2023-2024學(xué)年安徽省合肥九年級(上)期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析_第1頁
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文檔簡介

2023-2024學(xué)年安徽省合肥四十六中南校區(qū)九年級(上)期末

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題:每小題給出的四個選項中,其中只有一個是正確的,請把正確選項填涂在答

題卷(本大題共10小題,每小題4分,共40分)

1.(4分)下面圖形中,既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是(

A-RIB屋cE

2.(4分)函數(shù)y=3(x-2)2+4的圖象的頂點坐標是()

A.(3,4)B.(-2,4)C.(2,4)D.(2,-4)

3.(4分)函數(shù)的圖象中,在每個象限內(nèi):y隨x增大而增大,則k可能為()

X

A.-2B.-1C.0D.1

4.(4分)如圖,為了測量河岸A,B兩點的距離,在與AB垂直的方向上取點C,測得AC

=a,ZABC=Q,那么AB等于()

■一|芳a

,一二

--***

A.aQiiPB.aQosaC.aQanaD.—_—

tanCI

5.(4分)已知2a+bJ,下列結(jié)論正確的是()

a-2

A.ab=6B.2a.=3bC.a=@.D.3a=2b

2b

6.(4分)如圖,點A是反比例函數(shù)1葉X的圖象上的一點,過點A作AB_Lx軸,垂足為B.點

X

C為y軸上的一點,連接AC,BC.若AABC的面積為3,則k的值是()

d一

A.3B.-6C.6D.-3

第1頁(共6頁)

7.(4分)如圖所示,AB為00的直徑,點C在。0上,且OC1AB,過點C的弦CD與

線段0B相交于點E,滿足NAEC=65°,連接AD,則NBAD等于()

A.20°B.25°C.30°D.32.竽

8.(4分)如圖,在aABC中,1)、E分別為AB、AC邊上的點,DE〃BC,BE與CD相交

于點F,則下列結(jié)論一定正確的是()

FCACABACDBBCBFFC

9.(4分)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=(x+3)2-4的圖象上有兩點A(xry]),B(x2,y2),

X]〈X2,且X]+8=-X2,則丫]與丫2的大小關(guān)系是()

Bc

A?力〈丫2-yi>y2-yi=y2D.yj+8=-y2

10.(4分)如圖,在RtAiABC中,ZACB=90°,ZA=30°,BC=2,D為AC上任一點,

F為AB中點,連接BD,E在BD上,且滿足CD2=DEQD,連接EF,則EF的最小值

為()

A.M-iB.1D4

第2頁(共6頁)

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)

11.(5分)已知點P是線段AB的黃金分割點,且AP<PB,若AB=2,貝UBP=(結(jié)

果保留根號).

12.(5分)如圖,已知,AD是4ABC的中線,E是AD的中點,則AF:FC=.

13.(5分)已知:如圖,AB是的直徑,弦CD交AB于E點,BE=1,AE=5,ZAEC

=30",則CD的長為.

14.(5分)如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,延長BC到點D,菱形CDEF的邊CF

在邊AC上,過點F作FG〃AB交BE于點G,點G是BE的中點,如果/A=60°,則

線段EF和BC的數(shù)量關(guān)系為,如果NA=90°,AB=2近+2,則CD的

長為.

三、(本大題共2小題,每小題8分,滿分16分)

15.(8分)計算:2cos30°-tan6ff+sin45cos45°.

16.(8分)如圖,在平面直角坐標系中,4ABC的頂點都在網(wǎng)格的格點上,按要求解決下

列問題.

第3頁(共6頁)

(1)畫出AABC關(guān)于y軸的軸對稱圖形△A]B[3;

(2)以點0為位似中心,在第一象限中出畫出AAZB2c2,使得^AiBiCi與aAzB2c2位

似,且相似比為1:3.

四、(本大題共2小題,每小題8分,滿分16分)

17.(8分)如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象交y軸于點C(0,2),與反比例函數(shù)y=典的

X

圖象交于A,B兩點,且A點坐標為(-3,-1).

(1)確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式;

(2)直接寫出不等式kx+b<@的解集.

18.(8分)如圖,在4ABC中,D為BC上一點,E為AD上一點,如果/DAC=NB,CD

(1)求證:ZXACE^ABAD.

(2)若CE=3,BD=4,AE=2,求ED的長.

五、(本大題共2小題,每小題10分,滿分20分)

19.(10分)如圖,小明為了測量小河對岸大樹BC的高度,他在點A測得大樹頂端B的仰

角為45°,沿斜坡走3代米到達斜坡上點D,在此處測得樹頂端點B的仰角為31。,

且斜坡AF的坡比為1:2.

(1)求小明從點A到點D的過程中,他上升的高度;

(2)大樹BC的高度約為多少米?

第4頁(共6頁)

(參考數(shù)據(jù):sin3r30.52cos31°30.86tan31°?=0.60)

B

20.(10分)如圖,AB為。0的直徑,0C±AB交。0于點C,D為0B上一點,延長CD

交。0于點E,延長0B至F,使DF=FE,連接EF.

(1)求證:EF為。0的切線;

(2)若0D=1且BD=BF,求。0的半徑.

六.(本題滿分12分)

21.(12分)某商貿(mào)公司購進某種商品,經(jīng)過市場調(diào)研,整理出這種商品在第x(1WXW48)

天的售價與日銷售量的相關(guān)信息如表:

時間X(天)W3030WxW48

售價x+3060

日銷售量(kg)-x+120

已知這種商品的進價為20元4g,設(shè)銷售這種商品的日銷售利潤為y元.

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)第幾天的銷售利潤最大?最大日銷售利潤為多少?

七.(本題滿分12分)

22.(12分)如圖,RtAABO的兩直角邊0A、0B分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上,

0為坐標原點,A,B兩點的坐標分別為(-3,0)、(0,4),拋物線y=2x2+bx+c經(jīng)過

3

第5頁(共6頁)

B點,且頂點在直線x=S上.

2

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若4DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的,當四邊形ABCD是菱形時,試判斷

點C和點D是否在該拋物線上,并說明理由.

(3)在(2)的條件下,若M點是CD所在直線下方該拋物線上的一個動點,過點M作

MN平行于y軸交CD于點N.設(shè)點M的橫坐標為t,MN的長度為s,求s與t之間的函

數(shù)關(guān)系式,寫出自變量t的取值范圍,并求s取大值時,點M的坐標.

八.(本題滿分14分)

23.(14分)如圖,矩形ABCD中,AD>AB,點P是對角線AC上的一個動點(不包含A、

(1)求證:Z\AEF^ABCA;

(2)連接BP,若BP=AB,且F為AD中點,求星的值;

PC

(3)若AD=2AB,移動點P,使AABP與ACPI)相似,直接寫出空?的值.

AB

第6頁(共6頁)

2023-2024學(xué)年安徽省合肥四十六中南校區(qū)九年級(上)期末

數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析

一、選擇題:每小題給出的四個選項中,其中只有一個是正確的,請把正確選項填涂在答

題卷(本大題共10小題,每小題4分,共40分)

1.(4分)下面圖形中,既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是()

A.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解:A、不是中心對稱圖形,是軸對稱圖形,故此選項不合題意;

B、是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形,故此選項不合題意;

C、是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形,故此選項不合題意;

D、是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形,故此選項符合題意;

故選:D.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找

對稱軸,圖形兩部分折疊后可重合,中心對稱圖形是要尋找對稱中心,旋轉(zhuǎn)180度后兩

部分重合.

2.(4分)函數(shù)y=3(x-2)2+4的圖象的頂點坐標是()

A.(3,4)B.(-2,4)C.(2,4)1).(2,-4)

【分析】由函數(shù)解析式即可求得答案.

【解答】解:

;y=3(x-2)2+4,

二函數(shù)圖象頂點坐標為(2,4),

故選:C.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì),掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵,即在y

=a(x-h)2+k中,頂點坐標為(h,k),對稱軸為x=h.

3.(4分)函數(shù)的圖象中,在每個象限內(nèi)y隨x增大而增大,則k可能為()

X

A.-2B.-1C.0D.1

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于k的不等式,求出k的取值范圍即可.

第1頁(共21頁)

【解答】解:?..反比例函數(shù)y=K2的圖象中,在每個象限內(nèi)y隨x增大而增大,

x

Ak+KO,

解得kV-1.

觀察選項,只有選項A符合題意.

故選:A.

【點評】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì),熟知反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵.

4.(4分)如圖,為了測量河岸A,B兩點的距離,在與AB垂直的方向上取點C,測得AC

=a,ZABC=a,那么AB等于()

A.aDinaD.―2-

tana

【分析】根據(jù)已知角的正切值表示即可.

【解答】解::AC=a,NABC=a,在直角AABC中tana=22,

AB

AAB=——

tana

故選:D.

【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用,正確記憶三角函數(shù)的定義是解決本題的

關(guān)鍵.

5.(4分)已知2a+b上,下列結(jié)論正確的是()

a2

A.ab=6B.2a=3bC.a=_2_D.3a=2b

2b

【分析】根據(jù)紋HI,可得7a=4a+2b,所以3a=2b,即可得出答案.

a2

【解答】解:?.?經(jīng)包

a2

;.7a=4a+2b,

3a=2b.

故選:D.

【點評】本題考查了比例的性質(zhì),關(guān)鍵是熟練掌握比例的性質(zhì).

第2頁(共21頁)

6.(4分)如圖,點A是反比例函數(shù)y」二的圖象上的一點,過點A作ABJ_x軸,垂足為B.點

C為y軸上的一點,連接AC,BC.若4ABC的面積為3,則k的值是()

【分析】連接0A,如圖,利用三角形面積公式得到S/)AB=S/AB=3,再根據(jù)反比例函

數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義得到/|卜|=3,然后去絕對值即可得到滿足條件的k的值.

【解答】解:連接0A,如圖,

VAB_Lx軸,

AOC〃AB,

?'?SAOAB=S/\CAB=3,

而S.OAB=/卜”

?'-yIk|=3,

Vk<0,

/.k=-6.

故選:B.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義:在反比例函數(shù)y=K圖象中任

x

取一點,過這一個點向x軸和y軸分別作垂線,與坐標軸圍成的矩形的面積是定值kl.

7.(4分)如圖所示,AB為。0的直徑,點C在。0上,且OC±AB,過點C的弦CD與

線段0B相交于點E,滿足NAEC=65°,連接AD,則NBAD等于()

第3頁(共21頁)

A.20°B.25°C.30°D.32.5

【分析】連接OD,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NOCD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出N

ODC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出ND0C,求出NDOB,再根據(jù)圓周角定理求出NBAD

即可.

【解答】解:連接0D,

VOC±AB,

/.ZC0B=90°,

ZAEC=65°,

Z0CE=180°-90°-65°=25°,

VOD=0C,

/.ZODC=Z0CD=25°,B

ZDOC=180°-25°-25°=130°,

ZDOB=ZDOC-ZBOC=130°-90',=40°,

二由圓周角定理得:ZBAD=—ZDOB=20°,

2

故選:A.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理和圓周角定理等知識點,能

求出/DOB的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵.

8.(4分)如圖,在aABC中,1)、E分別為AB、AC邊上的點,DE〃BC,BE與CD相交

于點F,則下列結(jié)論一定正確的是()

ADFAEBAPECcAPDEDDFEF

FC-ACAB~ACDB-BCBF-FC

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理進行判斷即可.

【解答】解::DE〃BC,

.DF=DEDE=AE

"FCBC'BCAC'

第4頁(共21頁)

VDE〃BC,

.AD=AEB錯誤;

,,而AC

VDE〃BC,

.AD=DEc錯誤;

"ABBC

VDE〃BC,

.DF=EFi)錯誤,

,,而FB

故選:A.

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理的應(yīng)用,靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

9.(4分)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=(x+3)2-4的圖象上有兩點A(xi,y?,B(x2,y2),

xt<X2,且X]+8=-Xg,則y1與y2的大小關(guān)系是()

A.丫1<丫2B.y)>y2C.yi=y?D.y]+8=-y2

【分析】求出二次函數(shù)的對稱軸為直線x=-3,然后判斷出A、B距離對稱軸的大小,

即可判斷力與丫2的大小?

【解答】解:;y=(x+3)2-4,

二拋物線開口向上,對稱軸為直線x=-3,

.X]<^2,且xi+8—X2,

.?e+電=-8,

-^22=-4,

2

V-4<-3,

.?.點A到對稱軸的距離大于點B到對稱軸的距離,

,>

..yiy2-

故選:B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,判斷出點A到對稱軸的距離大于點

B到對稱軸的距離是解題的關(guān)鍵.

10.(4分)如圖,在RtZ\ABC中,ZACB=90°,/A=30°,BC=2,D為AC上任一點,

F為AB中點,連接BD,E在BD上,且滿足CD2=DE[JD,連接EF,則EF的最小值

為()

第5頁(共21頁)

F

V3

A-V3-1B.1D

24

【分析】先證明通過ACDE^ABDC說明NBEC=90°,取BC中點Q,則EQ=2BC

2

=1,FQ=-1AC=V3,再由E、F、Q三點共線時,EF可以取到聰-1,即可得到答案,

2

【解答】解:在ACED和△BDC中,

VCD2=DECBD,

.CDDE

??二一,

DBDC

VZEDC=ZCDB,

ACDE^ABDC,

ZDEC=/DCB=90°,

AZBEC=1800-ZDEC=90°,

如圖,取BC中點Q,則EQ=Zc=l,

2

VF為AB中點,

當且僅當E、F、Q三點共線時,EF可以取到正-1,

/.EF最小值為心-1.

故選:A.

【點評】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半,三角形中位線定理,

相似三角形的判定與性質(zhì),解決此題的關(guān)鍵是證明NBEC=90°,取BC中點Q,構(gòu)造直

角三角形的斜邊中線等于斜邊一半.

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)

11.(5分)已知點P是線段AB的黃金分割點,且APVPB,若AB=2,則BP二

第6頁(共21頁)

(結(jié)果保留根號).

【分析】根據(jù)黃金分割點的定義,知BP是較長線段,則BP=^」AB,代入數(shù)據(jù)即可

2

得出BP的長.

【解答】解:;P為線段AB的黃金分割點,AB=2,且APVPB,

ABP=遙7AB=遙義2=遙-1.

22

故答案為:V5-1.

【點評】本題考查黃金分割點的概念.應(yīng)該識記黃金分割的公式:較長的線段=原線段

2

12.(5分)如圖,已知,AD是aABC的中線,E是AD的中點,則AF:FC=1:2

【分析】過點D作Dll〃BF,交AC于H,根據(jù)平行線分線段成比例定理得到型=理,

DBHF

—,根據(jù)線段中點的性質(zhì)得到BD=DC,AE=ED,得到CH=HF,AF=FH,計

FHED

算即可.

【解答】解:過點D作DH〃BF,交AC于H,

則@=,=,

DB

VAD是AABC的中線,E是AD的中點,

ABD=DC,AE=ED,

ACH=HF,AF=FH,

.\AF:FC=1:2,

故答案為:1:2.

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理,靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

13.(5分)已知:如圖,AB是。0的直徑,弦CD交AB于E點,BE=1,AE=5,ZAEC

=30",則CD的長為啦.

【分析】過0作OF_LDC于F,連接0C,求出OA=0B=0C=3,根據(jù)垂直定義得出/

第7頁(共21頁)

OFE=ZOEC=90°,求出OE,根據(jù)勾股定理求出OF,再根據(jù)勾股定理求出CF,根據(jù)

垂徑定理得出DF=CF,再求出答案即可.

【解答】解:

過0作OF±DC于F,連接0C,則NOFE=NOFC=90°,

VBE=1,AE=5,

:.AB=BE+AE=6,/XC

.".OB=0A=0C=3,[夕彳\

^ro—\A

;.0E=3-l=2,DVuI

,?ZAEC=30°,

?.0F=』0E=1,

2

22=22=2

?'-CF=VOC-OFV3-1^2.

?;OF±CD,OF過圓心0,

ADF=CF=2&,

ACD=CF+DF=4&,

故答案為:472.

【點評】本題考查了勾股定理和垂徑定理,能熟記垂徑定理是解此題的關(guān)鍵,注意:垂

直于弦的直徑平分這條弦.

14.(5分)如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,延長BC到點D,菱形CDEF的邊CF

在邊AC上,過點F作FG〃AB交BE于點G,點G是BE的中點,如果/A=60°,則

線段EF和BC的數(shù)量關(guān)系為BC=2EF,如果/A=90°,AB=2&+2,則CD的

長為

【分析】延長FG交BC于點M,利用ASA證明aBGM^AEGF,當NA=60°時,證明

△ABC和AMCF為等邊三角形,再利用菱形的性質(zhì),即可得到EF和BC的數(shù)量關(guān)系;

當NA=90°,AB=2&+2時,先證明4ABC和△、《不為等腰直角三角形,利用等腰直

角三角形的邊角關(guān)系即可得到菱形的邊長.

【解答】解:如圖,延長FG交BC于點M,

第8頁(共21頁)

?.?四邊形CDEF為菱形,

AEF〃BC,

AZGBM=/GEF,

VBG=GE,ZBGM=ZEGF,

:.ABGM^AEGF(ASA),

ABM=EF,

設(shè)菱形CDEF的邊長為a,則BM=EF=a,

在等腰三角形ABC中,AB-AC,如果/A=60°,則4ABC為等邊三角形,

AZA=ZABC=ZACB=60°,

VFG〃AB,

ZFMC=NABC=60°,ZCFM=/A=60°,

AFMC為等邊三角形,

AMC=CF=a,

:.BC=BM+MC=2a,

ABC=2EF,

在等腰三角形ABC中,AB=AC,如果/A=90°,則4ABC為等腰直角三角形,

.?.BC=&AB=&(2&+2)=4+2&,NACB=45°,

AMC=BC-BM=4+2我-a,

VFG〃AB,

AFG±AC,

/.AFMC為等腰直角三角形,

AMC=&CF=&a,

4+2V2-a=y[2a,

.".a=2,\[2,

.,.CD=2&,

故答案為:BC=2EF,CD=2&.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),等腰

直角三角形的性質(zhì)等知識,熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形,等腰直角

三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

三、(本大題共2小題,每小題8分,滿分16分)

第9頁(共21頁)

15.(8分)計算:2cos30°-tan6ff+sin45cos45°.

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可.

【解答】解:2cos30°-tan6CT+sin45)cos45°

=2x返-百

222

=V3-V3+1

=2

2,

【點評】本題考查的是特殊角是三角函數(shù)值,熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

16.(8分)如圖,在平面直角坐標系中,4ABC的頂點都在網(wǎng)格的格點上,按要求解決下

列問題.

(1)畫出AABC關(guān)于y軸的軸對稱圖形△AiB|g;

(2)以點0為位似中心,在第一象限中出畫出aAzB2c2,使得△A[B]C]與AAzB2c2位

似,且相似比為1:3.

【分析】(1)分別得出點A、B.C關(guān)于y軸的對稱點,然后連線即可;

(2)由(1)及位似的性質(zhì)進行作圖即可.

【解答】解:(1)如圖所示,△A[B]C[即為所求?

第10頁(共21頁)

(2)如圖所示,aAzB2c2即為所求?

【點評】本題主要考查軸對稱及位似,熟練掌握軸對稱及位似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

四、(本大題共2小題,每小題8分,滿分16分)

17.(8分)如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象交y軸于點C(0,2),與反比例函數(shù)y=如的

X

圖象交于A,B兩點,且A點坐標為(-3,-1).

(1)確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式;

(2)直接寫出不等式kx+bV典的解集.

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式,由題意可知A(-3,-1),

代入y=@求得m的值,即可求得反比例函數(shù)的解析式;

X

(2)先求得B的坐標,根據(jù)圖象找出y=kx+b在y*的下方的圖象對應(yīng)的x的范圍.

【解答】(1)解:?.》(-3,-1)在反比例函數(shù)y/B的圖象上,

.\m=3,

.3

??y=—,

VA(-3,-1),C(0,2)在丫=1?+1)上,

.1-3k+b=T

,lb=2'

第11頁(共21頁)

,y=x+2;

f_3

y="—

(2)聯(lián)立<>x,

y=x+2

解得:卜7,(x=l

ly=-lIy=3

AB(1,3),

根據(jù)圖象可知kx+b〈W的解集為:xV-3或0<x<L

x

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題:求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交

點坐標,數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

18.(8分)如圖,在4ABC中,D為BC上一點,E為AD上一點,如果NDAC=NB,CD

=CE.

(1)求證:ZXACEs/\BAD.

(2)若CE=3,BD=4,AE=2,求ED的長.

【分析】(1)根據(jù)CD=CE,可得NCDE=NCED,即有NADB=/AEC,結(jié)合ZDAC

=ZB,可得4ACE^ABAD;

(2)根據(jù)AACEs^BAD,可得膽型,即Ap/BDXCE,問題隨之得解.

CEADAE

【解答】(1)證明:ICD=CE,

?.ZCDE=ZCED,

"?ZADB=180°-ZCDE,ZAEC=180°-ZCED,

ZADB=ZAEC,

VZDAC=ZB,

.,.△ACE^ABAD,

(2)解:?.?在(1)中已證明4ACE^ABAD,

第12頁(共21頁)

.AE_BDBDXCE

?①FAE

VCE=3,BD=4,AE=2,

BDXCE4X3

??AD-=6,

AE

.,.ED=AD-AE=6-2=4.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì),掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解

答本題的關(guān)鍵.

五、(本大題共2小題,每小題10分,滿分20分)

19.(10分)如圖,小明為了測量小河對岸大樹BC的高度,他在點A測得大樹頂端B的仰

角為45°,沿斜坡走3西米到達斜坡上點D,在此處測得樹頂端點B的仰角為31°,

且斜坡AF的坡比為1:2.

(1)求小明從點A到點D的過程中,他上升的高度;

(2)大樹BC的高度約為多少米?

(參考數(shù)據(jù):sin3fQ0.52cos31°*0.86tan31°七0.60)

B

31。

【分析】(1)作DH±AE于H,解RtZXADH,即可求出DH;

(2)延長BD交AE于點G,解RtZkGDH、RtAADH,求出GH、AH,得到AG;設(shè)BC

=x米,根據(jù)正切的概念用x表示出GC、AC,根據(jù)GC-AC=AG列出方程,解方程得

到答案.

【解答】解:(1)作DHLAE于H,如圖1所示:

在RtZXADH中,:更=

AH

.,.AH=2DII,

VAH2+DH』AI)2,

(2DH)2+DH2=(3A/5)2,

ADH=3.圖1

第13頁(共21頁)

答:小明從點A到點D的過程中,他上升的高度為3米;

(2)如圖2所示:延長BD交AE于點G,設(shè)BC=xm,

由題意得,NG=31°,

.?.GH=―嗎一七=5,

tanZ_G

VAH=2DH=6,

AGA=GH+AH=5+6=11,

pr?

在RtZ\BGC中,tanZG,

GC

ACG=—34

tanz_G

在RtABAC中,ZBAC=45°,

..AC=BC=x.

VGC-AC=AG,

—x-x=11,

3

解得:x=16.5

答:大樹的高度約為:16.5米.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題,掌握銳角三角函數(shù)的定義、

仰角俯角的概念是解題的關(guān)鍵.

20.(10分)如圖,AB為。0的直徑,0C±AB交。0于點C,D為OB上一點,延長CD

交。0于點E,延長OB至F,使DF=FE,連接EF.

(1)求證:EF為。0的切線;

(2)若OD=1且BD=BF,求。0的半徑.

【分析】(1)連接OE,根據(jù)等邊對等角結(jié)合對等角相等即可推出結(jié)論;

(2)設(shè)。0的半徑EO=BO=r,則BD=BF=r-1,FE=2BD=2(r-1),在RtAFEO

中,由勾股定理得得出方程求解即可.

第14頁(共21頁)

【解答】解:(1)證明:如圖,連接0E,

VOE=0C,

ZOEC=/OCE,

VDF=FE,

AZFED=ZFDE,

VZFDE=ZCDO,ZCDO+ZOCD=90°,

ZFED+ZOEC=90°,

即NFEO=90°,

AOE±FE,

VOE是半徑,

AEF為。0的切線;

(2)解:設(shè)。0的半徑EO=BO=r,則BD=BF=r-1,

;.FE=2BI)=2(r-1),

在RtaFEO中,由勾股定理得,

FE2+OE2=OF2,

二(2r-2)2+或=(2r-1)2,

解得r=3,或r=l(舍去),

AGO的半徑為3.

【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì),勾股定理,熟記切線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

六.(本題滿分12分)

21.(12分)某商貿(mào)公司購進某種商品,經(jīng)過市場調(diào)研,整理出這種商品在第x(1WXW48)

天的售價與日銷售量的相關(guān)信息如表:

時間X(天)l^x<3030WxW48

售價x+3060

日銷售量(kg)-x+120

已知這種商品的進價為20元/kg,設(shè)銷售這種商品的日銷售利潤為y元.

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)第幾天的銷售利潤最大?最大日銷售利潤為多少?

【分析】(1)依據(jù)題意,利用“利潤=每千克的利潤X銷售量”列出函數(shù)關(guān)系式;

第15頁(共21頁)

(2)依據(jù)題意,可配方求出lWx<30的函數(shù)最大值和30WxW48的函數(shù)最大值,比較

得出結(jié)果.

【解答】解:(1)當1WXV30時,

y=(x+30-20)□(w+120)=-x2+110x+1200,

當30WxW48時,

y=(60-20)□(-x+120)=-40x+4800,

._-X2+110X+1200(1<X<30)

??y-*.

-40x+4800(30<x<48)

(2)當Kx<30時,

y=-(x-55)2+4225,

,當x接近于30時,ymax接近于3600.

當30WxW48時,

Vk=-40<0,

;.y隨x的增大而減小.

=-

二當x=30時,ymax40X30+4800=3600.

在第30天時,最大日銷售利澗為3600元.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用,二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)等知識,解決

問題的關(guān)鍵是弄清數(shù)量關(guān)系,列出函數(shù)表達式.

七.(本題滿分12分)

22.(12分)如圖,RtAABO的兩直角邊0A、0B分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上,

0為坐標原點,A、B兩點的坐標分別為(-3,0)、(0,4),拋物線y=2x2+bx+c經(jīng)過

3

B點,且頂點在直線x=$上.

2

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若4DCE是由AABO沿x軸向右平移得到的,當四邊形ABCD是菱形時,試判斷

點C和點D是否在該拋物線上,并說明理由.

(3)在(2)的條件下,若M點是CD所在直線下方該拋物線上的一個動點,過點M作

MN平行于y軸交CD于點N.設(shè)點M的橫坐標為t,MN的長度為s,求s與t之間的函

數(shù)關(guān)系式,寫出自變量t的取值范圍,并求s取大值時,點M的坐標.

第16頁(共21頁)

【分析】(1)已知拋物線上A、B點的坐標以及拋物線的對稱軸方程,可用待定系數(shù)法求

出拋物線的解析式;

(2)首先求出AB的長,將A、B的坐標向右平移AB個單位,即可得出C、D的坐標,

再代入拋物線的解析式中進行險證即可;

(3)根據(jù)C、D的坐標,易求得直線CD的解析式;那么線段MN的長實際是直線CD

與拋物線的函數(shù)值的差,可將x=t代入兩個函數(shù)的解析式中,得出的兩函數(shù)值的差即為

s的表達式,由此可求出s、t的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出m取最大值

時,點M的坐標.

【解答】解:(1):y=2x2+bx+c的頂點在直線x=$上,

32

二可設(shè)所求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=2(x-$)2+m,

32

?.?點B(0,4)在此拋物線上,

:.4=2(0-S)2+m,

32

,

6

二所求函數(shù)關(guān)系式為:y=2(x-1)2-_1=ZX2-2QX+4;

32633

(2)在RtZ^ABO中,0A=3,0B=4,

,AB={oA2mB2=5.

?.?四邊形ABCD是菱形,

/.BC=CD=DA=AB=5,

■:A、B兩點的坐標分別為(-3,0))、(0,4),

;.C、D兩點的坐標分別是(5,4)、(2,0);

第17頁(共21頁)

2

-130

3X5+4=4,

2

-130

3義2+4=0,

.?.點C和點D在所求拋物線上;

(3)設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+n,

5k4n=4

2k+n=0

k3

解得:8;

n=--3

.7x-

3

VMN〃y軸,M點的橫坐標為t,

;.N點的橫坐標也為t,且2Vt<5;

則YM=~^一年"廿4,YN冬

=(^t-A)

;.s=yN-y.(2售一兇?廿4)

3333

2+8

2

:-2<o,

3

二.當t=工時,=§,此時yM=§X(Z)

S2-10X7+4=1

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