2024屆陜西省商洛市高三第四次模擬檢測數(shù)學試題（文）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2陜西省商洛市2024屆高三第四次模擬檢測數(shù)學試題（文）第Ⅰ卷一、選擇題1.已知復數(shù)，復數(shù)是復數(shù)的共軛復數(shù)，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)復數(shù)的運算性質(zhì)，可得.故選；C．2.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，解得，所以，所以．故選：B.3.命題“對任意的”的否定是（）A.不存在 B.存在C.存在 D.對任意的〖答案〗C〖解析〗“對任意的”的否定是：存在.故選：C．4.已知是等差數(shù)列的前項和，且滿足，則（）A.65 B.55 C.45 D.35〖答案〗D〖解析〗設數(shù)列的公差為，則，．故選：D5.近年來商洛為了打造康養(yǎng)之都，引進了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時間（小時）的關系為（為最初的污染物數(shù)量）．如果前3小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（）A.2.6小時 B.6小時 C.3小時 D.4小時〖答案〗C〖解析〗由題意可得，可得，設，，解得，因此，污染物消除至最初的還需要3小時．故選：C.6.已知非零向量滿足，則（）A.45° B.60° C.120° D.150°〖答案〗D〖解析〗．所以，又，，由均為非零向量，則，且在到之間，故．故選：D．7.已知點在拋物線上，拋物線的準線與軸交于點，線段的中點也在拋物線上，拋物線的焦點為，則線段的長為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗如圖，不妨設點在第一象限，依題知是的中位線，可知，過向準線做垂線，垂足分別為，同理是的中位線，，由拋物線定義知，故得，又，則點橫坐標，代入可得其縱坐標為，故.故選：C．8.已知一棱錐的三視圖如圖所示，其中側視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，正視圖為直角梯形，則該棱錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三視圖可得，該幾何體是以底面為直角梯形的四棱錐，如圖所示：其底面積為，高，故體積為，故選：B.9.已知函數(shù)，，下圖可能是下列哪個函數(shù)的圖像（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于，但定義域為，滿足，為偶函數(shù).同理可得：為奇函數(shù).記，則所以且，所以為非奇非偶函數(shù)；同理可證：為非奇非偶函數(shù)；和為奇函數(shù).由圖可知，圖像對應函數(shù)為奇函數(shù)，且.顯然選項A，B對應的函數(shù)都不是奇函數(shù)，故排除；對C:，為奇函數(shù).當時，，故錯誤；對D，，為奇函數(shù).當時，.故正確.故選：D.10.已知函數(shù)與函數(shù)的圖象的對稱軸相同，給出下列結論：①的值可以為4；②的值可以為；③函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；④函數(shù)的所有零點的集合為．其中正確的為（）A.①② B.②③ C.③④ D.①④〖答案〗B〖解析〗對于①，因為兩函數(shù)圖象的對稱軸相同，且兩相鄰對稱軸之間的距離等于周期的一半，所以兩函數(shù)的周期也相同，因此，解得，故①說法錯誤；對于②，因為，所以，當時，，此時與的圖象關于軸對稱，它們的對稱軸相同，故②說法正確；對于③，令，則，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故③說法正確；對于④，的所有零點滿足，解得所有零點的集合為，故④說法錯誤；綜上②③說法正確.故選:B11.已知是雙曲線右支上的動點，是雙曲線的左、右焦點，則的最小值為（）A.12 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為是雙曲線右支上的動點，由雙曲線定義，得，則，當且僅當取得最小值．故選：C.12.已知，對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，不等式即，進而轉化為，令，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增.則不等式等價于恒成立.因為，所以，所以對任意恒成立，即恒成立.設，可得，當單調(diào)遞增,當單調(diào)遞減．所以有最大值，于是，解得．故選：B第Ⅱ卷二、填空題13.在區(qū)間上隨機取一個實數(shù)，若事件的概率為，則實數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗依題意，故事件即，故事件的概率為，解得.故〖答案〗為：.14.函數(shù)在點處的切線的方程為_________.〖答案〗〖解析〗由題，，則，所以切線方程為，故〖答案〗為：15.矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為________.〖答案〗π〖解析〗因為球心到球面各點的距離相等，即可知道外接球的半徑，就可以求出其體積了．由題意知，球心到四個頂點的距離相等，所以球心在對角線AC上，且其半徑為AC長度的一半，矩形對角線AC=5，則.16.已知函數(shù)滿足,則滿足的最大正整數(shù)的值為______．〖答案〗12〖解析〗，所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，所以所解不等式為：當時，則，可解得：的最大值為12，當時，符合要求，當時，不符合要求，因此的最大值為12，故〖答案〗為：12三、解答題（一）必考題17.在中，角所對的邊分別為，且滿足．（1）求角的大?。唬?）若，求的面積．解：（1）在中，因為，由正弦定理得，即，即，即，又，所以，所以，即；（2）在中，，由余弦定理得，即，，所以．18.現(xiàn)從某學校高三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于和之間，將測量結果按如下方式分成6組：第1組，第2組，…，第6組．如圖，這是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（1）試評估該校高三年級男生的平均身高；（2）求這50名男生中身高在以上（含）的人數(shù)；（3）從這50名男生身高在以上（含）的人中任意抽取2人，求該2人中身高恰有1人在（含）以上的概率．解：（1）由頻率分布直方圖，可得該校高三年級男生的平均身高為：.（2）由頻率分布直方圖知，身高在以上的男生分布在后2組，其頻率為，則人數(shù)為，即這50名男生身高在以上（含）的人數(shù)為6．（3）由（2）知，在所抽樣本50人中以上的有6人，以上的有2人．設這6人分別為其中表示以上的2人.任取2人的取法為共15種，恰有1人在180以上的取法為共8種，故所求概率為：19.在等腰梯形ABCD中，，，，E、O、F分別為AD、BE、DE中點（如圖1），將沿BE折起到的位置，使得（如圖2）．（1）證明：平面；（2）求B到平面的距離.（1）證明：連接，如圖，如圖1，在等腰梯形ABCD中，，，，E為AD中點，為等邊三角形，∵O為BE中點,即，如圖2，，又，平面BCDE，平面BCDE，又EC平面BCDE，.，所以四邊形EBCD為菱形，,O、F分別為BE、DE中點,,,平面，平面（2）解：在中，,,平面，平面，，在中，平面,到平面的距離為，設B到平面距離為，由可得，，.點B到平面的距離為.20.已知橢圓C：（）的長軸長是短軸長的3倍，且橢圓C經(jīng)過點．（1）求橢圓C的方程．（2）設A是橢圓C的右頂點，P，Q是橢圓C上不同的兩點，直線的斜率分別為，，且．過A作，垂足為B，試問是否存在定點M，使得線段的長度為定值？若存在，求出該定點；若不存在，請說明理由．解：（1）因為橢圓C的長軸長是短軸長的3倍，所以，則橢圓C的方程為．又橢圓C經(jīng)過點，所以，解得，，所以橢圓C的方程為．（2）設，，若直線斜率為0，不妨設，此時是方程的兩根，所以，但，不滿足題意；若直線斜率不為0，直線PQ的方程為，且，聯(lián)立方程組，消去x得，由，得，所以，．又因為，所以，整理得，即，化簡得．所以，化簡得，解得，即直線PQ恒過點．因為，所以點B在以線段為直徑圓上，取線段的中點，則，所以存在定點，使得線段的長度為定值．21已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若函數(shù)和的圖象在上有交點，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域為，則令，得①當時，，②當時，0遞增極小值遞減③當時，0遞增極小值遞減綜上當時，在上遞減；當時，在上遞增，在上遞減；當時，在上遞增，在上遞減.（2）函數(shù)和的圖像在上有交點，等價于函數(shù)和的圖像在上有交點，等價于的圖像在有零點，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，，由（Ⅰ）知，當時，在為增函數(shù)，因為在上有零點，則，或，，當時，在遞增，在遞減，，即，，綜合得：實數(shù)的取值范圍為.（二）選考題[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線相交于兩點，以極點為原點，軸的負半軸為極軸建立平面直角坐標系．（1）求曲線的極坐標方程；（2）記線段的中點為，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所求方程為，，曲線的極坐標方程為；（2）聯(lián)立，得，設，則，由，得，當時，取最大值，故實數(shù)的取值范圍為.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù)的最小值是.（1）求；（2）若正數(shù)a，b，c滿足，求證：.（1）解：由題意得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此的最小值（2）證明：由（1）知,且均為正數(shù)，所以，由基本不等式，，，所以，當且僅當時等號成立，即.

陜西省商洛市2024屆高三第四次模擬檢測數(shù)學試題（文）第Ⅰ卷一、選擇題1.已知復數(shù)，復數(shù)是復數(shù)的共軛復數(shù)，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)復數(shù)的運算性質(zhì)，可得.故選；C．2.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，解得，所以，所以．故選：B.3.命題“對任意的”的否定是（）A.不存在 B.存在C.存在 D.對任意的〖答案〗C〖解析〗“對任意的”的否定是：存在.故選：C．4.已知是等差數(shù)列的前項和，且滿足，則（）A.65 B.55 C.45 D.35〖答案〗D〖解析〗設數(shù)列的公差為，則，．故選：D5.近年來商洛為了打造康養(yǎng)之都，引進了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時間（小時）的關系為（為最初的污染物數(shù)量）．如果前3小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（）A.2.6小時 B.6小時 C.3小時 D.4小時〖答案〗C〖解析〗由題意可得，可得，設，，解得，因此，污染物消除至最初的還需要3小時．故選：C.6.已知非零向量滿足，則（）A.45° B.60° C.120° D.150°〖答案〗D〖解析〗．所以，又，，由均為非零向量，則，且在到之間，故．故選：D．7.已知點在拋物線上，拋物線的準線與軸交于點，線段的中點也在拋物線上，拋物線的焦點為，則線段的長為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗如圖，不妨設點在第一象限，依題知是的中位線，可知，過向準線做垂線，垂足分別為，同理是的中位線，，由拋物線定義知，故得，又，則點橫坐標，代入可得其縱坐標為，故.故選：C．8.已知一棱錐的三視圖如圖所示，其中側視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，正視圖為直角梯形，則該棱錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三視圖可得，該幾何體是以底面為直角梯形的四棱錐，如圖所示：其底面積為，高，故體積為，故選：B.9.已知函數(shù)，，下圖可能是下列哪個函數(shù)的圖像（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于，但定義域為，滿足，為偶函數(shù).同理可得：為奇函數(shù).記，則所以且，所以為非奇非偶函數(shù)；同理可證：為非奇非偶函數(shù)；和為奇函數(shù).由圖可知，圖像對應函數(shù)為奇函數(shù)，且.顯然選項A，B對應的函數(shù)都不是奇函數(shù)，故排除；對C:，為奇函數(shù).當時，，故錯誤；對D，，為奇函數(shù).當時，.故正確.故選：D.10.已知函數(shù)與函數(shù)的圖象的對稱軸相同，給出下列結論：①的值可以為4；②的值可以為；③函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；④函數(shù)的所有零點的集合為．其中正確的為（）A.①② B.②③ C.③④ D.①④〖答案〗B〖解析〗對于①，因為兩函數(shù)圖象的對稱軸相同，且兩相鄰對稱軸之間的距離等于周期的一半，所以兩函數(shù)的周期也相同，因此，解得，故①說法錯誤；對于②，因為，所以，當時，，此時與的圖象關于軸對稱，它們的對稱軸相同，故②說法正確；對于③，令，則，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故③說法正確；對于④，的所有零點滿足，解得所有零點的集合為，故④說法錯誤；綜上②③說法正確.故選:B11.已知是雙曲線右支上的動點，是雙曲線的左、右焦點，則的最小值為（）A.12 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為是雙曲線右支上的動點，由雙曲線定義，得，則，當且僅當取得最小值．故選：C.12.已知，對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，不等式即，進而轉化為，令，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增.則不等式等價于恒成立.因為，所以，所以對任意恒成立，即恒成立.設，可得，當單調(diào)遞增,當單調(diào)遞減．所以有最大值，于是，解得．故選：B第Ⅱ卷二、填空題13.在區(qū)間上隨機取一個實數(shù)，若事件的概率為，則實數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗依題意，故事件即，故事件的概率為，解得.故〖答案〗為：.14.函數(shù)在點處的切線的方程為_________.〖答案〗〖解析〗由題，，則，所以切線方程為，故〖答案〗為：15.矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為________.〖答案〗π〖解析〗因為球心到球面各點的距離相等，即可知道外接球的半徑，就可以求出其體積了．由題意知，球心到四個頂點的距離相等，所以球心在對角線AC上，且其半徑為AC長度的一半，矩形對角線AC=5，則.16.已知函數(shù)滿足,則滿足的最大正整數(shù)的值為______．〖答案〗12〖解析〗，所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，所以所解不等式為：當時，則，可解得：的最大值為12，當時，符合要求，當時，不符合要求，因此的最大值為12，故〖答案〗為：12三、解答題（一）必考題17.在中，角所對的邊分別為，且滿足．（1）求角的大?。唬?）若，求的面積．解：（1）在中，因為，由正弦定理得，即，即，即，又，所以，所以，即；（2）在中，，由余弦定理得，即，，所以．18.現(xiàn)從某學校高三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于和之間，將測量結果按如下方式分成6組：第1組，第2組，…，第6組．如圖，這是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（1）試評估該校高三年級男生的平均身高；（2）求這50名男生中身高在以上（含）的人數(shù)；（3）從這50名男生身高在以上（含）的人中任意抽取2人，求該2人中身高恰有1人在（含）以上的概率．解：（1）由頻率分布直方圖，可得該校高三年級男生的平均身高為：.（2）由頻率分布直方圖知，身高在以上的男生分布在后2組，其頻率為，則人數(shù)為，即這50名男生身高在以上（含）的人數(shù)為6．（3）由（2）知，在所抽樣本50人中以上的有6人，以上的有2人．設這6人分別為其中表示以上的2人.任取2人的取法為共15種，恰有1人在180以上的取法為共8種，故所求概率為：19.在等腰梯形ABCD中，，，，E、O、F分別為AD、BE、DE中點（如圖1），將沿BE折起到的位置，使得（如圖2）．（1）證明：平面；（2）求B到平面的距離.（1）證明：連接，如圖，如圖1，在等腰梯形ABCD中，，，，E為AD中點，為等邊三角形，∵O為BE中點,即，如圖2，，又，平面BCDE，平面BCDE，又EC平面BCDE，.，所以四邊形EBCD為菱形，,O、F分別為BE、DE中點,,,平面，平面（2）解：在中，,,平面，平面，，在中，平面,到平面的距離為，設B到平面距離為，由可得，，.點B到平面的距離為.20.已知橢圓C：（）的長軸長是短軸長的3倍，且橢圓C經(jīng)過點．（1）求橢圓C的方程．（2）設A是橢圓C的右頂點，P，Q是橢圓C上不同的兩點，直線的斜率分別為，，且．過A作，垂足為B，試問是否存在定點M，使得線段的長度為定值？若存在，求出該定點；若不存在，請說明理由．解：（1）因為橢圓C的長軸長是短軸長的3倍，所以，則橢圓C的方