正弦函數(shù)平移

正弦函數(shù)平移PAGE4函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用練習(xí)文[A組·基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]1．[2016·九江質(zhì)檢]把函數(shù)y＝sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)保持不變，再把所得函數(shù)圖象向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位，得到的函數(shù)圖象的解析式是()A．y＝cos2x B．y＝－sin2xC．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))答案A解析由y＝sinx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)保持不變，所得圖象的解析式為y＝sin2x，再向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位得y＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，即y＝cos2x.2．[2015·邢臺(tái)摸底]先把函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f(1,2)(縱坐標(biāo)不變)，再把新得到的圖象向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象．當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))時(shí)，函數(shù)g(x)的值域?yàn)?)A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2))) D．[－1,0)答案A解析依題意得g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5π,6)))；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))時(shí)，2x－eq\f(5π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5π,6)))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，此時(shí)g(x)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，選A.3．[2015·洛陽(yáng)期末]把函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的eq\f(1,2)(縱坐標(biāo)不變)，再將圖象向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位，那么所得圖sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的圖象，可將函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，或向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度(m，n均為正數(shù))，則|m－n|的最小值是()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(4π,3) D.eq\f(5π,3)答案B解析由題意可知，m＝eq\f(π,3)＋2k1π，k1為非負(fù)整數(shù)，n＝－eq\f(π,3)＋2k2π，k2為正整數(shù)，∴|m－n|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2k1－k2π))，∴當(dāng)k1＝k2時(shí)，|m－n|min＝eq\f(2π,3).7．[2015·長(zhǎng)春二模]已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinxcosx＋eq\f(1,2)cos2x，若將其圖象向右平移φ(φ>0)個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則φ的最小值為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(5π,6)C.eq\f(π,12) D.eq\f(5π,12)答案C解析由題意f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，將其圖象向右平移φ(φ>0)個(gè)單位后所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x－φ＋\f(π,6)))，則2φ－eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，即φ＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)(k∈Z)，又φ>0，所以φ的最小值為eq\f(π,12).故選C.8．[2015·太原一模]已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的最小正周期是π，若將其圖象向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的圖象()A．關(guān)于直線x＝eq\f(π,12)對(duì)稱B．關(guān)于直線x＝eq\f(5π,12)對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))對(duì)稱D．關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))對(duì)稱答案B解析∵f(x)的最小正周期為π，∴eq\f(2π,ω)＝π，ω＝2，∴f(x)的圖象向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位后得到g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)＋φ))的圖象，又g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴－eq\f(2π,3)＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝eq\f(2π,3)＋kπ，k∈Z，又|φ|<eq\f(π,2)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋kπ))<eq\f(π,2)，∴k＝－1，φ＝－eq\f(π,3)，∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，當(dāng)x＝eq\f(π,12)時(shí)，2x－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,6)，∴A，C錯(cuò)誤，當(dāng)x＝eq\f(5π,12)時(shí)，2x－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，∴B正確，D錯(cuò)誤．9．[2016·徐州模擬]將函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))(ω>0)的圖象向左平移eq\f(π,3ω)個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若y＝g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上為增函數(shù)，則ω的最大值為________．答案2解析g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3ω)))－\f(π,3)))＝2sinωx，因?yàn)閥＝g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上為增函數(shù)，所以eq\f(2π,ω)×eq\f(1,4)≥eq\f(π,4)，即ω≤2，所以ω的最大值為2.10．[2015·三明一模]已知函數(shù)f(x)＝Mcos(ωx＋φ)(M>0，ω>0,0<φ<π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)，∠C＝90°，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值為________．答案－eq\f(1,2)解析依題意知，△ABC是直角邊長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2)的等腰直角三角形，因此其邊AB上的高是eq\f(1,2)，函數(shù)f(x)的最小正周期是2，故M＝eq\f(1,2)，eq\f(2π,ω)＝2，ω＝π，f(x)＝eq\f(1,2)cos(πx＋φ)．又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，于是有φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.由0<φ<π，得φ＝eq\f(π,2)，故f(x)＝－eq\f(1,2)sinπx，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)sineq\f(π,2)＝－eq\f(1,2).11．已知函數(shù)g(x)＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，將其圖象向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位，再向上平移eq\f(1,2)個(gè)單位得到函數(shù)f(x)＝acos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋b的圖象．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)設(shè)函數(shù)φ(x)＝g(x)－eq\r(3)f(x)，求函數(shù)φ(x)的單調(diào)增區(qū)間．解(1)由題意得f(x)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)·sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋\f(2π,3)))，即f(x)＝－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2).又f(x)＝acos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋b＝eq\f(a,2)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＋eq\f(a,2)＋b＝－eq\f(a,2)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(a,2)＋b，則－eq\f(a,2)＝－eq\f(1,2)，eq\f(a,2)＋b＝eq\f(1,2)，∴a＝1，b＝0.(2)φ(x)＝g(x)－eq\r(3)f(x)＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))－eq\f(\r(3),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2).由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)?kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)．∴φ(x)的單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)．12．[2015·臨沂一模]已知函數(shù)f(x)＝2cos2ωx－1＋2eq\r(3)cosωxsinωx(0<ω<1)，直線x＝eq\f(π,3)是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸．(1)試求ω的值；(2)已知函數(shù)y＝g(x)的圖象是由y＝f(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，然后再向左平移eq\f(2π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，若geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝eq\f(6,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求sinα的值．解f(x)＝2cos2ωx－1＋2eq\r(3)cosωxsinωx＝cos2ωx＋eq\r(3)sin2ωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6))).(1)由于直線x＝eq\f(π,3)是函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))圖象的一條對(duì)稱軸，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)ω＋\f(π,6)))＝±1.∴eq\f(2π,3)ω＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴ω＝eq\f(3,2)k＋eq\f(1,2)(k∈Z)．又0<ω<1，∴－eq\f(1,3)<k<eq\f(1,3).又∵k∈Z，從而k＝0，∴ω＝eq\f(1,2).(2)由(1)知f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，由題意可得g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2π,3)))＋\f(π,6)))，即g(x)＝2coseq\f(1,2)x.∵geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(6,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5).又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴eq\f(π,6)<α＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，∴sinα＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\f(π,6)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(4\r(3)－3,10).[B組·能力提升練]1．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．若方程f(x)＝m在區(qū)間[0，π]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，則x1＋x2的值為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2,3)πC.eq\f(4,3)πD.eq\f(π,3)或eq\f(4,3)π答案D解析要使方程f(x)＝m在區(qū)間[0，π]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，只需函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝m的圖象在區(qū)間[0，π]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象知，兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)或關(guān)于x＝eq\f(2π,3)對(duì)稱，因此x1＋x2＝2×eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)或x1＋x2＝2×eq\f(2π,3)＝eq\f(4π,3).2．[2016·山西四校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx(ω>0)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為eq\f(π,2)的等差數(shù)列，把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象．關(guān)于函數(shù)g(x)，下列說法正確的是()A．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是增函數(shù)B．其圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(π,4)對(duì)稱C．函數(shù)g(x)是奇函數(shù)D．當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))時(shí)，函數(shù)g(x)的值域是[－2,1]答案D解析f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))，由題設(shè)知eq\f(T,2)＝eq\f(π,2)，∴T＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝2，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位，得到g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝2cos2x的圖象，g(x)是偶函數(shù)且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是減函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(π,4)不對(duì)稱，所以A，B，C錯(cuò)誤．當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))時(shí)，2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，則g(x)min＝2cosπ＝－2，g(x)max＝2coseq\f(π,3)＝1，即函數(shù)g(x)的值域是[－2,1]，故選D.3．[2014·北京高考]設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有單調(diào)性，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，則f(x)的最小正周期為________．答案π解析∵f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有單調(diào)性，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))，∴x＝eq\f(π,2)和x＝eq\f(2π,3)均不是f(x)的極值點(diǎn)，其極值應(yīng)該在x＝eq\f(\f(π,2)＋\f(2π,3),2)＝eq\f(7π,12)處取得，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，∴x＝eq\f(π,6)也不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，又f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有單調(diào)性，∴x＝eq\f(π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－\f(π,2)))＝eq\f(π,12)為f(x)的另一個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，故函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－\f(π,12)))＝π.4．已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx，2eq\r(3)cosωx)，設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝π對(duì)稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))，求函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c