故答案為：歸史.

四、解答題

17.已知向量。=(一2,3),a+b=(2,5).

⑴求|b|以及向量。與方的夾角的余弦值；

⑵己知。與。+用的夾角為銳角，求4的取值范圍.

【答案】(1)161=26；-婪；

65

(2)(-%0)

【分析】

(1)根據向量夾角公式計算求解即可；

(2)夾角為銳角時數(shù)量積為正，同時注意排除夾角為0的情況即可.

【詳解】(1)

由a=(-2,3),a+b=(2,5)，

=a+b—a=(4,2),

則|6|=116+4=2百；

a-b—8+6辰

COS(4,〃

\a\\b\713x2^/5~65

(2)

a+2Z?=(-2,3)+A(4,2)=(42-2,22+3),

由d與a+例的夾角為銳角，

則a-(a+助)=-2(4X-2)+3(2；l+3)=-8/l+4+6X+9=-24+13>0,

13

解得;

當alia+用時,有-2(22+3)-3(42—2)—0,有豆=。.

此時0+力?=(一2,3).

所以4的取值范圍為彳<?且XwO.

18.在，ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a",c,已知3=45。，匕=2收，a=2jL

⑴求角A；

⑵若-ABC是鈍角三角形，。在線段BC上且AD平分/BAC,求CD.

【答案】(1)60?；?20。；

⑵6-2君

【分析】

(1)利用正弦定理計算可得；

(2)首先求出C,由兩角差的正弦公式求出sinC,再由正弦定理求出：，由角平分線

b

的性質得到警=W，即可求出co.

ABBD

【詳解】(1)在ABC中由正弦定理二二=二，即2叵=必且，

sinAsinBsinAsin45°

解得sinA=，

2

又0°<A<135°,所以A=60°或A=120。；

(2)因為ABC是鈍角三角形，所以/&4C=120。，

所以C=180°-120°-45°=15°,

試卷第12頁，共16頁

所以sinC=sin15°=sin（45°一30°）

=sin45°cos300-cos45°sin30°

V2V3A/21A/6-72

=-------X--------------------X—=-------------------

22224

在.ABC中由正弦定理—一=一%,所以，=空［=---條—=￥-1,

sinCsmBbsinB7222

又AO平分/B4C,貝ljNC4D=4W,

-AC-ADsinZCAD

所以乎ACCD

=2________________

AB-BD

3ADB-AB-ADsinZBAD

2

BDc431

而一廠

又CD+BD=2^,所以CO+CO=2若

解得CO=6-2jL

19.在ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知Z?cosC+ccos_B=3acos3,

b=40.

⑴求cos8：

⑵若-ABC的面積為40，求ABC的周長.

【答案】⑴g;

⑵8+40

【分析】

(1)利用正弦定理結合兩角和的正弦公式即可求解；

(2)利用三角形的面積公式可求得碇，利用余弦定理可得出a+c的值，即可得解.

【詳解】(1)

dbc

由----=-----=-----=2R有2HsinBcosC+27?sinCcosB=67?sinAcosB,

sinAsinBsinC

有sinBcosC+sinCeosB=3sinAcosB,

可得sin(5+C)=3sinAcos5,即sinA=3sinAcosB,

AG(0,TT),/.sinA>0,則cosB=；；

(2)cos5=；,/.sinB=Vb-嬴9層考

則S/^ABC=g〃csin5==4虛，可得ac=12,

2

由余弦定理/=Q?+<?2—2accosB,有32=(〃+-2〃c-,{a+c)2=64,

可得〃+c=8,貝lj的周長為8+4加.

20.在/IBC中，AB=2,AC=272,AE=EC，2BD=DC，AT)和BE交于點M.

⑴設AM=九4。，求4;

(2)求

3

【答案】⑴"

⑵-！O

12

【分析】(I)利用平面向量的線性運算得AD=§AC+]AB,再由昆石三點共線列

式計算即可;

(2)用A3,AC表示MD,旌，根據平面向量數(shù)量積的運算律求解即可.

【詳解】⑴因為25￡)=OC，所以2(AO—A3)=AC—AD,所以AD=；AC+*3,

12

所以AM=24〃=TAC+1/U8,又點〃在BE上，則8M=/的,

所以=,所以AAf=.AE+(l_f)AB=：fAC+(l_r)AB,

」一

2=-

2:,故

由平面向量基本定理得3,解得<

4

-2=l-r

[32

12

(2)由(1)知AO=—AC+—A3,AM=-AC+-AB,AE^-AC,

33422

所以MO=—=-AC+-AB,ME=AE-AM=-AC--AB,

12642

1112I2I1

所以=—AC+-AB|-|-AC--AB=—AC——AB=—x8——x4=--

12642481248126

21.如圖，在一ABC中，ZBAC=60P,BC=2,BM=；BC,AN=AAB，彳€(。,1).

試卷第14頁，共16頁

A

(i)若求|MN|的最大值.

⑵若AB-AC<32+1，^\MN^-NA-NB的最大值.

【答案】⑴子；

【分析】(1)利用正弦定理結合正弦函數(shù)的的性質求解即可;

(2)由題干及數(shù)量積的定義知歷4