2024屆河南省開封市高三第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3河南省開封市2024屆高三第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗由可得，則.故選：B.2.已知向量，，若，則（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，由可得，解得，故選：D3.設(shè)，已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題設(shè)，，又，，∴.故選：D4.在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回，則在第1次抽到幾何題的條件下，第2次抽到代數(shù)題的概率是（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)事件“第1次抽到幾何題”，事件“第2次抽到代數(shù)題”，所以，則．故選：A．5.已知，則（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗由可得，即，，故.故選：C.6.在某項測驗中，假設(shè)測驗數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例將測驗數(shù)據(jù)從大到小分為A,B,C,D四個等級,則等級為A的測驗數(shù)據(jù)的最小值可能是（附：若,則,）（）A.94 B.86 C.82 D.78〖答案〗C〖解析〗測驗數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，則，，故，故等級的分數(shù)線應(yīng)該是．故選：C7.已知點是拋物線的焦點，,是該拋物線上兩點，，則中點的橫坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)點坐標分別為，拋物線的準線方程為，由拋物線定義有，,所以,，故，選項B正確．故選：B.8.記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，若，，則滿足的n的最小值是（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗B〖解析〗由可得，，故為公比為2的等比數(shù)列，故，所以，故，因此故，要使，則，當時，，時，，且在時，隨著正整數(shù)的增大而增大，故的最小值為6，故選：B.二、選擇題9.橢圓的焦點為，，上頂點為A，直線與C的另一個交點為B，若，則（）A.C的焦距為2 B.C的短軸長為C.C的離心率為 D.的周長為8〖答案〗ABD〖解析〗由于，所以,故，因此，故，所以橢圓，對于A，焦距為，故A正確，對于B，短軸長為，B正確，對于C，離心率為，C錯誤，對于D，的周長為，D正確，故選：ABD10.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則（）A.函數(shù)的周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為〖答案〗AD〖解析〗，，故數(shù)的周期為，A正確，對于B.函數(shù)，故不關(guān)于直線對稱，B錯誤，對C.當則，故函數(shù)在區(qū)間不是單調(diào)遞減，C錯誤，對于D.則，故當時，取最小值故D正確，故選：AD.11.已知函數(shù)的定義域為，且，，則（）A. B.C.是周期函數(shù) D.的〖解析〗式可能為〖答案〗ABC〖解析〗由，令，，有，可得,故A正確；令，則，則，函數(shù)是偶函數(shù)，而為奇函數(shù)，故D錯誤，，令，則，所以，則，，所以，則周期為6，C正確．由于為偶函數(shù)且周期為6，故，B正確，故選：ABC.三、填空題12.已知為等差數(shù)列，為其前項和，若，，則________.〖答案〗〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為d,∵，，∴2×8+8d=0，解得d=?2.則S8=8×8?2×=8.故〖答案〗為8.13.已知函數(shù)的值域為，則的定義域可以是____.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗令，解得或，則的定義域可以是，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.14.在矩形中，，，沿對角線將矩形折成一個大小為的二面角，當點B與點D之間的距離為3時______．〖答案〗〖解析〗分別作，，垂足為，，則．由，可得，所以．因為，則，故，故〖答案〗為：．四、解答題15.某學(xué)校有A，B兩家餐廳，A餐廳有2種套餐選擇，B餐廳有4種套餐選擇，且這6種套餐各不相同．A餐廳距離教學(xué)樓相比于B餐廳要近很多，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，100名不同性別的學(xué)生選擇餐廳用餐的情況如下：男女在A餐廳用餐4020在B餐廳用餐1525（1）求某天甲、乙兩名同學(xué)選擇同一套餐用餐的概率；（2）依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為性別與選擇餐廳之間有關(guān)聯(lián)?附：．0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得，選擇A餐廳的概率為，選擇B餐廳的概率為，設(shè)事件：甲乙去餐廳用餐，事件：甲乙去餐廳用餐，事件：甲乙選擇同一種套餐，事件A:甲、乙兩名同學(xué)選擇同一套餐用餐,,則；故甲乙兩人選擇同一家餐廳的概率為（2）根據(jù)數(shù)據(jù)可得方案一的列聯(lián)表：

男女合計在A餐廳用餐402060B餐廳用餐152540合計5545100零假設(shè)為：認為性別與選擇餐廳之間無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以推斷不成立，即性別與選擇餐廳之間有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005．16.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．解：（1）因為的定義域為，，所以，，所以曲線在點處的切線方程為．（2）依題意，，則，令，解得或．當變化時，，的變化情況如表所示：12＋0－0＋單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，．故的極小值為，的極大值為．17.已知，，對于平面內(nèi)一動點，軸于點M，且，，成等比數(shù)列．（1）求點P的軌跡C的方程；（2）已知過點A的直線l與C交于M，N兩點，若，求直線l的方程．解：（1）由題意可得，則，，，由于，，成等比數(shù)列，所以，即，故點P的軌跡C的方程為（2）由（1）知點P的軌跡C的方程為：當或，當時，，如圖；由題意可知直線有斜率，設(shè)方程為，聯(lián)立，則，故,聯(lián)立，則，故,,解得，故直線方程為18.已知四棱錐的底面是正方形，給出下列三個論斷：①；②；③平面．（1）以其中的兩個論斷作為條件，另一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題，并證明；（2）在（1）的條件下，若，求四棱錐體積的最大值．解：（1）①②③,連接相交于，連接，由于底面是正方形，所以，又，平面，故平面，平面,故,由于，故,因此,平面，故平面，（可得四棱錐是正四棱錐）平面，故,又平面,故平面．②③①,連接相交于，連接,由于底面是正方形，所以，又，平面，故平面，平面，故,又平面，平面，故,平面,故平面,結(jié)合底面是正方形，是正方形的中心，所以四棱錐是正四棱錐，故，①③②,連接相交于，連接,平面，平面，故,由于故,又,故,故,因此，平面，故平面,故四棱錐是正四棱錐，由于，又，平面，故平面，平面,故,（2）無論選擇哪兩個條件，都可以推出四棱錐是正四棱錐，設(shè)四棱錐的底邊邊長為，則四，所以，故由于，當且僅當，即時取等號，故，故四棱棱錐體積的最大值為.19.點S是直線外一點，點M，N在直線上（點M，N與點P，Q任一點不重合）．若點M在線段上，記；若點M在線段外，記．記．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，點D是射線上一點，且．（1）若，求；（2）射線上的點，，，…滿足，，（i）當時，求的最小值；（ii）當時，過點C作于，記，求證：數(shù)列的前n項和．（1）解：因為D是線段上一點，，所以故，所以為的角平分線，又,所以,若，在中，由余弦定理可得,故，由正弦定理可得,故，解得,由于是最大的邊，所以，（2）（i）解：設(shè)，當時，因為,所以在線段的延長線上，所以，因為,,所以當且僅當,即取等號此時，由于,，等號可以取到，故的最小值為（ii）證明：當，,所以在線段的延長線上，所以，所以,時，所以，,，所以，綜上.河南省開封市2024屆高三第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗由可得，則.故選：B.2.已知向量，，若，則（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，由可得，解得，故選：D3.設(shè)，已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題設(shè)，，又，，∴.故選：D4.在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回，則在第1次抽到幾何題的條件下，第2次抽到代數(shù)題的概率是（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)事件“第1次抽到幾何題”，事件“第2次抽到代數(shù)題”，所以，則．故選：A．5.已知，則（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗由可得，即，，故.故選：C.6.在某項測驗中，假設(shè)測驗數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例將測驗數(shù)據(jù)從大到小分為A,B,C,D四個等級,則等級為A的測驗數(shù)據(jù)的最小值可能是（附：若,則,）（）A.94 B.86 C.82 D.78〖答案〗C〖解析〗測驗數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，則，，故，故等級的分數(shù)線應(yīng)該是．故選：C7.已知點是拋物線的焦點，,是該拋物線上兩點，，則中點的橫坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)點坐標分別為，拋物線的準線方程為，由拋物線定義有，,所以,，故，選項B正確．故選：B.8.記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，若，，則滿足的n的最小值是（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗B〖解析〗由可得，，故為公比為2的等比數(shù)列，故，所以，故，因此故，要使，則，當時，，時，，且在時，隨著正整數(shù)的增大而增大，故的最小值為6，故選：B.二、選擇題9.橢圓的焦點為，，上頂點為A，直線與C的另一個交點為B，若，則（）A.C的焦距為2 B.C的短軸長為C.C的離心率為 D.的周長為8〖答案〗ABD〖解析〗由于，所以,故，因此，故，所以橢圓，對于A，焦距為，故A正確，對于B，短軸長為，B正確，對于C，離心率為，C錯誤，對于D，的周長為，D正確，故選：ABD10.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則（）A.函數(shù)的周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為〖答案〗AD〖解析〗，，故數(shù)的周期為，A正確，對于B.函數(shù)，故不關(guān)于直線對稱，B錯誤，對C.當則，故函數(shù)在區(qū)間不是單調(diào)遞減，C錯誤，對于D.則，故當時，取最小值故D正確，故選：AD.11.已知函數(shù)的定義域為，且，，則（）A. B.C.是周期函數(shù) D.的〖解析〗式可能為〖答案〗ABC〖解析〗由，令，，有，可得,故A正確；令，則，則，函數(shù)是偶函數(shù)，而為奇函數(shù)，故D錯誤，，令，則，所以，則，，所以，則周期為6，C正確．由于為偶函數(shù)且周期為6，故，B正確，故選：ABC.三、填空題12.已知為等差數(shù)列，為其前項和，若，，則________.〖答案〗〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為d,∵，，∴2×8+8d=0，解得d=?2.則S8=8×8?2×=8.故〖答案〗為8.13.已知函數(shù)的值域為，則的定義域可以是____.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗令，解得或，則的定義域可以是，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.14.在矩形中，，，沿對角線將矩形折成一個大小為的二面角，當點B與點D之間的距離為3時______．〖答案〗〖解析〗分別作，，垂足為，，則．由，可得，所以．因為，則，故，故〖答案〗為：．四、解答題15.某學(xué)校有A，B兩家餐廳，A餐廳有2種套餐選擇，B餐廳有4種套餐選擇，且這6種套餐各不相同．A餐廳距離教學(xué)樓相比于B餐廳要近很多，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，100名不同性別的學(xué)生選擇餐廳用餐的情況如下：男女在A餐廳用餐4020在B餐廳用餐1525（1）求某天甲、乙兩名同學(xué)選擇同一套餐用餐的概率；（2）依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為性別與選擇餐廳之間有關(guān)聯(lián)?附：．0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得，選擇A餐廳的概率為，選擇B餐廳的概率為，設(shè)事件：甲乙去餐廳用餐，事件：甲乙去餐廳用餐，事件：甲乙選擇同一種套餐，事件A:甲、乙兩名同學(xué)選擇同一套餐用餐,,則；故甲乙兩人選擇同一家餐廳的概率為（2）根據(jù)數(shù)據(jù)可得方案一的列聯(lián)表：

男女合計在A餐廳用餐402060B餐廳用餐152540合計5545100零假設(shè)為：認為性別與選擇餐廳之間無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以推斷不成立，即性別與選擇餐廳之間有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005．16.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．解：（1）因為的定義域為，，所以，，所以曲線在點處的切線方程為．（2）依題意，，則，令，解得或．當變化時，，的變化情況如表所示：12＋0－0＋單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，．故的極小值為，的極大值為．17.已知，，對于平面內(nèi)一動點，軸于點M，且，，成等比數(shù)列．（1）求點P的軌跡C的方程；（2）已知過點A的直線l與C交于M，N兩點，若，求直線l的方程．解：（1）由題意可得，則，，，由于，，成等比數(shù)列，所以，即，故點P的軌跡C的方程為（2）由（1）知點P的軌跡C的方程為：當或，當時，，如圖；由題意可知直線有斜率，設(shè)方程為，聯(lián)立，則，故,聯(lián)立，則，故,,解得，故直線方程為18.已知四棱錐的底面是正方形，給出下列三個論斷：①；②；③平面．（1）以其中的兩個論斷作為條件，另一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題，并證明；（2）在（1）的條件下，若，求四棱錐體積的最大值．解：（1）①②③,連