2023-2024學(xué)年安徽省合肥九年級(上)期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2023-2024學(xué)年安徽省合肥四十六中南校區(qū)九年級（上）期末

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：每小題給出的四個選項中，其中只有一個是正確的，請把正確選項填涂在答

題卷（本大題共10小題，每小題4分，共40分）

1.（4分）下面圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（

A-RIB屋cE

2.（4分）函數(shù)y=3（x-2）2+4的圖象的頂點坐標是（）

A.（3,4）B.（-2,4）C.（2,4）D.（2,-4）

3.（4分）函數(shù)的圖象中，在每個象限內(nèi)：y隨x增大而增大，則k可能為（）

X

A.-2B.-1C.0D.1

4.（4分）如圖，為了測量河岸A,B兩點的距離，在與AB垂直的方向上取點C,測得AC

=a,ZABC=Q,那么AB等于（）

■一|芳a

,一二

--***

A.aQiiPB.aQosaC.aQanaD.—_—

tanCI

5.（4分）已知2a+bJ,下列結(jié)論正確的是（）

a-2

A.ab=6B.2a.=3bC.a=@.D.3a=2b

2b

6.（4分）如圖，點A是反比例函數(shù)1葉X的圖象上的一點，過點A作AB_Lx軸，垂足為B.點

X

C為y軸上的一點，連接AC,BC.若AABC的面積為3,則k的值是（）

d一

A.3B.-6C.6D.-3

第1頁（共6頁）

7.（4分）如圖所示，AB為00的直徑，點C在。0上，且OC1AB,過點C的弦CD與

線段0B相交于點E,滿足NAEC=65°,連接AD,則NBAD等于（）

A.20°B.25°C.30°D.32.竽

8.（4分）如圖，在aABC中，1）、E分別為AB、AC邊上的點，DE〃BC,BE與CD相交

于點F,則下列結(jié)論一定正確的是（）

FCACABACDBBCBFFC

9.（4分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=（x+3）2-4的圖象上有兩點A（xry］），B（x2,y2）,

X］〈X2，且X］+8=-X2，則丫］與丫2的大小關(guān)系是（）

Bc

A?力〈丫2-yi>y2-yi=y2D.yj+8=-y2

10.（4分）如圖，在RtAiABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=2,D為AC上任一點,

F為AB中點，連接BD,E在BD上,且滿足CD2=DEQD,連接EF,則EF的最小值

為（）

A.M-iB.1D4

第2頁（共6頁）

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

11.（5分）已知點P是線段AB的黃金分割點，且AP<PB,若AB=2,貝UBP=（結(jié)

果保留根號）.

12.（5分）如圖，已知，AD是4ABC的中線，E是AD的中點，則AF：FC=.

13.（5分）已知：如圖，AB是的直徑，弦CD交AB于E點，BE=1,AE=5,ZAEC

=30",則CD的長為.

14.（5分）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,延長BC到點D,菱形CDEF的邊CF

在邊AC上，過點F作FG〃AB交BE于點G,點G是BE的中點，如果/A=60°,則

線段EF和BC的數(shù)量關(guān)系為,如果NA=90°,AB=2近+2,則CD的

長為.

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

15.（8分）計算：2cos30°-tan6ff+sin45cos45°.

16.（8分）如圖，在平面直角坐標系中，4ABC的頂點都在網(wǎng)格的格點上，按要求解決下

列問題.

第3頁（共6頁）

(1)畫出AABC關(guān)于y軸的軸對稱圖形△A]B[3；

(2)以點0為位似中心，在第一象限中出畫出AAZB2c2,使得^AiBiCi與aAzB2c2位

似，且相似比為1：3.

四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)

17.(8分)如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象交y軸于點C(0,2),與反比例函數(shù)y=典的

X

圖象交于A,B兩點，且A點坐標為(-3,-1).

(1)確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；

(2)直接寫出不等式kx+b<@的解集.

18.(8分)如圖，在4ABC中，D為BC上一點，E為AD上一點，如果/DAC=NB,CD

(1)求證：ZXACE^ABAD.

(2)若CE=3,BD=4,AE=2,求ED的長.

五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)

19.(10分)如圖，小明為了測量小河對岸大樹BC的高度，他在點A測得大樹頂端B的仰

角為45°,沿斜坡走3代米到達斜坡上點D,在此處測得樹頂端點B的仰角為31。，

且斜坡AF的坡比為1：2.

(1)求小明從點A到點D的過程中，他上升的高度;

(2)大樹BC的高度約為多少米？

第4頁(共6頁)

（參考數(shù)據(jù)：sin3r30.52cos31°30.86tan31°?=0.60）

B

20.（10分）如圖，AB為。0的直徑，0C±AB交。0于點C,D為0B上一點，延長CD

交。0于點E,延長0B至F,使DF=FE,連接EF.

（1）求證：EF為。0的切線;

（2）若0D=1且BD=BF,求。0的半徑.

六.（本題滿分12分）

21.（12分）某商貿(mào)公司購進某種商品，經(jīng)過市場調(diào)研，整理出這種商品在第x（1WXW48）

天的售價與日銷售量的相關(guān)信息如表:

時間X（天）W3030WxW48

售價x+3060

日銷售量（kg）-x+120

已知這種商品的進價為20元4g,設(shè)銷售這種商品的日銷售利潤為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）第幾天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少？

七.（本題滿分12分）

22.（12分）如圖，RtAABO的兩直角邊0A、0B分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上,

0為坐標原點，A,B兩點的坐標分別為（-3,0）、（0,4）,拋物線y=2x2+bx+c經(jīng)過

3

第5頁（共6頁）

B點，且頂點在直線x=S上.

2

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若4DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷

點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由.

(3)在(2)的條件下，若M點是CD所在直線下方該拋物線上的一個動點，過點M作

MN平行于y軸交CD于點N.設(shè)點M的橫坐標為t,MN的長度為s,求s與t之間的函

數(shù)關(guān)系式，寫出自變量t的取值范圍，并求s取大值時，點M的坐標.

八.(本題滿分14分)

23.(14分)如圖，矩形ABCD中，AD>AB,點P是對角線AC上的一個動點(不包含A、

(1)求證：Z\AEF^ABCA；

(2)連接BP,若BP=AB,且F為AD中點，求星的值；

PC

(3)若AD=2AB,移動點P,使AABP與ACPI)相似，直接寫出空?的值.

AB

第6頁(共6頁)

2023-2024學(xué)年安徽省合肥四十六中南校區(qū)九年級（上）期末

數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析

一、選擇題：每小題給出的四個選項中，其中只有一個是正確的，請把正確選項填涂在答

題卷（本大題共10小題，每小題4分，共40分）

1.（4分）下面圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

A.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意;

B、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

D、是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

故選：D.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找

對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩

部分重合.

2.（4分）函數(shù)y=3（x-2）2+4的圖象的頂點坐標是（）

A.（3,4）B.（-2,4）C.（2,4）1）.（2,-4）

【分析】由函數(shù)解析式即可求得答案.

【解答】解：

；y=3（x-2）2+4,

二函數(shù)圖象頂點坐標為（2,4）,

故選：C.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在y

=a（x-h）2+k中，頂點坐標為（h,k）,對稱軸為x=h.

3.（4分）函數(shù)的圖象中，在每個象限內(nèi)y隨x增大而增大，則k可能為（）

X

A.-2B.-1C.0D.1

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍即可.

第1頁（共21頁）

【解答】解：?..反比例函數(shù)y=K2的圖象中，在每個象限內(nèi)y隨x增大而增大,

x

Ak+KO,

解得kV-1.

觀察選項，只有選項A符合題意.

故選：A.

【點評】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵.

4.（4分）如圖，為了測量河岸A,B兩點的距離，在與AB垂直的方向上取點C,測得AC

=a,ZABC=a,那么AB等于（）

A.aDinaD.―2-

tana

【分析】根據(jù)已知角的正切值表示即可.

【解答】解：:AC=a,NABC=a,在直角AABC中tana=22,

AB

AAB=——

tana

故選：D.

【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確記憶三角函數(shù)的定義是解決本題的

關(guān)鍵.

5.（4分）已知2a+b上,下列結(jié)論正確的是（）

a2

A.ab=6B.2a=3bC.a=_2_D.3a=2b

2b

【分析】根據(jù)紋HI,可得7a=4a+2b,所以3a=2b,即可得出答案.

a2

【解答】解：?.?經(jīng)包

a2

；.7a=4a+2b,

3a=2b.

故選：D.

【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握比例的性質(zhì).

第2頁（共21頁）

6.（4分）如圖，點A是反比例函數(shù)y」二的圖象上的一點，過點A作ABJ_x軸，垂足為B.點

C為y軸上的一點，連接AC,BC.若4ABC的面積為3,則k的值是（）

【分析】連接0A,如圖，利用三角形面積公式得到S/）AB=S/AB=3,再根據(jù)反比例函

數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義得到/|卜|=3,然后去絕對值即可得到滿足條件的k的值.

【解答】解：連接0A,如圖,

VAB_Lx軸，

AOC〃AB,

?'?SAOAB=S/\CAB=3，

而S.OAB=/卜”

?'-yIk|=3,

Vk<0,

/.k=-6.

故選：B.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=K圖象中任

x

取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值kl.

7.（4分）如圖所示，AB為。0的直徑，點C在。0上，且OC±AB,過點C的弦CD與

線段0B相交于點E,滿足NAEC=65°,連接AD,則NBAD等于（)

第3頁（共21頁）

A.20°B.25°C.30°D.32.5

【分析】連接OD,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NOCD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出N

ODC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出ND0C,求出NDOB,再根據(jù)圓周角定理求出NBAD

即可.

【解答】解：連接0D,

VOC±AB,

/.ZC0B=90°,

ZAEC=65°,

Z0CE=180°-90°-65°=25°,

VOD=0C,

/.ZODC=Z0CD=25°,B

ZDOC=180°-25°-25°=130°,

ZDOB=ZDOC-ZBOC=130°-90'，=40°,

二由圓周角定理得：ZBAD=—ZDOB=20°,

2

故選：A.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和圓周角定理等知識點，能

求出/DOB的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵.

8.（4分）如圖，在aABC中，1）、E分別為AB、AC邊上的點,DE〃BC,BE與CD相交

于點F,則下列結(jié)論一定正確的是（）

ADFAEBAPECcAPDEDDFEF

FC-ACAB~ACDB-BCBF-FC

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理進行判斷即可.

【解答】解：：DE〃BC,

.DF=DEDE=AE

"FCBC'BCAC'

第4頁（共21頁）

VDE〃BC,

.AD=AEB錯誤;

,,而AC

VDE〃BC,

.AD=DEc錯誤;

"ABBC

VDE〃BC,

.DF=EFi）錯誤,

,,而FB

故選：A.

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

9.（4分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=（x+3）2-4的圖象上有兩點A（xi，y?，B（x2,y2）,

xt<X2，且X]+8=-Xg,則y1與y2的大小關(guān)系是（）

A.丫1<丫2B.y）>y2C.yi=y?D.y]+8=-y2

【分析】求出二次函數(shù)的對稱軸為直線x=-3,然后判斷出A、B距離對稱軸的大小，

即可判斷力與丫2的大小?

【解答】解：；y=（x+3）2-4,

二拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-3,

.X]<^2,且xi+8—X2,

.?e+電=-8,

-^22=-4,

2

V-4<-3,

.?.點A到對稱軸的距離大于點B到對稱軸的距離,

,>

..yiy2-

故選:B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，判斷出點A到對稱軸的距離大于點

B到對稱軸的距離是解題的關(guān)鍵.

10.（4分）如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,/A=30°,BC=2,D為AC上任一點，

F為AB中點，連接BD,E在BD上，且滿足CD2=DE[JD,連接EF,則EF的最小值

為（）

第5頁（共21頁）

F

V3

A-V3-1B.1D

24

【分析】先證明通過ACDE^ABDC說明NBEC=90°,取BC中點Q,則EQ=2BC

2

=1,FQ=-1AC=V3,再由E、F、Q三點共線時，EF可以取到聰-1,即可得到答案,

2

【解答】解：在ACED和△BDC中,

VCD2=DECBD,

.CDDE

??二一，

DBDC

VZEDC=ZCDB,

ACDE^ABDC,

ZDEC=/DCB=90°,

AZBEC=1800-ZDEC=90°,

如圖，取BC中點Q,則EQ=Zc=l,

2

VF為AB中點，

當且僅當E、F、Q三點共線時，EF可以取到正-1,

/.EF最小值為心-1.

故選：A.

【點評】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半，三角形中位線定理，

相似三角形的判定與性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是證明NBEC=90°,取BC中點Q,構(gòu)造直

角三角形的斜邊中線等于斜邊一半.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

11.（5分）已知點P是線段AB的黃金分割點，且APVPB,若AB=2,則BP二

第6頁（共21頁）

（結(jié)果保留根號）.

【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知BP是較長線段，則BP=^」AB,代入數(shù)據(jù)即可

2

得出BP的長.

【解答】解：；P為線段AB的黃金分割點，AB=2,且APVPB,

ABP=遙7AB=遙義2=遙-1.

22

故答案為：V5-1.

【點評】本題考查黃金分割點的概念.應(yīng)該識記黃金分割的公式：較長的線段=原線段

2

12.（5分）如圖，已知，AD是aABC的中線，E是AD的中點，則AF：FC=1:2

【分析】過點D作Dll〃BF,交AC于H,根據(jù)平行線分線段成比例定理得到型=理,

DBHF

—,根據(jù)線段中點的性質(zhì)得到BD=DC,AE=ED,得到CH=HF,AF=FH,計

FHED

算即可.

【解答】解：過點D作DH〃BF,交AC于H,

則@=,=,

DB

VAD是AABC的中線，E是AD的中點，

ABD=DC,AE=ED,

ACH=HF,AF=FH,

.\AF：FC=1：2,

故答案為：1：2.

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理,靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

13.（5分）已知：如圖，AB是。0的直徑，弦CD交AB于E點，BE=1,AE=5,ZAEC

=30",則CD的長為啦.

【分析】過0作OF_LDC于F,連接0C,求出OA=0B=0C=3,根據(jù)垂直定義得出/

第7頁（共21頁）

OFE=ZOEC=90°,求出OE,根據(jù)勾股定理求出OF,再根據(jù)勾股定理求出CF,根據(jù)

垂徑定理得出DF=CF,再求出答案即可.

【解答】解：

過0作OF±DC于F,連接0C,則NOFE=NOFC=90°,

VBE=1,AE=5,

：.AB=BE+AE=6,/XC

.".OB=0A=0C=3,[夕彳\

^ro—\A

；.0E=3-l=2,DVuI

,?ZAEC=30°,

?.0F=』0E=1,

2

22=22=2

?'-CF=VOC-OFV3-1^2.

?;OF±CD,OF過圓心0,

ADF=CF=2&,

ACD=CF+DF=4&,

故答案為：472.

【點評】本題考查了勾股定理和垂徑定理，能熟記垂徑定理是解此題的關(guān)鍵，注意：垂

直于弦的直徑平分這條弦.

14.（5分）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,延長BC到點D,菱形CDEF的邊CF

在邊AC上，過點F作FG〃AB交BE于點G,點G是BE的中點，如果/A=60°,則

線段EF和BC的數(shù)量關(guān)系為BC=2EF,如果/A=90°,AB=2&+2,則CD的

長為

【分析】延長FG交BC于點M,利用ASA證明aBGM^AEGF,當NA=60°時，證明

△ABC和AMCF為等邊三角形，再利用菱形的性質(zhì)，即可得到EF和BC的數(shù)量關(guān)系；

當NA=90°,AB=2&+2時，先證明4ABC和△、《不為等腰直角三角形，利用等腰直

角三角形的邊角關(guān)系即可得到菱形的邊長.

【解答】解：如圖，延長FG交BC于點M,

第8頁（共21頁）

?.?四邊形CDEF為菱形,

AEF〃BC,

AZGBM=/GEF,

VBG=GE,ZBGM=ZEGF,

：.ABGM^AEGF(ASA),

ABM=EF,

設(shè)菱形CDEF的邊長為a,則BM=EF=a,

在等腰三角形ABC中，AB-AC,如果/A=60°,則4ABC為等邊三角形,

AZA=ZABC=ZACB=60°,

VFG〃AB,

ZFMC=NABC=60°,ZCFM=/A=60°,

AFMC為等邊三角形，

AMC=CF=a,

：.BC=BM+MC=2a,

ABC=2EF,

在等腰三角形ABC中，AB=AC,如果/A=90°,則4ABC為等腰直角三角形,

.?.BC=&AB=&(2&+2)=4+2&,NACB=45°,

AMC=BC-BM=4+2我-a,

VFG〃AB,

AFG±AC,

/.AFMC為等腰直角三角形，

AMC=&CF=&a,

4+2V2-a=y[2a,

.".a=2,\[2,

.,.CD=2&,

故答案為：BC=2EF,CD=2&.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰

直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形，等腰直角

三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

第9頁（共21頁）

15.（8分）計算：2cos30°-tan6ff+sin45cos45°.

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可.

【解答】解：2cos30°-tan6CT+sin45）cos45°

=2x返-百

222

=V3-V3+1

=2

2,

【點評】本題考查的是特殊角是三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

16.（8分）如圖，在平面直角坐標系中，4ABC的頂點都在網(wǎng)格的格點上，按要求解決下

列問題.

（1）畫出AABC關(guān)于y軸的軸對稱圖形△AiB|g；

（2）以點0為位似中心，在第一象限中出畫出aAzB2c2,使得△A[B]C]與AAzB2c2位

似，且相似比為1：3.

【分析】（1）分別得出點A、B.C關(guān)于y軸的對稱點，然后連線即可；

（2）由（1）及位似的性質(zhì)進行作圖即可.

【解答】解：（1）如圖所示，△A[B]C[即為所求?

第10頁（共21頁）

(2)如圖所示，aAzB2c2即為所求?

【點評】本題主要考查軸對稱及位似，熟練掌握軸對稱及位似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)

17.(8分)如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象交y軸于點C(0,2),與反比例函數(shù)y=如的

X

圖象交于A,B兩點，且A點坐標為(-3,-1).

(1)確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式;

(2)直接寫出不等式kx+bV典的解集.

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式，由題意可知A(-3,-1),

代入y=@求得m的值，即可求得反比例函數(shù)的解析式;

X

(2)先求得B的坐標，根據(jù)圖象找出y=kx+b在y*的下方的圖象對應(yīng)的x的范圍.

【解答】(1)解：?.》(-3,-1)在反比例函數(shù)y/B的圖象上,

.\m=3,

.3

??y=—,

VA(-3,-1),C(0,2)在丫=1?+1)上,

.1-3k+b=T

,lb=2'

第11頁(共21頁)

，y=x+2；

f_3

y="—

(2)聯(lián)立<>x,

y=x+2

解得:卜7,(x=l

ly=-lIy=3

AB(1,3),

根據(jù)圖象可知kx+b〈W的解集為：xV-3或0<x<L

x

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交

點坐標，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

18.(8分)如圖，在4ABC中，D為BC上一點，E為AD上一點，如果NDAC=NB,CD

=CE.

(1)求證：ZXACEs/\BAD.

(2)若CE=3,BD=4,AE=2,求ED的長.

【分析】（1）根據(jù)CD=CE,可得NCDE=NCED,即有NADB=/AEC,結(jié)合ZDAC

=ZB,可得4ACE^ABAD；

（2）根據(jù)AACEs^BAD,可得膽型，即Ap/BDXCE,問題隨之得解.

CEADAE

【解答】（1）證明：ICD=CE,

?.ZCDE=ZCED,

"?ZADB=180°-ZCDE,ZAEC=180°-ZCED,

ZADB=ZAEC,

VZDAC=ZB,

.,.△ACE^ABAD,

（2）解：?.?在（1）中已證明4ACE^ABAD,

第12頁(共21頁)

.AE_BDBDXCE

?①FAE

VCE=3,BD=4,AE=2,

BDXCE4X3

??AD-=6,

AE

.,.ED=AD-AE=6-2=4.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解

答本題的關(guān)鍵.

五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)

19.(10分)如圖，小明為了測量小河對岸大樹BC的高度，他在點A測得大樹頂端B的仰

角為45°,沿斜坡走3西米到達斜坡上點D,在此處測得樹頂端點B的仰角為31°,

且斜坡AF的坡比為1：2.

(1)求小明從點A到點D的過程中，他上升的高度;

(2)大樹BC的高度約為多少米？

(參考數(shù)據(jù)：sin3fQ0.52cos31°*0.86tan31°七0.60)

B

31。

【分析】(1)作DH±AE于H,解RtZXADH,即可求出DH；

(2)延長BD交AE于點G,解RtZkGDH、RtAADH,求出GH、AH,得到AG；設(shè)BC

=x米，根據(jù)正切的概念用x表示出GC、AC,根據(jù)GC-AC=AG列出方程，解方程得

到答案.

【解答】解：(1)作DHLAE于H,如圖1所示:

在RtZXADH中，：更=

AH

.,.AH=2DII,

VAH2+DH』AI)2,

(2DH)2+DH2=(3A/5)2,

ADH=3.圖1

第13頁(共21頁)

答：小明從點A到點D的過程中，他上升的高度為3米;

(2)如圖2所示：延長BD交AE于點G,設(shè)BC=xm,

由題意得，NG=31°,

.?.GH=―嗎一七=5,

tanZ_G

VAH=2DH=6,

AGA=GH+AH=5+6=11,

pr?

在RtZ\BGC中，tanZG,

GC

ACG=—34

tanz_G

在RtABAC中，ZBAC=45°,

..AC=BC=x.

VGC-AC=AG,

—x-x=11,

3

解得：x=16.5

答：大樹的高度約為：16.5米.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義、

仰角俯角的概念是解題的關(guān)鍵.

20.(10分)如圖，AB為。0的直徑，0C±AB交。0于點C,D為OB上一點，延長CD

交。0于點E,延長OB至F,使DF=FE,連接EF.

(1)求證：EF為。0的切線；

(2)若OD=1且BD=BF,求。0的半徑.

【分析】(1)連接OE,根據(jù)等邊對等角結(jié)合對等角相等即可推出結(jié)論；

(2)設(shè)。0的半徑EO=BO=r,則BD=BF=r-1,FE=2BD=2(r-1),在RtAFEO

中，由勾股定理得得出方程求解即可.

第14頁(共21頁)

【解答】解：（1）證明：如圖，連接0E,

VOE=0C,

ZOEC=/OCE,

VDF=FE,

AZFED=ZFDE,

VZFDE=ZCDO,ZCDO+ZOCD=90°,

ZFED+ZOEC=90°,

即NFEO=90°,

AOE±FE,

VOE是半徑,

AEF為。0的切線；

（2）解：設(shè)。0的半徑EO=BO=r,則BD=BF=r-1,

；.FE=2BI）=2（r-1）,

在RtaFEO中，由勾股定理得，

FE2+OE2=OF2,

二（2r-2）2+或=（2r-1）2,

解得r=3,或r=l（舍去），

AGO的半徑為3.

【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記切線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

六.（本題滿分12分）

21.（12分）某商貿(mào)公司購進某種商品，經(jīng)過市場調(diào)研，整理出這種商品在第x（1WXW48）

天的售價與日銷售量的相關(guān)信息如表:

時間X（天）l^x<3030WxW48

售價x+3060

日銷售量（kg）-x+120

已知這種商品的進價為20元/kg,設(shè)銷售這種商品的日銷售利潤為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）第幾天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少？

【分析】（1）依據(jù)題意，利用“利潤=每千克的利潤X銷售量”列出函數(shù)關(guān)系式;

第15頁（共21頁）

(2)依據(jù)題意，可配方求出lWx<30的函數(shù)最大值和30WxW48的函數(shù)最大值，比較

得出結(jié)果.

【解答】解：(1)當1WXV30時，

y=(x+30-20)□(w+120)=-x2+110x+1200,

當30WxW48時，

y=(60-20)□(-x+120)=-40x+4800,

._-X2+110X+1200(1<X<30)

??y-*.

-40x+4800(30<x<48)

(2)當Kx<30時,

y=-(x-55)2+4225,

,當x接近于30時，ymax接近于3600.

當30WxW48時，

Vk=-40<0,

；.y隨x的增大而減小.

=-

二當x=30時,ymax40X30+4800=3600.

在第30天時，最大日銷售利澗為3600元.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)等知識，解決

問題的關(guān)鍵是弄清數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)表達式.

七.(本題滿分12分)

22.(12分)如圖，RtAABO的兩直角邊0A、0B分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，

0為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為(-3,0)、(0,4),拋物線y=2x2+bx+c經(jīng)過

3

B點，且頂點在直線x=$上.

2

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若4DCE是由AABO沿x軸向右平移得到的，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷

點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由.

(3)在(2)的條件下，若M點是CD所在直線下方該拋物線上的一個動點，過點M作

MN平行于y軸交CD于點N.設(shè)點M的橫坐標為t,MN的長度為s,求s與t之間的函

數(shù)關(guān)系式，寫出自變量t的取值范圍，并求s取大值時，點M的坐標.

第16頁(共21頁)

【分析】(1)已知拋物線上A、B點的坐標以及拋物線的對稱軸方程，可用待定系數(shù)法求

出拋物線的解析式；

(2)首先求出AB的長，將A、B的坐標向右平移AB個單位，即可得出C、D的坐標，

再代入拋物線的解析式中進行險證即可；

(3)根據(jù)C、D的坐標，易求得直線CD的解析式；那么線段MN的長實際是直線CD

與拋物線的函數(shù)值的差，可將x=t代入兩個函數(shù)的解析式中，得出的兩函數(shù)值的差即為

s的表達式，由此可求出s、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出m取最大值

時，點M的坐標.

【解答】解：(1)：y=2x2+bx+c的頂點在直線x=$上，

32

二可設(shè)所求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=2(x-$)2+m，

32

?.?點B(0,4)在此拋物線上，

：.4=2(0-S)2+m,

32

,

6

二所求函數(shù)關(guān)系式為：y=2(x-1)2-_1=ZX2-2QX+4；

32633

(2)在RtZ^ABO中，0A=3,0B=4,

，AB={oA2mB2=5.

?.?四邊形ABCD是菱形，

/.BC=CD=DA=AB=5,

■:A、B兩點的坐標分別為(-3,0))、(0,4),

；.C、D兩點的坐標分別是(5,4)、(2,0)；

第17頁(共21頁)

2

-130

3X5+4=4,

2

-130

3義2+4=0,

.?.點C和點D在所求拋物線上;

（3）設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+n,

5k4n=4

則

2k+n=0

k3

解得:8；

n=--3

.7x-

3

VMN〃y軸，M點的橫坐標為t,

；.N點的橫坐標也為t,且2Vt<5；

則YM=~^一年"廿4,YN冬

=(^t-A)

；.s=yN-y.（2售一兇?廿4）

3333

2+8

2

：-2<o,

3

二.當t=工時,=§,此時yM=§X(Z)

S2-10X7+4=1