2023-2024學年高中數(shù)學冬季競賽模擬試題（附答案）

2023-2024學年高中數(shù)學冬季競賽模擬試題

本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共3頁，滿分150分，考試時間140分鐘.

選擇題部分(共40分)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.log24=()

A.-1B.0C.1D.2

2.平面向量/=(1,1)石=(2,3),則隆+31=()

A.3B.5C.7D.11

x>-1,

3.已知實數(shù)xj滿足約束條件該約束條件在坐標平面上表示的區(qū)域如圖所示，則〉

y^x+1,

的取值范圍是()

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[-2,1]D.[-1,2]

4.已知等比數(shù)列｛?！埃凉M足％=%%>1，若%=1，則，=()

A.2B.3C.4D.5

5.設a,beR,集合2=｛區(qū)上+1｝,3=他為+1｝.則“4=3”是“a=6”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要

條件

6.某考試評定考生成績時，采取賦分制度：只有原始分排名前3%的同學才能賦分97分及以

上.若這些學生的原始分的最大值為a,最小值為仇令/(x)為滿足/(?)=100,/(6)=97的一

次函數(shù).對于原始分為的學生，將/(x)的值四舍五入得到該學生的賦分.已知小

趙原始分96,賦分100；小葉原始分81,賦分97；小林原始分89,他的賦分是()

A.97B.98C.99D.98或99

7.在△48。中，角4瓦。所對的邊分別是巴伉。?已知。=——,。2—/=accosZ,貝I]

3

tanJ=()

A.2->J3B.C.1D.

2

8.隨機事件4B,C滿足B)+P(B\C)+P(C|4)=1,則尸(2)+尸(8)+尸(。)的取值范圍

是()

A.B.C.^0,—D.(0,2)

非選擇題部分(共110分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

9.函數(shù)歹usidx的最小正周期是.

10.橢圓w+/=1經(jīng)過雙曲線爐―/=。25>0)的焦點，貝|ja=.

11.已知圓錐/。的高等于底面半徑r,則圓錐4。與半徑為r的球的表面積之比是

12.若數(shù)列｛4｝滿足對任意〃eN*,數(shù)列｛4｝的前〃2項至少有〃項大于%且4?0,則稱數(shù)列

｛4｝具有性質(zhì)M2.若存在具有性質(zhì)M2的數(shù)列｛%｝,使得其前n項和S,,<助恒成立，則整藜

2的最小值是.

三、解答題：本大題共5小題，共90分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

13.(本題滿分15分)如圖，已知三棱柱，平面D,E

分別是的中點.

AC

(i)證明：OE〃平面4AG；

(II)設ACX與平面ABB/i所成角的大小是a,若40_!BCX，證明：ABAC=a.

14.(本題滿分15分)設aeR,函數(shù)/(x)=(x+a)lnx,g(x)=xln(x+a).

(I)當a=0時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)是否存在。，使得/(x)是(0,+oo)上的單調(diào)遞增函數(shù)，且8@)是(一d+00)上的單調(diào)遞增

函數(shù)？若存在，試求出。的取值范圍；若不存在，請說明理由.

15.(本題滿分20分)設M是由復數(shù)組成的集合，對M的一個子集若存在復平面上的一個

圓，使得/的所有數(shù)在復平面上對應的點都在圓內(nèi)或圓周上，且加/中的數(shù)對應的點都在圓外，

則稱/是一個M的“可分離子集”.

(I)判斷｛1,2,3｝是否是是1,2,3｝的“可分離子集”，并說明理由；

(II)設復數(shù)z滿足0<Re(z)<1,0<Im(z)<1,其中Re(z),Im(z)分別表示z的實部和虛部.證

明:｛z3｝是｛l,iz,z,力的“可分離子集”當且僅當

16.(本題滿分20分)已知/是拋物線/=2px(0>0)上一點(異于原點)，斜率為左的直線

/1與拋物線恰有一個公共點/(/］與X軸不平行).

(I)當左二32〃時，求點/的縱坐標；

(II)斜率為左2的直線4與拋物線交于5C兩點，且△48。是正三角形，求與的取值范圍.

左2

17.(本題滿分20分)春節(jié)將至，又是一年萬家燈火的團圓之時.方方正正的小城里，住著IO。。？

戶人家，恰好構(gòu)成了坐標平面上集合/=｛(國門|1?樂丁<1000,》)62｝的所有點.夜里，小

城的人家掛上大紅燈籠，交相輝映，將小城的夜晚編織成發(fā)光的大網(wǎng).在坐標平面上看，/中

的每個點均獨立地以概率P被點亮，或以1-夕的概率保持暗滅.若/中兩個點的距離為1,則

這兩個點被稱為是相鄰的.若N中的〃個被點亮的點＞1)構(gòu)成一依次相鄰的點列4,…,4，

則稱這〃個點組成的集合｛4,…,4｝是長度為〃的“相鄰燈籠串”.規(guī)定空集是長度為。的

“相鄰燈籠串”.

(I)給定/中3個依次相鄰的點4(1,1),4(2,1),4(3,1),記隨機變量x為集合｛4,4,4｝包

含的“相鄰燈籠串”的長度的最大值，試直接寫出隨機變量X的分布列(用p表示)；

(II)若夕=0.3,證明：存在長度為1000的“相鄰燈籠串”的概率小于0.01；

(III)若夕=0.9,證明：存在長度為1000的“相鄰燈籠串”的概率大于0.99.

答案

一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算.每小題5分，共40分.

1.D2.B3.A4.C5.C6.D7.C8.D

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算.每小題5分，共20分.

1+V2

9.7110.111.------12.2

4

三、解答題：本大題共5小題，共90分.

13.本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，直線與平面所成角等基礎知識，同時考查直觀想

象素養(yǎng).滿分15分.

(I)由。,E分別是5G，/G的中點知DE//AB.

又因為45C—4耳5是三棱柱，故￡>￡〃&4，

又不在平面44G上，因此〃平面

(II)設銳二面角A-AXBX-G的平面角的大小是B，連接4片,由4G，平面44G知

c71

a[3=—.

又AB故44因止匕=J3,NB[ACI=a/an/B/q=.

4cl

由/￡>_LBG，￡>是5G的中點知4G又tanNBAC=%，而BC=BiG,得

tanABAC=tanZ8/G，故ABAC=Z8/G=a.

14.本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的運算及其運用，同時考查數(shù)學運算，邏輯推理等素養(yǎng).滿

分15分.

(I)當〃=0時，/(x)=xInx,x>0.

f\x)=1+Inx,

所以，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[o,：],單調(diào)遞增區(qū)間是+00)

4C

B/

(II)不存在，理由如下：

假設存在。，使得/(X)是(0,+00)上的單調(diào)遞增函數(shù)，且g(x)是(-4,+00)上的單調(diào)遞增函數(shù).

令/z(x)=g(x-a)=(x-a)lnx,則/z(x)是(0,+oo)上的單調(diào)遞增函數(shù).

又/(%)也是(0,+oo)上的單調(diào)遞增函數(shù)，令F(x)=/(x)+h(x)=xInx，則F(x)是(0,+oo)上

的單調(diào)遞增函數(shù).

但由(I)知函數(shù)/(x)=xlnx在(0,+co)上不單調(diào).

故不存在°,使得/(x)是(0,+oo)上的單調(diào)遞增函數(shù)，且g(x)是(-d+oo)上的單調(diào)遞增函數(shù).

15.本題主要考查復數(shù)的基本概念和運算，復數(shù)的幾何意義等基礎知識，同時考查數(shù)學抽象，

數(shù)學運算，邏輯推理等素養(yǎng).滿分20分.

(I)是，理由如下：

取復平面上的圓{z||z-2|=2},

則復數(shù)1,2,3在復平面上對應的點都在圓內(nèi).

而|2-止后，

故復數(shù)i在復平面上對應的點在圓外.

因此,{1,2,3}是也1,2,3}的“可分離子集”.

(II)必要性：當|z|<l時,令復數(shù)

a=；(1一|z|)Re(z),

取復平面上的圓{0|m-a|=|z-al},

則z,亍在復平面上對應的點在圓周上,

又11_ci|一|z-Q|>1—2a—|zI>0,

故1在復平面上對應的點在圓外.

由|z—Q「二|z『—2QRe(z)+Q?,

|iz-(212=|z|2+2QIm(z)+Q?,

知Iiz_Q|>|2_QI.

故iz在復平面上對應的點在圓外.

因此，當|z|<l時，｛z,不是的“可分離子集”.

充分性：只需證當月需1時,匕,力不是｛l,iz,zR｝的“可分離子集”.

假設存在復平面上的一個圓，使得z,亍在復平面上對應的點在圓內(nèi)或圓周上，且1,iz在復平

面上對應的點在圓外.

設圓心表示的復數(shù)為co.x=Re(G),y=Im(G).再設6=Re(z),c=Im(z).

由|Z-G|<|1-69|知

(x—Z>)2+(y-cP<(x—I)2+y2,

故2(1—b)x—2qy<l—|z『<0.

由|z一1-g]知

(x—Z>)2+(y+c)2<(x—I)2+y2,

故2(1-b)x+2cy<l-|z|2<0.

進而(1—by——//〉。，

x<0,

由傳_G|<|iz-初知

(x-b)2+(y+c)2<(x+c)2+(y-b)2,

故x—y〉0,

進而(1_6)2工2_。2y2<(]_|z|2-2b)y2<0.

這與(1-3)2/—c2y2>0矛盾，故所假設的圓在復平面上不存在.

即當|z|21時，｛Z,力不是｛l,iz,Z,N｝的“可分離子集”.

16.本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率與方程等基礎知

識，同時考查數(shù)學抽象，數(shù)學運算，邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng).滿分20分.

(I)由題意可設/(X/,”),直線4:、一”=左(%-乙),代入拋物線>2=2px得

9(\

1

y———y+2p—~xA=0.

KiVKiJ

由題意，方程有兩個相等的實根，故

_P

紜=1.

又尢=322，所以點/的縱坐標

1

”=支，

(II)由題意可設直線48:歹―乃=《x—/),代入拋物線丁=2px得

V-勺+21十同=0'

2P

故力=—~一為?

設直線/Uy-乃=s(x-/),同理可得

由|48\=\AC\知

jr

不妨設A,B,C是繞著△45C的重心逆時針排列的，則由ABAC=。知

3

代入化簡得

結(jié)合t<-V3及/>0時為一為與女■-%同號可知

p一『+3，

紜（"+1）（2〃-瘋+3）'

又4二%一%=2P,進而

XB-XCyB+yc

左=）+%=「11]01,

左

22ylUs）yA

代入化簡得

k「（"Gyi1___________1

kJ2t2-&+3—（]7'

』,±6,±F

當￡=，二時，易知/CJ_X軸，3位于坐標原點，此時

3

1

K_yB+yc_

左22九2

而/=0,土G,-組均不符合題意.

3

因此，上的取值范圍是(—1,0)U[(),；].

17.本題主要考查離散型隨機變量及其分布列，古典概型中事件的概率等基礎知識，同時考查

數(shù)學抽