2024屆上海市南匯中學(xué)高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆上海市南匯中學(xué)高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知AABC的內(nèi)角A,瓦C的對(duì)邊分別是a,b,c,且+"：1：礦"=2c?,若。為最大邊，則”幺的取值范圍

a2+b2c

B.(1,73)

2.尸是正四面體ABC。的面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，E為棱4。中點(diǎn)，記OP與平面成角為定值。，若點(diǎn)P的軌跡為

一段拋物線，貝！Jtane=（）

A.72B.正V2

D.2A/2

,-2丁

3.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,q=l,%=2且對(duì)于任意〃＞1,〃6"滿足色+1+邑_]=26+1）,則（）

A.%=7B.516=240C.qo=19D.520=381

4.已知s“是等差數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和，若5,018＜邑020＜邑019,設(shè)2=44+14+2,則數(shù)列」的前〃項(xiàng)和T“取最

大值時(shí)〃的值為()

A.2020B.2019C.2018D.2017

5.若xG(0,1),a=lnx,b=W,c=elnx,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b>c>aB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

6.如圖，在正方體ABCD—A4G。中，已知E、F、G分別是線段4G上的點(diǎn)，且4石=石尸==GC].則下

列直線與平面入出。平行的是（）

A.CEB.CFC.CGD.eq

7.小王因上班繁忙，來(lái)不及做午飯，所以叫了外賣(mài).假設(shè)小王和外賣(mài)小哥都在12：00~12：10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居

住的樓下，則小王在樓下等候外賣(mài)小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率是（）

1433

A.—B.—C.—D.一

2584

8.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)24海里的速度沿南偏東40。的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)5處，在C處有一座

燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70。，在3處觀察燈塔，其方向是北偏東65。，那么比C兩點(diǎn)間的距離

是（）

A.6近海里B.66海里C.80海里D.海里

9.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100],

若低于60分的人數(shù)是18人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）

020406080100成篇分

A.45B.50C.55D.60

10.如圖，AA5C內(nèi)接于圓0,A5是圓。的直徑，DC=BE,DC//BE,DC工CB,DCLCA,AB=2EB=2,則

三棱錐E-ABC體積的最大值為（）

11.設(shè)廠為雙曲線C：當(dāng)-與=1（?＞0,》＞0）的右焦點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。尸為直徑的圓與圓，+爐=。2交于產(chǎn)、

a-b2

。兩點(diǎn).若|尸。|=|0尸I，則C的離心率為

A.72B.73

C.2D.75

12.已知數(shù)列｛4｝是公比為q的等比數(shù)列，且％,%，a2成等差數(shù)列，則公比q的值為（）

101一1

A.一一B.-2C.一1或一D.1或一—

222

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛%,｝的前〃項(xiàng)和公式為S，=2〃2-〃+1,則數(shù)列｛qj的通項(xiàng)公式為_(kāi)_

14.在面積為理的AA5C中,

ABAC=25若點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)、N滿足AN=2NC，則BN.CM的最

2

大值是.

15.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件4=｛抽到一等品｝,事件5=｛抽到二等品｝,事件C=｛抽到三等品｝,

且已知P（A）=0.65,尸（為=0.2,P（C）=0.1,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為

16.在ABC中，a=49Z?=5,c=6,貝！IcosA=,ABC的面積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（X）二。一'+e'+ax,aeR.

（1）討論了（%）的單調(diào)性；

X12

⑵若/（九）存在兩個(gè)極值點(diǎn)X],%，證明：/（x1）-/（x2）＜（fl-2）（e-e"）.

18.（12分）如圖，在直三棱柱A3C—4用。1中，AB=AC=J5，3。="=2,。為的中點(diǎn)，點(diǎn)〃在線

段AA上，且平面CBM.

(1)求證：AM-A^M?

（2）求平面MOB1與平面CB^所成二面角的正弦值.

19.（12分）已知函數(shù)/'（X）=，-6!%+；必，其中4>一1.

（I）當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)/（尤）的單調(diào)區(qū)間；

（II）設(shè)/z（x）=/（X）+at-gx2-Inx,求證：h（x）>2；

（III）若+%+8對(duì)于恒成立，求人―Q的最大值.

20.（12分）有甲、乙兩家外賣(mài)公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪80元，送餐員每單制成4元；乙公司

無(wú)底薪，40單以內(nèi)（含40單）的部分送餐員每單抽成6元，超過(guò)40單的部分送餐員每單抽成7元.現(xiàn)從這兩家公司各

隨機(jī)選取一名送餐員，分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：

送餐單數(shù)3839404142

甲公司天數(shù)101015105

乙公司天數(shù)101510105

（1）從記錄甲公司的50天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取3天，求這3天的送餐單數(shù)都不小于40單的概率；

（2）假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問(wèn)題：

①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘？說(shuō)明你

的理由.

21.（12分）如圖所示，在三棱柱ABC—A4G中，AABC為等邊三角形，ZBAB^ZBB^,A51cA8=0,CO，

平面ABB^,D是線段AC上靠近A的三等分點(diǎn).

(1)求證：ABLAAX.

（2）求直線8與平面AACG所成角的正弦值.

22.（10分）已知函數(shù)/（x）=x+a?+lnx（。為常數(shù)）

（I）當(dāng)a=—5時(shí)，求/（尤）的單調(diào)區(qū)間；

（II）若/（尤）為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

由+01=2c2,化簡(jiǎn)得到cosC的值，根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求解.

a2+b2

【詳解】

由,=2/,可得（/+叱+:一//=2e

a~+b2a2+b"

22_02)+。282

可得/+/一。2C(<7+b-

a2+b~

(?2+b--c2)(c2-a--b2)+a-b-

通分得—0,

a2+b7

整理得(4+尸—02)2=/從，所以=￡>

lab4

因?yàn)镃為三角形的最大角，所以cosC=-L,

2

又由余弦定理/=a2+/-2abcosC=a2+b2+ab=(a+b)2-ab

2(a+b)2—(=2)2=g(a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng)q=b時(shí)，等號(hào)成立，

24

所以c〉走(a+與，即”2V拽，

2c3

又由a+b>c,所以竺的取值范圍是(1,亞］.

c3

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn)，余弦定理，以及基本不等式的綜合應(yīng)用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了

推理與運(yùn)算能力.

【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2,建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出面的法向量，設(shè)P的坐標(biāo)，求出向量。尸，

7t

求出線面所成角的正弦值，再由角。的范圍0,-,結(jié)合。為定值，得出sin。為定值，且尸的軌跡為一段拋物線，

所以求出坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而求出正切值.

【詳解】

由題意設(shè)四面體ABC。的棱長(zhǎng)為2,設(shè)。為8C的中點(diǎn)，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。4為x軸，以08為y軸，過(guò)。垂直于面ABC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

O-xyz,

y

則可得OB=OC=1,OA=^X2=B取。L的三等分點(diǎn)G、尸如圖,

2

in2-AG2=^~,EF,DG=

則OG=—。4=>一，AG=OE=—。4=V6

333327'

[百c2的12也屈

所以5(0,1,0)、C(0,-l,0),A、D---Ec，U,—

3333

77

V3

由題意設(shè)尸（羽"0）,DP=X—T5

?ABD和ACO都是等邊三角形，E為AD的中點(diǎn)，.CE±AD,

BECE=E9..AD，平面5c石，.?.AO=1--1-,0,為平面BC￡的一個(gè)法向量,

3y

IT

因?yàn)?。尸與平面5c石所成角為定值6,則0￡0,-,

由題意可得

c、2

2百73If276

-------xX-

ADDP\33、3,

sin0=|cos<AD,DP>|=]J

AD|.|DP|(2指丫

2x+y2+IF

3y

卜+四x2++3

—也氐-歸氐+

J(3—1『+3_/+82+3/—2+92+3/-29'

因?yàn)镻的軌跡為一段拋物線且tan。為定值，則sin8也為定值,

2y/3x%23,可得3y2=8A/§X,此時(shí)sin。=則cos9=^^,tan0-

3y2—2岳一3X2~933cos02

故選：B.

【點(diǎn)睛】

考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時(shí)的情況，屬于中等題.

3、D

【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求解數(shù)列的和，判斷選項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】

當(dāng)九.2時(shí)，S用+S32(5"+1)nS^-Sn=S“-S”-+2n%=??+2.

1,H=1

所以數(shù)列｛0｝從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列，。C

2n-2,n..2

所以，%=6,%()=18.

5“=<+(%+?(〃-1)=根〃_1)+1,si6=16x15+1=241,

S20=20x19+1=381.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

4、B

【解析】

；〉0,

根據(jù)題意計(jì)算的019〉。,“2020<。，^2019+^2020>°，計(jì)算T<°，〉0,得到答案.

=2018^2019%18%19

【詳解】

s〃是等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若52018<S2020<52019,

11

99

故“2019>°,"2020<0“2019+。2020>。，bn=故~7~一

°n4A+I"〃+2

1111

<0,>0,

當(dāng)“W2017時(shí)，7->0,

2“2018^2018^2019^2020“2019〃2019a2020‘2021

1111

“2019+42020〉Q

---------1---------=-----------------------H------------------------

“2018”2019^2018^2019^2020^2019^2020^2021^201842019”2020”2021

當(dāng)〃》2020時(shí)，；<。，故前2019項(xiàng)和最大.

b“

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列和的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.

5、A

【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.

【詳解】

VxG(0,1),

.,.a—lnx<0,

b=(—),nx>(—)°=1,

22

0<c=e/n-v<e°=l,

'?a,b,c的大小關(guān)系為b>c>a.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

連接AC,使AC交6。于點(diǎn)。，連接a。、CF,可證四邊形4OCE為平行四邊形，可得利用線面平

行的判定定理即可得解.

【詳解】

如圖，連接AC,使AC交3。于點(diǎn)。，連接a。、CF,則。為AC的中點(diǎn)，

在正方體ABC。-A4G2中，A4〃CG且M="1，則四邊形A4CC為平行四邊形,

AG〃AC且4G=AC,

。、廠分別為ac、AG的中點(diǎn)，二4/〃oc且AR=oc，

所以，四邊形為平行四邊形，則CF〃4。，

?.?CFz平面A#。，A。u平面48。，因此，c尸〃平面450.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面平行的判定，考查了推理論證能力和空間想象能力，屬于中檔題.

7、C

【解析】

設(shè)出兩人到達(dá)小王的時(shí)間，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

x<y

設(shè)小王和外賣(mài)小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時(shí)間分別為蒼y,以12：00點(diǎn)為開(kāi)始算起，則有,「在平面直角

坐標(biāo)系內(nèi)，如圖所示：圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,

10?101創(chuàng)010-工倉(cāng)65R

p—22__■

—1070-8

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

8、A

【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形A3C的三個(gè)內(nèi)角，再結(jié)合A5可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.

【詳解】

由題意可知：ZBAC=70°-40°=30o.ZACZ>=110°,/.ZACB=110°-65°=45°,

:.ZABC=180°-30°-45°=105°.又43=24x0.5=12.

BC

在AA5C中，由正弦定理得------

sin450sin30°

12BC

即正—1，：?BC=6亞-

F2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中

檔題.

9、D

【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高x組距計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率，再根據(jù)樣本容量=頻會(huì)數(shù)求出班級(jí)人數(shù).

頻率

【詳解】

根據(jù)頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）x20=0.30,

1Q

...樣本容量（即該班的學(xué)生人數(shù)）是」=60（人）.

0.30

故選：D.

【點(diǎn)睛】

頻數(shù)

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了頻率=怦日的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題

樣本容量

10、B

【解析】

根據(jù)已知證明班1平面ABC,只要設(shè)AC=x,則3C=44—/（0<%<2）,從而可得體積

22

yE-ABc=^^4-x=^x-（4-x）,利用基本不等式可得最大值.

【詳解】

因?yàn)镈C=BE,DC!/BE,所以四邊形DCBE為平行四邊形.又因?yàn)镈C±CB,DC±CA,CBr\CA=C,CB平面

ABC,C4u平面ABC,

所以DC,平面ABC,所以BE1平面ABC在直角三角形ABE中，AB=2EB=2,

設(shè)AC=x,則5c=,4—尤2（0<x<2）,

所以5土山=：40-80=：1,4—公，所

11,22、2

以匕.WC=%X-j4_x2=%水2（4_%2）.又因?yàn)橛?（4_%2）<[廠+；—X],當(dāng)且僅當(dāng)

/2A2、2

X2（4-X2）<、*,即x=0時(shí)等號(hào)成立，

I2J

所以（VE—ABCL。

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長(zhǎng)為X,

用建立體積￡與邊長(zhǎng)X的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.

11、A

【解析】

準(zhǔn)確畫(huà)圖，由圖形對(duì)稱(chēng)性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率.

【詳解】

設(shè)PQ與X軸交于點(diǎn)A,由對(duì)稱(chēng)性可知軸，

又|PQ|=|B|=c,.?.|PA|=],.1PA為以為直徑的圓的半徑，

.?公為圓心|。4|=￡.

2

又P點(diǎn)在圓犬+/=/上，

222

CC2日nC2e￡=2.

------1-------CI9即——Q,

442a

本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時(shí)注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾,

運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問(wèn)題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問(wèn)題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)事半

功倍，信手拈來(lái).

12、D

【解析】

由a3,a2成等差數(shù)列得2a3+a?,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式展開(kāi)即可得到公比q的方程.

【詳解】

由題意2a3=a[+22,?\2aiq2=aiq+a],/.2q2=q+l,，q=l或q=-g

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差等比數(shù)列的綜合，利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵，對(duì)于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式也要熟練.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

-2,"=1

13、a=v

"[4n-3,n>2

【解析】

由題意，根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)4與前n項(xiàng)和5“之間的關(guān)系，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【詳解】

由題意，可知當(dāng)〃=1時(shí)，q=S[=2；

當(dāng)2時(shí)，an-Sn-Sn_x=2/一〃一2（〃-1）2+〃一I=4〃一3.

2,n=1

又因?yàn)閝=l不滿足?=4〃—3,所以4=

4n-3,n>2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和S〃之間的關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中解答中熟記數(shù)列的通項(xiàng)與

前n項(xiàng)和3之間的關(guān)系，合理準(zhǔn)確推導(dǎo)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14、迪_2癡

3

【解析】

由任意三角形面積公式與A"AC=2百構(gòu)建關(guān)系表示H5IIACI，再由已知與平面向量的線性運(yùn)算、平面向量數(shù)量積

的運(yùn)算轉(zhuǎn)化BNCM，最后由重要不等式求得最值.

【詳解】

由4ABC的面積為如得!\AB\\AC\sinZBAC=—,

222

所以1ABMqsin/5AC=",①

又A5-AC=26,即|A3||4C|COS/BAC=2G，②

由①與②的平方和得：|A3hC|=3A/2，

又點(diǎn)M是48的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足AN=2NC，

所以BMC"=（5A+A7V）.（G4+AM）=,A3+gAc）,AC+；A“

4--2-21--2

=-ABAC——AC——AB

332

8A/32,「21.y,800/2A.21.28百°二

3323V323

當(dāng)且僅當(dāng)|402=34/n?=子,。|時(shí)，取等號(hào)，

即BNCM的最大值是為垣-2n.

3

故答案為：述一2n

3

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量中由線性運(yùn)算表示未知向量，進(jìn)而由重要不等式求最值，屬于中檔題.

15、0.35

【解析】

根據(jù)對(duì)立事件的概率和為1,結(jié)合題意，即可求出結(jié)果來(lái).

【詳解】

解：由題意知本題是一個(gè)對(duì)立事件的概率，

抽到的不是一等品的對(duì)立事件是抽到一等品，

P(A)=0.65,

???抽到不是一等品的概率是尸=1—尸(A)=1-0.65=0.35,

故答案為：0.35.

【點(diǎn)睛】

本題考查了求互斥事件與對(duì)立事件的概率的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

利用余弦定理可求得cosA的值，進(jìn)而可得出sinA的值，最后利用三角形的面積公式可得出A6c的面積.

【詳解】

由余弦定理得cosA="+＞礦=5一+6、4-=』，貝°$缶A=Vl-cos2A=也，

2bc2x5x644

因此，ABC的面積為SARC=—besinA=—x5=.

c2244

故答案為："E.

44

【點(diǎn)睛】

本題考查利用余弦定理解三角形，同時(shí)也考查了三角形面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)求得了(X)的導(dǎo)函數(shù)/'(%),對(duì)。分成a<2,a>2兩種情況，討論/(%)的單調(diào)性.

(2)由(1)判斷出"的取值范圍，根據(jù)韋達(dá)定理求得和馬的關(guān)系式，利用差比較法，計(jì)算

X1V1

/(^)-/(x2)-(a-2)(e-e^)=fl(e^]-e+2%)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)且(。=『+2中>0),利用導(dǎo)數(shù)證得

g(/)<0,由此證得a(e』—e』+2xJ<0,進(jìn)而證得不等式/&)—/(々卜.—2乂爐—巴成立.

【詳解】

、(e『ae*+l

⑴(x)=-e〉'-ex+a=--------------------,

當(dāng)aW2時(shí)，f(x)<0,此時(shí)/(%)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>2時(shí)，由/(%)=0解得.m匕仆上或.”in”耳三上，?y=e”是增函數(shù)，.?.此時(shí)〃龍)在

-a+J；心,+op單調(diào)遞減，在

(2)由(1)知。>2.e$=1,xI+x2^0,占=一々，

x,

不妨設(shè)玉〉％,二不>0,f(x1)-f(x2)-(a-2)(e-e^j

=(e-Xl-爐+g)一(e——e馬+5)一(a—2)(eX1-b)=a(尸一e"+2%),

令g(/)=e，—e'+>0),

g，?)=—e—‘一e'+2=—[e'+t)+2W—21年.=+2=0,

g⑴在(0,+8)上是減函數(shù)，g⑴<g⑼=0,

A1

:.a(ef-e"i+2%)<0,即/(x1)-/(x2)<(?-2)(e-e^^.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸

與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

18、見(jiàn)解析

【解析】

(1)如圖，連接BG，交C4于點(diǎn)N,連接AN,ON,則N為c旦的中點(diǎn)，

因?yàn)?。為的中點(diǎn)，所以O(shè)N//BB、,

又MA//BB、,所以O(shè)N〃肋4,,從而。，N,A，以四點(diǎn)共面.

因?yàn)?M平面C4A，。/欣匚平面^^加，平面OMI1Ml平面。44=叫，所以O(shè)M〃W4,.

又ON//M&,所以四邊形OM41M為平行四邊形，

所以肱4,=ON=gB3]，所以AM=AM

(2)因?yàn)锳6=AC,。為BC的中點(diǎn)，所以AOL3C,

又三棱柱ABC—A^iG是直三棱柱，ON//BB、,

所以Q4,OB,ON互相垂直，分別以08，0N＞。4的方向?yàn)閤軸、V軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系。-孫z,

因?yàn)锳B=AC=0，3。=明=2,所以。(0,0,0),4(1,2,0),M(0,l,l),C(-l,0,0),

所以O(shè)M=A^=(0,1,1),。耳=(1,2,0),西=(2,2,0).

OMm=0y+z=0

設(shè)平面加。用的法向量為機(jī)=(羽y,z),貝小,即

OB1?m=0x+2y=0'

令z=l，可得y=T,無(wú)=2,所以平面MO4的一個(gè)法向量為m=(2,-1,1).

NAn=0b+c=O

設(shè)平面C4A的法向量為〃=(a,b,c),貝！|,即

2a+2b=0'

CB1-n=0

令c=l,可得匕=—1,a=l,所以平面C3W的一個(gè)法向量為“=(l,-u),

2xl-lx(-l)+lxl42班

所以COS〈》l,"〉=

722+(-1)2+12Jl2+(-l)2+l23忘一3，

所以平面〃。4與平面A所成二面角的正弦值為g.

19、(I)函數(shù)/Xx)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)減區(qū)間為(—8,0)；(II)證明見(jiàn)解析；(UI)1+-.

e

【解析】

(I)利用二次求導(dǎo)可得廣'(尤)=e'+l>0,所以廣(x)在R上為增函數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)FW的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),

單調(diào)減區(qū)間為(-8,0);(II)利用導(dǎo)數(shù)可得°(x)=〃(x)=e'-工在區(qū)間(0,+8)上存在唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)/x)在(0,%)

X

遞減，在(%,+8)遞增，則依x)，7(x0)=*-/啄='-/%,進(jìn)而可證；(UI)條件等價(jià)于d-依-X/對(duì)于xeR恒

成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=e=ax-尤，利用導(dǎo)數(shù)可得g(x)的單調(diào)性，即可得到g(x)的最小值為

g(/〃m+l))=a+l-(a+l)/〃(a+l),再次構(gòu)造函數(shù)9(a)=l-(a+l)Zn(a+l),a>-l,利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而

求得最大值.

【詳解】

(I)當(dāng)。=1時(shí)，f(x)=e"—x+5x",

則_f(x)=eJl+x,所以/'(0)=0,

又因?yàn)椤ā?="+1>o,所以m在R上為增函數(shù)，

因?yàn)?'(0)=0,所以當(dāng)尤>0時(shí)，r(x)>0,為增函數(shù)，

當(dāng)*<0時(shí)，/'(尤)<0,f(x)為減函數(shù)，

即函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)減區(qū)間為(-8,0)；

、11

(II)h(x)=ex-ax+—x2~+ax——x2-Inx=e'x-Inx,

22

則令9(x)=〃(x)=e*-工，則。(1)=e-l>0,^(-)=Je-2<0,

x2

所以(P(X)在區(qū)間(0,+8)上存在唯一零點(diǎn)，

1員1

設(shè)零點(diǎn)為瓦，則/cQ/)，且*=一,

2xo

當(dāng)xe(0,x())時(shí)，h'(x)<0,當(dāng)無(wú)e(尤0,+co),h'(x)>0,

所以函數(shù)以x)在(0,%)遞減，在(無(wú)。，+s)遞增，

h(x)..h(x。)=e"—lnx0=——lnx0,

一x0

心11

由*=—,得111%=一%0，所以/7(XO)=XO+—..2,

X。Xo

由于玉1c(g,l),〃(不)>2,從而〃(x)>2；

(III)因?yàn)?(x)..gV+x+6對(duì)于xeR恒成立，即e*-依-無(wú).2對(duì)于xcR恒成立，

不妨令g(x)=ex-ax-x,

因?yàn)間'(尤)=/-(〃+1),a>-l,

所以g'(x)=0的解為x=ln(a+1),

則當(dāng)x>/〃(a+l)時(shí)，gr(x)>0,g(x)為增函數(shù),

當(dāng)x</〃(a+l)時(shí)，gr(x)<0,g(x)為減函數(shù)，

所以g(x)的最小值為g(ln(a+l))=a+l-(a+l)ln(a+1),

則b—a,1—(a+1)歷(a+1),

不妨令。(a)=1-3+1)加3+1),a>—l,

貝！10，(a)=-ln(a+l)-l=O,解得〃=—]+l,

e

所以當(dāng)a<—1+工時(shí)，d(a)>0,(P(a)為增函數(shù)，

e

當(dāng)。>-1+1時(shí)，(P'(a)<0,(P(a)為減函數(shù)，

e

所以9(?)的最大值為o(-l+3=l+L

ee

則人—a的最大值為1+』.

e

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，以及函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的解法，意在考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)

運(yùn)算能力，屬于較難題.

20、(1)言29；(2)①分布列見(jiàn)解析，E(X)=238.6；②小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.

140

【解析】

(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件A,可得P(A)的值.

(2)①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為a,可得當(dāng)a=38時(shí)，X=38x6,以此類(lèi)推可得：當(dāng)。=39時(shí)，當(dāng)a=40時(shí)，X

的值.當(dāng)a=41時(shí)，X的值，同理可得：當(dāng)a=42時(shí)，X.X的所有可能取值.可得X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

②依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數(shù).可得甲公司送餐員日平均工資，與乙數(shù)學(xué)期望比較即可得出.

【詳解】

解：(1)由表知，50天送餐單數(shù)中有30天的送餐單數(shù)不小于40單，

記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件A,

29

則尸(A)=0

140

(2)①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為九，日工資為X元，則

當(dāng)〃=38時(shí)，X=38x6=228；當(dāng)〃=39時(shí)，X=39x6=234；當(dāng)〃=40時(shí)，X=40x6=240；

當(dāng)〃=41時(shí)，X=40x6+7=247；當(dāng)〃=42時(shí)，X=40x6+14=254.

所以X的分布列為

X228234240247254

13111

p

51055io

E(X)=228x-+234x—+240x-+247x-+254x—=238.6.

5105510

②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為

38x0.2+39x0.2+40x0.3+41x0.2+42x0.1=39.8,

所以甲公司送餐員的日平均工資為80+4x39.8=239.2元，

因?yàn)?38.6<239.2,所以小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.

【點(diǎn)睛】

本題考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、古典概率計(jì)算公式、組合計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中

檔題.

21、(1)證明見(jiàn)解析(2)叵

11

【解析】

(1)由故=所以四邊形片為菱形，再通過(guò)AC。4gACO5,證得49=30,

所以四邊形ABB,A為正方形，得到AB±AA,.