專題10圓（共35題）-2022年中考數(shù)學真題分項匯編 （江蘇專用）（解析版）

2022年中考數(shù)學真題分項匯編（江蘇專用）專題10圓（共35題）一、單選題1．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠AOC=160°，則∠ABC的度數(shù)是（

）A．80° B．100° C．140° D．160°【答案】B【分析】先根據(jù)圓周角定理求得∠D的度數(shù)，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ABC的度數(shù)即可．【詳解】解：∵∠AOC=160°，∴∠ADC=1∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC=180°?∠ADC=180°?80°=100°，故選：B.【點睛】此題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理，比較簡單，牢記有關(guān)定理是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇無錫·中考真題）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)1周，得到圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A．12π B．15π C．20π D．24π【答案】C【分析】先利用勾股定理計算出AB，再利用扇形的面積公式即可計算出圓錐的側(cè)面積．【詳解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=32以直線AC為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的側(cè)面積=12×2π=20π．故選：C．【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．3．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°【答案】C【分析】過點D作DF⊥AB于點F，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，證明OD∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AE，∴AE⊥DE．故選項A、B都正確；∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故選項D正確；∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，∴DE=DF<OD，故選項C不正確；故選：C．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在5×6的長方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點稱為格點，扇形OAB的圓心及弧的兩端均為格點．假設(shè)飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是（

）A．π12 B．π24 C．10π【答案】A【分析】根據(jù)幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值．【詳解】解：由圖可知，總面積為：5×6=30，OB=3∴陰影部分面積為：90·π×10360∴飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是5π2故選：A．【點睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件發(fā)生的概率．5．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，有一個半徑為2的圓形時鐘，其中每個刻度間的弧長均相等，過9點和11點的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（

）A．23π?32 B．23π?【答案】B【分析】陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積，分別求出扇形面積和等邊三角形的面積即可．【詳解】解：如圖，過點OC作OD⊥AB于點D，∵∠AOB=2×360°12∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=12AB∴OD=AO2∴陰影部分的面積為60?π×2故選：B．【點睛】本題考查了扇形面積、等邊三角形的面積計算方法，掌握扇形面積、等邊三角形的面積的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，BC=63，⊙O同時與邊BA的延長線、射線AC相切，⊙O的半徑為3．將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)α0°<α≤360°，B、C的對應點分別為B′、C′，在旋轉(zhuǎn)的過程中邊B′A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先以A為圓心，以BC邊的中線為半徑畫圓，可得⊙A的半徑為3，計算出OA的長度，可知⊙O與⊙A相切，根據(jù)兩個相切圓的性質(zhì)，即可得到答案．【詳解】解：如圖：作AD⊥BC，以A為圓心，以AD為半徑畫圓∵AC、AB所在的直線與⊙O相切，令切點分別為P、Q，連接OP、OQ∴AO平分∠PAQ∵∠CAB=120°∴∠PAO=30°∵OP=3∴AO=OPsin∵∠BAC=120°，AB=AC

∴∠ACB=30°，CD=12BC=∴AD=CD·tan∴⊙A的半徑為3,∴⊙O與⊙A的半徑和為6∵AO=6∴⊙O與⊙A相切∵AD⊥BC∴BC所在的直線是⊙A的切線∴BC所在的直線與⊙O相切∴當α=360°時，BC所在的直線與⊙O相切同理可證明當α=180°時，B″C″當B′C′⊥AO時，即α=90°時，B∴當α為90°、180°、360°時，BC所在的直線與⊙O相切故答案選C．【點睛】本題主要考查了圓的切線，涉及到等腰三角形的性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系和特殊角的三角函數(shù)等知識，熟練掌握相關(guān)知識，精準識圖并準確推斷圖形的運動軌跡，進行合理論證是本題的解題關(guān)鍵．二、填空題7．（2022·江蘇淮安·中考真題）若圓錐的底面圓半徑為2，母線長為5，則該圓錐的側(cè)面積是______．（結(jié)果保留π）【答案】10π【分析】根據(jù)圓錐的底面圓半徑為2，母線長為5，直接利用圓錐的側(cè)面積公式求出即可．【詳解】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：πrl=π×2×5=10π，故答案為：10π．【點睛】本題主要考查了圓錐側(cè)面面積的計算，熟練記憶圓錐的側(cè)面積公式是解決問題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，A、B、C點在圓O上，若∠ACB=36°，則∠AOB=________．【答案】72°##72度【分析】利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACB=12∠AOB，∠ACB∴∠AOB=2×∠ACB=72°．故答案為：72°．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半解答是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使得點B落在邊CD上的點B′處，線段AB【答案】π3##【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB'=AB=2,由銳角三角函數(shù)可求∠DA【詳解】解：∵AB=2BC=2,∴BC=1,∵矩形ABCD中，∴AD=BC=1,∠D=∠DAB=90°,由旋轉(zhuǎn)可知AB=AB∵AB=2BC=2，∴A∵∴∠DA∴∠BA∴線段AB掃過的面積=故答案為：π【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，扇形面積公式，銳角三角函數(shù)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解此題的關(guān)鍵．10．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，AB、AC是⊙O的弦，過點A的切線交CB的延長線于點D，若∠BAD=35°，則∠C=___________°．【答案】35【分析】連接AO并延長，交⊙O于點E，連接BE，首先根據(jù)圓周角定理可得∠E+∠BAE=90°，再根據(jù)AD為⊙O的切線，可得∠BAE+∠BAD=90°，可得∠E=∠BAD=35°，再根據(jù)圓周角定理即可求得．【詳解】解：如圖，連接AO并延長，交⊙O于點E，連接BE．∵AE為⊙O的直徑，∴∠ABE=90°，∴∠E+∠BAE=90°，∵AD為⊙O的切線，∴∠DAE=90°，∴∠BAE+∠BAD=90°，∴∠E=∠BAD=35°，∴∠C=∠E=35°．故答案為：35．【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，則⊙O【答案】1【分析】連接OA、OC，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC=90°，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：連接OA、OC，∵∠ABC=45°，∴∠AOC=2∠ABC=90°，∴OA2+O解得：OA=1，故答案為：1．【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．12．（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖上，ΔABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,O為內(nèi)心，過點O的直線分別與AC、AB相交于D【答案】2或12##1【分析】分析判斷出符合題意的DE的情況，并求解即可；【詳解】解：①如圖，作DE//BC，OF⊥BC，OG⊥AB，連接OB，則OD⊥∵DE//BC，∴∠OBF=∠BOE∵O為ΔABC∴∠OBF=∠OBE，∴∠BOE=∠OBE∴BE=OE，同理，CD=OD，∴DE=CD+BE，AB=∵O為ΔABC∴OF=OD=OG=CD，∴BF=BG∴AB=BG+AG=BC?CD+AC?CD=6?CD+8?CD=10∴CD=2②如圖，作DE⊥AB，由①知，BE=4，AE=6，∵∠ACB=∠AED∴Δ∴AB∴AD=∴CD=AC?AD=8?∵DE=∴DE=BE+CD=4+∴CD=故答案為：2或12【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)心的性質(zhì)、勾股定理、三角形的相似，根據(jù)題意正確分析出符合題意的情況并應用性質(zhì)定理進行求解是解題的關(guān)鍵．13．（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖，PA與⊙O相切于點A，PO與⊙O相交于點B，點C在AmB上，且與點A，B不重合，若∠P=26°，則∠C的度數(shù)為_________°．【答案】32【分析】連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求出∠O=64°．再根據(jù)圓周角的定理，求解即可．【詳解】解：連接OA，∵PA與⊙O相切于點A，∴∠PAO=90°，∴∠O=90°-∠P，∵∠P=26°，∴∠O=64°，∴∠C=12∠O故答案為：32．【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是正確利用切線的定理，作出輔助線，求出∠O的度數(shù)．14．（2022·江蘇無錫·中考真題）△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點F．如圖，若點D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是________．【答案】

80

4?3##【分析】利用SAS證明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，據(jù)此可求得∠BAF的度數(shù)；利用全等三角形的性質(zhì)可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四個點在同一個圓上，當BF是圓C的切線時，即當CD⊥BF時，∠FBC最大，則∠FBA最小，此時線段AF長度有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB=∠ECA，在△BCD和△ACE中，CD=CE∠BCD=∠ACE∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠DBC，∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；設(shè)BF與AC相交于點H，如圖：∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四個點在同一個圓上，∵點D在以C為圓心，3為半徑的圓上，當BF是圓C的切線時，即當CD⊥BF時，∠FBC最大，則∠FBA最小，∴此時線段AF長度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=52?3∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，過點F作FG⊥DE于點G，∴DG=GE=32∴FE=DF=DGcos30°=∴AF=AE-FE=4-3，故答案為：80；4-3．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．15．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=6，點M在邊AF上，且AM=2．若經(jīng)過點M的直線l將正六邊形面積平分，則直線l被正六邊形所截的線段長是_____．【答案】4【分析】如圖，連接AD，CF，交于點O，作直線MO交CD于H，過O作OP⊥AF于P，由正六邊形是軸對稱圖形可得：S四邊形ABCO=S四邊形DEFO,由正六邊形是中心對稱圖形可得：S【詳解】解：如圖，連接AD，CF，交于點O，作直線MO交CD于H，過O作OP⊥AF于P，由正六邊形是軸對稱圖形可得：S四邊形由正六邊形是中心對稱圖形可得：S△AOM=S∴直線MH平分正六邊形的面積，O為正六邊形的中心，由正六邊形的性質(zhì)可得：△AOF為等邊三角形，∠AFO=60°,而AB=6,∴AB=AF=OF=OA=6,AP=FP=3,∴OP=6∵AM=2,則MP=1,∴OM=1∴MH=2OM=47故答案為：4【點睛】本題考查的是正多邊形與圓的知識，掌握“正六邊形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形”是解本題的關(guān)鍵．16．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，連接AC，AD．若∠BAC=28°，則∠D=______°【答案】62【分析】連接BD，根據(jù)直徑所對的圓周角是90°，可得∠ADB=90°，由CB=CB，可得∠BAC=∠BDC，進而可得【詳解】解：連接BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵CB=∴∠BAC=∠BDC=28°，∴∠ADC=90°?∠BDC=62°故答案為：62【點睛】本題考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．17．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，A為切點，連接BC，與⊙O交于點D，連接OD．若∠AOD=82°，則∠C=_________°．【答案】49【分析】利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求得∠B=12∠AOD=41°，根據(jù)AC是⊙O的切線得到∠BAC【詳解】解：∵∠AOD=82°，∴∠B=12∠AOD∵AC為圓的切線，A為切點，∴∠BAC=90°，∴∠C=90°-41°=49°故答案為49．【點睛】此題考查圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，直角三角形兩銳角互余，正確理解圓周角定理及切線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．18．（2022·江蘇宿遷·中考真題）將半徑為6cm，圓心角是120°的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐底面圓的半徑為______cm．【答案】2【分析】根據(jù)弧長公式、圓錐的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，得圓錐底面周長=120°×π×6∴這個圓錐底面圓的半徑=4π故答案為：2．【點睛】本題考查了扇形、圓錐的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長公式、圓錐的性質(zhì)，從而完成求解．19．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，圓錐的母線AB＝6，底面半徑CB＝2，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角α＝_______．【答案】120°．【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到απ×6180【詳解】解：根據(jù)題意得απ×6180解得α＝120，即側(cè)面展開圖扇形的圓心角為120°．故答案為120°．【點睛】本題考查圓的周長公式，弧長公式，方程思想在初中數(shù)學的學習中非常重要，是中考的熱點，在各種題型中均有出現(xiàn)，要特別注意．20．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點M、N分別是邊AD、BC的中點，某一時刻，動點E從點M出發(fā)，沿MA方向以每秒2個單位長度的速度向點A勻速運動；同時，動點F從點N出發(fā)，沿NC方向以每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動，其中一點運動到矩形頂點時，兩點同時停止運動，連接EF，過點B作EF的垂線，垂足為H．在這一運動過程中，點H所經(jīng)過的路徑長是_____．【答案】52π【分析】根據(jù)題意知EF在運動中始終與MN交于點Q，且ΔAQM～ΔFQN，NQ:MQ=1:2,點H在以BQ為直徑的PN上運動，運動路徑長為PN的長，求出【詳解】解：∵點M、N分別是邊AD、BC的中點，連接MN，則四邊形ABNM是矩形，∴MN=AB=6，AM=BN=12AD根據(jù)題意知EF在運動中始終與MN交于點Q，如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴Δ∴NF∴NQ=1當點E與點A重合時，則NF=12∴BF=BN+NF=4+2=6，∴AB=BF=6∴ΔABF∴∠AFB=45°,∵BP⊥AF，∴∠PBF=45°由題意得，點H在以BQ為直徑的PN上運動，運動路徑長為PN長，取BQ中點O，連接PO，NO，∴∠PON=90°，又∠BNQ=90°,∴BQ=B∴ON=OP=OQ=1∴PN的長為90π×5180故答案為：5【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及弧長等知識，判斷出點H運動的路徑長為PN長是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題21．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ACB=60°，AD經(jīng)過圓心O交⊙O于點E，連接BD，∠ADB=30°．(1)判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AB=43【答案】(1)直線BD與⊙O相切，理由見解析(2)圖中陰影部分的面積8【分析】（1）連接BE，根據(jù)圓周角定理得到∠AEB=∠C=60°，連接OB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BOD=60°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=90°，解直角三角形得到OB，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：直線BD與⊙O相切，理由：如圖，連接BE，∵∠ACB=60°，∴∠AEB=∠C=60°，連接OB，∵OB=OC，∴△OBE是等邊三角形，∴∠BOD=60°，∵∠ADB=30°，∴∠OBD=180°?60°?30°=90°，∴OB⊥BD，∵OB是⊙O的半徑，∴直線BD與⊙O相切；（2）解：如（1）中圖，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE=90°，∵AB=43∴sin∠AEB=∴AE=8，∴OB=4，∵OB⊥BD，∠ADB=30°∴tan∠ADB=∴BD=4∴圖中陰影部分的面積=S【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，扇形面積的計算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，如圖，點A、B、C在圓O上，∠ABC=60°，直線AD∥BC，AB=AD，點O在(1)判斷直線AD與圓O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線AD與圓O相切，理由見解析(2)12π?9【分析】（1）連接OA，根據(jù)AD∥BC和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，從而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，從而得到∠（2）連接OC，作OH⊥BC于H，根據(jù)垂徑定理可得OH=12OB=3，進而得到BC=2BH=6【詳解】（1）解：直線AD與圓O相切，理由如下：如圖，連接OA，∵AD∥∴∠D=∠DBC，∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∵∠ABC=60°，∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∴∠BAD=120°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABD=30°，∴∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∵OA是圓的半徑，∴直線AD與園O相切，（2）解：如圖，連接OC，作OH⊥BC于H，∵OB=OC=6，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠BOC=120°，∴OH=1∴BH=B∴BC=2BH=63∴扇形BOC的面積為120×6∵SΔ∴陰影部分的面積為S扇形【點睛】本題主要考查了切線的判定，求扇形面積，垂徑定理，熟練掌握切線的判定定理，并根據(jù)題意得到陰影部分的面積為S扇形23．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是30cm，高為42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑AB、CD以及AC、BD組成的軸對稱圖形，直線l為對稱軸，點M、N分別是AC、BD的中點，如圖2，他又畫出了AC所在的扇形并度量出扇形的圓心角∠AEC=66°，發(fā)現(xiàn)并證明了點E在MN上．請你繼續(xù)完成參考數(shù)據(jù)：sin66°≈910，cos66°≈25，tan66°≈【答案】42cm【分析】連接AC，交MN于點H．設(shè)直線l交MN于點Q，根據(jù)圓周角定理可得∠AEM=33°，解Rt△AEH，得出1320【詳解】解：連接AC，交MN于點H．設(shè)直線l交MN于點Q．∵M是AC的中點，點E在MN上，∴∠AEM=∠CEM=1在△AEC中，∵EA=EC，∠AEH=∠CEH，∴EH⊥AC，AH=CH．∵直線l是對稱軸，∴AB⊥l，CD⊥l，MN⊥l，∴AB∥∴AC⊥AB．∴AC=42.9，AH=CH=429在Rt△AEH中，sin∠AEH=即1120則AE=39．∵tan∠AEH=即1320則EH=33．∴MH=6．∵該圖形為軸對稱圖形，張圓凳的上、下底面圓的直徑都是30cm∴HQ=1∴MQ=MH+HQ=6+15=21．∴MN=42cm【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形的實際應用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．24．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，AC平分∠BAD,CD=22，點E在BC的延長線上，連接DE(1)求直徑BD的長；(2)若BE=52【答案】(1)4(2)6【分析】（1）設(shè)OC輔助線，利用直徑、角平分線的性質(zhì)得出∠DAC的度數(shù)，利用圓周角與圓心角的關(guān)系得出∠COD的度數(shù)，根據(jù)半徑與直徑的關(guān)系，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)論．（2）由（1）已知∠COD=90°，OC=OD得出∠BDC的度數(shù)，根據(jù)圓周角的性質(zhì)結(jié)合∠DAC=∠BDC得出S1=S2，再根據(jù)直徑、等腰直角三角形的性質(zhì)得出BC的值，進而利用直角三角形面積公式求出S△ECD【詳解】（1）解：如圖所示，連接OC，∵BD為⊙O的直徑，AC平分∠BAD，∴∠BAD=90°，∠BAC=∠DAC=1∴∠COD=∵CD=22，OC=OD∴2OD2=C∴OD=∴BD=OD+OB=2+2=4．（2）解：如圖所示，設(shè)其中小陰影面積為S1，大陰影面積為S3，弦CD與劣弧CD所形成的面積為∵由（1）已知∠COD=90°，∠DAC=45°，OC=OD，BD=4，∴∠BDC=1∵∠DAC=∠BDC，∴弦BC=弦CD，劣弧BC=劣弧CD∴S∵BD為⊙O的直徑，CD=∴∠BCD=∠ECD=∵BE=52∴CE=BE?BC=52∴S∴S【點睛】本題考查圓的性質(zhì)的理解與綜合應用能力．涉及對半徑與直徑的關(guān)系，直徑的性質(zhì)，圓周角與圓心角的關(guān)系，圓周角的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形，角平分線等知識點．半徑等于直徑的一半；直徑所對的圓周角是直角；在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角等于圓心角的一半；在同圓或等圓中，圓周角相等=弧相等=弦相等．一個直角三角中，兩個直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方．恰當借助輔助線，靈活運用圓周角的性質(zhì)建立等式關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．25．（2022·江蘇鹽城·中考真題）證明：垂直于弦AB的直徑CD平分弦以及弦所對的兩條弧．【答案】見解析【分析】根據(jù)命題的題設(shè)：垂直于弦AB的直徑CD，結(jié)論：CD平分AB，CD平分ADB,【詳解】已知：如圖，CD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為P．求證：PA=PB，AD=BD，證明：如圖，連接OA、OB．因為OA=OB，OP⊥AB，所以PA=PB，∠AOD=∠BOD．所以AD=BD，所以AC=【點睛】本題考查的是命題的證明，圓心角與弧，弦之間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，熟練的運用在同圓與等圓中，相等的圓心角所對的弧相等是解本題的關(guān)鍵．26．（2022·江蘇常州·中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點O是圓心，直徑AB的長是12cm，C是半圓弧上的一點（點C與點A、B不重合），連接AC、BC(1)沿AC、BC剪下△ABC，則△ABC是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點E、F和直徑AB上的點G、H．已知剪下的由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為6cm(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點C，一定存在線段AC上的點M、線段BC上的點N和直徑AB上的點P、Q，使得由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為4cm【答案】(1)直角(2)見詳解(3)小明的猜想正確，理由見詳解【分析】（1）AB是圓的直徑，根據(jù)圓周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；（2）以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點F連接EF、FO、EA，G、H點分別與A、O點重合，即可；（3）當點C靠近點A時，設(shè)CM=13CA，CN=13CB，可證MN∥AB,推出MN=13AB=4cm，分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交【詳解】（1）解：如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB是直角，即△ABC是直角三角形，故答案為：直角；（2）解：以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點F連接EF、FO、EA，G、H點分別與A、O點重合，即可，作圖如下：由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA=12AB即四邊形EFHG是邊長為6cm的菱形；（3）解：小明的猜想正確，理由如下：如圖，當點C靠近點A時，設(shè)CM=13∴CMCA∴MN∥∴MNAB∴MN=1分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點P，Q，作MD⊥AB于點D，NE⊥AB于點E，∴MN=MP=NQ=4cm∵MN∥AB,MD⊥AB，∴MD=NE，在RtΔMDP和MP=NQMD=NE∴RtΔMDP∴∠MPD=∠NQE，∴MP//又∵MP=NQ，∴四邊形MNQP是平行四邊形，又∵MN=MP，∴四邊形MNQP是菱形；同理，如圖，當點C靠近點B時，采樣相同方法可以得到四邊形MNQP是菱形，故小明的猜想正確．【點睛】本題考查了圓周角定理、尺規(guī)作圖、菱形的性質(zhì)與判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用上述知識解決問題．27．（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖①，矩形ABCD與以EF為直徑的半圓O在直線l的上方，線段AB與點E、F都在直線l上，且AB=7，EF=10，BC＞5.點B以1個單位/秒的速度從點E處出發(fā)，沿射線EF方向運動矩形ABCD隨之運動，運動時間為t秒(1)如圖2，當t=2.5時，求半圓O在矩形ABCD內(nèi)的弧的長度；(2)在點B運動的過程中，當AD、BC都與半圓O相交，設(shè)這兩個交點為G、H連接OG，OH.若∠GOH為直角，求此時t的值.【答案】(1)5π(2)8或9秒【分析】(1)通過計算當t=2.5時EB=BO，進而得到△MBE≌△MBO，判斷出△MEO為等邊三角形得到∠EOM=60°，然后根據(jù)弧長公式求解；(2)通過判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性質(zhì)分析求解．（1）解：設(shè)BC與⊙O交于點M，如下圖所示：當t=2.5時，BE=2.5，∵EF=10，∴OE=12EF∴OB=2.5，∴EB=OB，在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB，∴△MBE≌△MBO(SAS)，∴ME=MO，∴ME=EO=MO，∴△MOE是等邊三角形，∴∠EOM=60°，∴ME=（2）解：連接GO和HO，如下圖所示：∵∠GOH=90°，∴∠AOG+∠BOH=90°，∵∠AOG+∠AGO=90°，∴∠AGO=∠BOH，在△AGO和△OBH中，∠AGO=∠BOH∠GAO=∠HBO=∴△AGO≌△BOH(AAS)，∴AG=OB=BE-EO=t-5，∵AB=7，∴AE=BE-AB=t-7，∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，∴(t-5)2+(12-t)2=52，解得：t1=8，t2=9，即t的值為8或9秒．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式的計算，勾股定理的應用，掌握全等三角形的判定(一線三垂直模型)，結(jié)合勾股定理列方程是解題關(guān)鍵．28．（2022·江蘇鹽城·中考真題）【發(fā)現(xiàn)問題】小明在練習簿的橫線上取點O為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點的位置有一定的規(guī)律．【提出問題】小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點，所描的點都在某二次函數(shù)圖像上．(1)【分析問題】小明利用已學知識和經(jīng)驗，以圓心O為原點，過點O的橫線所在直線為x軸，過點O且垂直于橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標系，如圖2所示．當所描的點在半徑為5的同心圓上時，其坐標為___________．(2)【解決問題】請幫助小明驗證他的猜想是否成立．(3)【深度思考】小明繼續(xù)思考：設(shè)點P(0,m)，m為正整數(shù)，以O(shè)P為直徑畫⊙M，是否存在所描的點在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(?3,4)或(3,4)(2)成立，理由見解析(3)存在，4【分析】（1）先畫出圖形，再結(jié)合實際操作可得OA=OB=OD=5,OC=4,OC⊥AB,再利用勾股定理求解AC，BC，從而可得答案；（2）解法1：設(shè)半徑為n的圓與直線y=n?1的交點為P(x,n?1)．利用勾股定理可得x2+(n?1)2=n2解法2：設(shè)半徑為n的圓與直線y=n?1交點為P(x,n?1)，可得x2+(n?1)2=n2，解方程可得P(±（3）如圖，設(shè)所描的點N(±2n?1,n?1)在⊙M上，由MO=MN，建立方程(m2)2=（1）解：如圖，OA=OB=OD=5,OC=4,OC⊥AB,∴AC=BC=5∴A(?3,4),B(3,4),故答案為：(?3,4)或(3,4)（2）小明的猜想成立．解法1：如圖，設(shè)半徑為n的圓與直線y=n?1的交點為P(x,n?1)．因為OP=n，所以x2+(n?1)所以n=1所以y=n?1=1解法2：設(shè)半徑為n的圓與直線y=n?1交點為P(x,n?1)，因為OP=n，所以x2+(n?1)2={x=±2n?1,y=n?1，消去∴點在拋物線y=1（3）存在所描的點在⊙M上，理由：如圖，設(shè)所描的點N(±2n?1,n?1)在則MO=MN，因為M(0,m所以(m整理得m=n因為m，n都是正整數(shù)，所以只有n=2，m=4滿足要求．因此，存在唯一滿足要求的m，其值是4．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，垂徑定理的應用，坐標與圖形，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，勾股定理的應用，方程的正整數(shù)解問題，理解題意，建立幾何模型與函數(shù)模型是解本題的關(guān)鍵．29．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點D為AC上的動點（點A、C除外），BD的延長線交⊙O于點E，連接CE．(1)求證△CED∽△BAD；(2)當DC=2AD時，求CE的長．【答案】(1)見解析(2)CE=【分析】（1）根據(jù)同弧所對圓周角相等可得∠A=∠E，再由對頂角相等得∠BDA=∠CDE，故可證明緒論；（2）根據(jù)DC=2AD可得AD=2,CD=4，由△CED∽△BAD可得出BD·DE=8,連接AE，可證明△ABD∽△EBA，得出AB2【詳解】（1）∵BC所對的圓周角是∠A,∠E，∴∠A=∠E，又∠BDA=∠CDE，∴△CED∽△BAD；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=BC=6∵DC=2AD，∴AC=3AD,∴AD=2,DC=4,∵Δ∴ADDE∴2∴BD?DE=8;連接AE,如圖，∵AB=BC,∴AB=∴∠BAC=∠BEA,又∠ABD=∠EBA，∴△ABD~∴ABBE∴AB2∴62∴BD=27∴6CF解得，CE=【點睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形和判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．30．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是AB的中點，CD與AB交于點E．F是AB延長線上的一點，且CF=EF．(1)求證：CF為⊙O的切線；(2)連接BD，取BD的中點G，連接AG．若CF=4，BF=2，求AG的長．【答案】(1)見解析(2)AG=【分析】（1）方法一：如圖1，連接OC，OD．由∠OCD=∠ODC，F(xiàn)C=FE，可得∠OED=∠FCE，由AB是⊙O的直徑，D是AB的中點，∠DOE=90°，進而可得∠OCF=90°，即可證明CF為⊙O的切線；方法二：如圖2，連接OC，BC．設(shè)∠CAB=x°．同方法一證明∠OCF=90°，即可證明CF為⊙O的切線；（2）方法一：如圖3，過G作GH⊥AB，垂足為H．設(shè)⊙O的半徑為r，則OF=r+2．在Rt△OCF中，勾股定理求得r=3，證明GH∥DO，得出△BHG∽BOD，根據(jù)BHBO=BGBD，求得方法二：如圖4，連接AD．由方法一，得r=3．AB=6，D是AB的中點，可得AD=BD=32，根據(jù)勾股定理即可求得AG【詳解】（1）（1）方法一：如圖1，連接OC，OD．∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵FC=FE，∴∠FCE=∠FEC．

∵∠OED=∠FEC，∴∠OED=∠FCE．∵AB是⊙O的直徑，D是AB的中點，∴∠DOE=90°．∴∠OED+∠ODC=90°．∴∠FCE+∠OCD=90°，即∠OCF=90°．∴OC⊥CF．∴CF為⊙O的切線．方法二：如圖2，連接OC，BC．設(shè)∠CAB=x°．∵AB是⊙O的直徑，D是AB的中點，∴∠ACD=∠DCB=45°．∴∠CEF=∠CAB+∠ACD=45+x∵FC=FE，∴∠FCE=∠FEC=45+x°∴∠BCF=x°．∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC=x°．∴∠BCF=∠ACO．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∴∠OCB+∠ACO=90°．∴∠OCB+∠BCF=90°，即∠OCF=90°．∴OC⊥CF．∴CF為⊙O的切線．（2）解：方法一：如圖3，過G作GH⊥AB，垂足為H．設(shè)⊙O的半徑為r，則OF=r+2．在Rt△OCF中，42解之得r=3．∵GH⊥AB，∴∠GHB=90°．

∵∠DOE=90°，∴∠GHB=∠DOE．∴GH∥∴△BHG∽BOD∴BHBO∵G為BD中點，∴BG=1∴BH=12BO=∴AH=AB?BH=6?3∴AG=G方法二：如圖4，連接AD．由方法一，得r=3．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．∵AB=6，D是AB的中點，∴AD=BD=32∵G為BD中點，∴DG=1∴AG=A【點睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．31．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B、C、D、M均為格點．【操作探究】在數(shù)學活動課上，佳佳同學在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段AB、CD，相交于點P并給出部分說理過程，請你補充完整：解：在網(wǎng)格中取格點E，構(gòu)建兩個直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan在Rt△CDE中，，所以tan∠BAC=所以∠BAC=∠DCE．因為∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠ACP+∠BAC=90°，所以∠APC=90°，即AB⊥CD．(1)【拓展應用】如圖②是以格點O為圓心，AB為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在BM上找出一點P，使PM=AM，寫出作法，并給出證明：(2)【拓展應用】如圖③是以格點O為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦AB上找出一點P．使AM2=AP·【答案】(1)tan∠DCE=(2)見解析【分析】（1）取格點N，作射線AN交BM于點P，則AN⊥MO根據(jù)垂徑定理可知，點P即為所求作；（2）取格點I，連接MI交AB于點P，點P即為所求作．利用正切函數(shù)證得∠FMI=∠MNA，利用圓周角定理證得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可證明結(jié)論．（1）解：【操作探究】在網(wǎng)格中取格點E，構(gòu)建兩個直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan在Rt△CDE中，tan∠DCE=所以tan∠BAC=所以∠BAC=∠DCE．因為∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠ACP+∠BAC=90°，所以∠APC=90°，即AB⊥CD．故答案為：tan∠DCE=取格點N，作射線AN交BM于點P，點P即為所求作；∵∴∠MOD=∠NAC∵∠NAC+∠ANC=90°∴∠ANC+∠DOM=90°∴AN⊥OM∴（2）解：取格點I，連接MI交AB于點P，點P即為所求作；證明：作直徑AN，連接BM、MN，在Rt△FMI中，tan∠FMI=在Rt△MNA中，tan∠MNA=所以tan∠FMI=∴∠FMI=∠MNA，∵∠B=∠MNA，∴∠AMP=∠B，∵∠PAM=∠MAB，∴△PAM∽△MAB，∴PAAM∴AM2=AP·【點睛】本題考查作圖-應用與設(shè)計，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．32．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D．(1)判斷直線AC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AB=4，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)證明見解析(2)6?π【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理證明AB⊥AC,從而可得結(jié)論；（2）如圖，連接OD，先證明∠AOD=2∠ABC=90°,∠BOD=90°,再利用陰影部分的面積等于三角形ABC的面積減去三角形BOD的面積，減去扇形AOD的面積即可．（1）證明：∵∠ABC=45°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°,∴∠BAC=90°,即BA⊥AC,∵A在⊙O上，∴AC為⊙O的切線．（2）如圖，連接OD，∵∠ABC=45°，∴∠AOD=2∠ABC=90°,∠BOD=90°,∵AB=4，∴OA=2，∴S△ABC=S扇形∴S【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，扇形面積的計算，掌握“切線的判定方法與割補法求解不規(guī)則圖形面積的方法”是解本題的關(guān)鍵．33．（2022·江蘇揚州·中考真題）【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？【初步嘗試】如圖1，已知扇形OAB，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；【問題聯(lián)想】如圖2，已知線段MN，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP；【問題再解】如圖3，已知扇形OAB，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】【初步嘗試】如圖1，作∠AOB的角平分線所在直線即為所求；【問題聯(lián)想】如圖2，先作MN的線段垂直平分線交MN于點O，再以O(shè)為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點即為等腰直角三角形的頂點；【問題再解】如圖3先作OB的線段垂直平分線交OB于點N，再以N為圓心NO為半徑作圓,與垂直平分線的交點為M，然后以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓與扇形OAB所交的圓弧即為所求．【詳解】【初步嘗試】如圖所示，作∠AOB的角平分線所在直線OP即為所求；【問題聯(lián)想】如圖，先作MN的線段垂直平分線交MN于點O，再以O(shè)為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點即為等腰直角三角形的頂點；【問題再解】如圖，先作OB的線段垂直平分線交OB于點N，再以N為圓心NO為半徑作圓,與垂直平分線的交點為M，然后以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓與扇形OAB所交的圓弧CD即為所求．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，扇形的面積等知識，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，掌握基本作圖方法．34．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥OA交AB于點P，交過點B的直線于點C，且CB=CP．(1)試判斷直線