2024屆福建省竺數(shù)教研高三下學期質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3福建省竺數(shù)教研2024屆高三下學期質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題一、選擇題1.某批農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量（單位：千克）服從正態(tài)分布，且其中質(zhì)量大于0.7的數(shù)量等于質(zhì)量小于0.4的數(shù)量，則下列四部分中（）A.質(zhì)量小于0.4的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量最多 B.質(zhì)量大于1.09的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量最多C.質(zhì)量大于0.7的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量最多 D.質(zhì)量小于0.55的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量最多〖答案〗D〖解析〗因為這批農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量服從正態(tài)分布，且其中質(zhì)量大于0.7的數(shù)量等于質(zhì)量小于0.4的數(shù)量，所以由正態(tài)分布的對稱性可知，觀察各選項，由正態(tài)分布的對稱性知，質(zhì)量小于0.55的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量對應的概率為，其它選項對應的概率都小于，所以質(zhì)量小于0.55的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量最多，故D正確.故選：D.2.復數(shù)滿足，復數(shù)，若在復平面上對應的點在第四象限，則（）A.在復平面上對應的點在實軸正半軸上B.在復平面上對應的點在實軸負半軸上C.在復平面上對應的點在第一象限內(nèi)D.在復平面上對應的點在第二象限內(nèi)〖答案〗C〖解析〗設(shè)，由復數(shù)滿足知，故，則，由在復平面上對應的點在第四象限知，，所以在復平面上對應的點在第一象限內(nèi).故選：C.3.已知等差數(shù)列的前n項和為，若則的取值范圍為（）A.[15，20） B.[15，18）C.[12，20） D.[12，18）〖答案〗A〖解析〗且，，故.故選：A4.設(shè)雙曲線C其中一支的焦點為F，另一支的頂點為A，其兩漸近線分別為.若點B在m上，且，則m與n的夾角的正切值為（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗記兩漸近線的交點為O，設(shè)，雙曲線實軸長，焦距，由雙曲線的定義得：，其漸近線方程為：，由知，，所以，因為，知為的平分線，記n交于點H，因為漸近線的性質(zhì)，有，綜上，，則m與n的夾角的正切值為.故選:B.5.若函數(shù)在上有零點，則整數(shù)A的值是（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗由于函數(shù)在上有零點，所以方程在上有實數(shù)根，即與在上有交點，令，則，當，單調(diào)遞減，故在區(qū)間上最多只有1個零點，又，即，解得，由于A是整數(shù)，所以.故選：C.6.已知，現(xiàn)有均由4個數(shù)組成的甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差均為m，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差均為n，若將這兩組數(shù)據(jù)混合，則混合后新數(shù)據(jù)的方差（）A.一定大于n B.可能等于nC.一定大于m且小于n D.可能等于m〖答案〗B〖解析〗設(shè)甲組數(shù)據(jù)為，乙組數(shù)據(jù)為，合并后的數(shù)據(jù)為方差，解得，同理，解得，則，對于AC：若混合后的方差大于n，，即，由知，，但的正負不確定，故AC錯誤；對于B：若混合后的方差等于n，則，即，由知，當且僅當時，混合后的方差等于n，符合題意，故B正確；對于D：若混合后的方差等于m，則，即由知，當且僅當時，混合后的方差等于m，不符合題意；故選：B7.一個底面半徑為2的圓錐的軸截面為正三角形，現(xiàn)用平行于底面的平面將該圓錐截成兩個部分，若這兩部分的表面積相等，則該平面在圓錐上的截面面積（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題知，平面截圓錐后上半部分為一小圓錐，下半部分為一圓臺，且圓臺的上底面即小圓錐的底面，即該平面在原圓錐上的截面；圓臺的下底面即原圓錐的底面.不妨設(shè)圓臺上底面半徑為，圓臺下底面半徑為，小圓錐母線長為，原圓錐母線長為，由軸截面為正三角形知，，則小圓錐底面積為，底面周長為，側(cè)面積為，易知圓臺側(cè)面積可看作原圓錐側(cè)面積減去小圓錐側(cè)面積則圓臺側(cè)面積為，下底面積為由于兩部分表面積相等，則，因為，則，所以截面面積為.故選:A.8.已知數(shù)列，，c是非零常數(shù)，若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則下列說法中錯誤的是（）A.可能為公差不為0的等差數(shù)列B.可能為公比不為1的等比數(shù)列C.可能為公差不為0的等差數(shù)列D.可能為公比不為1的等比數(shù)列〖答案〗B〖解析〗對于A選項：當時，為等差數(shù)列，若為公比為1的等比數(shù)列，則此時為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，故A選項正確；對于B選項：不妨設(shè)，，則，，當能成立時，不是等比數(shù)列；當不能成立時，，則，因為，若要使比值是常數(shù)，則，此時，不合題意；所以不可能公比不為1等比數(shù)列，故B選項錯誤；對于C選項：當，時，同樣符合要求，此時，由選項A的分析知，可能為公差不為0的等差數(shù)列，即可能為公差不為0的等差數(shù)列，故C正確；對于D選項：當，時，滿足為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，此時，為公比不為1的等比數(shù)列，D選項正確.故選：B.二、選擇題9.已知正整數(shù)x，n，其中x的因數(shù)不包含3，若的展開式中有且只有6項能被9整除，則n的取值可以是（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗AB〖解析〗易知的展開式的第項為，即當時必能被9整除，即至少有項可被9整除，故轉(zhuǎn)為研究當時是否滿足題意，當時，該項為，由于x的因數(shù)不含3，故無法被9整除；當時，該項為，若n為3的倍數(shù)，則該項可被9整除；若時該項可被9整除，則共有n項可被9整除，此時，為3的倍數(shù)，成立，若時該項不可被9整除，則共有項可被9整除，此時，符合題意.綜上，n可以為6或7.故選：AB10.已知正方體，分別是邊上（含端點）的點，則（）A.當時，直線相對于正方體的位置唯一確定B.當時，直線相對于正方體的位置唯一確定C.當平面時，直線相對于正方體的位置唯一確定D.當平面平面時，直線相對于正方體的位置唯一確定〖答案〗AD〖解析〗對于A選項，當且僅當點與點重合，且點與點重合時條件成立，故A選項正確；對于B選項，如圖1，設(shè)在平面上的投影為，，記的中點為，則對于任何滿足且不重合時，為平行四邊形，即有，故B選項錯誤；對于C選項，如圖1，設(shè)在直線上的投影為，對于任何滿足的情況，有，所以為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，故直線的位置無法唯一確定，故C選項錯誤；對于D選項，如圖2，當且僅當為的中點，取中點，連接，因為，即點為線段上靠近點的三等分點，因為，面，面，所以面，連接，，連接，易知，面，面，所以面，又，面，所以平面平面，故D選項正確.故選：AD.11.小竹以某速度沿正北方向勻速行進.某時刻時，其北偏西方向上有一距其6米的灑水樁恰好面朝正東方向.已知灑水樁會向面朝方向噴灑長為米，可視為筆直線段的水柱，且其沿東—北—西—南—東的方向每3秒勻速旋轉(zhuǎn)一周循環(huán)轉(zhuǎn)動.若小竹不希望被水柱淋濕且不改變行進方向和速度，則他行進的速度可以是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗依題意，繪出示意圖如圖所示易知，當且僅當在噴灑范圍與行進路線重疊的危險區(qū)域內(nèi)，小竹可能被淋濕.由于灑水樁最初面朝正東方向，不妨以灑水樁為起點向面朝方向作射線，即可將問題轉(zhuǎn)化為小竹（用點代替）與該射線在行進路線上的交點不重合的問題.設(shè)時間為t秒以灑水樁為原點，正東方向、正北方向分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系.AI則小竹行進路線的方程為，由每3秒旋轉(zhuǎn)一周循環(huán)轉(zhuǎn)動知t秒旋轉(zhuǎn)，因為，結(jié)合題意可知，因為水柱所在射線與行進路線的交點縱坐標為，又因為小竹（用點代替）的縱坐標為，故可將原問題轉(zhuǎn)化為圖像，，與圖像的交點問題，即求當v為何值時兩圖像無交點，由圖可得：.結(jié)合選項可知：AC錯誤；BD正確.故選：BD.三、填空題12.在△ABC中，，若，則A的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗因為，，所以，所以.若，由，可得，由正弦函數(shù)在的單調(diào)性可得，，則，原題設(shè)不成立；若，同理可得，由，解得．故〖答案〗為：．13.設(shè)均為單位向量，且可按一定順序成等比數(shù)列，寫出一個符合條件的的值_________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由均為單位向量，設(shè)的夾角為，則，則，，，，當成等比數(shù)列時，有，解得或（舍），則由二倍角公式得，，同理，當成等比數(shù)列時，解得，當成等比數(shù)列時，有，此時，.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14.已知拋物線，過B直線交W于M，N兩點，若四邊形AMCN為等腰梯形，則它的面積為_________．〖答案〗〖解析〗易知M，N的位置交替不影響結(jié)論，不妨令圖像如圖所示以方便研究，解法一：由等腰梯形的性質(zhì)得：，相似比為，所以，設(shè)直線MN為，與拋物線方程聯(lián)立，得，所以，，解得，代入得，又因為，由勾股定理可確定，可得，所以AMCN為等腰梯形的面積為；解法二：（二級結(jié)論）由題可知，點A、B關(guān)于拋物線頂點對稱，且弦MN經(jīng)過點B，則，（二級結(jié)論）又因為AMCN為等腰梯形，所以，則，故，即點M的橫坐標為1，又因為，所以，且，所以AMCN為等腰梯形的面積為；故〖答案〗為：.四、解答題15.已知函數(shù)在處的切線在軸上的截距為．（1）求值；（2）若有且僅有兩個零點，求的取值范圍．解：（1），，，則函數(shù)在處的切線為：，即，令，則有，即；（2）由，即，若有且僅有兩個零點，則方程有兩個根，即方程有兩個根，令，則，則當時，，則當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，又時，，時，，故當時，方程有兩個根，即有且僅有兩個零點.16.袋子中混有除顏色外均相同的2個白球和2個紅球，每次從中不放回的隨機取出1個球，當袋中的紅球全部取出時停止取球.甲表示事件“第二次取出的球是紅球”，乙表示事件“停止取球時袋中剩余1個白球”.（1）求甲發(fā)生的概率；（2）證明：甲與乙相互獨立.（1）解：記事件丙為“第一次取出的球是紅球”，則，，，，所以，則；（2）證明：由題意知，乙等價于“停止取球時共取出了1個白球和2個紅球”，且第三次取出的球一定為紅球，故此時取出順序只有“紅、白、紅”與“白、紅、紅”兩種可能，則，其中，甲乙同時發(fā)生等價于“白、紅、紅”的情況，故，于是，所以甲與乙相互獨立.17.如圖，在三棱錐中，，已知二面角的大小為，.（1）求點P到平面的距離；（2）當三棱錐的體積取得最大值時，求：（Ⅰ）二面角的余弦值；（Ⅱ）直線與平面所成角.解：（1）由已知，得，，過P作的垂線交其于點D，過P作平面的垂線交其于點O，因為平面，平面，所以，因為，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，所以為二面角的平面角，，故；（2）（Ⅰ）三棱錐的體積為，令，則三棱錐的體積，所以，當，，當，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，三棱錐體積最大，此時；所以二面角的余弦值為；（Ⅱ）求得此時體積為，可知此時，，由平面幾何知識知，，記點C到平面的距離為h，由等體積法可知，求得，記直線與平面所成角為，則，即，所以直線與平面所成的角為.18.已知數(shù)列的前n項和為，，數(shù)列滿足，且均為正整數(shù).（1）是否存在數(shù)列，使得是等差數(shù)列？若存在，求此時的；若不存在，說明理由；（2）若，求的通項公式.解：（1）由題意易知，，當時，，由均為正整數(shù)知，為正整數(shù)，則當且僅當即時，，為整數(shù)，若存在數(shù)列，使得是等差數(shù)列，則，故，此時為整數(shù)，符合題意，所以，當時，有，兩式相減得，整理得，故，當n=2時，，故，經(jīng)檢驗，當時，，充分性成立，故存在數(shù)列，使得是等差數(shù)列.此時；（2）法一、因為，當時，有，兩式相減，整理得：，由遞增數(shù)列的題意與整數(shù)的性質(zhì)知，，故，因為，所以，則，因為為正整數(shù)，所以.法二、假設(shè)存在一個正整數(shù)，使得則，，則，不符合遞增數(shù)列的題意,故假設(shè)錯誤，不存在這樣的正整數(shù)，使得，所以.19.一個面積為9的正方形的四個頂點均在以坐標原點為中心，以為右頂點的橢圓Z上.（1）求Z的方程；（2）記該正方形在第一象限的頂點為P，斜率為的直線l與Z交于A，B兩點.記△PAB的外接圓為S.（Ⅰ）求S的半徑的取值范圍；（Ⅱ）將Z與S的所有交點順次連接，求所得圖形的最大面積.解：（1）因為Z以為右頂點，由橢圓的定義，設(shè)，則，由對稱性得，內(nèi)接正方形在第一象限的頂點為，代入橢圓方程，解得，所以的方程為，（2）解法一：（Ⅰ）由（1）得，設(shè)直線，，圓心，聯(lián)立直線l與橢圓Z的方程，得所以，由，解得有即，展開得，，故x1，x2是方程的兩個解，所以故兩式聯(lián)立得若，則，故直線過，這與題設(shè)矛盾，所以，則，，故圓心的軌跡為，由，，所以，即解法二：（Ⅰ）由（1）得，設(shè)直線，聯(lián)立直線l與橢圓Z的方程，得所以，由，解得由正弦定理得：由弦長公式得，，代入得，有，，所以，故·解法三：（Ⅰ）由（1）得，當直線l過原點時，圓心與原點重合，此時當直線PA，直線PB的斜率均存在且不為0時，設(shè)，，，，聯(lián)立直線與橢圓Z的方程，得··所以，即，聯(lián)立直線與橢圓Z的方程，得，，即，由，即，解得，即PA的中點為則PA的中垂線，即PB的的中點為，有PB的中垂線，聯(lián)立l1，l2有，化簡得代入得，，當且僅當，即，取等號，當此時，與假設(shè)矛盾，故，同理，令，而，所以，綜上，·（Ⅱ）由（Ⅰ）知，S的圓心位于直線上，故點P與點關(guān)于該直線對稱，點Q恒為ZS的交點，當直線l經(jīng)過Q時，圖形為三角形且顯然不為最大值，當直線l不經(jīng)過P或Q時，圖形為對角線垂直的四邊形，其面積為由（Ⅰ）知，，當且僅當l經(jīng)過原點時取等故當該四邊形恰好為正方形時，其面積最大值為9.福建省竺數(shù)教研2024屆高三下學期質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題一、選擇題1.某批農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量（單位：千克）服從正態(tài)分布，且其中質(zhì)量大于0.7的數(shù)量等于質(zhì)量小于0.4的數(shù)量，則下列四部分中（）A.質(zhì)量小于0.4的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量最多 B.質(zhì)量大于1.09的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量最多C.質(zhì)量大于0.7的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量最多 D.質(zhì)量小于0.55的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量最多〖答案〗D〖解析〗因為這批農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量服從正態(tài)分布，且其中質(zhì)量大于0.7的數(shù)量等于質(zhì)量小于0.4的數(shù)量，所以由正態(tài)分布的對稱性可知，觀察各選項，由正態(tài)分布的對稱性知，質(zhì)量小于0.55的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量對應的概率為，其它選項對應的概率都小于，所以質(zhì)量小于0.55的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量最多，故D正確.故選：D.2.復數(shù)滿足，復數(shù)，若在復平面上對應的點在第四象限，則（）A.在復平面上對應的點在實軸正半軸上B.在復平面上對應的點在實軸負半軸上C.在復平面上對應的點在第一象限內(nèi)D.在復平面上對應的點在第二象限內(nèi)〖答案〗C〖解析〗設(shè)，由復數(shù)滿足知，故，則，由在復平面上對應的點在第四象限知，，所以在復平面上對應的點在第一象限內(nèi).故選：C.3.已知等差數(shù)列的前n項和為，若則的取值范圍為（）A.[15，20） B.[15，18）C.[12，20） D.[12，18）〖答案〗A〖解析〗且，，故.故選：A4.設(shè)雙曲線C其中一支的焦點為F，另一支的頂點為A，其兩漸近線分別為.若點B在m上，且，則m與n的夾角的正切值為（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗記兩漸近線的交點為O，設(shè)，雙曲線實軸長，焦距，由雙曲線的定義得：，其漸近線方程為：，由知，，所以，因為，知為的平分線，記n交于點H，因為漸近線的性質(zhì)，有，綜上，，則m與n的夾角的正切值為.故選:B.5.若函數(shù)在上有零點，則整數(shù)A的值是（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗由于函數(shù)在上有零點，所以方程在上有實數(shù)根，即與在上有交點，令，則，當，單調(diào)遞減，故在區(qū)間上最多只有1個零點，又，即，解得，由于A是整數(shù)，所以.故選：C.6.已知，現(xiàn)有均由4個數(shù)組成的甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差均為m，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差均為n，若將這兩組數(shù)據(jù)混合，則混合后新數(shù)據(jù)的方差（）A.一定大于n B.可能等于nC.一定大于m且小于n D.可能等于m〖答案〗B〖解析〗設(shè)甲組數(shù)據(jù)為，乙組數(shù)據(jù)為，合并后的數(shù)據(jù)為方差，解得，同理，解得，則，對于AC：若混合后的方差大于n，，即，由知，，但的正負不確定，故AC錯誤；對于B：若混合后的方差等于n，則，即，由知，當且僅當時，混合后的方差等于n，符合題意，故B正確；對于D：若混合后的方差等于m，則，即由知，當且僅當時，混合后的方差等于m，不符合題意；故選：B7.一個底面半徑為2的圓錐的軸截面為正三角形，現(xiàn)用平行于底面的平面將該圓錐截成兩個部分，若這兩部分的表面積相等，則該平面在圓錐上的截面面積（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題知，平面截圓錐后上半部分為一小圓錐，下半部分為一圓臺，且圓臺的上底面即小圓錐的底面，即該平面在原圓錐上的截面；圓臺的下底面即原圓錐的底面.不妨設(shè)圓臺上底面半徑為，圓臺下底面半徑為，小圓錐母線長為，原圓錐母線長為，由軸截面為正三角形知，，則小圓錐底面積為，底面周長為，側(cè)面積為，易知圓臺側(cè)面積可看作原圓錐側(cè)面積減去小圓錐側(cè)面積則圓臺側(cè)面積為，下底面積為由于兩部分表面積相等，則，因為，則，所以截面面積為.故選:A.8.已知數(shù)列，，c是非零常數(shù)，若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則下列說法中錯誤的是（）A.可能為公差不為0的等差數(shù)列B.可能為公比不為1的等比數(shù)列C.可能為公差不為0的等差數(shù)列D.可能為公比不為1的等比數(shù)列〖答案〗B〖解析〗對于A選項：當時，為等差數(shù)列，若為公比為1的等比數(shù)列，則此時為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，故A選項正確；對于B選項：不妨設(shè)，，則，，當能成立時，不是等比數(shù)列；當不能成立時，，則，因為，若要使比值是常數(shù)，則，此時，不合題意；所以不可能公比不為1等比數(shù)列，故B選項錯誤；對于C選項：當，時，同樣符合要求，此時，由選項A的分析知，可能為公差不為0的等差數(shù)列，即可能為公差不為0的等差數(shù)列，故C正確；對于D選項：當，時，滿足為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，此時，為公比不為1的等比數(shù)列，D選項正確.故選：B.二、選擇題9.已知正整數(shù)x，n，其中x的因數(shù)不包含3，若的展開式中有且只有6項能被9整除，則n的取值可以是（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗AB〖解析〗易知的展開式的第項為，即當時必能被9整除，即至少有項可被9整除，故轉(zhuǎn)為研究當時是否滿足題意，當時，該項為，由于x的因數(shù)不含3，故無法被9整除；當時，該項為，若n為3的倍數(shù)，則該項可被9整除；若時該項可被9整除，則共有n項可被9整除，此時，為3的倍數(shù)，成立，若時該項不可被9整除，則共有項可被9整除，此時，符合題意.綜上，n可以為6或7.故選：AB10.已知正方體，分別是邊上（含端點）的點，則（）A.當時，直線相對于正方體的位置唯一確定B.當時，直線相對于正方體的位置唯一確定C.當平面時，直線相對于正方體的位置唯一確定D.當平面平面時，直線相對于正方體的位置唯一確定〖答案〗AD〖解析〗對于A選項，當且僅當點與點重合，且點與點重合時條件成立，故A選項正確；對于B選項，如圖1，設(shè)在平面上的投影為，，記的中點為，則對于任何滿足且不重合時，為平行四邊形，即有，故B選項錯誤；對于C選項，如圖1，設(shè)在直線上的投影為，對于任何滿足的情況，有，所以為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，故直線的位置無法唯一確定，故C選項錯誤；對于D選項，如圖2，當且僅當為的中點，取中點，連接，因為，即點為線段上靠近點的三等分點，因為，面，面，所以面，連接，，連接，易知，面，面，所以面，又，面，所以平面平面，故D選項正確.故選：AD.11.小竹以某速度沿正北方向勻速行進.某時刻時，其北偏西方向上有一距其6米的灑水樁恰好面朝正東方向.已知灑水樁會向面朝方向噴灑長為米，可視為筆直線段的水柱，且其沿東—北—西—南—東的方向每3秒勻速旋轉(zhuǎn)一周循環(huán)轉(zhuǎn)動.若小竹不希望被水柱淋濕且不改變行進方向和速度，則他行進的速度可以是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗依題意，繪出示意圖如圖所示易知，當且僅當在噴灑范圍與行進路線重疊的危險區(qū)域內(nèi)，小竹可能被淋濕.由于灑水樁最初面朝正東方向，不妨以灑水樁為起點向面朝方向作射線，即可將問題轉(zhuǎn)化為小竹（用點代替）與該射線在行進路線上的交點不重合的問題.設(shè)時間為t秒以灑水樁為原點，正東方向、正北方向分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系.AI則小竹行進路線的方程為，由每3秒旋轉(zhuǎn)一周循環(huán)轉(zhuǎn)動知t秒旋轉(zhuǎn)，因為，結(jié)合題意可知，因為水柱所在射線與行進路線的交點縱坐標為，又因為小竹（用點代替）的縱坐標為，故可將原問題轉(zhuǎn)化為圖像，，與圖像的交點問題，即求當v為何值時兩圖像無交點，由圖可得：.結(jié)合選項可知：AC錯誤；BD正確.故選：BD.三、填空題12.在△ABC中，，若，則A的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗因為，，所以，所以.若，由，可得，由正弦函數(shù)在的單調(diào)性可得，，則，原題設(shè)不成立；若，同理可得，由，解得．故〖答案〗為：．13.設(shè)均為單位向量，且可按一定順序成等比數(shù)列，寫出一個符合條件的的值_________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由均為單位向量，設(shè)的夾角為，則，則，，，，當成等比數(shù)列時，有，解得或（舍），則由二倍角公式得，，同理，當成等比數(shù)列時，解得，當成等比數(shù)列時，有，此時，.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14.已知拋物線，過B直線交W于M，N兩點，若四邊形AMCN為等腰梯形，則它的面積為_________．〖答案〗〖解析〗易知M，N的位置交替不影響結(jié)論，不妨令圖像如圖所示以方便研究，解法一：由等腰梯形的性質(zhì)得：，相似比為，所以，設(shè)直線MN為，與拋物線方程聯(lián)立，得，所以，，解得，代入得，又因為，由勾股定理可確定，可得，所以AMCN為等腰梯形的面積為；解法二：（二級結(jié)論）由題可知，點A、B關(guān)于拋物線頂點對稱，且弦MN經(jīng)過點B，則，（二級結(jié)論）又因為AMCN為等腰梯形，所以，則，故，即點M的橫坐標為1，又因為，所以，且，所以AMCN為等腰梯形的面積為；故〖答案〗為：.四、解答題15.已知函數(shù)在處的切線在軸上的截距為．（1）求值；（2）若有且僅有兩個零點，求的取值范圍．解：（1），，，則函數(shù)在處的切線為：，即，令，則有，即；（2）由，即，若有且僅有兩個零點，則方程有兩個根，即方程有兩個根，令，則，則當時，，則當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，又時，，時，，故當時，方程有兩個根，即有且僅有兩個零點.16.袋子中混有除顏色外均相同的2個白球和2個紅球，每次從中不放回的隨機取出1個球，當袋中的紅球全部取出時停止取球.甲表示事件“第二次取出的球是紅球”，乙表示事件“停止取球時袋中剩余1個白球”.（1）求甲發(fā)生的概率；（2）證明：甲與乙相互獨立.（1）解：記事件丙為“第一次取出的球是紅球”，則，，，，所以，則；（2）證明：由題意知，乙等價于“停止取球時共取出了1個白球和2個紅球”，且第三次取出的球一定為紅球，故此時取出順序只有“紅、白、紅”與“白、紅、紅”兩種可能，則，其中，甲乙同時發(fā)生等價于“白、紅、紅”的情況，故，于是，所以甲與乙相互獨立.17.如圖，在三棱錐中，，已知二面角的大小為，.（1）求點P到平面的距離；（2）當三棱錐的體積取得最大值時，求：（Ⅰ）二面角的余弦值；（Ⅱ）直線與平面所成角.解：（1）由已知，得，，過P作的垂線交其于點D，過P作平面的垂線交其于點O，因為平面，平面，所以，因為，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，所以為二面角的平面角，，故；（2）（Ⅰ）三棱錐的體積為，令，則三棱錐的體積，所以，當，，當，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，三棱錐體積最大，此時；所以二面角的余弦值為；（Ⅱ）求得此時體積為，可知此時，，由平面幾何知識知，，記點C到平面的距離為h，由等體積法可知，求得，記直線與平面所成角為，則，即，所以直線與平面所成的角為.18.已知數(shù)列的前n項和為，，數(shù)列滿足，且均為正整數(shù)