2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)押題卷（二）（難度：較難）含詳解

高考數(shù)學(xué)押題卷（二）（難度：較難）

題號(hào)一二三四總分

得分

用時(shí)：120分鐘滿分：150分

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4={尤卜11（%+1）<1},3=卜卜=6*,%6111,則AB=（）

A.B.（O,e—1）

C.（l,e）D.（-1,0）

2.若復(fù)數(shù)z滿足（2+i）z=|應(yīng)-&i|（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)z的共鈍復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知函數(shù)〃x）=cos2m+/sins,o>0,xeR,若/⑺的圖象關(guān)于直線x=］對(duì)稱，則。的可能取值為（）

.1?10r16

A.—B.—C.—D.—

3333

4.雙曲線C：，■-/=1（〃>0,6>0）的離心率為手，直線XR+1=。與C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B,若點(diǎn)

M（LO）滿足=貝ijw=（）

A.±2或0B.-2C.±3或0D.3

5.哥特式建筑是1140年左右產(chǎn)生于法國(guó)的歐洲建筑風(fēng)格，它的特點(diǎn)是尖塔高聳、尖形拱門、大窗戶及繪有故事的

花窗玻璃，如圖所示的幾何圖形，在哥特式建筑的尖形拱門與大窗戶中較為常見，它是由線段A3和兩個(gè)圓弧AC、

BC圍成，其中一個(gè)圓弧的圓心為A,另一個(gè)圓弧的圓心為5,圓。與線段AB及兩個(gè)圓弧均相切，若AB=2,則

OAOB=（）

A

AB

D

A-W4

BD.

--17

6.甲烷分子式為CH「其結(jié)構(gòu)抽象成的立體幾何模型如圖所示，碳原子位于四個(gè)氫原子的正中間位置，四個(gè)碳?xì)?/p>

鍵長(zhǎng)度相等，且任意兩個(gè)氫原子等距排列，用C表示碳原子的位置，用乜,“2,4,4表示四個(gè)氫原子的位置，設(shè)

a={H[,CH),則cos2c=()

溪

1￡

D.

3

7.現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會(huì)跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項(xiàng)比賽，每項(xiàng)比賽至

少一位同學(xué)參加，事件A="甲參加跳高比賽”，事件5="乙參加跳高比賽”，事件C="乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，貝IJ（）

A.事件A與8相互獨(dú)立B.事件A與。為互斥事件

C.P（C|A）=AD.P（B|A）=1

8.設(shè)函數(shù)〃尤）的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為（（無），若尸C）]（2x）+〃2-2x）=3,則下列結(jié)論不一定正

確的是（）

A./（l-x）+/（l+x）=3B.f'[2-x）=f'[2+x）

c.r（/（i-x））=r（/（1+x））D./（r（^+2））=/（rw）

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分

9.已知相，，表示空間內(nèi)兩條不同的直線，則使加〃〃成立的必要不充分條件是（）

A.存在平面有機(jī)〃B.存在平面a,有機(jī)_Lc,〃_La

C.存在直線/,有機(jī)D.存在直線/,有機(jī)〃

10.定義在R上的函數(shù)小）=25川5+5（。€升）滿足在區(qū)間!4，3內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極值點(diǎn)，則下列說

法不正聊的是（）

A.〃x）的最小正周期為三

B.將f（x）的圖象向右平移巳個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.7（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為1,0）

D.在區(qū)間［哈上單調(diào)遞增

11.我國(guó)為了鼓勵(lì)新能源汽車的發(fā)展，推行了許多購車優(yōu)惠政策，包括：國(guó)家財(cái)政補(bǔ)貼、地方財(cái)政補(bǔ)貼、免征車輛購

置稅、充電設(shè)施獎(jiǎng)補(bǔ)、車船稅減免、放寬汽車消費(fèi)信貸等.記事件M表示“政府推出購買電動(dòng)汽車優(yōu)惠補(bǔ)貼政策”；事件

N表示“電動(dòng)汽車銷量增加”，P（M）＞0,P（N）＞0.一般來說，推出購車優(yōu)惠補(bǔ)貼政策的情況下，電動(dòng)汽車銷量增

加的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠補(bǔ)貼政策時(shí)增加的概率要大.基于以上情況，下列不等式正確的是（）

A.尸尸（N砌B.P（7Vl

C.P（NM）＞P（N）?P（M）D.P（MN）＞P（MW）.

12.已知點(diǎn)尸（l,a）（a＞l）在拋物線C：/=2?他＞0）上，過尸作圓（x—l）2+y2=i的兩條切線，分別交C于A,B

兩點(diǎn)，且直線AB的斜率為-1,若尸為C的焦點(diǎn)，”（x,y）為C上的動(dòng)點(diǎn)，N是C的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則（）

A.p=lB.p=2

C.渭的最大值是0D.器的最大值嘿

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.

13.若問=忖，,+可=8,卜-6卜6,則a在匕上投影向量的模為.

14.定義:對(duì)于數(shù)列｛%｝,如果存在常數(shù)P,使得對(duì)于任意〃eN*,都有p）&-p）＜0,成立，則稱數(shù)列｛見｝

為擺動(dòng)數(shù)列”，P稱為數(shù)列｛%｝的擺動(dòng)值.若+/（q＞0）,且數(shù)列｛%｝的擺動(dòng)值為0,則4的取值范圍

為.

15.如圖，在棱長(zhǎng)為0的正方體ABCD-AB'C'D'中，點(diǎn)、E、F、G分別是棱A?、BC\C￡＞的中點(diǎn)，則由點(diǎn)E、

F、G確定的平面截正方體所得的截面多邊形的面積等于.

DGC

22

16.已知橢圓C：會(huì)+%=l(a>6>0)的焦距為2c,左焦點(diǎn)為尸,直線/與C相交于A,2兩點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段AB

13

的中點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為若直線/與直線PE的斜率之積等于-77,則C的離心率為_____.

316

四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在公差不為零的等差數(shù)列也｝中，％=1,且弓,生，%3成等比數(shù)列，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S“滿足S“=26”-2.

⑴求數(shù)列｛%｝和｛2｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)c“=b「',數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和兀若不等式北+〃2-〃>1。82(1-。)對(duì)任意〃€川恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范

圍.

18.在三棱臺(tái)A8C-48?中，44j_L平面ABC,ZBAC=90,AB=AC=2AA,=2\B[=4.

B

(1)證明：平面ABG，平面CBG;

(2)記耳C的中點(diǎn)為M,過M的直線分別與直線AB,AC交于P,Q,求直線PQ與平面ABg所成角的正弦值.

19.已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且回=(?(6??4+5畝4).

⑴求C；

(2)若ABLAC,AC=3,角C的平分線交43于點(diǎn)。，點(diǎn)E滿足。E=CD，求sin/AEB.

20.已知函數(shù)/(X)=---+?lnx(tzeR).

⑴討論“X)的單調(diào)性；

(2)求“尤)在［L2］上的最小值g⑷.

21.某企業(yè)為提高競(jìng)爭(zhēng)力，成功研發(fā)了三種新品4B、C,其中A、B、C能通過行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)的概率分別4為6出9,木,

且A、B、C是否通過行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)相互獨(dú)立.

⑴設(shè)新品A、B、C通過行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)的品種數(shù)為X,求X的分布列；

(2)已知新品A中的一件產(chǎn)品經(jīng)檢測(cè)認(rèn)定為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為0.025,現(xiàn)從足量的新品A中任意抽取一件進(jìn)行檢測(cè)，

若取到的不是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，則繼續(xù)抽取下一件，直至取到優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品為止，但抽取的總次數(shù)不超過”.如果抽取次數(shù)的

期望值不超過5,求〃的最大值.

參考數(shù)據(jù)：0.9754a0.904,0.9755?0.881,0.9756=0.859,0.9757=0.838,0.9758=0.817

22.在△尸片為中，已知點(diǎn)月卜6,0),6(6,0),尸片邊上的中線長(zhǎng)與P8邊上的中線長(zhǎng)之和為6；記△「月舄的重

心G的軌跡為曲線C.

⑴求C的方程；

(2)若圓。：x2+y2=l,E(0,-l),過坐標(biāo)原點(diǎn)。且與y軸不重合的任意直線/與圓。相交于點(diǎn)A,B,直線E4,EB

與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)M,N,求一面積的最大值.

高考數(shù)學(xué)押題卷（二）（難度：較難）

題號(hào)一二三四總分

得分

用時(shí)：120分鐘滿分：150分

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4=,阿N+1）<1},3={"=6*,%€1<},則AB=（）

A.B.(O,e-l)

C.(l,e)D.(-1,0)

【答案】B

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可化簡(jiǎn)集合A,B,后由集合交集定義可得答案.

（%+]<e

【詳解】因?yàn)閘n（x+l）<lnln（x+l）<lnenJ1則4={兀卜1vxve-l}=,

因?yàn)閤eR,y=ex>0,則B=（0,+oo）,

所以AB-(O,e-l).

故選：B.

2.若復(fù)數(shù)z滿足（2+i）z=|拒-0i|（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)z的共輾復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】先求出z=]4-12i,再求出-z=4w2+）i即得解.

【詳解】因?yàn)椋?+i）z=|&-亞i|,即（2+i）z=2,

WWz_2一2（2-i）_42

所以z-—T（2+i）（2T-丁。

所以三=g+gi,其所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為[$1],位于第一象限.

故選：A.

3.已知函數(shù)/（x）=cos2m+#sins-；,o>0,x￡R,若/⑺的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，則①的可能取值為（）

【答案】D

【分析】先化簡(jiǎn)，然后根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性求出對(duì)稱軸方程，結(jié)合已知即可求解.

■、斗即、"/、2①X杷.11+COS。％V3.1.(71、

［評(píng)用?！縅(x)=cos---1-----smcox——=---------1-----sin69x——=sincox+—,

2222226J

由a>x+—=—+kji,keZ,得了(九)的對(duì)稱軸為％eZ,

623Gg

若“X)的圖象關(guān)于直線X=：對(duì)稱，貝+包,AeZ,

443??

416

解得0=—卜4k,k,cZi,當(dāng)左=1時(shí)，co=—.

33

故選：D

4.雙曲線c的離心率為手，直線無一〃y+i=o與。的兩條漸近線分別交于點(diǎn)4B,若點(diǎn)

”(1,0)滿足=則〃=()

A.±2或0B.-2C.±3或0D.3

【答案】C

【分析】由雙曲線離心率及參數(shù)關(guān)系確定漸近線方程，聯(lián)立直線方程求A3坐標(biāo)，進(jìn)而求其中點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)

及斜率兩點(diǎn)式求參數(shù)，注意討論〃W0、"=0兩種情況.

【詳解】由離心率為岑=。|；,有

1

21

、片/

由<得：A的坐標(biāo)為-

2—n2—n

x-ny+1=0

11

y=二乂21

由，2得：B的坐標(biāo)為一

2+n2+n

x-ny+1=0

11111

設(shè)線段A3中點(diǎn)為P,則用PLAB,且尸的坐標(biāo)為-

2+n2-〃'2(2+〃2—n

x—=—1,解出〃=±3.

n

當(dāng)〃=0時(shí)，符合條件.

綜上所述，〃=±3或”=0.

故選：C

5.哥特式建筑是1140年左右產(chǎn)生于法國(guó)的歐洲建筑風(fēng)格，它的特點(diǎn)是尖塔高聳、尖形拱門、大窗戶及繪有故事的

花窗玻璃，如圖所示的幾何圖形，在哥特式建筑的尖形拱門與大窗戶中較為常見，它是由線段A3和兩個(gè)圓弧AC、

圍成，其中一個(gè)圓弧的圓心為A,另一個(gè)圓弧的圓心為5,圓。與線段45及兩個(gè)圓弧均相切，若AB=2,貝lj

OAOB=

2

7

【答案】A

【分析】構(gòu)造直角三角形，勾股定理求圓O的半徑，得至OA,余弦定理求cosNAa,利用向量數(shù)量積公式求。.

【詳解】若AB=2,則圓弧AC、3c的半徑為2,設(shè)圓。的半徑為小則。4=2-廠，過O作貝！!。。=人

AD=1,

35

RtZXODA中，OA2=OZ)2+AZ)2,即(2—廳=產(chǎn)+1,解得r二則有。4=

55

4

A03中，由余弦定理得c-”。\。加6

57

.?.OA-OB=|OA|-|OB|COSZAOB

16

故選：A.

6.甲烷分子式為CH4，其結(jié)構(gòu)抽象成的立體幾何模型如圖所示，碳原子位于四個(gè)氫原子的正中間位置，四個(gè)碳?xì)?/p>

鍵長(zhǎng)度相等，且任意兩個(gè)氫原子等距排列，用。表示碳原子的位置，用華，”2,&，/表示四個(gè)氫原子的位置，設(shè)

a=《H[,CH，,則cos2a=()

A.--B.--C.-D.-

3993

【答案】B

【分析】根據(jù)正四面體的性質(zhì)，以及正四面體的中心的位置關(guān)系，求碳原子和氫原子的距離，再結(jié)合余弦定理求cosa,

最后根據(jù)二倍角公式求cos2。

【詳解】由題意可知，氫原子構(gòu)成如圖所示的正四面體，碳原子是正四面體的中心，

如圖，連結(jié)"C并延長(zhǎng)交平面小區(qū)區(qū)于點(diǎn)。，，平面H/3H八

設(shè)兩個(gè)氫原子距離為2,則”，=1

設(shè)C%=R,中，(至3-R]+(93]=片,得R衛(wèi),

IJIJ2

66

—I-----44

441

則一區(qū)中,cosa=

cq2H[CxH4c2x"x逅3

22

HI

__2-i'

cos2a=2coscr-l=——.

9

故選：B

7.現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會(huì)跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項(xiàng)比賽，每項(xiàng)比賽至

少一位同學(xué)參加，事件A="甲參加跳高比賽”，事件3="乙參加跳高比賽”，事件C="乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，貝U()

A.事件A與2相互獨(dú)立B.事件A與C為互斥事件

C.P(C|A)=AD.l

【答案】c

【分析】根據(jù)條件求出尸0),尸(B),尸(鉆),尸(AC),由互斥事件的定義、相互獨(dú)立事件的判定和條件概率公式進(jìn)行逐

一判斷即可

【詳解】對(duì)于A,每項(xiàng)比賽至少一位同學(xué)參加，則有總產(chǎn)=36不同的安排方法,

A2

事件4="甲參加跳高比賽”，若跳高比賽安排2人，則有A；=6種方法;

若跳高比賽安排1人，則有C；C：A；=6種方法，所以安排甲參加跳高比賽的不同安排方法共有6+6=12種，則

1171

同理尸⑻二效.

3363

若安排甲、乙同時(shí)參加跳高比賽，則跳高比賽安排2人為甲和乙，跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽各安排1人，有A；=2種不同

的安排方法，所以P(A3)=弓2=51，

3618

因?yàn)槭?AB)#P(A)P(B),事件A與8不相互獨(dú)立故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,在一次試驗(yàn)中，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件，事件A與C可以同時(shí)發(fā)生，故事件A與C不是

互斥事件，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,在安排甲參加跳高比賽的同時(shí)安排乙參加跳遠(yuǎn)比賽的不同安排方法有C；+C；=5種，所以P(AC)=±,所

36

以p(q")=今煞=苧=11，故c正確；

r\r\.)，1,4

1

對(duì)于D,可8網(wǎng)=今答=畢=：,故D錯(cuò)誤.

3

故選：C

8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為((x),若尸(-x)=r(x),〃2x)+〃2-2x)=3,則下列結(jié)論不一定正

確的是()

A./(l-x)+/(l+x)=3B./(2-%)=/(2+%)

c.「("1-x))=〃〃l+x))D./(r(x+2))=/(r(x))

【答案】c

【分析】根據(jù)題意令X=2x可得〃x)+"2-x)=3,即函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，即可判斷A；根據(jù)抽象函數(shù)

的奇偶性和對(duì)稱性可得函數(shù)廣(x)的周期為2,即可判斷BD；由-(2-幻=((2+尤)知函數(shù)/(X)圖象關(guān)于直線x=2

對(duì)稱，舉例說明即可判斷C.

【詳解】A：f(2x)+/(2-2^)=3

令x=2x,得/(x)+/(2-x)=3,則函數(shù)/(x)圖象關(guān)于點(diǎn)。，［對(duì)稱.

若/?(1-彳)+/(1+尤)=3,則函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)］j對(duì)稱，符合題意，故A正確;

B：由選項(xiàng)A的分析知〃x)+〃2-x)=3,等式兩邊同時(shí)求導(dǎo),

得廣⑺-/(2-耳=。，即/(力=((2-力①，

又/'1)=/(—X),廣(X)為偶函數(shù),所以「(2-x)=T(x—2)②，

由①②得尸(x)=/'(x-2),所以函數(shù)尸(x)的周期為2.

所以尸(2—%)=/(%)=尸(2+x),即:(2-x)=/'(2+尤)，故B正確；

C：由選項(xiàng)B的分析知/'(2-x)=/'(2+x),則函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.

令"1-x)=]-△(x)"(1+尤)=]+△(尤)，若廣弓一△(》))=*+A(x)),

則函數(shù)/'(X)圖象關(guān)于直線尤=；對(duì)稱，不符合題意，故C錯(cuò)誤；

D：由選項(xiàng)B的分析可知函數(shù)尸(力的周期為2,則尸(x)=/'(尤+2),

所以/Cf(x))="f(x+2)),故D正確.

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分..在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分

9.已知表示空間內(nèi)兩條不同的直線，則使機(jī)〃〃成立的必要不充分條件是()

A.存在平面a,有mJ/a,n//aB.存在平面a,有〃7_La,w_La

C.存在直線/,有〃/D.存在直線/,有機(jī)〃

【答案】AC

【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)、必要不充分條件的定義逐一判斷即可，

【詳解】A：若加〃a,“〃打，則直線加，“可以平行，也可以相交，還可以異面;若相〃“，則存在平面a，有小〃口

所以本選項(xiàng)正確；

B：若機(jī)則機(jī)〃”，即垂直于同一平面的兩條直線平行；若m〃n,則存在平面a,有〃J_a,所

以本選項(xiàng)不正確；

C：若加，/,〃，/,則直線機(jī)〃可以平行，也可以相交，還可以異面；若機(jī)〃人則存在直線/,有所

以本選項(xiàng)正確；

D：^m//l,n//l,則m〃〃，即平行于同一直線的兩直線平行，若機(jī)〃“，則存在直線/,有“?〃/,”〃/,所以本選

項(xiàng)不正確，

故選：AC

10.定義在R上的函數(shù)/(尤)=25皿"+或06*)滿足在區(qū)間1-屋]內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極值點(diǎn)，則下列說

法不正硬的是()

A.〃x）的最小正周期為:

B.將f（x）的圖象向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.小）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為院,。]

D.在區(qū)間上單調(diào)遞增

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意可求出。的值，從而可得到/'（x）的解析式，再根據(jù)解析式逐項(xiàng)分析即可.

71兀。

——<--------F-<0

T兀

【詳解】依題可知]＜]＜丁，于是3＜啰＜6,于是＜263

兀0713兀

71<——+—<——

4＜＜27＜5,又GEN*,

「?0=5,/./（x）=2sin^5x+y^,

對(duì)于A,由T=四二號(hào)，則/（%）的最小正周期為故A錯(cuò)誤；

coJ5

對(duì)于B,因?yàn)?sin5^%-^+j=2sin15x-f）=2sin15x-f+2兀）=2sin[5x+g],

所以將〃x）的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度后得g（尤）=2sin（5x+

則g（O）=2sin[1]=g,所以g（x）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由/舊=2$畝0=-1,所以與不是/⑴圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由則5苫+梟[芳），所以〃x）在區(qū)間，親。]上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：ABC.

11.我國(guó)為了鼓勵(lì)新能源汽車的發(fā)展，推行了許多購車優(yōu)惠政策，包括：國(guó)家財(cái)政補(bǔ)貼、地方財(cái)政補(bǔ)貼、免征車輛購

置稅、充電設(shè)施獎(jiǎng)補(bǔ)、車船稅減免、放寬汽車消費(fèi)信貸等.記事件M表示“政府推出購買電動(dòng)汽車優(yōu)惠補(bǔ)貼政策”；事件

N表示“電動(dòng)汽車銷量增加”，P（M）＞0,P（N）＞0.一般來說，推出購車優(yōu)惠補(bǔ)貼政策的情況下，電動(dòng)汽車銷量增

加的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠補(bǔ)貼政策時(shí)增加的概率要大.基于以上情況，下列不等式正確的是（）

A.P（N|M）＞P（N間B.P（N\M）＞P（N\M）

C.P（NM）＞P（N}P（M）D.

【答案】ACD

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,直接根據(jù)題意即可判斷出正誤；對(duì)于選項(xiàng)B,利用條件和對(duì)立事件的概率公式即可判斷出正

誤；對(duì)于選項(xiàng)C和D,根據(jù)條件和條件概率公式，再進(jìn)行變形化簡(jiǎn)即可判斷出正誤.

【詳解】根據(jù)題意知P（MM）＞P（N間，故選項(xiàng)A正確;

由P（N|M）＞尸（N砌，得到1-尸（討|M）＞l-P（方間,即尸（而町＜尸（丙間,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

P(NM)P(NM)_P(N)-P(NM)

又由尸(MM)>P(NM)知,

尸(M)>P畫--l-P(M)-，化簡(jiǎn)得到尸（MW）＞尸（N）?尸（"）,所以選項(xiàng)C

正確;

又由尸尸（N）.P（M）,得P（NM）-P（N）P（NM）＞P（N）.P（M）-P（N）P（NM）,所以

P(NM)\1-P(N)]>尸(N)[P(M)~P(NM)],

P（NM）P[NM）

即P（NM）.P（N）＞P（N）P（NM）,即號(hào)鬲＞布j,

即P（MN）＞尸（MH）,故D正確;

故選：ACD.

12.已知點(diǎn)尸（l,a）（a＞l）在拋物線C：丁=20%（0＞0）上，過尸作圓（x-歲+9=1的兩條切線，分別交C于A,B

兩點(diǎn)，且直線AB的斜率為-1,若尸為C的焦點(diǎn)，M（x,y）為C上的動(dòng)點(diǎn)，N是C的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則（）

A.p=iB.p=2

C.等的最大值是應(yīng)D.乳的最大值是,

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意可知，過P所作圓的兩條切線關(guān)于直線x=l對(duì)稱，即噎+%=。，結(jié)合ABP都在拋物線上可得

/、\MN\\MN\1

p=2,所以A錯(cuò)誤,B正確;根據(jù)拋物線定義可知N（T,O）,設(shè)ZWF=。，則扁=氤才=/而，當(dāng)直線x=-1

與拋物線相切時(shí)，儲(chǔ)的最大值是應(yīng)，即C正確，D錯(cuò)誤.

【詳解】由題意可知，點(diǎn)尸（La）與圓心同在x=l上，

所以過尸所作圓的兩條切線關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以kPA+kPB=O.

設(shè)A&,yJ,B(X2,J2),P{xp,yp),

%_%-%叮-_2P

n

則%y|__yP+yt,

2p2p

2P

同理可得尢PB=-,七8

則七二肛得”工應(yīng)

所以％+%=-2丹，

=-1

kAB=~~~=>得力=P.

%+%-2%

將(1,。)代入拋物線C的方程，得p2=2p,解得P=2,

故拋物線C的方程為丁=?，所以A錯(cuò)誤，B正確.

設(shè)ZMNF=9,作M7VT垂直準(zhǔn)線于ML如下圖所示：

由拋物線的性質(zhì)可得=|MF|,

所以囂萬，當(dāng)cos。最小時(shí)，需的值最大，

\MF\\MM'\cos6\MF\

所以當(dāng)直線MN與拋物線。相切時(shí)，8最大，即cos。最小.

由題意可得N(TO),設(shè)切線MN的方程為x^my-1,

—1c

聯(lián)立方程組\x2=m:y，消去X，得4根y+4=0,

[y=4x

由△=16m之—16=0,可得zn=±l,

將加=±1代入>2_4沖+4=0,可得y=±2,所以兀=1,即M的坐標(biāo)為(1,±2),

所以|MV|=V?萬=2行，|W|=1-(-1)=2,

所以曙的最大值為乎=0,即C正確，D錯(cuò)誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解拋物線最值問題時(shí)，往往利用拋物線定義和焦半徑公式，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化即可實(shí)現(xiàn)求解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.

13.若同=仰，,+可=8,卜-6卜6,則a在方上投影向量的模為.

7

【答案】y/1.4

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積的運(yùn)算，投影的定義與公式，即可求解.

(a+6)=82.+24.6+/=64①

【詳解]解：已知,+0=8,,一6卜6,

(a-by\=62\a--2a-b+b-=36(2)

①一②，得4〃d=28=>〃?/?=7,

又回二W,貝U忖2_2X7+，=36nW=5

所以〃在b上投影向量的模為同cos8=S7

5J

7

故答案為：—.

14.定義：對(duì)于數(shù)列｛%｝,如果存在常數(shù)P,使得對(duì)于任意〃N*,都有（見+「p）（4-p）<0,成立，則稱數(shù)列｛4｝

為-擺動(dòng)數(shù)列”，P稱為數(shù)列｛%,｝的擺動(dòng)值.若%=（-g]+q"（q>0），且數(shù)列｛。“｝的擺動(dòng)值為0,則0的取值范圍

為.

【答案】

【分析】根據(jù)“，-擺動(dòng)數(shù)列”的定義可得見。用<0,對(duì)幾分奇偶即可求解.

【詳解】由數(shù)列｛q｝的擺動(dòng)值為0知anan+l<0,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，+q"=[J+/>0,

故當(dāng)”為奇數(shù)時(shí),

即當(dāng)”為奇數(shù)時(shí)，即i<[5]，所以A*

故4的取值范圍為（。，；[

故答案為：

15.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—AECZ）'中，點(diǎn)E、F、G分別是棱A?、BC\8的中點(diǎn)，則由點(diǎn)E、

F、G確定的平面截正方體所得的截面多邊形的面積等于.

【答案】巫

2

【分析】作出截面，分析可知截面是邊長(zhǎng)為1的正六邊形，計(jì)算出截面面積即可.

【詳解】因?yàn)镋、F分別為A'3'、BC’的中點(diǎn)，貝】EFIINC且ER=《B'E?+8'尸=正］x2=l,

K12J3

因?yàn)榭伞╟c且A4，=CC,所以，四邊形A4'C'C為平行四邊形，所以，AC7/AC,

所以，EF//AC,設(shè)平面E尸G交棱AD于點(diǎn)

因?yàn)槠矫鍭BCDH平面AB'C'D',平面EFGc平面AB'C'D'=EF,

平面￡FGc平面ABCD=G",所以，EF//GH,則GH〃AC,

因?yàn)镚為8的中點(diǎn)，所以，H為AD的中點(diǎn)，

設(shè)直線即分別交。'A'、DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸、Q,連接交棱A4'于點(diǎn)

連接2G交棱CC'于點(diǎn)N,連接EM、FN,則截面為六邊形E7WGHM,

因?yàn)锳7V/C3',則==行=1,

DrDE

所以，A!P=B'F=-B'C=-A'D'=-AD=AH,

222

AA/fAH

因?yàn)锳H//AP,則=7^=1，所以，AM-AM,則Af為AA'的中點(diǎn)，

AMAP

同理可知，N為CC的中點(diǎn)，易知六邊形瓦NGHM是邊長(zhǎng)為跖=1的正六邊形，

所以，截面面積為6x,xl2xsin60=6x^-=^^-.

242

故答案為：巫.

2

22

16.己知橢圓C：1r+方=1（。>6>0）的焦距為2c,左焦點(diǎn)為R直線/與C相交于A,2兩點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段A8

13

的中點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為彳若直線/與直線尸產(chǎn)的斜率之積等于-二,則。的離心率為____.

316

【答案】1/0.5

【分析】設(shè)4（石,%）,3a,%）,求出尸尸的斜率，利用點(diǎn)差法求出直線/的斜率，在根據(jù)題意求出。，仇。之間的關(guān)系

即可得解.

【詳解】F（-c,0）,

設(shè)A（X，％），磯%，%），

因?yàn)辄c(diǎn)尸是線段A8的中點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為;C,

所以當(dāng)+毛=?，尸］，號(hào)J，

%+%M+%

3("+%)

貝！Jk=22

PFX1+x4c

2+c

23

由直線/與。相交于A,8兩點(diǎn),

2222

兩式相減得W+與-耳?-今=0,

a2b2a2b2

即(%—%)(1+々)+(%-%)(％+必)=0

a2b1

訴w(x-%)(x+%)=_￡

(再一九2)(再+尤2)

2

即勺?衛(wèi)三=_與，所以&=_4%+x2b2c

2

士+x2a'a~%+%a3(%+%)

b22c3(X+%)b2_3

則k「kpF=一

3(%+%)8c方一一記

2

所吟h43

所以離心率e=￡==—.

a\a22

四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在公差不為零的等差數(shù)列｛%｝中，％=1,且4，%，小成等比數(shù)列，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S“滿足S“=2〃-2.

⑴求數(shù)列｛q｝和也｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)4=2-4,數(shù)列｛g｝的前“項(xiàng)和（，若不等式log?（1-a）對(duì)任意“eN*恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范

圍.

【答案】⑴4=2"-1,b“=2"

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為dwO,根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程，求出d,即可求出｛%｝的通項(xiàng)公式,

再根據(jù)4=1s〔s〃>2'作差得到數(shù)列也"｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，即可得解；

(2)由(1)可得c,=2"-(2〃-1),利用分組求和法求出令〃〃)=2向-2,利用作差法判斷了⑺的單調(diào)性,

即可求出/■(〃).，從而得到關(guān)于“的對(duì)數(shù)不等式，解得即可.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為1#。，4=1,且％,4嗎3成等比數(shù)列，

：.%=，即(1+2d)?=1+12d,解得d=2或d=O(舍去)，

所以為=1+2("-1)=2"-1.

數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和S“=22-2,

當(dāng)〃=1時(shí)，bx=2bx-2,bx=2

當(dāng)心2時(shí),bn=Sn-Sn_v=2bn-2bn_x,：,bn=2bn_lf

即數(shù)列｛2｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

(2)由(1)可得g=〃—q=2"-(2〃—1),

”"一。+27)-

“1-22

；.7；+"2一〃=2"+i一”一2.

令/(〃)=2"+i—"一2,.?./(H+1)-/(T7)=2"+2-(?+1)-2"+1+?=2,,+1-1>0,

.?"(〃)單調(diào)遞增，.?"(〃)mfa=〃1)=L

.'.logj(l-a)<l,.-.o<l-a<2,,―

18.在三棱臺(tái)ABC-A4G中，A4,_L平面ABC,ZBAC=90,AB=AC=2AA,=2A.B,=4.

B

（1）證明：平面ABG，平面CBQ；

（2）記qC的中點(diǎn)為M,過M的直線分別與直線A3,4G交于P,Q,求直線P。與平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）0

【分析】（I）取AC的中點(diǎn)。，可得四邊形ADGA為平行四邊形，利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理和面面垂直

的判定定理證明可得答案；

（2）以A為原點(diǎn)，AB,AC，朋所在方向分別為無軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-盯z,求出

平面AB&的法向量，設(shè)尸（40,0）,。（0,〃,2）,由尸，M,。三點(diǎn)共線，可設(shè)求出PQ,根據(jù)空間角的

向量求法可得答案.

【詳解】（1）取AC的中點(diǎn)。，則AD與4G平行且相等，

可得四邊形AOGA為平行四邊形，則有A4,=GD=2,

又AD=DC=2,故？AC。90。.

又AAr_LAB,AC_LAB,ACA=A,AC,u平面ACC、,故AB_Z.平面ACC^,又因?yàn)镃C、u平面ACC^,

故ABLCG，

又因?yàn)锳GJ.CC，ACJAB=A,AG，ABu平面ABC」故CQ,平面ABC一

而C￡u平面CSC”故平面ABG，平面CBG；

⑵以A為原點(diǎn)，A5,AC，A4,所在方向分別為無軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則耳（2,0,2）,G（0,2,2）,C（0,4,0）,則

設(shè)平面A8G的法向量為根=（x,y,z）,

m?AB.=0\2x+2z=0/、

則1即2y+2z=0'取尤=1'則"？=（1，1，T）?

m-ACX=0IJ

設(shè)P（40,0）,Q（0,",2）,則=—MQ=（T,〃—2,1）,

1—A-=—k

由題意知P,M,。三點(diǎn)共線，可設(shè)貝卜2=%(〃—2),

l=k

k=l

解得4=2,故P(2,0,0),2(0,4,2),

〃=4

則尸。=(—2,4,2),

故"2=而1=直言f

即PQ〃平面A8G，故所求線面角的正弦值為0.

19.已知，ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且J0=c(右cosA+sinA).

⑴求C；

(2)若ABLAC,AC=3,角C的平分線交AB于點(diǎn)。，點(diǎn)E滿足￡>￡=Q)，求sin/AEB.

7E

【答案】(