2024年新高考模擬卷數(shù)學(xué)試題（九省聯(lián)考題型）（含答案解析）

2024年新高考模擬卷數(shù)學(xué)試題（九省聯(lián)考題型）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.某校高一年級18個班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過簡單隨機抽樣，獲得了10個班的

比賽得分如下:91,89,90,92,94,87,93,96,91,85,則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)

為（）

A.93B.93.5C.94D.94.5

2.已知雙曲線=的離心率e<3，則》的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1,V2）C.D.（V2,+oo）

3.已知向量a=（2x,l）,力=（8,尤），則“a//6"是％=包'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.己知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，S.是它的前“項和，q=2,強=11,則需=（）

A.100B.101C.110D.120

5.已知外〃是兩條不同直線，5分,7是三個不同平面，則下列說法正確的是（）

A.加〃則"_LeB.根_1__L則〃〃a

C.almup,馳mllaD.機JL民/7_L則：〃///

6.中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造.如圖所示

的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字1,2,3,8.現(xiàn)準備

給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，

對稱的兩個區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇,

則不同的涂色方案有（）

A.550種B.630種

C.720種D.840種

7.己知cos(140°-a)+sin(110°+tz)=sin(130°-a),求tancr=()

A.@B.一且C.y/3D.-73

33

22

8.設(shè)橢圓「+[=l(a>6>0)的左，右焦點分別為用入，直線/過點耳，若點尸2關(guān)于

ab

/的對稱點P恰好在橢圓C上，且耳PG耳=〃，則C的離心率為()

A.1B.2C.姮mD.叵

3333

二、多選題

9.已知Z(A)表示集合A的整數(shù)元素的個數(shù)，若集合M={x|f_9x<10},

N={x|lg(x—l)<l},則()

A.Z(M)=9B.AluN={x|-l<x<ll}

C.Z(N)=9D.A(M)A^={.r|10<x<ll}

10.已知直線/：丘—y+24+1=0與圓O:Y+y2=9,則下列結(jié)論正確的是()

A.直線恒過定點(2,-1)

B.直線/與圓。相交

C.若％==,直線/被圓。截得的弦長為2君

D.若直線/與直線x+4%2y+笈2=。垂直，則左=；

11.已知函數(shù)“X)的定義域為域且〃x+y)"(x)+/(y)+i,〃1)=0,則()

A./(o)=-iB.f(尤)有最小值

C./(2024)=2023D.〃x)+l是奇函數(shù)

三、填空題

12.復(fù)數(shù)z=3±Q?為虛數(shù)單位)，則z的虛部為一，|z|=.

1+i

13.已知直四棱柱ABCO-44GR的所有棱長均為4,NABC=60。，以AA為球心，2石

為半徑的球面與側(cè)面CDDG的交線長為.

14.如圖，在平面凸四邊形ABCD中，ZADB=90°,CD=l,BC=2,AD=BD,/BCD

為鈍角，則對角線AC的最大值為.

試卷第2頁，共4頁

D,

C

四、解答題

15.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，a“+S“=l.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵數(shù)列也｝滿足anbn=cos?,求也｝的前50項和.

16.如圖，在直三棱柱ABC-A^iG中，AA=AC=3,AB—4,BC=5,點。是線段

8C的中點,

(1)求證：ABl^C

(2)求D點到平面A4C的距離；

17.俗話說：“人配衣服，馬配鞍”.合理的穿搭會讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的

感覺.張老師準備參加某大型活動，他選擇服裝搭配的顏色規(guī)則如下：將一枚骰子連續(xù)

投擲兩次，兩次的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，則稱為“完美投擲”，出現(xiàn)“完美投擲”，則記《=1；

若擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù),則稱為“不完美投擲“，出現(xiàn)"不完美投擲”,貝U記4=0；

若4=1,則當(dāng)天穿深色，否則穿淺色.每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝，若張老師選

擇了深色，再選西裝的可能性為而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為A.

(1)求出隨機變量J的分布列，并求出期望及方差；

(2)求張老師當(dāng)天穿西裝的概率.

18.在直角坐標系尤。》中，點尸(2,4)為拋物線<7:丁=2如(p>0)上一點，點M、N

為x軸正半軸(不含原點)上的兩個動點，滿足PM=PN,直線PM、PN與拋物線C

的另一個交點分別為點A、B.

(1)求直線A8的斜率；

⑵求“E鉆面積的取值范圍.

19.若函數(shù)f(x)在［。,可上有定義，且對于任意不同的加當(dāng)目《耳，都有

/(%)一f(*2)|<一％|，則稱/(X)為［a,句上的2類函數(shù)”.

⑴若/⑺=1+x,判斷/(尤)是否為［L2］上的“3類函數(shù)”；

⑵若〃x)=a(x-l)e'-彳-xlnx為［Le］上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)”的取值范圍；

⑶若為［1，幻上的“2類函數(shù)”，且/⑴="2),證明：%,馬叩,2］”(占)-7(三)|<1.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【分析】利用百分位數(shù)的定義即可得解.

【詳解】將比賽得分從小到大重新排列：85,87,89,90,91,91,92,93,94,96,

因為10x80%=8,

所以這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)第8個數(shù)與第9個數(shù)的平均值，即9左3+土94=93.5.

2

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)雙曲線方程，求出離心率，由已知離心率范圍列出不等式可解得的范圍.

【詳解】由已知可得雙曲線的焦點在y軸上時，a=l,02=1+*2,

所以e=￡=正〈在

a1

1+〃<2,由10,解得。<6<1.

故選：A.

3.C

【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】若a〃b,等價于2爐=8,等價于x=殳,

所以是x=12"的充要條件.

故選：C.

4.B

【分析】利用給定條件，求出等差數(shù)列｛%｝的公差，再結(jié)合前〃項和公式求解即得.

1V1

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d，則S,=叫+丁即有==q+；(w-l)d,

2n2

由％=2,取=11,得逆=2+2〃=11,解得4=2,因此盤=〃+1,

10102n

所以9世=101.

100

故選：B

5.C

【分析】根據(jù)空間中直線、平面的位置關(guān)系逐項判斷.

【詳解】對于A：因為根〃a,機_Lw,所以"ua或〃〃e或”與a相交，故A錯誤；

對于B：因為機_L%"z_L”,所以〃ua或〃//a,故B錯誤；

答案第1頁，共13頁

對于C：兩個平面平行，一個平面中的任意一條直線平行于另外一個平面，故c正確；

對于D：因為機_LP，〃_L7,所以，“///或加U/,故D錯誤；

故選：C.

6.B

【分析】確定區(qū)域1，2,3,4的顏色，分區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色是否相同兩種情況討論，

進而可得出答案.

【詳解】由題意可得，只需確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，即可確定整個傘面的涂色.

先涂區(qū)域1,有6種選擇，再涂區(qū)域2,有5種選擇，

當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時，區(qū)域3有4種選擇，剩下的區(qū)域4有4種選擇；

當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域4有5種選擇，

故不同的涂色方案有6x5x（4x4+5）=630種.

故選：B.

7.D

【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡已知等式可得cos（20°+?）=cos（40°-a）+cos（40°+a）,

再利用兩角和差的余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系化簡可得tana=—―^匕，繼而

sin20

利用三角恒等變換，化簡求值，即得答案.

【詳解】由題意知，COS（140°-cr）+sin（110°+cr）=sin（130°-a）

即-cos（40°+a）+cos（20°+a）=cos（40°-a）,

故cos（20°+a）=cos（40°-a）+cos（40°+a）,

即cos20°cosa—sin20°sina=2cos40°cosa,

故cos20°cosa—2cos40°cosa=sin20°sina,

_sincr_cos20°-2cos40°_cos（30°-10°）-2cos（30°+10°）

cosasin20°sin20°

y/33.

_i5cos10。+1511110。_鬲n（10。-30。）_-氐in20。__也,

一sin20°-sin20°-sin200--

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及兩角和差的公式化簡得

出tana的表達式之后，要利用拆角的方法，繼而結(jié)合三角恒等變換公式，化簡求值即可.

答案第2頁，共13頁

8.D

【分析】利用橢圓的定義及平面向量數(shù)量積公式結(jié)合余弦定理解三角形構(gòu)造齊次式方程計算

離心率即可.

【詳解】設(shè)

由已知可得，|「耳|=|￡段=2c,

根據(jù)橢圓的定義有2a-|「耳|=|「耳|=2a-2c,

又耳尸?耳&=力2,所以4c2COS?！?

在△Pf;巴中，由余弦定理可得，

|P^|2=|f；^|2+|P/-|2-2|PJ；|-|j；J；|.cos6>^（2a-2c）2=8c2-8c2cos0=8c2-2b2,

即（2口-Ze?=8。2-2儂-。2）,整理得3Y一4死一3c2=0=3e?+4e-3=0,

【點睛】方法點睛：求圓錐曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：

①求出“，c,代入公式0=￡；

a

②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于。，"C的齊次式，結(jié)合爐=/一C2轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后

等式（不等式）兩邊分別除以。或/轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e

的取值范圍）.

9.BC

【分析】分別求解集合M,N,再根據(jù)選項依次判斷.

答案第3頁，共13頁

【詳解】%2-9X-10<0,得-1<X<10,所以M={X|-1<X<10},

lg（x-l）<l,0<x-l<10,,所以N={x[l<x<n},

所以Z（M）=10,Z（N）=9,MoAf={x|-l<x<ll）,

4（M）cN={x|10Vx<ll},其中只有BC正確；

故選：BC

10.BC

【分析】利用點斜式可判定A,利用直線過定點結(jié)合點與圓的位置關(guān)系可判定B,利用弦長

公式可判定C,利用直線的位置關(guān)系可判定D.

【詳解】對于A,直線/:履-y+2無+1=0,即y—l=Z（x+2）,

則直線恒過定點（-2,1）,故A錯誤;

對于B,因為（-2）2+儼=5<9,所以定點（-2,1）在圓。:/+/=9內(nèi)部,

所以直線/與圓。相交，故B正確；

335

對于C,當(dāng)F時，直線廣。,圓心O到直線的距離

直線/被圓。截得的弦長為2囪=N=2若，故c正確；

對于D,若直線/與直線x+4%）+/=。垂直，貝隈一4k2=0=左=?；蜃?：,故D不正確;

故選：BC.

11.ACD

【分析】根據(jù)題意，利用抽象函數(shù)的的性質(zhì)，結(jié)合選項，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，令x=y=0,可得/（O）=T,所以A正確；

對于B中，令尤=%,、=工2-大，且玉<々，則—芯）=/（玉）+/（赴一玉）+1，

可得/（赴）一/（為六/伍一玉）+1，

若x>0時，〃力>一1時，/（^2）-f（x1）>0,此時函數(shù)/'（X）為單調(diào)遞增函數(shù)；

若x>0時，/（力<一1時，〃々）一了（可）<0,此時函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，

答案第4頁，共13頁

所以函數(shù)/(X)不一定有最小值，所以B錯誤；

對于C中，令y=l,可得/(x+l)=〃x)+/⑴+l=/(x)+l,

即J(x+l)-/(力=1,

所以42)-〃1)=1,f(3)-/(2)=l,L,f(2024)-f(2023)=1,

各式相加得7(2024)—41)=2023,所以“2024)="1)+2023=2023,所以C正確；

對于D中,令y=r,可得/(0)=〃x)+〃—x)+l,可得〃x)+l+/(—x)+l=0,

即+l=+所以函數(shù)〃x)+l是奇函數(shù)，所以D正確；

故選：ACD.

12.-172

【分析】復(fù)數(shù)z進行四則運算化簡得z=-l-i,利用復(fù)數(shù)虛部概念及模的定義得虛部為-1,

模為0.

【詳解】因為Z=牛江=天空工=一1一i,所以Z的虛部為」，|z|=J(-l)2+12=0,

1+1(1+0(1—Z)V

故填：-1;血.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算及虛部、模的概念，考查基本運算能力.

13.07t

【分析】由題設(shè)知圓弧廝為球面與側(cè)面的交線，根據(jù)題設(shè)由直棱柱的性質(zhì)求弧長即

可.

【詳解】如圖：取CG，r>2，CD的中點瓦凡G,連接AC,AG,AE,A￡FG,EG,

結(jié)合題意：易得ACD為等邊三角形，

因為G為CD的中點，所以AG_LCD

因為在直四棱柱ABCD-ABiGA中有CG_1面.儀),且AGu面ABCD,

所以AG，CQ，又因為CGCD=C,且CC^CDu面CCQR

所以AG,面CGOR,結(jié)合球的性質(zhì)可知G為該截面圓的圓心，

因為直四棱柱ABC。-A462的所有棱長均為4,ZABC=6O°,

答案第5頁，共13頁

所以ZEG尸=90°,AG=2瓜AE=AF=275,EG=2A/2,

故以A為球心，2石為半徑的球面與側(cè)面的交線為：以G為圓心，2萬為半徑的圓所

成的圓弧砂.

所以跖=工*2兀廠=JX271X20=0TT.

44

【分析】可設(shè)出NBCD,利用余弦定理表示出8?？傻肁D,結(jié)合正弦定理找到與sin/BDC

的關(guān)系，進而表示出AC,結(jié)合三角函數(shù)運算即可得.

【詳解】方法一：設(shè)NBCr>=“e(J,7i

BD2=l+4—212cose=5—4cos。，

BD=y/5-4cos0,J5-4cos6>=——2--------

sin。sinZBDC

.2sin6

smZBDC=.=,

A/5-4COS6>

ACD中，AC2=1+5-4cos0-2-1A/5-4COS^-COS^ZBDC+^

=6-4cos6+2A/5-4cos(9?ABDC=-6MesJ25蜴o‘9""=

J5-4cos。

=6+4后”。-：卜6+4忘=(2+后,當(dāng)且僅當(dāng)心字時等號成立，.?.ACO+VL

BD2

方法二設(shè)48”乙BDCM，由前=麗

則BDsin/=2sina,

BD2=l+4-2x2cos?=5-4COS6Z,

AC2=AD2+CD2-2ADCDcosg+夕］

=5-4cosa+1+2BDCD-sin6=5-4cosa+1+4sina

答案第6頁，共13頁

3兀

=6+4應(yīng)sin46+40=(2+0)2,當(dāng)且僅當(dāng)”7時等號成立,

AC<2+V2.

故答案為：2+VI.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解答的關(guān)鍵在與如何借助已知條件將線段AC表示出來，可以設(shè)出

未知角度，借助正余弦定理將所需條件一一計算出來，最后借助三角函數(shù)性質(zhì)得到最值.

【分析】(1)根據(jù)4,S“的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解,

(2)根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求解.

【詳解】(1)由%+S“=l,得a,i+S,T=l(n>2),

兩式相減得：a?~a?-i+a,t=0(M>2),即(n>2),

1a1

當(dāng)”=1時，2sl=1,得6=彳*0,所以工=彳(/22),

2a?.12

故也｝是首項為?公比為g的等比數(shù)列?從而

(2)由(1)得僅=2%osm.

所以q-4U+zJ

】+巧

「(■4)=T

16.(1)證明見解析

⑵。四

【分析】(1)由題意由平面A5C得AA]_L,從而AB_Z,平面ACC*,

答案第7頁，共13頁

進而得結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標系，求出平面A4C的法向量，然后利用點到平面的距離的向量公式

求解.

【詳解】（1）△ABC中，AC=3,AB=4,BC=5,所以AB人AC,

在直三棱柱ABC-中，44,J■平面ABC,ABu平面A3C,所以

又因為A4]AC=A,ACu平面ACC]A,A4（u平面ACGA，

所以A52平面ACGA，A|CU平面ACGA，所以AB^AC.

（2）由（1）知，平面ABC,ABu平面ABC,ACu平面ABC,

所以AA{VAC,又AB人AC,如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)-?,

則。g，2,0）,A（0,0,3）,月（0,4,3）,C（3,0,0）,

A?=（3,0,-3）,A4=（0,4,0）,CD=f-1,2,0j

設(shè)平面ABC的一個法向量為〃=（尤,y,z）,

n-AC=3x-3z=0x=z

則，解得,_0,令z=l,則〃=（1,0,1）,

n?A瓦=4y=0

3

\CD-n\

設(shè)。到平面44。的距離為d,得d」?=寶=滬

17

17.⑴分布列見解析；￡（?=丁。（0=§

【分析】（1）結(jié)合古典概型即可寫出分布列，進而可求期望與方差;

答案第8頁，共13頁

（2）結(jié)合條件概率即可求解.

【詳解】（1）將一枚骰子連續(xù)投擲兩次共有基本事件6x6=36種,

擲出的點數(shù)之和是3的倍數(shù)有：

(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),12種;

則擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)有24種,

隨機變量4的取值為0,1，

21

35)天3

所以4的分布列為:

（2）設(shè)A表示深色，則可表示穿淺色，8表示穿西裝，則豆表示穿休閑裝.

根據(jù)題意，穿深色衣物的概率為尸（4）=；,則穿淺色衣物的概率為尸（可=：,

穿深色西裝的概率為P（B|A）=0.6=|,穿淺色西裝的概率為P（B|A）=[,

則當(dāng)天穿西裝的概率為P（B）=尸（2⑶尸網(wǎng)+尸（啊尸（Z）=；x|+gx>|.

2

所以張老師當(dāng)天穿西裝的概率為二,

18.（1）-1

⑵（。，24）

【分析】（1）結(jié)合已知條件分析得到原”+%v=0,由此得到M+%的結(jié)果，再根據(jù)兩點間

斜率公式以及拋物線方程化簡膜B可得結(jié)果；

（2）設(shè)出A3方程，聯(lián)立42與拋物線方程得到縱坐標的韋達定理形式，然后表示出|鈿|和

P到直線AB的距離d,最后利用導(dǎo)數(shù)求解出一R鉆面積的取值范圍.

答案第9頁，共13頁

【詳解】（1）設(shè)4（不幻,3（%%）,因為P（2,4）在拋物線上,

所以16=4p,所以0=4,所以C:y2=8x,

不妨設(shè)M在N的左邊，過P作PQ垂直于x軸交于。點，如下圖,

因為PM=PN,所以NPMQ=NPNQ,

因為ZPAQ+NPMv=180°,

所以ZPM0+N/W=180°,

所以直線PM,PN的傾斜角互補，

所以kpM+kpN=。，

顯然A,B不與P關(guān)于龍軸的對稱點重合，所以x產(chǎn)2,々w2,

k=k_%-4_必_4_8k-k_%-4__8

又因為％P"一芯_2一12_2一必+4,KpB-MN-c—1一,A

入2-2-y^-2%+4

8M

88

所以必+4+%+4=°，所以M+4=f-4，所以%+%=-8,

k>2r8_?

而［、］KAB~_22—_

所以馬—XA_2L%+%，

88

即直線A5的斜率為-1；

(2)^AB:y=-x+m,

,、［y=—x+m,°

聯(lián)乂〈2o可得y+8y-8m=0,

［y=8%

所以必+%=&必%=一8加，

且A=64-4xlx(-8機)>0,所以機>一2,

答案第10頁，共13頁

若加與0重合，此時機=0,

由上可知“ze(-2,0),

又|AB|=J1+|x=A/5X,64+32加=8ylm+2‘

I

\YYl—6

且P到直線AB的距離d=,

V2

所以SM8=gxdx|AB|=2收XJ(6_W)2(〃Z+2)

令〃加)=(6—根y(m+2),w7e(—2,0),

所以/'(m)=(3加一2)(根一6)>0,

所以/(價)在(-2,0)上單調(diào)遞增，且/(0)=72J(―2)=0,

所以一RW的面積取值范圍是(2忘x0,2忘x板)，即為(0,24).

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中求解三角形面積的常用方法：

(1)利用弦長以及點到直線的距離公式，結(jié)合,X底x高，表示出三角形的面積；

2

(2)根據(jù)直線與圓錐曲線的交點，利用公共底或者公共高的情況，將三角形的面積表示為

1?四卜歸一對或。呼-%|；

(3)借助三角形內(nèi)切圓的半徑，將三角形面積表示為(S+6+c)-R(R為內(nèi)切圓半徑).

19.(l)/(x)=f+x是[L2]上的“3類函數(shù)”，理由見詳解.

14+e

(2)-r<a<—j-

ee

(3)證明過程見詳解.

【分析】(1)由新定義可知，利用作差及不等式的性質(zhì)證明-〃%)|<引占-司即可;

(2)由已知條件轉(zhuǎn)化為對于任意xe[l,e],都有f'(x)=axex-x-lnx-1,

只需""產(chǎn)且"可二'利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可.

(3)分卜-司<；和14歸-毛|<1兩種情況進行證明，/(1)=/(2),用放縮法

答案第11頁，共13頁

|/。)-〃電)|=|/仿)-〃1)+〃2)-/。)伯|〃X)-〃1)|+|〃2)-〃/)|進行證明即可.

【詳解】(1)對于任意不同的拓々e［1,2］,

有