四川省2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月月考試題含解析

2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一學(xué)月考試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分）

1.已知。，b@R,a_2i=0T）i,若2=。+歷，則［的虛部是（）

A.2B.1C.-2iD.2i

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求得。力，然后利用共朝復(fù)數(shù)的概念求虛部.

【詳解】因?yàn)閍-2i=（b-i）i=l+歷，所以a=l力=-2,所以z=l-2i,所以I=l+2i，

所以I的虛部是2.

故選：A.

2.過(guò)點(diǎn)4（2,3）且與直線/:2%—4丁+7=0平行的直線方程是（）

A.x—2y+4=0B.x—2y-4=0C,2x—y+1=0D,x+2y—8=0

【答案】A

【解析】

【分析】利用平行直線的特點(diǎn)先設(shè)出待求直線方程，代入所過(guò)點(diǎn)可得答案.

【詳解】由題意設(shè)所求方程為2x—4y+c=0（cw7）,

因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,3）,

所以2x2—4x3+c=0,即c=8,所以所求直線為％—2y+4=0.

故選：A.

3.第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2021年8月18日至8月29日在成都舉行，舉辦方將招募志愿者在

賽事期間為運(yùn)動(dòng)會(huì)提供咨詢、交通引導(dǎo)、場(chǎng)館周邊秩序維護(hù)等服務(wù)，招募的志愿者需接受專業(yè)培訓(xùn)，甲、

乙兩名志愿者在培訓(xùn)過(guò)程中進(jìn)行了六次測(cè)試，其測(cè)試成績(jī)（單位：分）如折線圖所示：

1

成緘/分

96

96

前I次的2次第3次第4次制5次顯6次一

則下列說(shuō)法正確的是()

A.甲的平均成績(jī)比乙的平均成績(jī)高

B.甲的平均成績(jī)比乙的平均成績(jī)低

C.甲成績(jī)的極差比乙成績(jī)的極差小

D.乙的成績(jī)比甲的成績(jī)穩(wěn)定

【答案】D

【解析】

【分析】依數(shù)據(jù)分別計(jì)算甲、乙的平均值與方差、極差即可做出選擇.

【詳解】由折線圖得到甲六次測(cè)試的成績(jī)依次為90,93,92,94,96,93,

乙六次測(cè)試的成績(jī)依次為93,94,91,95,92,93,

則甲的平均成績(jī)?yōu)椋毫x(90+93+92+94+96+93)=93,

乙的平均成績(jī)?yōu)?義(93+94+91+95+92+93)=93,

故A,B均錯(cuò)誤；

甲成績(jī)的極差為96—90=6,乙成績(jī)的極差為95—91=4,故C錯(cuò)誤；

甲成績(jī)的方差=^x[(-3)2+02+(-1)2+12+32+02]=y,

222

乙成績(jī)的方差s；=：x+F+(_2)2+2+(-1)+0]=|,

且s；〉s；,所以乙的成績(jī)比甲的成績(jī)穩(wěn)定，D正確.

故選：D

4.圓O:x2+y2=5,則經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(_1,2)的切線方程為()

A.x-2y-5=0B,x+2y+5=0

C.x+2y—5=0D,x—2y+5=0

2

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合題意得點(diǎn)M(-L2)在圓上，進(jìn)而根據(jù)與切線垂直得切線斜率為再求解方程即可.

【詳解】解：因?yàn)?―1『+22=5,所以點(diǎn)M(—L2)在圓上，

所以與切線垂直，因?yàn)椋ゼ?-2,所以切線斜率為3，

所以，切線方程為y—2=g(x+l),即x—2y+5=0.

故選：D

5.在四面體A—BCD中，點(diǎn)/在A。上，且AF=2ED,E為BC中點(diǎn),則即=()

A.AC+-AB--AD

23

1--1--2-

B.——AC——AB+-AD

223

C.-AC--AB+-AD

223

D--AC+-AB--AD

223

【答案】B

【解析】

【分析】由條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算利用ABAC,AD表示EF即可.

UUD210tt

【詳解】如圖，因?yàn)辄c(diǎn)R在AD上，且AF=2ED,所以=

因?yàn)镋為3c中點(diǎn)，所以EB=Lc3=L(A3—AC),

22、>

所以EF=EB+BA+AF

=1(AB-AC)-AB+|AD

^--AC-~AB+-AD,

223

即EF^--AC--AB+-AD.

223

故選：B.

3

A

6.水平放置的四邊形/四的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形A5'C'。'，如圖所示.其中3'C'=A3'=1,則

原平面圖形的面積為()

R3也

D.------C-3后D.672

4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法圖形性質(zhì)可得原圖形的形狀，進(jìn)而可得面積.

【詳解】由直角梯形AB'CD'中B'C=A3'=1,且NA'0'C'=45，作AP±D'C于P,

則四邊形A'3'C'P為正方形，APD為等腰直角三角形，故A7)'=后，D'C=2.

故原圖為直角梯形，且上底A3=A5'=l,高AZ)=2A'。'=2&，下底DC==2?其面積為

1(1+2)X2A/2=3V2.

4

故選：c

7.已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1和2,側(cè)面積為3百兀，則該圓臺(tái)的體積為（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)扇環(huán)的面積公式求出母線長(zhǎng)，利用勾股定理求高，在根據(jù)圓臺(tái)體積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是個(gè)扇環(huán)，S扇環(huán)=兀（彳+馬）?/=兀（1+2>/=3岳=

所以圓臺(tái)的高/z=&肩—（2—I）?=2，

則%1臺(tái)=］（S上+S下+,5上5下）//=兀+4兀+J兀,4兀）x2=5?！?/p>

故選：B.

8.已知棱長(zhǎng)都為3的正三棱柱ABC-A4G中，2E分別為棱34，CG上的點(diǎn)，當(dāng)AD+DE+EA取

得最小值時(shí)，。石與平面A&GC所成角的正弦值為（）

,VwR有「3月n3G

A.D.L.-----L）.

1052020

【答案】C

【解析】

【分析】借助于側(cè)面展開(kāi)圖分析可得當(dāng)用。=1,GE=2時(shí)，AD+DE+EA取得最小值時(shí)，利用平行

將OE與平面A&GC所成的角轉(zhuǎn)化為OE與平面A&GC所成的角，再根據(jù)線面角的定義分析求解.

【詳解】如圖1，沿著棱A4將棱柱的側(cè)面展開(kāi)成一個(gè)矩形，因?yàn)锳D+DE+E4244，

所以當(dāng)AD+DE+EA取得最小值時(shí)，4。=1,QE=2,

5

如圖2,在GC上取R點(diǎn)，使得CZ=1,連接男尸，

因?yàn)锽Q//EF,BQ=EF,

所以四邊形ET?。為平行四邊形，則33〃。E,BF=DE,

所以與尸、OE與平面A&CC所成的角相等.

取AG的中點(diǎn)為G,連接Gf\BtG,

因?yàn)?G±AC,B[G1,

4G-M=A，AG，Mu平面A41clc,

所以4G_L平面AAGC，

則NB\FG為B.F與平面A&GC所成的角，即DE與平面A&GC所成的角，又B、G=空，B1F=回,

2

6,H.4G3A/30

所以smZB,FG=——=--------.

B]F20

故選：c.

二、多選題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）

9.某科技學(xué)校組織全體學(xué)生參加了主題為“創(chuàng)意致匠心，技能動(dòng)天下”的文創(chuàng)大賽，隨機(jī)抽取了400名學(xué)

生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績(jī)都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為

左閉右開(kāi)），畫(huà)出頻率分布直方圖（如圖），下列說(shuō)法正確的是（）

6

A.在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間［90,100)內(nèi)的學(xué)生有160人

B.圖中x的值為0.025

C.估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為86.7

D.估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的80%分位數(shù)為95

【答案】ACD

【解析】

【分析】由頻率分布直方圖，根據(jù)頻率之和為1求得x,根據(jù)頻率、中位數(shù)、百分位數(shù)的求得正確答案.

【詳解】由題意，成績(jī)?cè)趨^(qū)間［90,100)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為400x0.040x10=160,故A正確；

由(0.005+0.010+0.015+x+0.040)xl0=l,得x=0.030,故B錯(cuò)誤；

設(shè)中位數(shù)為。，貝1(0.005+0.010+0.015)x10+0.030(。—80)=0.5,得。。86.7,故C正確；

低于90分的頻率為1-04=0.6，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為n,

90

則—，解得〃=95,故D正確.

100-900.4

故選：ACD

10.口袋里裝有2紅，2白共4個(gè)形狀相同的小球，從中不放回的依次取出兩個(gè)球，事件A="取出的兩球

同色”，事件3="第一次取出的是紅球“，事件C="第二次取出的是紅球”，事件。=”取出的兩球

不同色”，下列判斷中正確的()

A.A與?；閷?duì)立B.8與C互斥

CA與8相互獨(dú)立D.B與。相互獨(dú)立

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)立事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】先編號(hào)：紅球?yàn)?,2,白球?yàn)?,4,

7

不放回依次取出兩個(gè)，基本事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43,共12種，

事件A="12,21,34,43”；

事件3=“12,13,14,21,23,24”；

事件C=“12,21,31,41,32,42”；

事件D="13,14,23,24,31,41,32,42”.

A選項(xiàng)，AoD=Q,AnD=：0,所以A與。互為對(duì)立事件；

B選項(xiàng)，AcCw0,所以8與C不是互斥事件；

C選項(xiàng)，事件AB="12,21”，

J.乙DJ.乙乙J.乙U

所以A與B相互獨(dú)立，所以C選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng),事件BD="13,14,23,24”，

P（3）=；，P（D）=A=gj（3D）=A=gj（3D）=P（3）P（。）,

所以8與。相互獨(dú)立，所以D選項(xiàng)正確.

故選：ACD

11.已知點(diǎn)A（2,3）,8（3,1）,且直線/：x+—1=0（meR）與線段A5恒有交點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的是

（）

A.直線1的斜率為一m

B.直線/過(guò)定點(diǎn)（L0）

C.若直線AB與直線/垂直，則m=-2

D.小的取值范圍一2，一;

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用直線方程確定直線定點(diǎn)及斜率，來(lái)判斷A,B選項(xiàng)，在根據(jù)直線與A3的關(guān)系判斷C,D選項(xiàng).

【詳解】解：對(duì)于直線/：x+my-l=0（m^R）

8

當(dāng)機(jī)WO時(shí)，直線斜率存在，斜率為&=-▲,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

m

又當(dāng)y=0時(shí)，總有x=l,所以直線/過(guò)定點(diǎn)（L0）,故B選項(xiàng)正確；

3-111

又4（2,3）,8（3,1）,所以配=^一=-2,若直線與直線/垂直，則左次題=-1，所以&=--=—，

2-3m2

得m=—2,故C選項(xiàng)正確；

如圖，設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn)P（LO）

若直線/與線段A3恒有交點(diǎn)，則可得：演「〈勺VkAP

111rr

即一<——<3,解得：—2,所以加的取值范圍—2,一二，故D選項(xiàng)正確.

2m3L3_

故選：BCD.

12.如圖，底面ABCD為邊長(zhǎng)是2的正方形，半圓面APD_L底面ABCD.點(diǎn)尸為半圓弧人。上（不含A,

，點(diǎn)）的一動(dòng)點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（）

A.8尸.尸￡）的數(shù)量積恒為。

2

B.三棱錐P-6CD體積的最大值為耳

C.不存在點(diǎn)尸，使得ABPB=4

D.點(diǎn)/到平面BPD的距離取值范圍為（0,、歷）

【答案】ABD

【解析】

9

【分析】由面面垂直的性質(zhì)結(jié)合平面向量的運(yùn)算可判斷A；由棱錐的體積公式結(jié)合高/7的范圍可判斷B；由

向量的線性運(yùn)算，PB=PA+AB，再由數(shù)量積運(yùn)算可判斷C；由等體積法得出點(diǎn)A到平面的距離

取值范圍，可判斷D.

【詳解】對(duì)A,因?yàn)榘雸A面底面ABC。，AB±AD,面AP￡>底面ABCD=AO,ADu底

面ABC。，所以AB工平面APD，

又,AP,P￡>u平面APD，.-.AB±AP，AB1PD，

又由圓的性質(zhì)，AP±PD，：.BP?PD=(AP-AB).PD=AP?PD-AB?PD=0-0=0,故A正確；

對(duì)B,設(shè)點(diǎn)P到平面BCD的距離為/?,底面積SBC?=2,

112

顯然當(dāng)點(diǎn)P為弧A。中點(diǎn)時(shí)〃最大，此時(shí)棱錐的體積最大，/BCO=—Sx2xl=—，故B正確；

333

對(duì)c,ABPB=AB-^PA+AB^=ABPA+AB2=AB2=4,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,因?yàn)?

又DBDP^(DP+PA+AB^DP=|DP|2+O+O=|DP|2,

所以“,￡)尸上05/2￡)3=四『，|DB|=272,

DPB.

所以cosZPDB=-----=——\DP\,

DB411

|BD||DP||BD||DP|2

所以SBDP=IsinZPDB=|xVl-cosZPDB

=|X2^|DP|JI-[^|DP|、2DP-^8-DP

)~2

J"?

在RT_AP。中，sin/4DP=

\AD\2

10

D.

A

設(shè)點(diǎn)P到平面ABD的距離為4,點(diǎn)A到平面BPD的距離為為,

作PESAD于E,因?yàn)槊鍭PDL底面ABC。，面AP。底面ABCD=AZ),PEu面APD，所以

尸石，面ABCD,

訴”?,\DP\-J4-DP2

所以4=|PE|=|加|-sinZPDA=~匚/-------，

因?yàn)?！一ABD=VA-BPD'即3sA或A=3SBPDk,

所以2」加|44一|。葉

1IDPI-JS-DP2

—x-----------------------

3232

設(shè)口卜WO,2）,則叱*=不

8-/?4,8）,.,.為6（0,、叵），故D正確.

故選：ABD.

第2卷非選擇題（90分）

三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）

13.某學(xué)校共有教職員工800人，其中不超過(guò)45歲的有x人，超過(guò)45歲的有320人.為了調(diào)查他們的健康

狀況，用分層抽樣的方法從全體教職員工中抽取一個(gè)容量為50的樣本，應(yīng)抽取超過(guò)45歲的教職員工20人，

抽取的不超過(guò)45歲的救職員工了人，貝|x+y=人.

【答案】510

【解析】

【分析】直接根據(jù)條件列方程求解.

【詳解】根據(jù)條件學(xué)校共有教職員工800人，抽取一個(gè)容量為50的樣本,

%+320=800fx=480

解得《

<2O+y=5Ob=30

.?.x+y=510.

11

故答案為：510.

14.已知向量a=（2,私-4）,>=（-1,4,2）,且a〃匕，則實(shí)數(shù)機(jī)=.

【答案】-8

【解析】

【分析】利用向量平行的條件直接解出機(jī).

【詳解】因?yàn)橄蛄縜=（2,加,-4）,&=（-1,4,2）,且?！ㄘ?，

2m—4

所以一=一=—,解得機(jī)=—8.

-142

故答案為：-8.

15.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書(shū)中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位

于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知

ABC的頂點(diǎn)A（4,0）,5（0,2）,C（0,—3）,則—ABC歐拉線的方程為.

【答案】2x-y-3=0

【解析】

【分析】根據(jù)的頂點(diǎn)為A（4,0）,5（0,2）,C（0,—3）,求得重心坐標(biāo)，結(jié)合外心的性質(zhì)設(shè)的外

心印的坐標(biāo)，由IW幺l=|WC|求得坐標(biāo)，然后寫(xiě)出歐拉線方程.

【詳解】因?yàn)?43。的頂點(diǎn)為4（4,0）,8（0,2）,C（0,—3）,

所以重心哈一1,

因?yàn)榫€段BC的垂直平分線方程為丁=-；，

解得.弓

12

所以該三角形的歐拉線方程為y+；=

3-4

化簡(jiǎn)可得，2x—y—3=0.

故答案為：2x-y-3=0.

16.若恰有三組不全為0的實(shí)數(shù)對(duì)(a,切滿足關(guān)系式|2a+b+3|=|5a-3。+3|=八/7壽，則實(shí)數(shù)/的所

有可能的值為

【答案】,—453

2553

【解析】

【分析】

|2a+Z?+3115ct—3b+31

化簡(jiǎn)得到,然后，根據(jù)情況，對(duì)方進(jìn)行分類討論即可求解

\la~+b2V?2+b2

|2cl+Z?+31|5Q—3b+31

【詳解】由已知得，明顯地,t>Q,整理得，又由看成有且僅有三條直

“2+六y/a2+b2

線滿足，A(2,l)和8(5,—3)到直線/:以+力+3=0(不過(guò)原點(diǎn))的距離/相等;

由|AB|二J(5-2)2+(-3-1)2=5，

(1)當(dāng)/二苧二：，止匕時(shí)，易得符合題意的直線/為線段A3的垂直平分線6x—8y—29=0以及直線

AB平行的兩條直線8x+6y+3=0和8x+6y—47=0

(2)當(dāng)/(網(wǎng)=9時(shí)，有4條直線/會(huì)使得點(diǎn)42,1)和8(5,—3)到它們的距離相等，注意到/不過(guò)原點(diǎn),

22

所以，當(dāng)其中一條直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，

會(huì)作為增根被舍去；設(shè)點(diǎn)A到I的距離為d，

①作為增根被舍去的直線/,過(guò)原點(diǎn)和的中點(diǎn)其方程為2x+7y=0,此時(shí)，

115

t—d—卮9符合;

13

②作為增根被舍去的直線/,過(guò)原點(diǎn)且以AB為方向向量，其方程為4x+3y=0,此時(shí)，Z=J=y<

符合；

綜上，滿足題意的實(shí)數(shù)/為之，—,—753；

2553

故答案為：一，—，—y/53

2553

|2a+/7+3115a—3b+31

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于化簡(jiǎn)得到=t,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，有且僅

v?2+b2+b2

有三條直線滿足，42,1）和3（5,-3）到直線/:以+勿+3=0（不過(guò)原點(diǎn)）的距離/相等，這是本題的解題

關(guān)鍵，本題難度屬于困難

三、解答題（本大題共6個(gè)大題，共70分）

17.已知平面內(nèi)兩點(diǎn)M（2,—2）,N（4,4）.

（1）求MN的垂直平分線方程；

（2）直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（3,0）,且點(diǎn)M和點(diǎn)N到直線/的距離相等，求直線/的方程.

【答案】（1）x+3y—6=0；（2）%=3和3x—y—9=0

【解析】

【分析】（1）求出中點(diǎn)坐標(biāo)為（3,1）,計(jì)算出MN兩點(diǎn)的斜率，根據(jù)兩直線垂直斜率乘積等于-1計(jì)算出

中垂線的斜率，再利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出中垂線即可.

（2）點(diǎn)"和點(diǎn)N到直線I的距離相等等價(jià)于直線/與直線MN平行或直線/過(guò)的中點(diǎn).

【詳解】⑴易求得初V中點(diǎn)坐標(biāo)為（3,1）.又3w=\（；）=3,

所以的中垂線的斜率為-g,

跖V的中垂線的方程為y—1=—；（x—3）即x+3y—6=0.

（2）由（1）知，kMN=3,所以直線/的方程為3x—y—9=0,

直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,0）（3,1）得％=3,綜上：/為x=3和3x—y—9=0

【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

14

18.共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點(diǎn)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場(chǎng)所提供的自行車單車共享服務(wù)，由

于其依托“互聯(lián)網(wǎng)+”，符合“低碳出行”的理念，已越來(lái)越多地引起了人們的關(guān)注.某部門為了對(duì)該城市

共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了50人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將問(wèn)卷中的這50人

根據(jù)其滿意度評(píng)分值(百分制)按照［50,60),［60,70),,［90,100］分成5組，請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成并有局

部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖(如圖所示)解決下列問(wèn)題:

頻率分布表

組另u分組頻數(shù)頻率

第1組[50,60)80.16

第2組[60,70)a■

第3組[70,80)200.40

第4組[80,90)■0.08

第5組[90,100]2b

合計(jì)■■

頻率分布直方圖

(1)求。,反尤,丁的值;

(2)若在滿意度評(píng)分值為［80,100］的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求所抽取的2人中至少一人來(lái)自第5組

的概率.

3

【答案】(1)a=16,b=0.04,%=0.032,j=0.004；(2)

15

【解析】

【分析】（1）根據(jù)頻率分布表可得b.先求得［80,90）內(nèi)的頻數(shù),即可由總數(shù)減去其余部分求得。.結(jié)合頻率

分布直方圖，即可求得羽y的值.

（2）根據(jù)頻率分布表可知在［80,90）內(nèi)有4人，在［90,100］有2人.列舉出從這6人中選取2人的所有可能,

由古典概型概率計(jì)算公式即可求解.

2

【詳解】（1）由頻率分布表可得匕=——=0.04

[80,90）內(nèi)的頻數(shù)為50x0.08=4,

。=50—8—20—4—2=16

［60,70）內(nèi)的頻率為，=。32

50

???[90,100]內(nèi)的頻率為0.04

（2）由題意可知,第4組共有4人，第5組共有2人，

a

設(shè)第4組的4人分別為4、。2、。3、4；第5組的2人分別為乙、b2

從中任取2人的所有基本事件為：（％,。2），（％，4）,（。1，。4），（％，4），（。1也），（。2，。3），（見(jiàn)，。4），（g，4），

3也），3，%）,3,4）,3也）,（%，4）,（%也）,（4也）共15個(gè).

至少一人來(lái)自第5組的基本事件有：（％,4）,（%也），（。2，偽），（。2也），（。3,4），3,8），（%，4），

（%也）（4也）共9個(gè).

93

所以p=1rM

所抽取2人中至少一人來(lái)自第5組的概率為13.

19.已知圓。過(guò)三個(gè)點(diǎn)M（L0）,N（3,2）,尺（5,0）.

（1）求圓。的方程：

16

(2)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)/在圓，上運(yùn)動(dòng)，求線段Q4的中點(diǎn)戶的軌跡方程.

【答案】(1)(x—3)2+/=4

(3Y

⑵+/=1

【解析】

【分析】(1)設(shè)圓C的方程為f+：/+瓜+互y+EuCXDZ+E?—4F>0),將三個(gè)點(diǎn)

"(1,0),N(3,2),H(5,0)代入求解;

(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(x,y),/的坐標(biāo)是(/，兀)，由戶為線段》的中點(diǎn)，得到%=2x,%=2y,代

入圓(x—3)2+/=4上的點(diǎn)求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)圓C的方程為/+/+瓜+或+/=0(。2+￡2—4/>0),

因圓。過(guò)三個(gè)點(diǎn)M(l,0),N(3,2),R(5,0),

1+D+F=O

所以(9+4+3。+2石+歹=0,解得Z>=—6,E=0,尸=5,

25+5D+F=0

所以圓。的方程為/+6X+5=0,即(x—3)2+/=4.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)動(dòng)點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(x,y),/的坐標(biāo)是(孫yj.

由于尸為線段處的中點(diǎn)，所以x=2,y=%,

22

所以有七=2x,%=2)^

/是圓(x—3)2+丁=4上的點(diǎn)，

所以力坐標(biāo)(耳，yj滿足：(萬(wàn)一3y+y；=4②

將①代入②整理，得(x—+V=1,

所以夕的軌跡是以］|,0)為圓心，以1為半徑的圓，方程為［x—|)+y2=l.

17

20.如圖，在三棱柱ABC-A與G中，CG，底面ABC，AC1BC,。是AG的中點(diǎn)，且

AC=3C=A4,=2

(I)求證：4四〃平面

(II)求直線AB】與平面AB。所成角的正弦值.

【答案】(I)證明見(jiàn)解析；(II)晝

9

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)線面平行的判斷定理可得證；

(H)以C4,CB,CG為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用線面向量求解方法可求

得直線A4與平面ABD所成角的正弦值.

【詳解】(I)如圖，由三棱柱ABC-4與￡,得ABJ/AB,

又因?yàn)?4a平面ABD,ABU平面ABD,所以4片〃平面ABO；

(II)因?yàn)镃G，底面ABC，AC1BC,

所以C4,CB,CG兩兩垂直，故分別以C4,CB,CG為彳軸，，軸，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)

系，

則8(0,2,0),4(2,0,0),耳(0,2,2),D(l,0,2),

所以AB】=(一2,2,2),=(-2,2,0),AT>=(—1,0,2),

設(shè)平面ABZ)的法向量，=(%y,z),

18

—2x+2y=0,i

由AB-〃=O,ADn=0，得＜令x=2,得〃=(2,2,1).

—x+2z=0,

AB1?幾

設(shè)直線A片與平面曲所成角為e,則sin6-|cos<ABX,n>|=

\AB]-\n\-v

所以直線A片與平面ABD所成角的正弦值為

9

【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，線面角的向量求解方法，屬于中檔題.

21.如圖，幾何體ER-A5CD中，平面平面瓦CD,四邊形CDE廠為邊長(zhǎng)為2的正方形,

在等腰梯形A3CD中，AB//CD,AO=2,AB=4.

(1)求證：ACLFB,

（2）求二面角石一EB—O的余弦值.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）主匝.

35

【解析】

【分析】（1）可證AC，平面BTC,從而得到ACLEB.

（2）以C4方向?yàn)閤軸，CB方向?yàn)閥軸，。下方向?yàn)閦軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面石EB和平面

O/T的法向量的夾角的余弦值后可得二面角七一EB—O的平面角的余弦值.

【詳解】證明：

19

E,

/9一-二二「可￡、\

/0--〃/——'\B

過(guò)點(diǎn)C作8,45于〃.

ABCD為等腰梯形，則A3〃CQ,

又AD=DC—2，AB=4，

.\BH=1,又BC=2,ZABC=60,

又1AB=4,BC=2,故AC=J16+4-2x4=26

故=.2,-AC.LBC.

:平面ABCD1平面所CD,FC±CD,平面ABCDc平面￡FCD=CD,

/。，平面ABCD.

：ACu平面ABC。，.又QACL3C,BCcFC=C

???AC,平面3FC,???EBu平面8/C,所以AC,EB.

(2)解：以C4方向?yàn)閤軸，CB方向?yàn)?軸，b方向?yàn)閦軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則.26,0,0),5(0,2,0),F(0,0,2),0(6—1,0).

設(shè)平面石FB和平面Z)氏B的法向量分別為4=a，%,zj和n,=(%2,j2,z2),

…=°即52%+21°

取再=1得：nx-(1,6,百卜

BA-=02A/3XJ—2M=0

BF?%=0—2%+2Z2=0/、

又〈2即《廠