廣東省重點(diǎn)中學(xué)2024屆高考模擬卷數(shù)學(xué)試卷含解析

廣東省重點(diǎn)中學(xué)2024屆高考卷數(shù)學(xué)試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)平面々與平面夕相交于直線相，直線。在平面a內(nèi)，直線力在平面夕內(nèi)，且6,小貝!]“。，尸”是“aJ_?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分不必要條件

2%+]九＜0

2.已知函數(shù)，（x）=J?"，則方程/■[/（%）]=3的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（）

inx\,x＞u

A.6B.3C.4D.5

3.已知方程+=—1表示的曲線為y=/（x）的圖象，對(duì)于函數(shù)y=/（x）有如下結(jié)論：①/（》）在（-＜孫收）上

單調(diào)遞減；②函數(shù)E（x）=/（%）+x至少存在一個(gè)零點(diǎn)；③丁=/（國）的最大值為1；④若函數(shù)g（x）和/Xx）圖象關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱，則y=g（x）由方程+=1所確定；則正確命題序號(hào)為（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

4.已知。：叫〉l,logi/〉：；q：VxeR,e，〉x,則下列說法中正確的是（）

22

A.是假命題B.夕八4是真命題

c.pv（-1q）是真命題D.0A（-1q）是假命題

5.我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢”的長寬比為夜：1.在東方文化中通常稱這個(gè)比例為“白銀比例”，該比例在設(shè)計(jì)和

建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái)，塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺(tái)

到塔底的高度之比，第二展望臺(tái)到塔底的高度與第一展望臺(tái)到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”，若兩展望臺(tái)間高度

差為100米，則下列選項(xiàng)中與該塔的實(shí)際高度最接近的是（）

A.400米B.480米

C.520米D.600米

6.已知拋物線。：產(chǎn)=4內(nèi)（“〉0）的焦點(diǎn)為廠，過焦點(diǎn)的直線與拋物線分別交于A、3兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于

\FB\

點(diǎn)S,與準(zhǔn)線/交于點(diǎn)T,且|E4|=2|AS|,則e=（）

I八|

27

A.B.2C.一D.3

52

7.一個(gè)組合體的三視圖如圖所示（圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1）,則該幾何體的體積是（）

C.2%—2D.2?！?

8.若2。+3〃=3"+2人，則下列關(guān)系式正確的個(gè)數(shù)是（）

@b<a<0?a=b?0<a<b<l@l<b<a

A.1B.2C.3D.4

5萬

9.函數(shù)8（力=擊皿（。龍+夕）（4>0,。<0<2萬）的部分圖象如圖所示，已知g（O）=gV3函數(shù)y=/(x)

的圖象可由y=g（x）圖象向右平移g個(gè)單位長度而得到，則函數(shù)/（九）的解析式為（）

A./(x)=2sin2xB./(x)=2sin[2x+y

C./(x)=-2sinxD./(%)=2sin(2x-y

10.已知等差數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S〃，若縱=16,4=1，則數(shù)列｛為｝的公差為（）

3322

A.lB.----C.—D.-----

2233

/v2

11.已知白，工是橢圓C：二+七=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，過尸2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn).若

ab

IQ鳥I,|帆|,|9片|依次構(gòu)成等差數(shù)列，且IP。1=|尸用，則橢圓。的離心率為

23

A.叵

i4~5~15

12.將一塊邊長為acm的正方形薄鐵皮按如圖(1)所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工

成一個(gè)正四棱錐形容器，將該容器按如圖(2)放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為720cm3,

D.12

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若sincc-=—,貝！|sin2a=

I4J5

14.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)(0,2)作傾斜角為135。的直線/,已知直線/與圓/十/一2%=。相交于

A5兩點(diǎn)，則弦的長等于.

rr

15.已知向量a=(cos50,sin50),b-(cos65°,sin65°),貝！|2a+〃=.

16.設(shè)S“為等比數(shù)列｛4｝的前項(xiàng)和，若q=l,且玷，2s2,S3成等差數(shù)列，則.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=2ax+Zzx-l-21nx(aeR).

(I)當(dāng)6=0時(shí)，討論函數(shù)7。)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若對(duì)任意的ae［1,3］和xe(0,+8),f(x)>2法一3恒成立，求實(shí)數(shù)力的取值范圍.

18.(12分)已知函數(shù)/。)=［1」］%(尤)=q-1(4€&(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，32.718…).

(1)求函數(shù)/(%)的圖象在X=1處的切線方程；

(2)若函數(shù)丁=號(hào)在區(qū)間［4,5］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)若函數(shù)Mx)=〃x)+(x)在區(qū)間(0,+oo)上有兩個(gè)極值點(diǎn)%，尤2(再〈尤J，且/2(再)<〃2恒成立，求滿足條件的機(jī)的

最小值(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值).

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=e*+at,g(x)=e1nx.

(1)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)xNO,/(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)。的范圍；

(2)當(dāng)a=—1時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)/使曲線C：y=g(x)—/(%)在點(diǎn)/處的切線與y軸垂直？若存在，求

出“的值；若不存在，說明理由.

22_

20.(12分)已知橢圓C:=+==1(。〉6〉0)的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-6,0),4,3分別是橢圓的左，右頂點(diǎn)，P是橢

ab

圓上異于A,3的一點(diǎn)，且B4,P3所在直線斜率之積為-工.

4

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)Q(0,l)作兩條直線，分別交橢圓。于M,N兩點(diǎn)(異于。點(diǎn)).當(dāng)直線QM,QN的斜率之和為定值

時(shí)，直線是否恒過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理.

21.(12分)如圖在四邊形ABC。中，BA=5BC=2,E為AC中點(diǎn)，BE二叵.

(1)求AC；

TT

(2)若。=耳，求A4CD面積的最大值.

([7

-V-A/hCCSzy

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線。的參數(shù)方程為一”是參數(shù))，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，工軸的正半

y=sina

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為夕sin[e-=血.

(1)求直線/與曲線C的普通方程，并求出直線的傾斜角；

(2)記直線/與y軸的交點(diǎn)為。,M是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)的最大距離.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

試題分析：a±p,b±m(xù)-、又直線a在平面a內(nèi)，所以a，b,但直線，不一定相交，所以“a，p”是“a，b”

的充分不必要條件，故選A.

考點(diǎn)：充分條件、必要條件.

2、D

【解析】

2%+1,%<0

畫出函數(shù)/"(%)=，將方程/[/(切=3看作，=/(x)"⑴=3交點(diǎn)個(gè)數(shù)，運(yùn)用圖象判斷根的個(gè)數(shù).

|lnx|,x>0

【詳解】

2%+1,x<0

畫出函數(shù)/(%)=<

|lnx|,x>0

令『=/(。二/(。=3有兩解%?0,1)/2?1,+8),則％=/(%)"(力=/2分別有3個(gè)，2個(gè)解，故方程

/[/(x)]=3的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是3+2=5個(gè)

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運(yùn)用，分類思想的運(yùn)用，數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根，難度較大，屬于中檔題.

3、C

【解析】

分四類情況進(jìn)行討論，然后畫出相對(duì)應(yīng)的圖象，由圖象可以判斷所給命題的真假性.

【詳解】

(1)當(dāng)xNO,yNO時(shí)，x2+y2=-1,此時(shí)不存在圖象;

(2)當(dāng)尤之0,y<0時(shí)，y2-x2=1,此時(shí)為實(shí)軸為V軸的雙曲線一部分;

22

(3)當(dāng)x<0,yNO時(shí)，x-y^l,此時(shí)為實(shí)軸為x軸的雙曲線一部分；

22

(4)當(dāng)x<0,y<0時(shí)，x+y=l,此時(shí)為圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓的一部分;

對(duì)于①，f(x)在上單調(diào)遞減，所以①正確；

對(duì)于②，函數(shù)、=/(%)與丁=一兀的圖象沒有交點(diǎn)，即/(%)=/(%)+%沒有零點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，函數(shù)gO)和/(X)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則小|+y|y|=—1中用r代替X,用-y代替y,可得引丁|+小|=1,

所以④正確.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)概念，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

4、D

【解析】

舉例判斷命題P與g的真假，再由復(fù)合命題的真假判斷得答案.

【詳解】

當(dāng).”〉1時(shí)，故。命題為假命題；

2

記/(x)=6-X的導(dǎo)數(shù)為/(X)=6—1,

易知/(x)=/-x在(-CO,0)上遞減，在(0,4-00)上遞增，

.V(x)>/(0)=1>0,即VxeR,e"〉x,故《命題為真命題；

**?P八Jq)是假命題

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合命題的真假判斷，考查全稱命題與特稱命題的真假，考查指對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

5、B

【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系，結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái)的距離，進(jìn)而由比例即可求得該塔的實(shí)

際高度.

【詳解】

設(shè)第一展望臺(tái)到塔底的高度為x米，塔的實(shí)際高度為y米，幾何關(guān)系如下圖所示：

y700

X

由題意可得幽±=拒，解得x=100(行+1)；

且滿足」^=后，

x+100

故解得塔高y=(x+100)42=200(V2+1b480米，即塔高約為480米.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查了對(duì)中國文化的理解與簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為"，與y軸交于點(diǎn)N,由|E4|=2|AS|和拋物線的定義可求得|TS|,利用拋物線的性

112,.

質(zhì)西+西=五可構(gòu)造方程求得怛耳，進(jìn)而求得結(jié)果.

【詳解】

過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M,AM與V軸交于點(diǎn)N,

由拋物線解析式知：E（p,O）,準(zhǔn)線方程為1=—0.

M=2\AS\,=p.-.\AN\=^\OF\=j,.-.\AM\=ip,

419

由拋物線定義知：|A司=3M=§p,.?』AS|=5MN=3P，，|S司=2p,

.?.|re|=|SF|=2/?.

1121311,,

由拋物線性質(zhì)］7石+而后=丁=一得：—+7^|=—,解得：忸司=4〃，

\AF\\BF\2pp4P\BF\p11

?同一/一.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.

7、C

【解析】

根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體，幾何體是圓柱中挖去一個(gè)三棱柱，從而解得幾何體的體積.

【詳解】

由幾何體的三視圖可得，

幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個(gè)底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個(gè)底面腰長為&的等腰直角三角形、高為2的棱

柱，

故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積,

即v=〃■?產(chǎn)?2—」?Ji?&?2=2〃一2,

2

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體，然后根據(jù)

幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.

8、D

【解析】

a,》可看成是y=f與/(x)=2，+3x和g(x)=3'+2x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合處理.

【詳解】

令/(x)=2*+3x,g(x)=3A+2x,

作出圖象如圖，

由/(x)=2*+3x,g(x)=3*+2x的圖象可知，

/(O)=g(O)=l,/(l)=g(l)=5,②正確；

xe(-oo,0),有Z?<a<0,①正確;

xe(O,l),f(x)>g(x),有③正確；

xe(l,+oo),/(x)<g(x),有l(wèi)<b<a,④正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.

9、A

【解析】

T7171C，(o,g),即

由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性可得式=▼-2x：=u，利用周期公式可得。，再根據(jù)圖像過

2662

可求出9,A,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.

【詳解】

由圖像可知工=包—2x^=色，即7=萬,

2662

27r

所以T=——，解得。=2,

又=Asin12x?+0]=0,

JT

所以]+/=左兀(左eZ),由0<°<2乃，

所以。=事或三，

又g⑼=君，

所以Asin°=J§\(A>0),

2兀

所以夕=-^-,A=2f

即g(x)=2sin12x+等

因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象由y=g(x)圖象向右平移三個(gè)單位長度而得至！J,

所以y=/(x)=2sin2(x—+g

=2sin2x.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換，需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則，屬

于基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.

【詳解】

依題意，§8=.8(囚+/)=8(%+&)=]6,故%+4=4,故%=3,故d=&。3=二,故選：D.

82233

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

11、D

【解析】

如圖所示，設(shè)尸方1,1環(huán)1,1。印依次構(gòu)成等差數(shù)列{4},其公差為d.

q+(q+d)+(q+2d)+(q+3d)=4〃2

根據(jù)橢圓定義得色+%+生+%=4。，又4+的=生，貝卜,八c7，解得d==Q，

q+(q+d)=〃]+2d5

q=—=(a,q=二《a.所以IQ4|二，I\=~a9I尸月l=不。，IPQ\—~^a?

(-a)2+(-A)2-(2c)2(-fl)2+(-a)2-(-a)2

在心和甲。中，由余弦定理得cosNRPF。=也——，------=二-------5一，整理解得

=萼.故選D.

12、D

【解析】

推導(dǎo)出PM+/W=a,且PM=PN,MN=—a，PM=g設(shè)MN中點(diǎn)為。，則尸0_L平面ABC。，由此能表

2

示出該容器的體積，從而求出參數(shù)的值.

【詳解】

解：如圖(4),APACV為該四棱錐的正視圖，由圖(3)可知，PM+PN=a,且PM=PN=^,由APMN為等

2

腰直角三角形可知，

MN=—a,設(shè)MN中點(diǎn)為。，則尸0_L平面A3CD,二PO=LMN=《2a,

224

^p-ABCD=3x~2'a義工。=五/=720，解得a=12.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖和錐體的體積計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

7

13、——

25

【解析】

由已知利用兩角差的正弦函數(shù)公式可得sine-cosa=逑，兩邊平方，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦

5

函數(shù)公式即可計(jì)算得解.

【詳解】

.(吟?冗.兀血(.\4472

-sina----=sinacos-------cosasin—=——sina-cosa)=—,wsina-cosa------，

I442v755

4、歷327

在等式sina-cosa=*兩邊平方得1—sin2。==，解得sin2a=—二.

52525

7

故答案為：一二.

25

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了兩角差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的

應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

14、72

【解析】

方法一：依題意，知直線/的方程為y=x-tanl35o+2=-x+2,代入圓的方程化簡得/―3x+2=0,解得尤=1或2,

從而得41,1),3(2,0)或A(2,0),3(1,1),貝！JIAB|=7(1-2)2+(1-0)2=^.

方法二：依題意，知直線/的方程為丁=尤共皿135。+2=_彳+2,代入圓的方程化簡得尤2一3%+2=0,設(shè)

4（石，％）,5（々,當(dāng)），貝!|玉+龍2=3,西龍2=2,故|鉆|=+（—I?][（/+x2r—4占1]=0.

方法三：將圓的方程配方得（》一1）2+：/=1,其半徑r=1,圓心（1,0）到直線/:%+丁-2=0的距離1=白義=￥，

W+12

則|明=2〃2_筋=日

15、yfj

【解析】

求出，,忖,。），然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方，利用數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算.

【詳解】

由題意得藍(lán)=cos?So+sin?5。=1，|f/|=^-b~=cos265°+sin265°=1>卜卜L

:.a-b=cos5°cos650+sin5°sin65°=cos60°=g,（2a+Z?）=4a+4a-b+b=4+4xg+l=7,

|2a+Z?|=A/7.

故答案為：幣.

【點(diǎn)睛】

本題考查求向量的模，掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題基礎(chǔ).本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積

的運(yùn)算.

16、

【解析】

試題分析：:，=\,5-成等差數(shù)列，，二.=%+小=6=3a~=c二；，

又?.?等比數(shù)列二J,...叱-尚貧T=$?.

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列

基本量的方程即可求解，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）見解析（11）,8,2-1

【解析】

(I)首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可；(II)將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為

a+X/xe(O,+8),Vae[l,3卜恒成立，然后構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定實(shí)數(shù)b的取值范圍即可.

【詳解】

解：(I)當(dāng)6=0時(shí)，,(x)=2a=2("“_

當(dāng)aWO時(shí)，/'(X)<0在(0,+8)上恒成立，函數(shù)/(九)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，由/'(x)<0得：0<》<1；由/'(x)>0得：x>—.

aa

...當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+8),無單調(diào)遞增區(qū)間：

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是]0,}],函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[+s].

(II)對(duì)任意的a目1,3]和x?0,+<?),f(x)>2bx-3恒成立等價(jià)于：

2ac+Z?x—1—21nx>2bx—3,Vxe(0,+co),Vae[l,3卜恒成立.

即a+4一也Vxe(0,-H?),Vae[l,31恒成立.

令：g(x)=a+—-—,ae[l,3]?xe(0,+oo),

r?\11-luxlux-2八4口

則g(x)=r———=-^=0得1=0o2,

XXX

由此可得：g(x)在區(qū)間(0,e?]上單調(diào)遞減，在區(qū)間上2,+8)上單調(diào)遞增，

,當(dāng)x>°時(shí),g(x)min=g(e2)=a-。即:Va—,

又；ae[l,3],

二實(shí)數(shù)b的取值范圍是：*2-提.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于

中等題.

18、(1)y=ex-4e；(2)(5,+oo)；(3)-4.

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可;

(2)y「［尤一("；？：；%+4”N0在［4,5］上恒成立,只需M一(。+4)尤+3。+4,,0,注意到。研4,5］；

(3)(九之一4%+4)/-a=0在(0,+8)上有兩根，令加(%)=(犬之_4芯+4卜"-a,求導(dǎo)可得加(%)在(0,2)上單調(diào)遞減，

在(2,+8)上單調(diào)遞增，所以彳°、八且石￡(0,2),解—你+4)/1=%/￡(2,3),力(再)=(m—3H-1,求

m(2)=-a<0'/

出。(番)的范圍即可.

【詳解】

(1)因?yàn)?。)=(1一：卜，所以/(x)=［l-：+］卜)

當(dāng)X=1時(shí)，/(l)=-3e"?)=e,

所以切線方程為V-(-3e)=e(x-1),SPy=ex-4e.

(2)/(x)(%—4)e*,_[工2_(〃+4)x+3〃+4]/

gMa-x9y{a-x)2?

因?yàn)楹瘮?shù)>=號(hào)在區(qū)間[4,5]上單調(diào)遞增，所以。e[4,5],且y20恒成立,

即x~—(a+4)尤+3a+4,,0,

、J，-(a+4)x4+3a+4<0a>4

即<9>又ae(-oo,4)(5,+00),

5~-(a+4)x5+3a+4<0a>—

[2

故a>5,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(5,+s).

、,、(x—4)e*+(a—x)人7、—4x+4)e—a

⑶g)=/(x)+g(x)=---------------,h(x)=-------7L------

xxr

因?yàn)楹瘮?shù)h(x)=f(x)+g。)在區(qū)間(0,+co)上有兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以方程A⑺=0在(0,+co)上有兩不等實(shí)根，即(x2-4x+4)ex-a=0.

令根(x)=(d-4x+4p-a,則7”'(x)=(d-2x)e",由得x>2,

所以m(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

所以“機(jī)(2)-a<0,解得°<“<4且%*(0,2),(獰一4藥+4,、=4.

由根(3)=1—67>23—a=8—a>0,以羽w(2,3),

且當(dāng)工￡(0,%)和(%2，+8)時(shí),力(%)>0,/?(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)工￡(石,工2)時(shí)，月(X)<。，人(工)單調(diào)遞減，%,%2是極值點(diǎn),

此時(shí)3)=(…=(Hj+Wf巾_3H.1

令n(x)=(x-3)ex-1(%G(0,2)),則n(x)=(x-2)ex<0,

所以n[x)在(0,2)上單調(diào)遞減，所以/7(占)<碘)=-4.

因?yàn)?(%)〈根恒成立，所以加2-4.

m

若一12取玉=―—1,貝!|加=—4X]—4,

所以力(%)-m=(匕-3)e*'+4玉+3.

令//。)=(>-3)/+4工+3(尤>0),貝!JH'(x)=(尤-2)/+4,H(x)=(x-l)e'.

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，H(x)<0；當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，H"(x)>0.

所以/⑴=-e+4>0,

所以H(x)=(尤-3片+4x+3在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以蟲元)>蟲0)=0,

即存在再=-?-1使得力(％)>，“，不合題意.

滿足條件的a的最小值為4

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)，不等式恒成立等知識(shí)，是

一道難題.

19、(1)(―e,”)；(2)不存在實(shí)數(shù)尤0使曲線'="(尤)在點(diǎn)x=x()處的切線與丁軸垂直.

【解析】

(1)分類％=0時(shí)，恒成立，時(shí)，分離參數(shù)為?！?女，引入新函數(shù)"(％)=-4,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值即

XX

可；

(2)M(x)=f(x)-g(x)=ex]nx-ex+x,導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)M'(x),問題轉(zhuǎn)化為M'(X)=0在[l,e]上有解.再用導(dǎo)數(shù)研

究M(x)的性質(zhì)可得.

【詳解】

解：(1)因?yàn)楫?dāng)xNO時(shí)，/(1)=/+辦>0恒成立，

所以，若％=0,。為任意實(shí)數(shù)，/(力=《+公>0恒成立.

若%>0,/(x)=e*+av>0恒成立，

即當(dāng)x>0時(shí)，a>-—,

X

>n?/xexz、exx-ex(l—x)e*

設(shè)H(x)=——，H'(x)=--------=——/—,

xxx

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，H'(x)>0,則H(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(l,a)時(shí)，H［x)<0,則H(x)在(1,+⑹上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=l時(shí)，H(x)取得最大值.

HWmax=H(1)=~e>

所以，要使xNO時(shí)，/(尤)>0恒成立，。的取值范圍為(一3”).

(2)由題意，曲線。為：y=ex\nx-ex+x.

令=e*lnx-eX+x,

所以M［x)=J+e'lnx—e'+l=\+lnx—1卜+1,

設(shè)咐),+lnx-1,則力(％)=_」+工=二，

XXXX

當(dāng)工￡［l,e］時(shí)，/z*(x)>0,

故人(x)在［l,e］上為增函數(shù)，因此力(“在區(qū)間［1,目上的最小值/z(l)=lnl=O,

所以力(尤)=—+lnx-l>0,

當(dāng)無ow［l,e］時(shí)，e苑>0,—+lnx0-l>0,

xo

(1、

所以M')-...FIn—1e"+1>0,

)

曲線y=/Inx-e，+x在點(diǎn)x=/處的切線與V軸垂直等價(jià)于方程M'(%)=。在％e［1,e］上有實(shí)數(shù)解.

而AT(不)>0,即方程"(為)=0無實(shí)數(shù)解.

故不存在實(shí)數(shù)無oe[1，e]，使曲線y=〃（％）在點(diǎn)X=X。處的切線與y軸垂直.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式恒成立，考查用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由導(dǎo)數(shù)幾何把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.本題屬于困難題.

20、（1）]+/=1（2）直線MN過定點(diǎn)]一/,一“

【解析】

（1）kpA-kpB=—二1n—b\~=—1L,再由片=尸+3,解方程組即可；

2

4a4

（2）設(shè)N（x2,y2）,由%得2何%+（加一1）（石+%2）=%%2，由直線MN的方程與橢圓

方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入計(jì)算即可.

【詳解】

7?21

（1）由題意知：C=A/3，又kpA，kpB=---2=9且。2=62+02

解得a=2,b=li

J橢圓方程為土+/=1,

4

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為＞=丘+根，設(shè)/（％,%）,Ng，%），

y=kx+m

由％2+4/=4,得(1+4左2卜2+8^^+4蘇一4=0

—8km4m2—4

貝!|九1+w=(*)

1+4左2卒2=二記

由k0M+k°N

得村+加一1+kx2+m-l

=t,

整理可得2Axi%2+（加-1）（%+%2）=比送2

4m2—48km4m2—4

(*)代入得2左—(m—1)

1+4左21+4左21+4/

整理可得（加一1）（2左-tm+t）=O,

又加

根=竺-1,

y—kxH-----1,

t

即y+]=左[xH—),

.?.直線過點(diǎn)7一i]

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為％=4