4.5.1 函數(shù)的零點與方程的解（九大題型）（解析版）

4.5.1函數(shù)的零點與方程的解【題型歸納目錄】題型一：求函數(shù)的零點題型二：根據(jù)零點求函數(shù)解析式的參數(shù)題型三：零點存在性定理的應(yīng)用題型四：根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍題型五：根據(jù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍題型六：一次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍題型七：二次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍題型八：指對冪函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍題型九：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用【知識點梳理】知識點一：函數(shù)的零點1、函數(shù)的零點（1）一般地，如果函數(shù)在實數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個函數(shù)的零點.知識點詮釋：①函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點也就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)；③函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根．歸納：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．（2）二次函數(shù)的零點二次函數(shù)的零點個數(shù)，方程的實根個數(shù)見下表.判別式方程的根函數(shù)的零點兩個不相等的實根兩個零點兩個相等的實根一個二重零點無實根無零點（3）二次函數(shù)零點的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過零點時（不是二重零點），函數(shù)值變號.②相鄰兩個零點之間的所有的函數(shù)值保持同號.引伸：對任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.2、函數(shù)零點的判定（1）利用函數(shù)零點存在性的判定定理如果函數(shù)在一個區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點處的函數(shù)值異號，即，則這個函數(shù)在這個區(qū)間上，至少有一個零點，即存在一點，使，這個也就是方程的根.知識點詮釋：①滿足上述條件，我們只能判定區(qū)間內(nèi)有零點，但不能確定有幾個．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則只有一個；若不單調(diào)，則個數(shù)不確定．②若函數(shù)在區(qū)間上有，在內(nèi)也可能有零點，例如在上，在區(qū)間上就是這樣的．故在內(nèi)有零點，不一定有．③若函數(shù)在區(qū)間上的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，在內(nèi)也可能是有零點，例如函數(shù)在上就是這樣的．（2）利用方程求解法求函數(shù)的零點時，先考慮解方程，方程無實根則函數(shù)無零點，方程有實根則函數(shù)有零點．（3）利用數(shù)形結(jié)合法函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與的圖象交點的橫坐標(biāo)．【方法技巧與總結(jié)】1、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，，且具有單調(diào)性，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個零點.2、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，且函數(shù)具有單調(diào)性，則3、零點個數(shù)的判斷方法（1）直接法：直接求零點，令，如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點.（2）定理法：利用零點存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.（3）數(shù)形結(jié)合法：①單個函數(shù)圖象：利用圖象交點的個數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)就是函數(shù)的零點個數(shù)；②兩個函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成兩個函數(shù)和的差，根據(jù)，則函數(shù)的零點個數(shù)就是函數(shù)和的圖象的交點個數(shù).4、判斷函數(shù)零點所在區(qū)間（1）將區(qū)間端點代入函數(shù)求函數(shù)的值；（2）將所得函數(shù)值相乘，并進行符號判斷；（3）若符號為正且在該區(qū)間內(nèi)是遞增或遞減，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無零點；若符號為負且函數(shù)圖象連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少一個零點。5、已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的方法（1）直接法：利用零點存在的判定定理建立不等式；（2）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；（3）分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．【典型例題】題型一：求函數(shù)的零點例1．（2023·安徽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的零點是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解方程，即，解得或，因此，函數(shù)的零點為.故選：.例2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的零點為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】令，得，則．故選：A例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若是二次函數(shù)的兩個零點，則的值是（）A．3 B．15 C． D．【答案】B【解析】由題意知是二次函數(shù)的兩個零點，故是的兩個根，則，且，則且，故，故選：B變式1．（2023·高一單元測試）函數(shù)的零點為（

）A． B． C． D．無零點【答案】B【解析】令，解得：或，所以函數(shù)的零點是.故選：B變式2．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谀┖瘮?shù)的零點為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【解析】首先函數(shù)的零點不是點，而是數(shù)，故排除C,D選項，而函數(shù)的定義域為，則排除A選項，，故函數(shù)的零點為1，故選：B.【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)的零點就是求相應(yīng)方程的實數(shù)根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，從而得到函數(shù)的零點.題型二：根據(jù)零點求函數(shù)解析式的參數(shù)例4．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）關(guān)于的函數(shù)的兩個零點為，且，則＝（）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意得是方程的兩不等實根，所以，，，所以，即，又，所以.故選：A例5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)m的值為（

）A．9 B．12 C．0或9 D．0或12【答案】C【解析】因為，令，得到，當(dāng)時，，得到，滿足題意，當(dāng)時，因為函數(shù)有且只有一個零點，故，得到，綜上，或.故選：C.例6．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)的零點為2，則函數(shù)的零點是（

）A．0， B．0， C．0，2 D．2，【答案】A【解析】因為函數(shù)的零點為2，所以，∵，，∴，∴．令，得或．故選：A.變式3．（2023·高一課時練習(xí)）已知2是函數(shù)（為常數(shù)）的零點，且，則的值為（

）A． B． C．4 D．3【答案】C【解析】因為2是函數(shù)（為常數(shù)）的零點，所以，得，所以，因為，所以，得，故選：C變式4．（2023·高一課時練習(xí)）若實數(shù)，滿足，，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由可得，所以是方程的解，即是與圖象交點的橫坐標(biāo)，由可得，所以是方程的解，即是與圖象交點的橫坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中分別作出，，的圖象如圖所示，因為與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，而的圖象也關(guān)于直線對稱，所以兩個交點，關(guān)于直線對稱，所以，可得，故選：D題型三：零點存在性定理的應(yīng)用例7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)零點所在區(qū)間為.故選：C例8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的對應(yīng)值表，那么函數(shù)在區(qū)間上的零點至少有（

）x1234567123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6A．2個 B．3個C．4個 D．5個【答案】B【解析】由數(shù)表可知，.則，，，又函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，由零點存在性定理可知，函數(shù)分別在上至少各一個零點，因此在區(qū)間上的零點至少有3個．故選：B.例9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）方程的根所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】構(gòu)造函數(shù)，因為和在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，因為，，，由的單調(diào)性可知，，則，故函數(shù)的零點所在的區(qū)間為，即方程的根屬于區(qū)間．故選：C變式5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∵，，，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為.故選：C變式6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若是函數(shù)的零點，則屬于區(qū)間（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，即.又為上的減函數(shù)，由零點存在定理，可得函數(shù)有且只有一個零點且零點.故選：B．【方法技巧與總結(jié)】解答這類判斷函數(shù)零點的大致區(qū)間的選擇題，只需用函數(shù)零點的存在性定理依次檢驗所提供的區(qū)間，即可得到答案．題型四：根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍例10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)得，解得，故選：A例11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)存在1個零點位于內(nèi)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若函數(shù)存在1個零點位于內(nèi)，單調(diào)遞增,又因為零點存在定理，.故選：A.例12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】和在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，只需即可，即，解得．故選：B.變式7．（2023·高一單元測試）已知函數(shù)，若恰有兩個零點，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，，得成立，因為函數(shù)恰有兩個零點，所以時，有1個實數(shù)根，顯然a小于等于0，不合要求，當(dāng)時，只需滿足，解得：.故選：C變式8．（2023·遼寧鞍山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點，則正整數(shù)（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】函數(shù)的定義域為，且在上是減函數(shù)；易得，，∴，根據(jù)零點存在性定理及其單調(diào)性，可得函數(shù)的唯一零點所在區(qū)間為，∴．故選：C．題型五：根據(jù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍例13．（2023·江蘇南京·高一南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)只有一個零點，則的取值集合為【答案】【解析】（1）若，即時，①當(dāng)時，此時，此時沒有零點，②當(dāng)時，此時，令，解得，符合題意，（2）當(dāng)時，令，則，解得或1（舍去），綜上或，則的取值集合為.故答案為：.例14．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若存在3個零點，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】.【解析】由存在3個零點，即方程有3個實數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有3個不同的交點，因為函數(shù)，畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，將點代入，可得，此時，要使得函數(shù)和的圖象有3個不同的交點，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.

例15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】

如圖所示，根據(jù)二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可作出分段函數(shù)的圖象，可知而有兩個不同零點等價于函數(shù)與函數(shù)有兩個不同交點，結(jié)合圖象可知.故答案為：變式9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個根，若，則方程可化為：，得，不成立；若時，設(shè)方程的兩根為，且，得，且，當(dāng)時，有故，，不符合題意；若時，則函數(shù)圖象開口向上，又，若函數(shù)在上恰有一個零點，則，所以.綜上：.故答案為：變式10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有7個零點，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】函數(shù)的圖象如下圖所示：

令，函數(shù)可化為，函數(shù)有7個零點，等價于方程有7個不相等的實根，當(dāng)時，可有三個不相等的實根，當(dāng)時，可有四個不相等的實根，當(dāng)時，可有三個不相等的實根，設(shè)的兩根為，且，若，方程無零根，不符合題意，若，，由題意可知：，若，則有，此時，這時，顯然不滿足，綜上所述：實數(shù)的取值范圍是，故答案為：變式11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)有兩個不同零點，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可知，方程有兩個不同解，故，即.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】體現(xiàn)了函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，它對于解決有更多限制條件的問題提供了一種新的途徑．題型六：一次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍例16．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)的表達式在內(nèi)有零點，則實數(shù)的取值范圍．【答案】【解析】當(dāng)時，，顯然不成立；當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)有零點，需，即，即，解得或，故實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：例17．（2023·高一?？颊n時練習(xí)）若方程的根在內(nèi)，則的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)，則，解得：，即的取值范圍為.故答案為：.例18．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)在上存在，使，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】函數(shù)在上存在，使故答案為變式12．（2023·浙江杭州·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間上有零點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題意，函數(shù)在區(qū)間上有零點，當(dāng)時，函數(shù)，此時函數(shù)沒有零點；當(dāng)時，要使得函數(shù)在區(qū)間上有零點，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.題型七：二次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍例19．（2023·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)若關(guān)于x的方程恰有3個實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為.【答案】【解析】當(dāng)時，，令，解得或當(dāng)時，由關(guān)于x的方程恰有3個實數(shù)解，所以當(dāng)時，有唯一實數(shù)解，所以，解得或所以實數(shù)a的取值范圍為故答案為：例20．（2023·江蘇揚州·高一江蘇省高郵中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)集合，，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可知方程有負數(shù)根，若，符合題意；若，則，顯然方程有兩個不等實數(shù)根，且，即該兩實數(shù)根異號，符合題意；若，則函數(shù)的對稱軸為，若要滿足題意，則需；綜上所述：.故答案為：例21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)，該直線恒過點，方程有四個不同的實數(shù)根，如圖作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象，則，所以直線與曲線有兩個不同的公共點，所以在有兩個不等實根，令，實數(shù)a滿足，解得．

故答案為：變式13．（2023·浙江臺州·高一臺州一中?？奸_學(xué)考試）已知點的坐標(biāo)分別為，，若二次函數(shù)的圖像與線段有且只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】或【解析】①當(dāng)二次函數(shù)與軸有兩個交點時，如圖1，因為二次函數(shù)的圖像與線段有且只有一個公共點，的坐標(biāo)分別為，，所以，解得.由，得，此時，符合題意.由，得，此時，不符合題意.所以.②當(dāng)二次函數(shù)與軸僅有一個交點時，如圖2，令，由得，當(dāng)時，，不合題意；當(dāng)時，，符合題意.綜上，的取值范圍是或.

故答案為：或.變式14．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)y＝x2＋x＋m的兩個零點都是負數(shù)，則m的取值范圍為．【答案】【解析】因為函數(shù)y＝x2＋x＋m的兩個零點都是負數(shù)，所以可轉(zhuǎn)化為的兩個根均為負數(shù)，則，解得m的取值范圍為，故答案為：變式15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則的取值集合是.【答案】【解析】

由已知得，，.由二次函數(shù)圖象及函數(shù)零點存在定理可知，該函數(shù)在內(nèi)只有一個零點，只需，解得.故答案為：.變式16．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若方程的兩根分別在區(qū)間和內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】令，因為方程的兩根分別在區(qū)間和內(nèi)，所以，解得，故答案為：題型八：指對冪函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍例22．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有3個不同的實根，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，，當(dāng)時，或，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.因為方程有3個不同的實根，所以有3個不同的交點，如圖，

由可得，又，解得，所以.故選：A例23．（2023·天津·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若函數(shù)有四個不同的零點，，，，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的四個不同的零點，，，，就是函數(shù)與兩個圖象四個交點的橫坐標(biāo)，作出函數(shù)的圖象，對于A，，當(dāng)時，，令，解得，結(jié)合圖象可知，故A錯誤；結(jié)合圖象可知，解得，故B正確；又，且，所以，即，所以，故C錯誤；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象得出，所以，故D錯誤；故選：B例24．（2023·湖北荊門·高一荊門市龍泉中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)若關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：因為關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)根，則關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不等的實根，設(shè)，則函數(shù)在內(nèi)有兩個不等的零點，所以，，解得.故選：A.變式17．（2023·江西撫州·高一江西省撫州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知,,函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則又因為,這兩函數(shù)均單調(diào)遞增，當(dāng)時，,解得.故選:D.變式18．（2023·湖南岳陽·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)，若互不相同，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨設(shè)，作出函數(shù)的圖象，如圖：由圖可知，，，，因為，所以，所以，所以，所以，所以.因為二次函數(shù)的對稱軸為，因為，所以，所以，因為，所以，所以.故選：C變式19．（2023·吉林白城·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，若，，互不相等，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，即當(dāng)，；當(dāng)，；不妨設(shè)，做出函數(shù)的大致圖像，如下圖所示，結(jié)合圖像可得：，，即，的取值范圍是故選:C變式20．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有四個不同的解，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意作函數(shù)與的圖象如下，∵方程有四個不同的解，且，∴關(guān)于對稱，即，當(dāng)?shù)没?，則，故，故選：A.題型九：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用例25．（2023·山東棗莊·高一棗莊市第三中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)為偶函數(shù)．(1)求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)有大于0的零點，求實數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)，那么是否存在實數(shù)，使得的最小值為1，若存在，求出的值，若不存在，說明理由．【解析】（1）函數(shù)的定義域為,，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，得；（2）由（1）可知，，，等價于，若函數(shù)有大于0的零點，即的取值范圍為的值域，當(dāng)時，，，則，所以實數(shù)的取值范圍是；（3），，，令，，，函數(shù)的對稱軸當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，，所以，得，成立，當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞減，，所以，得，舍去，當(dāng)時，即，函數(shù)的最小值為，所以，得，舍去，綜上可知，.例26．（2023·安徽亳州·高一渦陽縣第二中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，R．(1)若為偶函數(shù)，求a的值；(2)令．若函數(shù)在上有兩個不同的零點，求a的取值范圍．【解析】（1）由已知得函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，化簡整理得，即恒成立，故．（2）由得，即，，所以的兩個零點為，，因為，，且，所以，且，解得，且．故a的取值范圍是．例27．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)，，求函數(shù)的最小值；(2)設(shè)，若函數(shù)與圖象有個公共點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為，則，，設(shè)，則，則，則二次函數(shù)的對稱軸方程為.當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，；當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，；當(dāng)時，即當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，.綜上：.（2），因為函數(shù)與圖象有個公共點，由可得且，由，可得，設(shè)，則，即，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以方程有兩個不等的正根，所以，，解得，因此，實數(shù)的取值范圍為.變式21．（2023·陜西西安·高一西安中學(xué)?？计谥校┮阎x域為的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的值，并判斷函數(shù)的單調(diào)性（給出單調(diào)性即可，不要求證明）；(2)設(shè)關(guān)于的函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，可得，此時，對任意的，，所以，當(dāng)時，函數(shù)為奇函數(shù)，合乎題意.因此，.因為，故函數(shù)在上為減函數(shù)，證明如下：任取、x2∈R且，所以，，則，所以，，故函數(shù)為上的減函數(shù).（2）由可得，因為函數(shù)在上的減函數(shù)，則，所以，，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，當(dāng)時，函數(shù)有零點.變式22．（2023·安徽阜陽·高一安徽省潁上第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù).(1)求的值；(2)當(dāng)，函數(shù)存在零點，求實數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題得的定義域為，∵是偶函數(shù)，∴，即對任意恒成立，∴，∴；（2）即，因為當(dāng)，函數(shù)有零點，即方程有實數(shù)根.令，則函數(shù)與直線有交點，∵，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，當(dāng)時有，∴，則，所以a的取值范圍是；（3）因為，又函數(shù)與的圖象只有一個公共點，則關(guān)于x的方程只有一個解，又函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域滿足，即當(dāng)時，定義域為，當(dāng)時，定義域為，所以，令，得，①當(dāng)，即時，此方程的解為，不滿足題意；②當(dāng)，即時，則，即，此時，又，，所以此方程有一正一負根，且正根大于，所以，解得，所以；③當(dāng)，即時，則，即，若方程有根兩根，又，，所以此時方程為兩個負根，不符合題意；④當(dāng)時，則，即，要使得方程唯一的在內(nèi)的根，則，解得，綜合①②③④得，實數(shù)m的取值范圍為：.變式23．（2023·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時，求的零點；(2)當(dāng)為偶函數(shù)時，①求的值；②設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，外層函數(shù)為上的增函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，函數(shù)的零點為.（2）當(dāng)為偶函數(shù)時，，①，因為，即，所以，對恒成立，則，解得；②因為函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點，所以，只有一解，即只有一解，

所以，只有一解，令，則關(guān)于的方程只有個正數(shù)解，

（Ⅰ）當(dāng)時，，不合題意；（Ⅱ）當(dāng)時，，設(shè)方程兩根為、，則，所以，方程有一正一負根，負根舍去，符合題意；（Ⅲ）當(dāng)時，因為當(dāng)時，，故只需，解得.綜上：實數(shù)的取值范圍為或.變式24．（2023·山東泰安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)已知，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，求的解析式；(2)若函數(shù)有且只有一個零點，求a的值；(3)設(shè)，若對任意，函數(shù)在上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍．【解析】（1）由題知，當(dāng)，，設(shè)．則，所以，因為是奇函數(shù)，所以，又因為所以；（2）令，整理得，因為有且只有一個零點，所以方程有且只有一根或兩相等根，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，只需所以，此時，符合題意綜上，或．（3）在上任取，且，則，．所以，所以在上單調(diào)遞減．所以函數(shù)在上的最大值與最小值分別為，．所以，即，對任意成立．因為，所以函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，y有最小值，所以，解得．所以a的取值范圍為．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚中高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若二次函數(shù)在區(qū)間有且僅有一個零點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】二次函數(shù)的對稱軸為，因為函數(shù)在區(qū)間有且僅有一個零點，所以，得，即的取值范圍為，故選：A2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，．若有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，令可得，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示：由上圖可知，當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個交點，此時，函數(shù)有2個零點．因此，實數(shù)a的取值范圍是．故選：D．3．（2023·北京·高一北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù).的圖象與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)分別為，且，如圖所示，則的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．【答案】D【解析】由題意可得，即，解得.故選：D.4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)為增函數(shù)，，，，，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間為.故選：B5．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）如果關(guān)于的方程至少有一個正根，那么實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，分以下兩種情況：情形一：當(dāng)方程的兩根相等時，，此時，若，則的根為，符合題意；若，則的根為，不符合題意.情形二：當(dāng)方程有兩個不等實根時，由可得，此時又可以分以下兩種情形來討論：情形（1）：若方程的兩個不等實根中有一個正根，一個負根或零根，則，解得，當(dāng)時，方程變?yōu)榱?，此時方程沒有正根，不符合題意，當(dāng)時，方程變?yōu)榱?，此時方程有一個正根為，符合題意，故，符合題意;情形（2）：若方程有兩個不相等的正根，則???????，解得，則，綜上可得：實數(shù)的取值范圍是.故選：C.6．（2023·浙江溫州·高一蒼南中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有且只有2個不同的零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知函數(shù)，有2個不同的零點；令，得，有2個對應(yīng)的根，根據(jù)判別式法則有與兩種情況：當(dāng)時，即，得，即，解得，即，此時無解，所以此種情況不符題意；當(dāng)時，即，得；設(shè)的實根為：和，不妨設(shè)，則，則方程與一共有兩個不等實根．進一步可知：方程和有且僅有一個方程有兩個不等實根．即和中一個方程有兩不等實根，另一個方程無實根．因為，所以，即，即，則，設(shè)，則，則，所以，解得，，，即．故選：B.7．（2023·上海浦東新·高一華師大二附中校考階段練習(xí)）方程在區(qū)間和各有一個根的充要條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為一元二次方程在區(qū)間和各有一個根，令，則由題意可得，即，解得，則方程在區(qū)間和各有一個根的充要條件是.故選：B.8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)，，的零點分別為a，b，c，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，可得，因為，所以，，可得，所以；令，可得，因為，所以，，可得，所以；令，可得，因為，所以，，可得，所以；綜上，.故選：A.二、多選題9．（2023·江蘇南京·高一南京市第十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)則下列結(jié)論中正確的是（

）A．函數(shù)的定義域為R B．函數(shù)的值域為C．函數(shù)的零點是0,2 D．若，則m的取值范圍是【答案】AC【解析】由函數(shù)可得的定義域為R，故A正確；當(dāng)時，遞增，可得；時，遞增，可得，所以的值域為，故B錯誤；由，可得或，故C正確；等價為或解得或，故D錯誤．故選：AC．10．（2023·湖南岳陽·高一湖南省岳陽縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知一元二次方程有兩個實數(shù)根，，且，則的可能值為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】因為一元二次方程有兩個實數(shù)根，，且，令，則由題意可得，即解得，故選：ABC.11．（2023·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級中學(xué)校考期末）某同學(xué)用二分法求函數(shù)的零點時，計算出如下結(jié)果：，，，，.下列說法正確的有（

）A．的零點在區(qū)間內(nèi) B．的零點在區(qū)間內(nèi)C．精確到0.1的近似值為1.4 D．精確到0.1的近似值為1.5【答案】BC【解析】是增函數(shù)，因為，，所以零點在內(nèi)，所以A錯誤，B正確，又1.4375和1.40625精確到0.1的近似數(shù)都是1.4，所以C正確，D錯誤.故選：BC12．（2023·安徽銅陵·高一銅陵一中?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)有兩個零點，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】的兩個零點，，且，因此，由于，所以恒成立故，對于A，，故A正確，對于B，，故B正確，對于C，，故C正確，對于D，由于二次函數(shù)的開口向下，且對稱軸為，，且因此兩個根，，故D錯誤，故選：ABC三、填空題13．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若函數(shù)有兩個小于2的不同零點，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】【解析】若函數(shù)有兩個小于2的不同零點，則，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.14．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)為方程的解，若，則的值為.【答案】【解析】由題意可知是方程的解，所以，令，因為，為R上的增函數(shù)，根據(jù)零點存在定理可得.根據(jù)，可得.故答案為:.15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)則函數(shù)的零點為【答案】【解析】當(dāng)時，由，即，解得或（舍），當(dāng)時，由，解得，綜上可得，函數(shù)的零點為．故答案為：．16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)若方程有四個不同的解，且，則a的最小值是.【答案】1【解析】畫出的圖象如圖所示