廣東省深圳市龍華區(qū)2021-2022學年九年級上學期12月月考數(shù)學試題（含答案及解析）

2021-2022學年廣東省深圳市龍華區(qū)九年級第一學期聯(lián)考數(shù)學試卷

（12月份）

一、選擇題（共10小題，每小題3分）

1.下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（）

22

A.y—x+1B.y=x~H—C.y—ax2+bx+cD.y—x2

x

2.下列幾何體中，有一個幾何體的主視圖與俯視圖的形狀不一樣，這個幾何體是（）

4

3.對于反比例函數(shù)y=—,下列說法不正確的是（）

x

A.這個函數(shù)的圖象分布在第一、三象限

B.點（1,4）在這個函數(shù)圖象上

C.這個函數(shù)圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

D.當尤＞0時，y隨尤的增大而增大

4.菱形A3CD的對角線AC=10,30=8,則菱形A3CD的面積是（）

A.80B.60C.40D.30

5.在直角三角形中，各邊的長度都擴大3倍，則銳角A的三角函數(shù)值

A,也擴大3倍B.縮小為原來的工

3

C.都不變D.有的擴大，有的縮小

6.在一個不透明的袋子里，裝有6枚白色棋子和若干枚黑色棋子，這些棋子除顏色外都相同.將袋子里的

棋子搖勻，隨機摸出一枚棋子，記下它的顏色后再放回袋子里.不斷重復這一過程，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，摸到白色

棋子的頻率穩(wěn)定在0.1,由此估計袋子里黑色棋子的個數(shù)為（）

A.60B.56C.54D.52

7.如圖，點片是內(nèi)一點，NAEB=90。,。是邊A3的中點，延長線段OE交邊5C于點R點尸是邊

8C的中點.若AB=6,E尸=1,則線段AC的長為（）

A.7B.—C.8D.9

2

8.新型冠狀病毒肺炎具有人傳人性，調(diào)查發(fā)現(xiàn)1人感染病毒后如果不隔離，那么經(jīng)過兩輪傳染將會有225

人感染，若設1人平均感染x人，則尤為（）

A.14B.15C.16D.17

9.二次函數(shù)、=。必+6犬+。的圖象如圖所示，對稱軸是％=1,下列結論正確的是（）.

舛：

-VO\R

A.abc>0B.2a+/?<0C3b—2c<0D.+c<0

10.如圖，已知E,方分別為正方形ABC。的邊A5,BC的中點，A尸與。石交于點"，。為助的

中點，則下列結論：①/4ME=90°,?ZBAF=ZEDB,③/[M=-MF'?ME+MF=y[lMB-其

中正確結論的有（）

AK-------------------

b尸c

A.4個B.3個C.2個D.1個

二、填空題（共5小題，每小題3分）

11.如圖，已知/1〃/2〃/3,直線分別交/1、卜、/3于A、M、13,直線CO分別交限b、，3于C、N、D,

AM=4,MB=6,CD=9,那么ND=_________.

/I

12.下面4個圖是一根電線桿在一天中不同時刻影長圖，試按其一天中發(fā)生的先后順序排列，正確的是

14.如圖，四邊形A8C0是矩形，A、8兩點在％軸的正半軸上，C、。兩點在拋物線產(chǎn)-N+6x上.設

OA=m(0<m<3),矩形A3CZ)的周長為/,貝!!/與機的函數(shù)解析式為.

4

15.如圖，已知動點A在函數(shù)y=—(x>0)的圖象上，AB_Lx軸于點B,AC_Ly軸于點C,延長CA至點

D,使AD=AB,延長BA至點E,使AE=AC,直線DE分別交x軸，y軸于點P,Q,當QE：DP=9：25

時，圖中的陰影部分的面積等于—.

三、解答題(共7小題)

16.計算：

(1)sin600cos600+sin450cos45°-sin30°cos30°；

(2)(x+l)2=3(x+l).

17.在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為4(0,2)、B(l,3)、C(2,1).

(1)以點O為位似中心，在給定的網(wǎng)格中畫出△A'B'C,使△ABC與AABC位似，且相似比為2；

(2)△ABC的周長；

(3)△A8C的面積.

18.九(1)班為準備學校舉辦“我的夢?美麗中國夢”演講比賽，通過預賽共評選出甲、乙、丙三名男生

和A、8兩名女生共5名推薦人選.

(1)若隨機選一名同學參加比賽，求選中男生概率.

(2)若隨機選一名男生和一名女生組成一組選手參加比賽，用樹狀圖(或列表法)表示所有可能出現(xiàn)的

結果，并求恰好選中男生甲和女生A的概率.

19.如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌。，小明與同學們在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部。的仰角

為53。，沿坡面AB向上走到8處測得廣告牌頂部C的仰角為45。，已知山坡AB的坡度7=1：也,AB=

10米，AE=21米.(測角器的高度忽略不計，結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：72=1-41-73=1-73,

434

sin53°~—,cos53°~—,tan53°?—)

553

(1)求點8距水平地面AE的圖度；

(2)求廣告牌C。的高度.(結果精確到01米)

20.如圖所示，在邊長為1的菱形A8CD中，ZDAB=60°,M是上不同于A,。兩點的一動點，N是

CD上一動點，且AM+CN=L

（1）證明：無論M,N怎樣移動，總是等邊三角形;

（2）求面積的最小值.

21.龍華天虹商場以120元/件價格購進一批上衣，以200元/件的價格出售，每周可售出100件.為了促

銷，該商場決定降價銷售，盡快減少庫存.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種上衣每降價5元/件，每周可多售出20

件.另外，每周的房租等固定成本共3000元.該商場要想每周盈利8000元，應將每件上衣的售價降低多

少元？

22.如圖1,平面直角坐標系xQy中，4（4,3）,反比例函數(shù)y=與左＞0）的圖象分別交矩形A30C的兩

邊AC,A3于￡、尸兩點（E、產(chǎn)不與A重合），沿著即將矩形A30C折疊使A、。兩點重合.

（1）AE=（用含有左的代數(shù)式表示）；

（2）如圖2,當點￡＞恰好落在矩形A30C的對角線上時，求CE的長度;

（3）若折疊后，血是等腰三角形，請直接寫出此時點。的坐標.

2021-2022學年廣東省深圳市龍華區(qū)九年級第一學期聯(lián)考數(shù)

學試卷（12月份）

一、選擇題（共10小題，每小題3分）

1.下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（）

22

A.y=x+lB.y=XH—C.y=ax1+bx+cD.y=N

x

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐項分析即可，二次函數(shù)的定義：一般地，形如

=ax2+bx+c（〃、枚。是常數(shù)，〃。0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).

【詳解】A.y=x+1,是一次函數(shù)，故該選項不符合題意；

B.y=x2+-,不是二次函數(shù)，故該選項不符合題意；

C.y^ax^+bx+c,當。/0是二次函數(shù)，故該選項符合題意；

D.y=N,二次函數(shù)，故該選項符合題意；

故選D

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，理解二次函數(shù)的定義是解題的關鍵.

2.下列幾何體中，有一個幾何體的主視圖與俯視圖的形狀不一樣，這個幾何體是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

【詳解】解：A、主視圖、俯視圖都是正方形，故A不符合題意；

8、主視圖、俯視圖都是矩形，故B不符合題意；

C、主視圖是三角形、俯視圖是圓形，故C符合題意；

D,主視圖、俯視圖都是圓，故。不符合題意；

故選：c.

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，解題的關鍵是掌握從正面看得到的圖形是主視

圖，從上面看得到的圖形是俯視圖.

4

3.對于反比例函數(shù)>=—,下列說法不正確的是（）

x

A.這個函數(shù)的圖象分布在第一、三象限

B.點（1,4）在這個函數(shù)圖象上

C.這個函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

D.當尤>0時，y隨x的增大而增大

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：當上>0,雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每一

象限內(nèi)y隨尤的增大而減小進行分析即可.

4

【詳解】解：A、反比例函數(shù)y=—中的左=4>0,雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，

正確，不符合題意；

B、點（1,4）在它的圖象上，正確，不符合題意；

C、反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，正確，不符合題意；

4

D、反比例函數(shù)y=y=—中的％=4>0,其在每一象限內(nèi)y隨尤的增大而減小，不正確，

符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，關鍵掌握以下性質(zhì)：反比例函數(shù)y=&

x

awo）,當左>0,反比例函數(shù)圖象在一、三象限，每個象限內(nèi)，y隨X的增大而減小；當

k<0,反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，每個象限內(nèi)，y隨X的增大而增大

4.菱形A3CD的對角線人。=10,3￡>=8,則菱形A3CD的面積是（）

A.80B.60C.40D.30

【答案】C

【解析】

【分析】由菱形的面積公式可求解.

【詳解】解：菱形的面積=14。8￡>=110*8=40,

22

故選：C.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的面積等于對角線積的一半是解題的關鍵.

5.在直角三角形中，各邊的長度都擴大3倍，則銳角A的三角函數(shù)值

A.也擴大3倍B.縮小為原來的工

3

C,都不變D.有的擴大，有的縮小

【答案】C

【解析】

【詳解】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，可知在直角三角形中，各邊的長度都擴大3倍，銳角

A的三角函數(shù)值不變.

故選C.

6.在一個不透明的袋子里，裝有6枚白色棋子和若干枚黑色棋子，這些棋子除顏色外都相

同.將袋子里的棋子搖勻，隨機摸出一枚棋子，記下它的顏色后再放回袋子里.不斷重復

這一過程，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，摸到白色棋子的頻率穩(wěn)定在01，由此估計袋子里黑色棋子的個數(shù)為

()

A.60B.56C.54D.52

【答案】C

【解析】

【分析】設設黑色棋子有x枚，根據(jù)摸到白色棋子的頻率穩(wěn)定在0」列出方程求解即可.

【詳解】解：設黑色棋子有x枚，

:摸到白色棋子的頻率穩(wěn)定在0.1,

x+6

解得x=54,

經(jīng)檢驗x=54是方程的解，

黑色棋子有54枚，

故選C.

【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，根據(jù)頻率求頻數(shù)，解題的關鍵在于能夠根據(jù)題

意列出方程求解.

7.如圖，點E是AABC內(nèi)一點，ZAEB=90°,。是邊A8中點，延長線段。E交邊BC于

點尸，點尸是邊的中點.若AB=6,EF=1,則線段AC的長為()

c

A.7B.—C.8D.9

2

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出。E，由跖=1,得到。凡再根據(jù)三角形中位線定理

即可求出線段AC的長.

【詳解】解：，。是邊AB的中點，AB=6,

：.DE=^AB=3,

,：EF=1,

：.DF=DE+EF=3+1=4.

:?。是邊AB的中點，點F是邊BC的中點，

:.D尸是ABC的中位線，

；.AC=2。尸=8.

故選：C.

【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形中位線定

理，求出。下的長是解題的關鍵.

8.新型冠狀病毒肺炎具有人傳人性，調(diào)查發(fā)現(xiàn)1人感染病毒后如果不隔離，那么經(jīng)過兩輪

傳染將會有225人感染，若設1人平均感染無人，則》為（）

A.14B.15C.16D.17

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程傳播問題的公式列出方程計算即可；

【詳解】設1人平均感染x人，

己題意可得：（1+x）2=225,

解得：X1=14,4=-26（不符合題意）；

故選A.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，準確方程計算是解題的關鍵.

9.二次函數(shù)丁=。必+6%+。的圖象如圖所示，對稱軸是％=1,下列結論正確的是

A.abc>0B.2a+Z?<0C.3/?-2c<0D.

3。+cv0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)，對稱軸，圖形的信息,逐一計算判斷即可.

b

【詳解】???——=1>0,

2a

ab<0,

拋物線與y軸交于正半軸，

：.c>0,

abc<0,

故A不符合題意；

2a

2〃+Z?=0,

故5不符合題意;

:工二—1時，

y=a-b+c<0,

：.2a-2b+2c<0,

￡=1,

2a=—b,

：.-b-2b+2c<0,

3b-2c>0,

故c不符合題意;

：x=-1時，

y=a-b+c<0,

￡=1,

?*.2a=-b，

3a+c<0,

故。符合題意;

故選D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像，拋物線的性質(zhì)，靈活運用圖像及其性質(zhì)是解題的關

鍵.

10.如圖，已知E,尸分別為正方形A3CD的邊A3,8c的中點，A廠與OE交于點

M,。為的中點，則下列結論：①NAME=90°,②NBAF=NEDB,③

=42MB-其中正確結論的有（）

3個C.2個D.1個

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得4石=3/=工8。，然后利用SAS即可證出

2

AABF^ADAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得：ZBAF=ZADE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)

和三角形的內(nèi)角和，即可判斷①；根據(jù)中線的定義即可判斷②；設正方形A3CD的邊長為

2°,根據(jù)相似三角形的判定證出AAMEAABF，列出比例式，即可判斷③；過點M作

MNLAB于N,易證△AMNs^AFB,列出比例式，利用勾股定理求出ME、MF和MB

即可判斷④.

【詳解】解：在正方形ABCD中，AB=BC^AD,ZABC=ZBAD=90°,

-E、r分別為邊AB,的中點，

:.AE=BF=-BC,

2

在尸和AZME中,

AE=BF

<ZABC=/BAD,

AB=AD

.-.A4BF=AZME(SAS),

ZBAF=ZADE，

ZBAF+ZDAF=ZBAD=90°,

ZADE+ZDAF=/BAD=90°,

ZAMD=180°-(ZADE+/DAF)=180°-90°=90°

ZAME=180°-ZAMD=180°—90°=90°

故①正確；

DE是的中線，

:.ZADE豐/EDB，

:.ZBAF^ZEDB,

故②錯誤；

設正方形ABCD的邊長為2a,則8尸=a,

在R7VLBF中，AF=VAB2+BF2=y[5a>

ZBAF=ZMAE,ZABCZAME=90°,

:.^AMEAABF，

AMAEAMa

■---------,即nn~T=-7=~>

ABAF2aJ5a

解得：AM=^-a,

5

:.MF=AF-AM=4ia—^^a=^^a，

55

AM^-MF,

3

故③正確；

如圖，過點M作兒于N,

MN//BF

.".△AMN^AAFB

.MNAN_AM

"5F-AB

2A/5

即MN_,

a2ay/5a

24

解得=AN=-a

46

1.NB-AB—AN-2a—u,——a,

55

根據(jù)勾股定理，BM="BN。+MN?=^^~a，ME=y/AE2-AM2=—a

55

1“口―_非3y/5_475r-r-2M_475

ME+MF——a~\---a----a,72MB—，2x---a----a

55555

:.ME+MF=故④正確.

綜上所述，正確的結論有①③④共3個

故選：B.

【點睛】此題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性

質(zhì)和勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)

和勾股定理是解決此題的關鍵.

二、填空題（共5小題，每小題3分）

11.如圖，已知/1〃/2〃/3,直線A3分別交上12、/3于A、M、B,直線C￡）分別交八、12、

b于C、N、D,AAf=4,MB=6,CD=9,那么A?=.

【答案】5.4

【解析】

【分析】由題意利用平行線分線段成比例定理列出比例式，以此進行計算即可得出答案.

【詳解】?：ll//l2//h,

.AM_CN

.4_CN

解得CN=3.6,

：.ND=CD-CN=9-3.6=5.4

故答案為：5.4.

【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理的應用，靈活運用定理、找準對應關系是

解題的關鍵.

12.下面4個圖是一根電線桿在一天中不同時刻的影長圖，試按其一天中發(fā)生的先后順序

排列，正確的是____.

①②③④

【答案】④①③②.

【解析】

【詳解】試題分析：北半球而言，從早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-東北-東，影長由

長變短，再變長.先后順序為④①③②.故選B.

點睛：本題考查平行投影的特點和規(guī)律.在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不

同，不同時刻物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到

傍晚影子的指向是：西-西北-北-東北-東，影長由長變短，再變長.

13.ZVIBC中，AB=4,AC=5,ZkABC的面積為56，那么NA的度數(shù)是.

【答案】60°或120°##120°或60°

【解析】

【分析】首先根據(jù)已知條件可以畫出相應的圖形，根據(jù)AC=5,可以求出AC邊上的高，再

根據(jù)/A的三角函數(shù)值可得/A的度數(shù)，注意需要分情況討論.

【詳解】解：當NA是銳角時，

如圖，過點8作于。，

B,

DC

VAC=5,△ABC的面積為5月，

:.BD=5超將5=2日

六D,4DO.4BD2百百

在尺/_ABD中，sinA=——=，_=

AB42

ZA=60°.

當乙4是鈍角時，

如圖，過點8作交CA的延長線于，

VAC=5,ZVIBC的面積為56，

:.BD=5也乂2鼎=2扣,

4—BD2x/3J3

在RtAABZ）中，sinZBAZ）=sinA=-----=-------=------,

AB42

：.ZBAD=60°.

：.ZBAC=ISO0-60°=120°.

故答案為60?；?20°.

【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是畫出合適的圖形，作出相應的輔助線.

14.如圖，四邊形ABC。是矩形，A、B兩點在尤軸的正半軸上，C、。兩點在拋物線y=-

x2+6x±.設。4=根（0＜根＜3）,矩形A2CD的周長為/,則/與相的函數(shù)解析式為

【答案】I——2nr+8m+12

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性、矩形的性質(zhì)和坐標與圖形性質(zhì)求得AB與AD再根據(jù)長

方形的周長公式求解即可.

【詳解】解：在由拋物線y=-必+6%知對稱軸為直線產(chǎn)q=匹=3,

2a—2

過頂點尸作08,垂直為￡.

?.?四邊形ABCD為矩形且C、。在拋物線上，

1垂直平分48,AD±AB,

.".AE=EB=0E-0A=3-m,即AB=2AE=2(3-m),

又AD=-m2+6m，

/.矩形ABCD的周長為I=2AB+2AD=4(3-m)+2(-m2+6m)=-2m2+8m+12.

故答案為：/=—2〃/+8m+12.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、矩形性質(zhì)、坐標與圖形，本題難度中等，主要考查學

生對二次函數(shù)性質(zhì)的掌握.這類題型，抓住矩形的性質(zhì)確定各點坐標與拋物線的關系為解

題關鍵，做這類題要注意數(shù)形結合思想的運用.

4

15.如圖，已知動點A在函數(shù)y=—(x>0)的圖象上，ABLx軸于點B,ACLy軸于點

x

C,延長CA至點D,使AD=AB,延長BA至點E,使AE=AC,直線DE分別交x軸，y

軸于點P，Q,當QE：DP=9：25時，圖中的陰影部分的面積等于一.

【答案】

【解析】

EGOE

【分析】作DF，x軸于點F,EG，y軸于G,得到△QEGs/^PDF,于是得到——="=

PFDP

9

三，設EG=9t,貝UPF=25t,然后根據(jù)△ADEsAFPD,據(jù)此即可得到關于t的方程，求得t

的值，進而求解.

【詳解】解：作DF，x軸于點F,EGLy軸于G,

0]B下

.?.△QEG^ADPF,

.EGQE_9

,,PF―DP―25'

設EG=9t,則PF=25t,

4

A(9t,—)，

9t

由AOAEAD=AB,

44

???AE=9t,AD二一，DF二一，PF=25t,

9t9t

VAADE^AFPD,

AAE：DF=AD：PF,

444

9t：—=—：25t,BPt2------,

9t9t135

..44

圖中陰影部分的面積=5*%*%+5義不義不=整，

229t9t15

故答案為意.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)y=8(k#0)系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y='

XX

(k#0)圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為同.也

考查了相似三角形的判定與性質(zhì).

三、解答題(共7小題)

16.計算：

(1)sin60°cos600+sin450cos45°-sin30°cos30°；

(2)(冗+1)2=3。+1).

【答案】(1)-；(2)xi=-1,X2=2

【解析】

【分析】(1)將特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可;

(2)方程移項后，利用因式分解法求出解即可.

.、生々刀/在刀/1\舊t1A/2A/21y/3

【詳解】解：(1)原式=Jx—+」一x三-----X—

222222

~T2-V

--1.

2，

(2)(x+1)2=3(x+1),

移項：(x+1)2-3(尤+1)=0,

因式分解得：(尤+1)(x+1-3)=0,

化簡得：(x+1)(x-2)=0,

...x+l=0或x-2—0,

??X\--—1,X2~~2.

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、一元二次方程-因式分解法，解答本題的關鍵是

掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值，和熟練掌握因式分解的方法.

17.在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A(0,2)、8(1,3)、C(2,1).

(1)以點。為位似中心，在給定的網(wǎng)格中畫出△ABC,使△AEC與△ABC位似，且相

似比為2；

(2)AA'B'C周長；

(3)△A8C的面積.

【答案】⑴見解析；(2)2亞+46;(3)6

【解析】

【分析】(1)根據(jù)位似比為2,得對應點的橫縱坐標都乘以±2,在給定網(wǎng)格中可知只能畫

出一個圖形；

(2)分別把A'8'、AC'、3'C'長度求出，相加即可；

(3)采取割補法，由正方形的面積減去3個三角形的面積即可求出答案.

⑵A'B'=A/22+22=272?AC=V22+42=275*B'C+4?=2百，

:.CA，B，C=2亞+2岔+2岔=272+475,

故答案為：20+4J?；

(3)SA'O'C'=4x4—x2x4—x2x4—x2x2=6，

ABC222

故答案為：6.

【點睛】本題考查圖形的位似、勾股定理以及求三角形周長與面積，根據(jù)位似比畫出位似

圖形是解題的關鍵.

18,九(1)班為準備學校舉辦“我的夢?美麗中國夢”演講比賽，通過預賽共評選出甲、

乙、丙三名男生和A、B兩名女生共5名推薦人選.

(1)若隨機選一名同學參加比賽，求選中男生的概率.

(2)若隨機選一名男生和一名女生組成一組選手參加比賽，用樹狀圖(或列表法)表示所

有可能出現(xiàn)的結果，并求恰好選中男生甲和女生A的概率.

31

【答案】(1)—;(2)-

56

【解析】

【分析】(1)根據(jù)簡單概率公式計算即可；

(2)畫樹狀圖求概率即可

【詳解】解：(1)共有5人，男生有3人，則隨機選一名同學參加比賽，選中男生的概率

3

~—?.

5

(2)畫樹狀圖為:

甲乙丙

/\/\/\

ABABAB

共有6種等可能的結果數(shù)，其中選中男生甲和女生A的結果數(shù)為1,

所以恰好選中男生甲和女生A的概率=2.

6

【點睛】本題考查了簡單概率公式求概率，樹狀圖法求概率，掌握求概率的方法是解題的

關鍵.

19.如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌C。，小明與同學們在山坡的坡腳A處測得廣告牌

底部。的仰角為53。，沿坡面向上走到8處測得廣告牌頂部C的仰角為45。，已知山坡

AB的坡度i=l：拒,AB=10米，AE=21米.（測角器的高度忽略不計，結果精確到0」

434

米,參考數(shù)據(jù)：0Hl.41,73-1.73,sin53°-y,cos53°~—,tan53°~—)

53

（1）求點8距水平地面AE的圖度；

（2）求廣告牌C。的高度.（結果精確到0.1米）

【答案】（1）點B距水平地面AE的高度為5米；（2）廣告牌CD的高度約為6.7米

【解析】

【分析】（1）過點3作BNLCE,垂足分別為M、N,由坡度的含義可求得

ZBAM=30°,由含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求得結果；

（2）由輔助線作法及已知得四邊形8MEN是矩形，可得NE=BM,BN=ME=MA+AE,在

放中可求得AM的長，從而可得3N；再由NCBN=45。可得CN=BN,進而得CE的

長；在Rt^DAE中由三角函數(shù)知識可求得DE,根據(jù)CD=CE-DE即可求得CD的長.

【詳解】（1）如圖，過點8作BNLCE,垂足分別為M、N,

由題意可知，/CBN=45。,NZME=53。，i=l：真，AB=10米，AE=21米.

lBM

Vz=l：J3=------=tanABAM,

AM

：.ZBAM=30°9

：.BM=^AB=5(米)，

即點8距水平地面4E的高度為5米；

(2)\'BM±AE,BNICE,CELAE,

四邊形BMEN為矩形，

:.NE=BM=5米,BN=ME,

在MAABM中，ZBAM=30°,

：.AM=AB.cos307—AB=5yf3(米)，

2

：.ME^AM+AE^(573+21)米=BN,

'：ZCBN=45°,

:.CN=BN=(573+21)米，

：.CE=CN+NE=(573+26)米，

在RfAAZJE中，ZZ)A￡=53°,AE=21米，

4

.?.￡)￡=AE?ta?53°~21x-=28(米)，

3

；.CO=CE-?！?5向26-28=5百-2=6.7(米)，

即廣告牌CD的高度約為6.7米.

C

/\D

口

口【點睛】

5N呂

呂

￡

本題是解直角三角形的應用，考查了矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，關鍵是理解坡度

的含義，構造適當?shù)妮o助線便于在直角三角形中求得相關線段.

20.如圖所示，在邊長為1的菱形A8CD中，ZDAB=60°,M是AD上不同于A,。兩點

的一動點，N是CO上一動點，且AM+CN=1.

（1）證明：無論M,N怎樣移動，總是等邊三角形；

（2）求△8MV面積的最小值.

【答案】（1）見解析；（2）△BMV面積的最小值為空

16

【解析】

【分析】（1）連接8。，證明△AMBg/vDA?,則可得3M=8N,/MBA=/NBD,由菱形

的性質(zhì)易得NMBN=60°,從而可證得結論成立；

（2）過點B作8ELMN于點E.

【詳解】（1）證明：如圖所示，連接8。，

在菱形A8CZ)中，ZDAB=60°,

：.ZADB=ZNDB=6Q°,

故△ADB是等邊三角形，

：.AB=BD,

又AW+CN=1,DN+CN=1,

:.AM=DN,

在和△OA?中，

AM=DN

<ZMAB=ZNDB=60°,

AB=DB

：AAMB咨/XDNB(SAS),

：.BM=BN,NMBA=/NBD,

又/MBA+/DBM=60°,

NNBD+/DBM=60°,

即/MBN=60。，

是等邊三角形；

(2)過點8作于點E.

設BM=BN=MN=x,

則放=走「

2

故S.MN=gMN?BE￥x2'

.?.當時，x最小，

止匕時，丫“融=與,

S，倉也力空.

mn22416

.,.△aWN面積的最小值為之叵.

16

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的

判定與性質(zhì)等知識，關鍵是作輔助線證三角形全等.

21.龍華天虹商場以120元/件的價格購進一批上衣，以200元/件的價格出售，每周可售出

100件.為了促銷，該商場決定降價銷售，盡快減少庫存.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種上衣每降價5

元/件，每周可多售出20件.另外，每周的房租等固定成本共3000元.該商場要想每周盈

利8000元，應將每件上衣的售價降低多少元？

【答案】應將每件上衣的售價降低30元

【解析】

【分析】設每件上衣應降價x元，則每件利潤為(80-x)元，本題的等量關系為：每件上

衣的利潤x每周售出數(shù)量-固定成本=8000.

【詳解】解：設每件上衣應降價x元，則每件利潤(80-x)元，

20

列方程得：(80-x)(100+yx)-3000=8000,

解得：尤1=30,尤2=25

因為為了促銷，該商場決定降價銷售，盡快減少庫存，

所以x—30.

答：應將每件上衣的售價降低30元.

【點睛】本題考查了一元二次方程應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出

的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解.

22.如圖1,平面直角坐標系xQy中，4（4,3）,反比例函數(shù)y=人（左＞0）的圖象分別交

矩形A30C的兩邊AC,A3于E、F兩點（E、歹不與A重合），沿著即將矩形

（1）AE=（用含有左的代數(shù)式表示）；

（2）如圖2,當點￡＞恰好落在矩形A30C的對角線上時，求CE的長度;

（3）若折疊后，△A3。是等腰三角形，請直接寫出此時點。的坐標.

【答案】（1）

【解析】

根據(jù)點A的坐標可得點E的縱坐標為3,所以得CE=±