2024屆北京市順義區(qū)高三第二次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2北京市順義區(qū)2024屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題）一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗因為，所以，所以，所以.故選：C3.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C.40 D.80〖答案〗A〖解析〗由二項式的通項為可得，當，即時，展開式中含有項，此時，因此的系數(shù)為.故選：A.4已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，，所以.故選：D5.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，，，，則（）A.511 B.61 C.41 D.9〖答案〗B〖解析〗由可得，即，所以，兩式相除可得；即，由可得，因此數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，偶數(shù)項是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以故選：B6.已知拋物線的焦點為，準線為，為上一點，直線與相交于點，與軸交于點.若為的中點，則（）A.4 B.6 C. D.8〖答案〗B〖解析〗，準線的方程為，過點左，垂足為，則，因為為的中點，所以，所以，所以，所以，則，根據(jù)拋物線對稱性不妨設(shè)在第一象限，則，則，所以直線的方程為，令，則，即，所以.故選：B.7.若函數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由題意可知：的定義域為，且，若，則，可知，若，同理可得，所以為奇函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象可知在上單調(diào)遞增，若，等價于，等價于，等價于，所以“”是“”的充要條件.故選：C.8.如圖，正方體中，P是線段上的動點，有下列四個說法：①存在點P，使得平面；②對于任意點P，四棱錐體積為定值；③存在點P，使得平面；④對于任意點P，都是銳角三角形.其中，不正確的是（）A.① B.② C.③ D.④〖答案〗C〖解析〗以為原點，的方向為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)正方體棱長為1，則，，設(shè)，，，，平面的一個法向量為，，令，則，即，若，得，則時，，又平面，所以平面，即點P為中點時，平面，說法①正確；正方體中，平面平面，平面，則點到平面的距離為定值，又正方形面積為定值，所以對于任意點P，四棱錐體積為定值，說法②正確；，，,若平面，則有，方程組無解，所以不存在點P，使得平面，說法③錯誤；，，，，，則中，，都是銳角，，也是銳角，所以對于任意點P，都是銳角三角形，說法④正確.只有說法③不正確.故選：C.9.已知在平面內(nèi)，圓，點P為圓外一點，滿足，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B．若圓O上存在異于A，B的點M，使得，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以點在以原點為圓心，半徑為2的圓上，做出圖形，設(shè)與以原點為圓心半徑為2的圓交于點，連接，因為與圓O相切于A，B，所以，在中，因為，所以，同理可得，又因為，由垂徑定理得，，因為，所以點三點共線，因為，所以，所以點三點共線，則點為與圓的交點，因為，所以，即，故選：A．10.設(shè)，，，…，是1，2，3，…，7的一個排列.且滿足，則的最大值是（）A23 B.21 C.20 D.18〖答案〗B〖解析〗即為相鄰兩項之差的絕對值之和，則在數(shù)軸上重復(fù)的路徑越多越好，又，比如，其對應(yīng)的一個排列為則的最大值是故選：B第二部分（非選擇題）二、填空題11.函數(shù)的定義域為_____________.〖答案〗〖解析〗要使函數(shù)有意義，只需解得：且，從而的定義域為.故〖答案〗為：12.在中，，，，則面積為______.〖答案〗〖解析〗由余弦定理得①，又，得②，聯(lián)立①②解得，因為，，所以，所以.故〖答案〗為：13.若非零向量滿足，且，則能使得成立的一組可以是______，______〖答案〗（〖答案〗不唯一）（〖答案〗不唯一）〖解析〗因為，即，所以，且，即，又，即，所以滿足，且的向量都滿足條件，故可取.故〖答案〗為：；（〖答案〗不唯一）.14.已知雙曲線的焦距為，若點在雙曲線上，則的離心率等于______.〖答案〗〖解析〗因為點在雙曲線上，代入坐標有，且雙曲線滿足，離心率，所以有，即，化簡可得，所以，因為雙曲線離心率，所以或（舍去），故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①當時，對任意，有1個極值點；②當時，存在，使得存在極值點；③當時，對任意，有一個零點；④當時，存在，使得有3個零點.其中所有正確結(jié)論的序號是______.〖答案〗①④〖解析〗對①：當時，，，則時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故對任意，有1個極大值點，故①正確；對②：當時，，若存在極值點，則有變號零點，則必須有解，令，則，故當時，，當時，，故在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時，，，即恒成立，故當時，無解，故②錯誤；對③：當時，，當時，，此時函數(shù)無零點，故③錯誤；對④：當時，若存在，使得有3個零點，則直線與曲線有三個不同交點，由直線過點，曲線過點，又，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故當時，直線與曲線在第二象限必有一交點，同理，當時，直線與曲線在第一象限必有一交點，過點作曲線的切線，設(shè)切點為，則切線方程為，即，則，由，則，即，即，即，故當時，存在，使曲線有過點的切線，且切點為，當時，切線斜率為，則當時，有，又，則存在，使，此時函數(shù)單調(diào)遞減，而恒成立，故存在，使，即當時，存在，使得有3個零點，同理可得，當時，存在，使得有3個零點，故④正確.故〖答案〗為：①④.三、解答題16.已知函數(shù)，其中.（1）若，求的值；（2）已知時，單調(diào)遞增，再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求m的最大值.條件①：；條件②：；條件③：的圖像與直線的一個交點的橫坐標為.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.解：（1）法一：，即可得，又，所以；法二：，所以即得，又，所以；（2），選擇②，，，因為，所以，因為的最小正周期，，所以由可得，所以，；或法二：因為，，所以即，因為，所以，；選擇③，，的圖像與直線的一個交點的橫坐標為，即可得，所以，又，所以，法一：令，，解得，即的單增區(qū)間為，又時，單調(diào)遞增，所以，是的一個子區(qū)間，所以，，即可得，又，所以，故是的一個子區(qū)間，所以m的最大值為；法二：因為，，所以，因為在上單增，所以，，即可得，，，所以，所以，可得m的最大值為.不可選擇條件①，理由如下：若，則，即，由，故該方程無解，故函數(shù)不存在，故不可選①.17.在直三棱柱中，，D，E分別為棱，的中點.（1）求證：；（2）當時.（?。┣笃矫媾c平面夾角的余弦值；（ⅱ）若平面與直線交于點F，直接寫出的值.（1）證明：連接，因為，E為中點，所以，因為是直三棱柱的側(cè)棱，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面；因為平面，所以.（2）解：（ⅰ）因為，所以為等邊三角形，設(shè)中點為O，則，因為平面，設(shè)的中點為M，則，，以所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示：則，，，，，，，因為D，E為中點，所以，，所以，，因為，，所以平面，所以是平面的一個法向量.設(shè)是平面的一個法向量，則，令，可得，，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則所以平面與平面的夾角的余弦值為.（ⅱ），原因如下：設(shè)，易知，所以，又，則，易知平面，因此，解得；因此，即.18.某學(xué)校工會組織趣味投籃比賽，每名選手只能在下列兩種比賽方式中選擇一種.方式一：選手投籃3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累計得分；方式二：選手最多投3次.如第1次投中可進行第2次投籃，如第2次投中可進行第3次投籃.如某次未投中，則投籃中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累計得分；已知甲選擇方式一參加比賽，乙選擇方式二參加比賽.假設(shè)甲，乙每次投中的概率均為，且每次投籃相互獨立.（1）求甲得分不低于2分的概率；（2）求乙得分的分布列及期望；（3）甲，乙誰勝出的可能性更大？直接寫出結(jié)論.解：（1）設(shè)甲選擇方式一參加比賽得分為，，，設(shè)甲得分不低于2分為事件A，則；（2）設(shè)乙選擇方式二參加比賽得分為Y，Y的可能取值為0，2，4，6，，，，，所以Y的分布列為：Y0246P所以；（3）甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，故甲獲勝的可能性更大.19.已知橢圓的右焦點為，長軸長為.過F作斜率為的直線交E于A，B兩點，過點F作斜率為的直線交E于C，D兩點，設(shè)，的中點分別為M，N.（1）求橢圓E的方程；（2）若，設(shè)點F到直線的距離為d，求d的取值范圍.解：（1）長軸長為，所以，又焦點為，所以，所以，所以橢圓E的方程為；（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立，消去y得，易知，所以，又M為的中點，所以，，因為，即，又N為的中點，不妨用代換，可得，，討論：①當時，直線的斜率不存在，此時，解得，當時，，，此時的方程為，所以，點到直線的距離d為，同理，當，，②當時，，此時，所以直線的方程為，化簡可得，法一：點到直線的距離，又，所以，因為，所以，所以綜上可知，.法二：直線的方程為，令，可得，綜上可知，直線恒過定成，故點到直線的距離d的最大值為，此時直線的斜率不存在，又直線的斜率一定不為0，所以..20.設(shè)函數(shù)，.曲線在點處的切線方程為.（1）求a的值；（2）求證：方程僅有一個實根；（3）對任意，有，求正數(shù)k的取值范圍.（1）解：因為，所以，又點在切線上，所以，所以，即.（2）證明：欲證方程僅有一個實根，只需證明僅有一個零點，令，則，令，則，討論：①當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，，即此時無零點；②當時，，即此時有一個零點；③當時，所以，當時，，即此時無零點綜上可得，僅有一個零點，得證.（3）解：當時，，即恒成立，令，則，由（2）可知，時，所以，討論：①當時，因為，所以，即，所以，即當時，，所以在時單調(diào)遞增，所以恒成立，即滿足條件，②當時，由可知，又，所以存在，使得，所以，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，即不能保證恒成立，綜上可知，正數(shù)k的取值范圍是.21.已知點集滿足，，.對于任意點集，若其非空子集A，B滿足，，則稱集合對為的一個優(yōu)劃分.對任意點集及其優(yōu)劃分，記A中所有點的橫坐標之和為，B中所有點的縱坐標之和為.（1）寫出的一個優(yōu)劃分,使其滿足；（2）對于任意點集，求證：存在的一個優(yōu)劃分，滿足；（3）對于任意點集，求證：存在的一個優(yōu)劃分，滿足且.（1）解：由題因為，所以若使，則可以，此時，滿足題意.（2）解：根據(jù)題意對于任意點集，不妨設(shè)，且，，，若，則，令，則，此時恒有；若，則，可令，此時，則，滿足題意；若，則，令，此時，則，滿足題意；若，則，則令，此時，則，滿足題意；所以對于任意點集，都存在的一個優(yōu)劃分，滿足.（3）證明：不妨設(shè)，若，則B取其中一點即可滿足；若，則必存在正整數(shù)k使得，則有，于是，又因為，當且僅當時取等號；于是取，即可滿足且，命題得證.北京市順義區(qū)2024屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題）一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗因為，所以，所以，所以.故選：C3.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C.40 D.80〖答案〗A〖解析〗由二項式的通項為可得，當，即時，展開式中含有項，此時，因此的系數(shù)為.故選：A.4已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，，所以.故選：D5.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，，，，則（）A.511 B.61 C.41 D.9〖答案〗B〖解析〗由可得，即，所以，兩式相除可得；即，由可得，因此數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，偶數(shù)項是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以故選：B6.已知拋物線的焦點為，準線為，為上一點，直線與相交于點，與軸交于點.若為的中點，則（）A.4 B.6 C. D.8〖答案〗B〖解析〗，準線的方程為，過點左，垂足為，則，因為為的中點，所以，所以，所以，所以，則，根據(jù)拋物線對稱性不妨設(shè)在第一象限，則，則，所以直線的方程為，令，則，即，所以.故選：B.7.若函數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由題意可知：的定義域為，且，若，則，可知，若，同理可得，所以為奇函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象可知在上單調(diào)遞增，若，等價于，等價于，等價于，所以“”是“”的充要條件.故選：C.8.如圖，正方體中，P是線段上的動點，有下列四個說法：①存在點P，使得平面；②對于任意點P，四棱錐體積為定值；③存在點P，使得平面；④對于任意點P，都是銳角三角形.其中，不正確的是（）A.① B.② C.③ D.④〖答案〗C〖解析〗以為原點，的方向為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)正方體棱長為1，則，，設(shè)，，，，平面的一個法向量為，，令，則，即，若，得，則時，，又平面，所以平面，即點P為中點時，平面，說法①正確；正方體中，平面平面，平面，則點到平面的距離為定值，又正方形面積為定值，所以對于任意點P，四棱錐體積為定值，說法②正確；，，,若平面，則有，方程組無解，所以不存在點P，使得平面，說法③錯誤；，，，，，則中，，都是銳角，，也是銳角，所以對于任意點P，都是銳角三角形，說法④正確.只有說法③不正確.故選：C.9.已知在平面內(nèi)，圓，點P為圓外一點，滿足，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B．若圓O上存在異于A，B的點M，使得，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以點在以原點為圓心，半徑為2的圓上，做出圖形，設(shè)與以原點為圓心半徑為2的圓交于點，連接，因為與圓O相切于A，B，所以，在中，因為，所以，同理可得，又因為，由垂徑定理得，，因為，所以點三點共線，因為，所以，所以點三點共線，則點為與圓的交點，因為，所以，即，故選：A．10.設(shè)，，，…，是1，2，3，…，7的一個排列.且滿足，則的最大值是（）A23 B.21 C.20 D.18〖答案〗B〖解析〗即為相鄰兩項之差的絕對值之和，則在數(shù)軸上重復(fù)的路徑越多越好，又，比如，其對應(yīng)的一個排列為則的最大值是故選：B第二部分（非選擇題）二、填空題11.函數(shù)的定義域為_____________.〖答案〗〖解析〗要使函數(shù)有意義，只需解得：且，從而的定義域為.故〖答案〗為：12.在中，，，，則面積為______.〖答案〗〖解析〗由余弦定理得①，又，得②，聯(lián)立①②解得，因為，，所以，所以.故〖答案〗為：13.若非零向量滿足，且，則能使得成立的一組可以是______，______〖答案〗（〖答案〗不唯一）（〖答案〗不唯一）〖解析〗因為，即，所以，且，即，又，即，所以滿足，且的向量都滿足條件，故可取.故〖答案〗為：；（〖答案〗不唯一）.14.已知雙曲線的焦距為，若點在雙曲線上，則的離心率等于______.〖答案〗〖解析〗因為點在雙曲線上，代入坐標有，且雙曲線滿足，離心率，所以有，即，化簡可得，所以，因為雙曲線離心率，所以或（舍去），故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①當時，對任意，有1個極值點；②當時，存在，使得存在極值點；③當時，對任意，有一個零點；④當時，存在，使得有3個零點.其中所有正確結(jié)論的序號是______.〖答案〗①④〖解析〗對①：當時，，，則時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故對任意，有1個極大值點，故①正確；對②：當時，，若存在極值點，則有變號零點，則必須有解，令，則，故當時，，當時，，故在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時，，，即恒成立，故當時，無解，故②錯誤；對③：當時，，當時，，此時函數(shù)無零點，故③錯誤；對④：當時，若存在，使得有3個零點，則直線與曲線有三個不同交點，由直線過點，曲線過點，又，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故當時，直線與曲線在第二象限必有一交點，同理，當時，直線與曲線在第一象限必有一交點，過點作曲線的切線，設(shè)切點為，則切線方程為，即，則，由，則，即，即，即，故當時，存在，使曲線有過點的切線，且切點為，當時，切線斜率為，則當時，有，又，則存在，使，此時函數(shù)單調(diào)遞減，而恒成立，故存在，使，即當時，存在，使得有3個零點，同理可得，當時，存在，使得有3個零點，故④正確.故〖答案〗為：①④.三、解答題16.已知函數(shù)，其中.（1）若，求的值；（2）已知時，單調(diào)遞增，再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求m的最大值.條件①：；條件②：；條件③：的圖像與直線的一個交點的橫坐標為.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.解：（1）法一：，即可得，又，所以；法二：，所以即得，又，所以；（2），選擇②，，，因為，所以，因為的最小正周期，，所以由可得，所以，；或法二：因為，，所以即，因為，所以，；選擇③，，的圖像與直線的一個交點的橫坐標為，即可得，所以，又，所以，法一：令，，解得，即的單增區(qū)間為，又時，單調(diào)遞增，所以，是的一個子區(qū)間，所以，，即可得，又，所以，故是的一個子區(qū)間，所以m的最大值為；法二：因為，，所以，因為在上單增，所以，，即可得，，，所以，所以，可得m的最大值為.不可選擇條件①，理由如下：若，則，即，由，故該方程無解，故函數(shù)不存在，故不可選①.17.在直三棱柱中，，D，E分別為棱，的中點.（1）求證：；（2）當時.（?。┣笃矫媾c平面夾角的余弦值；（ⅱ）若平面與直線交于點F，直接寫出的值.（1）證明：連接，因為，E為中點，所以，因為是直三棱柱的側(cè)棱，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面；因為平面，所以.（2）解：（ⅰ）因為，所以為等邊三角形，設(shè)中點為O，則，因為平面，設(shè)的中點為M，則，，以所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示：則，，，，，，，因為D，E為中點，所以，，所以，，因為，，所以平面，所以是平面的一個法向量.設(shè)是平面的一個法向量，則，令，可得，，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則所以平面與平面的夾角的余弦值為.（ⅱ），原因如下：設(shè)，易知，所以，又，則，易知平面，因此，解得；因此，即.18.某學(xué)校工會組織趣味投籃比賽，每名選手只能在下列兩種比賽方式中選擇一種.方式一：選手投籃3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累計得分；方式二：選手最多投3次.如第1次投中可進行第2次投籃，如第2次投中可進行第3次投籃.如某次未投中，則投籃中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累計得分；已知甲選擇方式一參加比賽，乙選擇方式二參加比賽.假設(shè)甲，乙每次投中的概率均為，且每次投籃相互獨立.（1）求甲得分不低于2分的概率；（2）求乙得分的分布列及期望；（3）甲，乙誰勝出的可能性更大？直接寫出結(jié)論.解：（1）設(shè)甲選擇方式一參加比賽得分為，，，設(shè)甲得分不低于2分為事件A，則；（2）設(shè)乙選擇方式二參加比賽得分為Y，Y的可能取值為0，2，4，6，，，，，所以Y的分布列為：Y0246P所以；（3）甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，故甲獲勝的可能性更大.19.已知橢圓的右焦點為，長軸長為.過F作斜率為的直線交E于A，B兩點，過點F作斜率為的直線交E于C，D兩點，設(shè)，的中點分別為M，N.（1）求橢圓E的方程；（2）若，設(shè)點F到直線的距離為d，求d的取值范圍.解：（1）長軸長為，所以，又焦點為，所以，所以，所以橢圓E的方程為；（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立，