最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)

最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)學(xué)科：奧數(shù)教學(xué)內(nèi)容：第5講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)（1）整數(shù)a能被整數(shù)b（不為零）整除，數(shù)a就是數(shù)b的倍數(shù)，數(shù)b就是數(shù)a的約數(shù)。（2）幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，公約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最大的一個(gè)叫這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。若，，…，的最大公約數(shù)是d，則可記為（）=d（3）幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，公倍數(shù)可以有無限多個(gè)，但其中有一個(gè)最小，這個(gè)最小的就叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。若自然數(shù)的最小公倍數(shù)是m，則可記為［］=m（4）最大公約數(shù)的性質(zhì)1）兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)，都是這兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)，即：如果（a，b）=d，c|d，那么c|a，c|b。2）兩個(gè)數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商一定是互質(zhì)的，即：如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）=1（5）最小公倍數(shù)的性質(zhì)1）兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積，即：若（a，b）=d，[a，b]=m，則dm=ab，且d|m2）若一個(gè)數(shù)c能同時(shí)被兩個(gè)自然數(shù)a、b整除，那么c一定能被這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)整除?；蛘哒f，一些數(shù)的公倍數(shù)一定是這些數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)。即：若[]=m，而，，…，，那么m|N。（6）以下兩點(diǎn)需要特別注意：l）數(shù)a是數(shù)b的倍數(shù)，數(shù)b就是數(shù)a的約數(shù)，它們的最大公約數(shù)是b，最小公倍數(shù)是a。2）若兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則它們的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的積。（7）求最大公約數(shù)常用的方法有：列舉法，分解質(zhì)因數(shù)法，短除法，輾轉(zhuǎn)相除法。（8）求最小公倍數(shù)常用的方法有：列舉法，分解質(zhì)因數(shù)法，短除法，最大公約數(shù)法。約數(shù)有：1、30，2、15，3、10，且每對(duì)中兩個(gè)約數(shù)的積就是自然數(shù)本身。（4）對(duì)一個(gè)完全平方數(shù)來說，例如，由于它是6的平方，所以它有一個(gè)約數(shù)正好是6，與之配對(duì)的約數(shù)仍是6，其余的約數(shù)配對(duì)后，每組中有一個(gè)小于6的約數(shù)，另一個(gè)是大于6的約數(shù)。（5）非完全平方數(shù)的約數(shù)是偶數(shù)個(gè)，完全平方數(shù)的約數(shù)是奇數(shù)個(gè)。（6）有關(guān)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的問題，其敘述方式是多種多樣的，在解題時(shí)一定要認(rèn)真審題，不能簡(jiǎn)單地在題中看到“最多”就認(rèn)為是求最大公約數(shù)，看到“最少”就認(rèn)為是求最小公倍數(shù)。（7）解答問題一般都有多種解法，請(qǐng)同學(xué)們一定選擇快捷簡(jiǎn)便而又適合自己思路的方法。（8）為了更好地解決有關(guān)最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的問題，還必須掌握有關(guān)整除的知識(shí)。經(jīng)典例題［例1］已知兩個(gè)自然數(shù)的和是60，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和是84，求這兩個(gè)自然數(shù)各是多少？解答不妨設(shè)這兩個(gè)自然數(shù)為a、b，若（a，b）=m，則，且（）=1。由題意可知a+b=60，即所以。又因?yàn)?，故得知m為60、84的約數(shù)。而（60，84）=12，所以m只可取l、2、3、4、6、12六種可能值，但當(dāng)m取1、2、3、4、5、6時(shí)均不能滿足和。所以m僅能取12，則=60÷12=5若、分別取2、3時(shí)，則相對(duì)應(yīng)的a、b值為24和36。答：這兩個(gè)自然數(shù)為24和36。[例2]求180、840、300的最大公約數(shù)。解答☆解法一：根據(jù)最大公約數(shù)的定義，把三個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，取出全部公共的質(zhì)因數(shù)，每個(gè)公共的質(zhì)因數(shù)取出現(xiàn)的最低次數(shù)，把這些公共質(zhì)因數(shù)的乘方相乘即得最大公約數(shù)。把180、840、300分解質(zhì)因數(shù)：，，取各公共質(zhì)因數(shù)2、3、5出現(xiàn)的最低次數(shù)，則180、840、300的最大公約數(shù)為?！罱夥ǘ憾坛?。用三個(gè)數(shù)的大于1的公約數(shù)作除數(shù)，除到最后三個(gè)商互質(zhì)為止，各除數(shù)相乘之積就是要求的最大公約數(shù)。180、840與300的最大公約數(shù)為2×2×3×5=60。［例3］求68、72、84的最小公倍數(shù)。解答☆解法一：根據(jù)最小公倍數(shù)的定義，把三個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，取出全部質(zhì)因數(shù)，且各質(zhì)因數(shù)取出現(xiàn)的最高次數(shù)，然后相乘即得最小公倍數(shù)。把68、72、84分解質(zhì)因數(shù)：取全部質(zhì)因數(shù)2、3、7、17出現(xiàn)的最高次數(shù)，便得68、72、84的最小公倍數(shù)為☆解法二：應(yīng)用短除法，先用三個(gè)數(shù)的大于1的公約數(shù)去除，除到三個(gè)商互質(zhì)時(shí)，再用兩個(gè)數(shù)的大于1的公約數(shù)去除，除到三個(gè)商兩兩互質(zhì)時(shí)為止，最后把所有除數(shù)及最末的三個(gè)商相乘就得到要求的最小公倍數(shù)。68、72與84的最小倍數(shù)為2×2×3×17×6×7=8568［例4］求1903與2249的最大公約數(shù)。思路剖析不容易直接看出1903與2249的大于1的公約數(shù)，所以可先求2249除以1903的余數(shù)r，所以（2249，1903）=（1903，r）；如果1903不是r的倍數(shù)，再對(duì)1903與r做除法，然后把求1903與r的最大公約數(shù)轉(zhuǎn)化為求更小的一對(duì)數(shù)的最大公約數(shù)，這樣反復(fù)做，直到能求出最后一對(duì)數(shù)的最大公約數(shù)，它也就是1903與2249的最大公約數(shù)。解答因?yàn)?249÷1903=l……346，所以（2249，1903）=（1903，346）（1）又因?yàn)?903÷346＝5……173，所以（1903，346）=（346，173）（2）由于346÷173＝2，即346是173的倍數(shù)，所以（346，173）＝173（3）根據(jù)（1）、（2）、（3）三式可以得到（2249，1903）=（1903，346）=（346，173）=173點(diǎn)津這種通過反復(fù)作除法來求最大公約數(shù)的方法叫做輾轉(zhuǎn)相除法。在以后的實(shí)際計(jì)算中，可采用如下的簡(jiǎn)寫格式：簡(jiǎn)寫格式的步驟為：第一步，把兩數(shù)寫在三條豎線之間；第二步，較大數(shù)除以較小數(shù)，商寫在與較小數(shù)相鄰那條豎線的外邊，商與除數(shù)的積寫在較大數(shù)的下邊，求余數(shù)；第三步，如果第二步求出的余數(shù)不等于0，就重復(fù)第二步的計(jì)算，直到余數(shù)是0為止；第四步，最后一個(gè)非零余數(shù)就是原來兩數(shù)的最大公約數(shù)。［例5］有任意50個(gè)自然數(shù)，從中是否可以取出若干個(gè)（一個(gè)或多個(gè)）數(shù)，使得取出的這些數(shù)之和恰好是50的倍數(shù)？說明理由。思路剖析50個(gè)數(shù)太多，我們先從較少的數(shù)開始考慮，以便發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)。如果是兩個(gè)數(shù)a、b，那么從中取數(shù)有兩種情形：取一個(gè)數(shù)，取兩個(gè)數(shù)作和。我們考慮a與a+b；如果a能被2整除，那么取a就符合要求；如果a+b能被2整除，那么a與b就符合要求；如果a與a+b都不能被2整除，說明a與a+b都是奇數(shù)，于是a+b與a的差是偶數(shù)，即b是偶數(shù)，取b就符合要求?？傊?，對(duì)兩個(gè)數(shù)的情形，結(jié)論成立。如果是三個(gè)數(shù)a、b、c，那么從中取數(shù)有三種情形：取一個(gè)數(shù)，取兩個(gè)數(shù)作和，取三個(gè)數(shù)作和。我們考慮a、a+b、a+b+c；如果a能被3整除，那么取a就符合要求；如果a+b能被3整除，那么取a與b就符合要求；如果a+b+c能被3整除，那么取a、b、c就符合要求；如果a、a+b、a+b+c都不能被3整除，則它們除以3所得的余數(shù)只能是1或2，因而必有兩個(gè)余數(shù)相等，這時(shí)余數(shù)相等的兩數(shù)之差可被3整除，因而仍可取到符合要求的數(shù)?？傊?，對(duì)三個(gè)數(shù)的情形，結(jié)論也成立。對(duì)多于三個(gè)數(shù)的情形，可以類似考慮，所以問題能夠解決。解答把原來的50個(gè)數(shù)分別記為、、、…、、考慮，其中可以看出、、、…、、，以及它們中間任意兩個(gè)的差（大減?。?，都是原來50個(gè)數(shù)中幾個(gè)數(shù)的和。若、、、…、、中有一個(gè)是50的倍數(shù)，則取這個(gè)數(shù)就符合要求。若、、、…、、中每個(gè)數(shù)除以50所得余數(shù)都不等于0，那么它們分別除以50所得的余數(shù)只能是1、2、3、4、…、48、49中的一個(gè)，所以至少有兩個(gè)數(shù)，它們被50整除，說明仍可取得符合要求的數(shù)?？偨Y(jié)以上可知，在50個(gè)數(shù)、、、…、、中可以找到若干個(gè)數(shù)，它們的和能被50整除。［例6］在一個(gè)30×24的方格紙上畫一條對(duì)角線（見圖1），這條對(duì)角線除兩個(gè)端點(diǎn)外，共經(jīng)過多少個(gè)格點(diǎn)（橫線與豎線的交叉點(diǎn)）？思路剖析（30，24）=6，說明如果將方格紙橫、豎都分成6份，即分成6×6個(gè)相同的矩形，那么每個(gè)矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（個(gè)）小方格組成。在6×6的簡(jiǎn)化圖中，對(duì)角線也是它所經(jīng)過的每一個(gè)矩形的對(duì)角線，所以經(jīng)過5個(gè)格點(diǎn)（見圖2）。在對(duì)角線所經(jīng)過的每一個(gè)矩形的5×4個(gè)小方格中，對(duì)角線不經(jīng)過任何格點(diǎn)（見圖3）。解答對(duì)角線共經(jīng)過格點(diǎn)（30－24）－l=5（個(gè)）［例7］一張長方形紙，長2703厘米，寬1113厘米。要把它裁成若干個(gè)同樣大小的正方形，紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大。問：這樣的正方形的邊長是多少厘米？思路剖析由題意可知，正方形的邊長即是2703和1113的最大公約數(shù)。在學(xué)校，我們已經(jīng)學(xué)過用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，但有時(shí)會(huì)遇到類似此題情況，兩個(gè)數(shù)除了1以外的公約數(shù)一下不好找到，但又不能輕易斷定它們是互質(zhì)數(shù)，怎么辦？在此，我們以例7為例介紹另一種求最大公約數(shù)的方法。對(duì)于本題，可做如圖4的圖解。從圖4中可知；在長2703厘米、寬1113厘米的長方形紙的一端，依次裁去以寬（1113厘米）為邊長的正方形2個(gè)。在裁后剩下的長1113厘米、寬477厘米的長方形中，再裁去以寬（477厘米）為邊長的正方形2個(gè)。然后又在裁剩下的長方形（長477厘米，寬159厘米）中，以159厘米為邊長裁正方形，恰好裁成3個(gè)，且無剩余。因此可知，159厘米是477厘米、1113厘米和2703厘米的約數(shù)。所以裁成同樣大的，且邊長盡可能長的正方形的邊長應(yīng)是159厘米。所以，159厘米是2703和1113的最大公約數(shù)。解答讓我們把上述圖解過程轉(zhuǎn)化為計(jì)算過程，即：2703÷1113，商2余4771113÷477，商2余159477÷159，商3余0或者寫為2703=2×1113+4771113=2×477+159477=3×159當(dāng)余數(shù)為0時(shí)，最后一個(gè)算式中的除數(shù)159就是原來兩個(gè)數(shù)2703和1113的最大公約數(shù)?？梢?，477=159×3，1113=159×3×2+159=159×7，2703=159×7×2+477=159×7×2+159×3=159×7又因?yàn)?和17是互質(zhì)數(shù)，所以159是2703和1113的最大眾約數(shù)。答：正方形的邊長是159厘米。［例8］在一間屋子里有100盞電燈，排成一行，依從左至右的順序，編上號(hào)碼1、2、3、4、…、99、100，每盞燈上有一個(gè)拉線開關(guān)。開始時(shí)，全部的燈都關(guān)著，有100個(gè)同學(xué)在門外排著隊(duì)，第1個(gè)同學(xué)進(jìn)屋把編號(hào)是1的倍數(shù)的所有電燈開關(guān)都拉一下即把所有電燈開關(guān)都打開了）；接著第二個(gè)同學(xué)進(jìn)屋把編號(hào)是2的倍數(shù)的所有電燈開關(guān)都拉一下（即把所有編號(hào)為偶數(shù)的電燈又關(guān)上了），第3個(gè)同學(xué)進(jìn)屋把所有編號(hào)是3的倍數(shù)的電燈開關(guān)都拉一下，如此下去，直到第100個(gè)同學(xué)進(jìn)屋把第100號(hào)電燈開關(guān)拉了一下，這樣做完以后，問哪些電燈還是亮著的？思路剖析這道題題目很長，看完后覺得很難下手。我們來分析一下：電燈如果最后是亮的，那么它一定要被拉奇數(shù)次；因?yàn)橐婚_一關(guān)拉兩次是一個(gè)周期，拉偶數(shù)次的電燈最后一定是關(guān)著的。例如，一盞電燈被拉了4次，在經(jīng)歷開→關(guān)→開→關(guān)之后一定是關(guān)著的。那么哪些電燈被拉奇數(shù)次呢？這取決于它的編號(hào)。例如，第30號(hào)，它是1、2、3、5、6、10、15、30的倍數(shù)，因此第l、2、3、5、6、10、15、30個(gè)同學(xué)進(jìn)屋時(shí)都會(huì)拉第30個(gè)電燈，即拉8次，因此它最后是關(guān)著的。這里不難發(fā)現(xiàn)，看一個(gè)編號(hào)是哪些數(shù)的倍數(shù)，其實(shí)就是找這個(gè)數(shù)有哪些約數(shù)，約數(shù)的個(gè)數(shù)就代表了電燈被拉的次數(shù)，所以，我們只要找出約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)的編號(hào)就可以知道哪幾盞燈是亮的。自然數(shù)中只有完全平方數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，100以內(nèi)的完全平方數(shù)有l(wèi)、4、9、16、25、36、49、64、81、100，所以編號(hào)是這些數(shù)的電燈最后是亮著的。解答由上述分析可知編號(hào)是l、4、9、16、25、36、49、64、81、100的電燈最后是亮的。［例9］把1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)，按照不同的次序排列，可以得到許多不同的九位數(shù)，如345219876等等。求所有這些九位數(shù)的最大公約數(shù)是多少？思路剖析一個(gè)數(shù)，如果各數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被9整除，這是能被9整除的數(shù)的特征。組成的這許多個(gè)九位數(shù)雖然各不相同，但它們都是由1~9這九個(gè)數(shù)字按不同的次序排列得到的，每個(gè)九位數(shù)的各數(shù)位之和都是1+2+3+…+9=45=9×5，所以每個(gè)九位數(shù)都是9的倍數(shù)，因而9是這些九位數(shù)的公約數(shù)。下面的問題就是研究9是不是這些九位數(shù)的最大公約數(shù)?，F(xiàn)在任取一個(gè)九位數(shù)，如123456789，令12356789=9×a，則比它大9的九位數(shù)是123456798=9×（a+1），因?yàn)閍與（a+l）互質(zhì)，所以這兩個(gè)數(shù)沒有比9更大的公約數(shù)了，這說明，所有這些九位數(shù)的最大公約數(shù)是9。解答由上述分析可知，所有這些九位數(shù)的最大公約數(shù)是9。［例10］A、B兩個(gè)數(shù)都恰恰只含有質(zhì)因數(shù)3和5，它們的最大公約數(shù)是75，已知A有12個(gè)約數(shù)，B有10個(gè)約數(shù)，那么A、B兩數(shù)的和等于多少？思路剖析要求A、B兩數(shù)的和是多少，最好能先求出A、B的值各為多少，題目只是告訴我們A、B兩數(shù)只含有質(zhì)因數(shù)3、5，且它們的最大公約數(shù)為75，即A、B兩數(shù)都含有這個(gè)數(shù)，且共同的只有這個(gè)數(shù)，因A有12個(gè)約數(shù)，12=2×6或=3×4，B有10個(gè)約數(shù)，10＝2×5。若12＝2×6則它們的共同因數(shù)為，與題目相矛盾，舍去，所以12取3×4＝（2+l）×（3+l），對(duì)于B這個(gè)數(shù)只能取，所以A中5的指數(shù)不能變，所以。解答10=2×5，12=2×6（舍去）=3×4=（2+1）×（3+l），所以、答：A、B兩數(shù)的和等于2550。［例11］某廠加工一批零件，每個(gè)零件需要一個(gè)螺栓，三個(gè)螺母，七個(gè)螺釘，已知每個(gè)工人每小時(shí)可完成3個(gè)螺栓或12個(gè)螺母或18個(gè)螺釘，要想能均衡生產(chǎn)，使每件零件都配上套，生產(chǎn)這三種零件各需安排多少人？思路剖析因?yàn)檫@種零件中所需的螺母是螺栓的3倍，螺釘是螺栓的7倍，所以我們只需先求生產(chǎn)一個(gè)螺栓、一個(gè)螺母、一個(gè)螺釘配套起來各需的人數(shù)，再用生產(chǎn)螺母的人數(shù)擴(kuò)大3倍，生產(chǎn)螺釘?shù)娜藬?shù)擴(kuò)大7倍便可以達(dá)到題目要求了。要想順利進(jìn)行，必須每小時(shí)加工各種零件的個(gè)數(shù)是3、12、18的公倍數(shù)，所以我們可以先求它們的公倍數(shù)，再求各種零件所需人數(shù)。解答因?yàn)椋?，12，18］=3636÷3=12（人）36÷12×3=9（人）36÷18×7=14（人）答：生產(chǎn)螺栓的需12人，生產(chǎn)螺母的需9人，生產(chǎn)螺釘?shù)男?4人。發(fā)散思維訓(xùn)練l．老虎和豹進(jìn)行跳躍比賽；老虎每次跳米，豹每次跳米，它們每秒都又跳一次。比賽途中，從起點(diǎn)開始，每隔米設(shè)有一個(gè)陷阱。它們之中誰先掉進(jìn)陷阱？一個(gè)掉進(jìn)陷阱時(shí)另一個(gè)跳了多遠(yuǎn)？2．已知兩個(gè)自然數(shù)的和為54，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差為114，求這兩個(gè)自然數(shù)。3．有甲、乙、丙三種溶液，分別重千克、千克和千克?，F(xiàn)要將它們?nèi)糠謩e裝入小瓶中，每個(gè)小瓶裝入液體的重量相同。問：每瓶最多裝多少千克？4．甲校和乙校有同樣多的同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，學(xué)校用汽車把學(xué)生送往考場(chǎng)。甲校用的汽車，每車坐15人，乙校用的汽車，每車坐13人，結(jié)果甲校比乙校少派一輛汽車。后來每校各增加一個(gè)人參加競(jìng)賽，這樣兩校需要的汽車就一樣多了。最后又決定每校再各增加一個(gè)人參加競(jìng)賽，乙校又要比甲校多派一輛汽車。問最后兩校共有多少人參加競(jìng)賽？5．大雪后的一天，小飛和爺爺共同步測(cè)一個(gè)圓形花圃的周長，他倆的起點(diǎn)和走的方向完全相同，小飛每步長48厘米，爺爺每步長72厘米，由于兩人腳印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下40個(gè)腳印，求花圃的周長？6．甲數(shù)有9個(gè)約數(shù)，乙數(shù)有10個(gè)約數(shù)，甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是2800，求甲、乙兩數(shù)各是多少？7．一對(duì)嚙合齒輪，一個(gè)有132個(gè)齒，一個(gè)有48個(gè)齒，其中嚙合的任意一對(duì)齒從第一次相接到再次相接，兩個(gè)齒輪各要轉(zhuǎn)動(dòng)多少圈？8．有兩個(gè)油桶，一個(gè)容量為27升，另一個(gè)容量為15升，只利用這兩個(gè)油桶怎樣從一個(gè)大油桶中倒出6升油來。發(fā)散思維訓(xùn)練1．解：老虎掉進(jìn)陷阱時(shí)與起點(diǎn)的距離應(yīng)是和的最小整數(shù)倍，即和的最小公倍數(shù)。（米）所以老虎掉進(jìn)陷阱時(shí)跳了（次）同理，豹掉進(jìn)陷阱時(shí)與起點(diǎn)的距離為（米）所以豹掉進(jìn)陷阱時(shí)跳了（次）所以豹先掉進(jìn)陷阱，它掉進(jìn)陷阱時(shí)，老虎跳了（米）2．解：設(shè)這兩個(gè)自然數(shù)分別為a與b，a＜b，（a，b）=da=，，其中。因?yàn)閍+b=54，所以于是有，因此d是54的約數(shù)。又因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差為114。所以于是有因此，d是114的約數(shù)故d為54與114的約數(shù)由于（54，114）=6，6的約數(shù)有：1、2、3、6，所以d可能取1、2、3、6這四個(gè)值。如果d=l，由，有；又由，有。115=1×115=5×23，但是1+115=116≠54，5+23=28≠54，所以d≠1。如果d=2，由，有；又由，有。58=1×58=2×29，但是1+58=59≠27，2+29=31≠27，所以d≠2。如果d=3，由，有；又由，有。39=l×39=3×13，但是1+39=40≠18，3+13=16≠18，所以d≠3。如果d=6，由，有；又由，有。20表示成兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的乘積有兩種形式：20=l×20=4×5，雖然1+20=21≠9，但是有4+5=9，所以取d=6是合適的，并有，。故a=6×4=24，b=6×5=30。答：這兩個(gè)自然數(shù)為24和30。3．解：如果三種溶液的重量都是整數(shù)，那么每瓶裝的重量就是三種溶液重量的最大公約數(shù)?，F(xiàn)在的問題是三種溶液的重量不是整數(shù)。要解決這個(gè)問題，可以將重量分別乘以某個(gè)數(shù)，將分?jǐn)?shù)化為整數(shù)，求出數(shù)值后，再除以這個(gè)數(shù)。為此，先求幾個(gè)分母的最小公倍數(shù)，［6，4，9］=36，三種溶液的重量都乘以36后，變?yōu)?50、135和80。（150，135，80）=5上式說明，若三種溶液分別重150千克、135千克、80千克，則每瓶最多裝5千克?？蓪?shí)際重量是150、135、80的，所以每瓶最多裝（千克）答：每瓶最多裝千克。4．解：原來甲校比乙校少派一輛汽車，各增加一人以后，兩校需要的汽車就一樣多了，這說明甲校在沒有增加這一人以前恰好坐滿了所派的全部汽車（增加的一輛汽車就坐增加的這一人），所以甲校原來參加競(jìng)賽的人數(shù)是15的倍數(shù)。后來又各增加一個(gè)人，乙校又要多派一輛汽車，這說明在第=次增加人數(shù)之前，乙校所派的車恰好坐滿，也就是說，乙校這時(shí)的人數(shù)是13的倍數(shù)，即一個(gè)15的倍數(shù)加1以后是13的倍數(shù)。由此可知，甲乙兩校各增加一人后，派車的輛數(shù)相等，但甲校有一輛車只坐一個(gè)人，而乙校每車13人恰好坐滿原來所派的車?？梢栽O(shè)想，甲校原來所派的車每車下來兩個(gè)人坐到增加的這輛車上去，就會(huì)正好跟乙校的情況一樣了，即剛好坐滿增加的這輛車。因此，原來甲校的車輛數(shù)是：（l3－1）÷（l5－13）=6（輛），原來每校參賽人數(shù)是15×6=90（人）。答：最后甲乙兩校共有184人參加競(jìng)賽。5．解：要想求出花圃的周長，只要求出小飛和爺爺一圈留下多少個(gè)腳印就行了，由于小飛和爺爺測(cè)時(shí)起點(diǎn)和方向完全相同。且兩人腳印有重合，這說明，他倆從起點(diǎn)出發(fā)到第一次腳印重合時(shí)所走過的路程是相同的，這個(gè)路程是小飛和爺爺步長的倍數(shù)。即：［72，