2024屆陜西省商洛市高三第四次模擬檢測數學試題（理）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2陜西省商洛市2024屆高三第四次模擬檢測數學試題（理）第Ⅰ卷一、選擇題1.已知復數，復數是復數的共軛復數，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗根據復數的運算性質，可得.故選；C．2.已知集合，集合，則（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，解得，所以，所以．故選：B.3.的展開式中常數項為第（）項A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗的通項為，令有.故展開式中常數項為第5項.故選：B4.已知是等差數列的前項和，且滿足，則（）A.65 B.55 C.45 D.35〖答案〗D〖解析〗設數列的公差為，則，．故選：D5.近年來商洛為了打造康養(yǎng)之都，引進了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物數量與時間（小時）的關系為（為最初的污染物數量）．如果前3小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（）A.2.6小時 B.6小時 C.3小時 D.4小時〖答案〗C〖解析〗由題意可得，可得，設，，解得，因此，污染物消除至最初的還需要3小時．故選：C.6.在中，點是的中點，點分的比為與相交于，設，則向量（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意三點共線，所以存在，使得，同理三點共線，所以存在，使得，由平面向量基本定理可得，解得，所以.故選：C.7.已知點在拋物線上，拋物線的準線與軸交于點，線段的中點也在拋物線上，拋物線的焦點為，則線段的長為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗如圖，不妨設點在第一象限，依題知是的中位線，可知，過向準線做垂線，垂足分別為，同理是的中位線，，由拋物線定義知，故得，又，則點橫坐標是，代入可得其縱坐標為，故.故選：C．8.已知一棱錐的三視圖如圖所示，其中側視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，正視圖為直角梯形，則該棱錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三視圖可得，該幾何體是以底面為直角梯形的四棱錐，如圖所示：其底面積為，高，故體積為，故選：B.9.已知函數，，下圖可能是下列哪個函數的圖像（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于，但定義域為，滿足，為偶函數.同理可得：為奇函數.記，則所以且，所以為非奇非偶函數；同理可證：為非奇非偶函數；和為奇函數.由圖可知，圖像對應函數為奇函數，且.顯然選項A，B對應的函數都不是奇函數，故排除；對C:，為奇函數.當時，，故錯誤；對D，，為奇函數.當時，.故正確.故選：D.10.已知函數與函數的圖象的對稱軸相同，給出下列結論：①的值可以為4；②的值可以為；③函數的單調遞增區(qū)間為；④函數的所有零點的集合為．其中正確的為（）A.①② B.②③ C.③④ D.①④〖答案〗B〖解析〗對于①，因為兩函數圖象的對稱軸相同，且兩相鄰對稱軸之間的距離等于周期的一半，所以兩函數的周期也相同，因此，解得，故①說法錯誤；對于②，因為，所以，當時，，此時與的圖象關于軸對稱，它們的對稱軸相同，故②說法正確；對于③，令，則，所以的單調遞增區(qū)間為，故③說法正確；對于④，的所有零點滿足，解得所有零點的集合為，故④說法錯誤；綜上②③說法正確.故選:B11.已知是雙曲線右支上的動點，是雙曲線的左、右焦點，則的最小值為（）A.12 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為是雙曲線右支上的動點，由雙曲線定義，得，則，當且僅當取得最小值．故選：C.12.已知，對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，不等式即，進而轉化為，令，則，當時，，所以在上單調遞增.則不等式等價于恒成立.因為，所以，所以對任意恒成立，即恒成立.設，可得，當單調遞增,當單調遞減．所以有最大值，于是，解得．故選：B第Ⅱ卷二、填空題13.在區(qū)間上隨機取兩個實數，則事件的概率為______．〖答案〗〖解析〗如圖，在區(qū)間上隨機取兩個實數，構成的點的集合為圖中正方形區(qū)域，面積為16，其中滿足的點構成的區(qū)域為直線及上方正方形內區(qū)域，面積為，故由幾何概型的概率公式可得，事件概率為．故〖答案〗為：14.曲線的一條切線方程為，則______．〖答案〗〖解析〗，設切點為，則，又在切線上，所以，解得，所以.故〖答案〗為：15.矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為________.〖答案〗π〖解析〗因為球心到球面各點的距離相等，即可知道外接球的半徑，就可以求出其體積了．由題意知，球心到四個頂點的距離相等，所以球心在對角線AC上，且其半徑為AC長度的一半，矩形對角線AC=5，則.16.已知函數滿足，則滿足的最大正整數的值為______．〖答案〗12〖解析〗，所以數列是公比為2的等比數列，所以所解不等式：當時，則，可解得：，最大值為12，當時，符合要求，當時，不符合要求，因此的最大值為12，故〖答案〗為：12.三、解答題（一）必考題17.在中，角所對的邊分別為，且滿足．（1）求角的大小；（2）若，求的面積．解：（1）在中，因為，由正弦定理得，即，即，即，又，所以，所以，即；（2）在中，，由余弦定理得，即，，所以．18.現從某學校高三年級男生中隨機抽取50名男生測量身高，測量發(fā)現被測學生的身高全部介于和之間，將測量結果按如下方式分成6組：第1組，第2組，…，第6組．如圖，這是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（1）試評估該校高三年級男生的平均身高；（2）求這50名男生身高在以上（含）的人數；（3）從這50名身高在以上（含）的男生中任意抽取2人，將這2人中身高在（含）以上的人數記為，求的數學期望．解：（1）由頻率分布直方圖，樣本平均數為，據此可估計該校高三年級男生的平均身高為.（2）由頻率分布直方圖知，后3組頻率為，人數為，即這50名男生身高在以上（含）的人數為10．（3）由頻率分布直方圖，50人中以上的有人．所以隨機變量可取0，1，2，結合（2）男生身高在172cm以上（含172cm）的人數為10．于是，.19.如圖1，在矩形中，，，將沿矩形的對角線進行翻折，得到如圖2所示的三棱錐.（1）當時，求的長；（2）當平面平面時，求平面和平面的夾角的余弦值.解：（1）由，，且，平面，可得平面，又平面，則，在中，根據勾股定理，.（2）如圖，過點作于點，由代值易得：.由平面平面，平面平面，平面，可知平面.在平面中，過點作的垂線為軸，，所在直線分別為，軸，建立空間直角坐標系.則，，，，有，，，.設平面的法向量，則，令，解得其中一個法向量；設平面的法向量，則，令，解得其中一個法向量.于是，，故平面和平面夾角的余弦值為.20.已知橢圓C：（）的長軸長是短軸長的3倍，且橢圓C經過點．（1）求橢圓C的方程．（2）設A是橢圓C的右頂點，P，Q是橢圓C上不同的兩點，直線的斜率分別為，，且．過A作，垂足為B，試問是否存在定點M，使得線段的長度為定值？若存在，求出該定點；若不存在，請說明理由．解：（1）因為橢圓C的長軸長是短軸長的3倍，所以，則橢圓C的方程為．又橢圓C經過點，所以，解得，，所以橢圓C的方程為．（2）設，，若直線斜率為0，不妨設，此時是方程的兩根，所以，但，不滿足題意；若直線斜率不為0，直線PQ的方程為，且，聯立方程組，消去x得，由，得，所以，．又因為，所以，整理得，即，化簡得．所以，化簡得，解得，即直線PQ恒過點．因為，所以點B在以線段為直徑的圓上，取線段的中點，則，所以存在定點，使得線段的長度為定值．21.已知函數．（1）求函數的單調區(qū)間；（2）當時，若函數和的圖象在上有交點，求實數的取值范圍．解：（1）函數的定義域為，．令，得①當時，，在上單調遞減；②當時，列表如下：0極大值所以在上遞增，在上遞減；③當時，列表如下0極大值所以在上遞增，在上遞.綜上，當時，在上遞減；當時，在上遞增，在上遞減；當時，在上遞增，在上遞減.（2）當時，設函數和的圖象在有交點，等價于函數和的圖象在上有交點，即函數和的圖象在上有交點，等價于的圖象在有零點，的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是．，由（1）知當時，在為增函數，在上有零點，則或，；當時，在遞增，在遞減，，即，綜合得：實數的取值范圍為.（二）選考題[選修4-4：坐標系與參數方程]22.已知曲線的參數方程為(為參數)直線與曲線相交于兩點，以極點為原點，軸的負半軸為極軸建立平面直角坐標系．（1）求曲線的極坐標方程；（2）記線段的中點為，若恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）曲線的參數方程為（為參數），所求方程為，，曲線的極坐標方程為；（2）聯立，得，設，則，由，得，當時，取最大值，故實數的取值范圍為.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數的最小值是.（1）求；（2）若正數a，b，c滿足，求證：.（1）解：由題意得，所以在上單調遞減，在上單調遞增.因此的最小值（2）證明：由（1）知,且均為正數，所以，由基本不等式，，，所以，當且僅當時等號成立，即.陜西省商洛市2024屆高三第四次模擬檢測數學試題（理）第Ⅰ卷一、選擇題1.已知復數，復數是復數的共軛復數，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗根據復數的運算性質，可得.故選；C．2.已知集合，集合，則（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，解得，所以，所以．故選：B.3.的展開式中常數項為第（）項A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗的通項為，令有.故展開式中常數項為第5項.故選：B4.已知是等差數列的前項和，且滿足，則（）A.65 B.55 C.45 D.35〖答案〗D〖解析〗設數列的公差為，則，．故選：D5.近年來商洛為了打造康養(yǎng)之都，引進了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物數量與時間（小時）的關系為（為最初的污染物數量）．如果前3小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（）A.2.6小時 B.6小時 C.3小時 D.4小時〖答案〗C〖解析〗由題意可得，可得，設，，解得，因此，污染物消除至最初的還需要3小時．故選：C.6.在中，點是的中點，點分的比為與相交于，設，則向量（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意三點共線，所以存在，使得，同理三點共線，所以存在，使得，由平面向量基本定理可得，解得，所以.故選：C.7.已知點在拋物線上，拋物線的準線與軸交于點，線段的中點也在拋物線上，拋物線的焦點為，則線段的長為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗如圖，不妨設點在第一象限，依題知是的中位線，可知，過向準線做垂線，垂足分別為，同理是的中位線，，由拋物線定義知，故得，又，則點橫坐標是，代入可得其縱坐標為，故.故選：C．8.已知一棱錐的三視圖如圖所示，其中側視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，正視圖為直角梯形，則該棱錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三視圖可得，該幾何體是以底面為直角梯形的四棱錐，如圖所示：其底面積為，高，故體積為，故選：B.9.已知函數，，下圖可能是下列哪個函數的圖像（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于，但定義域為，滿足，為偶函數.同理可得：為奇函數.記，則所以且，所以為非奇非偶函數；同理可證：為非奇非偶函數；和為奇函數.由圖可知，圖像對應函數為奇函數，且.顯然選項A，B對應的函數都不是奇函數，故排除；對C:，為奇函數.當時，，故錯誤；對D，，為奇函數.當時，.故正確.故選：D.10.已知函數與函數的圖象的對稱軸相同，給出下列結論：①的值可以為4；②的值可以為；③函數的單調遞增區(qū)間為；④函數的所有零點的集合為．其中正確的為（）A.①② B.②③ C.③④ D.①④〖答案〗B〖解析〗對于①，因為兩函數圖象的對稱軸相同，且兩相鄰對稱軸之間的距離等于周期的一半，所以兩函數的周期也相同，因此，解得，故①說法錯誤；對于②，因為，所以，當時，，此時與的圖象關于軸對稱，它們的對稱軸相同，故②說法正確；對于③，令，則，所以的單調遞增區(qū)間為，故③說法正確；對于④，的所有零點滿足，解得所有零點的集合為，故④說法錯誤；綜上②③說法正確.故選:B11.已知是雙曲線右支上的動點，是雙曲線的左、右焦點，則的最小值為（）A.12 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為是雙曲線右支上的動點，由雙曲線定義，得，則，當且僅當取得最小值．故選：C.12.已知，對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，不等式即，進而轉化為，令，則，當時，，所以在上單調遞增.則不等式等價于恒成立.因為，所以，所以對任意恒成立，即恒成立.設，可得，當單調遞增,當單調遞減．所以有最大值，于是，解得．故選：B第Ⅱ卷二、填空題13.在區(qū)間上隨機取兩個實數，則事件的概率為______．〖答案〗〖解析〗如圖，在區(qū)間上隨機取兩個實數，構成的點的集合為圖中正方形區(qū)域，面積為16，其中滿足的點構成的區(qū)域為直線及上方正方形內區(qū)域，面積為，故由幾何概型的概率公式可得，事件概率為．故〖答案〗為：14.曲線的一條切線方程為，則______．〖答案〗〖解析〗，設切點為，則，又在切線上，所以，解得，所以.故〖答案〗為：15.矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為________.〖答案〗π〖解析〗因為球心到球面各點的距離相等，即可知道外接球的半徑，就可以求出其體積了．由題意知，球心到四個頂點的距離相等，所以球心在對角線AC上，且其半徑為AC長度的一半，矩形對角線AC=5，則.16.已知函數滿足，則滿足的最大正整數的值為______．〖答案〗12〖解析〗，所以數列是公比為2的等比數列，所以所解不等式：當時，則，可解得：，最大值為12，當時，符合要求，當時，不符合要求，因此的最大值為12，故〖答案〗為：12.三、解答題（一）必考題17.在中，角所對的邊分別為，且滿足．（1）求角的大??；（2）若，求的面積．解：（1）在中，因為，由正弦定理得，即，即，即，又，所以，所以，即；（2）在中，，由余弦定理得，即，，所以．18.現從某學校高三年級男生中隨機抽取50名男生測量身高，測量發(fā)現被測學生的身高全部介于和之間，將測量結果按如下方式分成6組：第1組，第2組，…，第6組．如圖，這是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（1）試評估該校高三年級男生的平均身高；（2）求這50名男生身高在以上（含）的人數；（3）從這50名身高在以上（含）的男生中任意抽取2人，將這2人中身高在（含）以上的人數記為，求的數學期望．解：（1）由頻率分布直方圖，樣本平均數為，據此可估計該校高三年級男生的平均身高為.（2）由頻率分布直方圖知，后3組頻率為，人數為，即這50名男生身高在以上（含）的人數為10．（3）由頻率分布直方圖，50人中以上的有人．所以隨機變量可取0，1，2，結合（2）男生身高在172cm以上（含172cm）的人數為10．于是，.19.如圖1，在矩形中，，，將沿矩形的對角線進行翻折，得到如圖2所示的三棱錐.（1）當時，求的長；（2）當平面平面時，求平面和平面的夾角的余弦值.解：（1）由，，且，平面，可得平面，又平面，則，在中，根據勾股定理，.（2）如圖，過點作于點，由代值易得：.由平面平面，平面平面，平面，可知平面.在平面中，過點作的垂線為軸，，所在直線分別為，軸，建立空間直角坐標系.則，，，，有，，，.設平面的法向量，則，令，解得其中一個法向量；設平面的法向量，則，令，解得其中一個法向量.于是，，故平面和平面夾角的余弦值為.20.已知橢圓C：（）的長軸長是短軸長的3倍，且橢圓C經過點．（1）求橢圓C的方程．（2）設A是橢圓C的右頂點，P，Q是橢圓C上不同的兩點，直線的斜率分別為，，且．過A作，垂足為B，試問是否存在定點M，使得線段的長度為定值？若存在，求出該定點；若不存在，請說明理由．解：（1）因為橢圓C的長軸長是短軸長的3倍，所以，則橢圓C的方程為．又橢圓C經過點，所以，解得，，所以橢圓C的