九師聯盟2024屆高三12月質量檢測鞏固卷 數學試題含答案

九師聯盟2024屆高三12月質量檢

測鞏固卷數學試題

局二數學

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設集合“小限”。｝,8=川"2丑則5"()

A.(-*2)B.(-1,0]C.(-1,2)D.[-1,0]U[1,2]

2.已知復數4=l-i,?2=a+i，若422為純虛數，則實數。的值為()

A.-2B.2C.-1D.1

3.函數/(%)=丑群的圖象大致為()

e11

A.若加//a,nil(3,且加〃〃，則a〃尸

B.若加//a,nilf3,且加J_〃，則夕，〃

C.若加J_a,nil(3,且加J_〃，則。_L〃

D.若加J_a,nL/3,且加_L〃，則。_L〃

5.已知角。的始邊為x軸非負半軸，終邊經過點(3,G),將角。的終邊順時針旋轉]后得到角尸，則

tan6=()

D.-V3

6.已知拋物線E:/=2px(P〉0)的焦點為歹，準線為/,過E上的一點A作/的垂線，垂足為B,若

[48|=3]。尸|(。為坐標原點)，且△4BE的面積為12/，則E的方程為()

A.y=4xB.y2=4A/3XC.y=8xD.「=80

7.一個軸截面是邊長為2G的正三角形的圓錐型封閉容器內放入一個半徑為1的小球。后，再放入一個

球利，則球02的表面積與容器表面積之比的最大值為（）

41J3V3

A—B.一C.—D.—

■8127273

（3兀3兀）八/、fsin2x,sinx<cosx

8.已知函數的定義域為一下，:，且/（x）=<..，若關于x的方程/（x）=a有

I44J[smx?smx>cosx

4個不同實根西,馬，》3，》4（玉<X2<%3<%），則/（xjsinX+X4的取值范圍是（）

j_V2

c.(1,V2)D.(-V2,l)

2，-T

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.近年來，鄉(xiāng)村游成為中國國民旅游的熱點，下面圖1,2,3,4分別為2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者年

齡、性別、月收入及一次鄉(xiāng)村旅游花費金額的有關數據分析，根據該圖，下列結論錯誤的是（）

/qKKMMI,

、15000](

200001|71；I

兀以300元以下

5000/L1141.K%

A.2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中年齡在19?50歲之間的男性占比超過工

3

B.2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中月收入不高于1萬元的占比超過70%

C.2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中一次鄉(xiāng)村旅游花費4個范圍占比的中位數為30.6%

D.2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者一次鄉(xiāng)村旅游花費的平均數估計值高于650元（同一花費區(qū)間內的數據用

其中間值作代表）

10.若矩形的所有頂點都在橢圓E:=+匕=1伍〉0）上，且[48|=2行，|/。|=2百，點尸是

a2

E上與4民。,。不重合的動點，則（）

一一?1

A.￡的長軸長為4B.存在點尸，使得R4,PC=—二

2

C.直線PA,PB的斜率之積恒為D.直線尸4PC的斜率之積恒為

22

11.已知正數x，y，z滿足5工=9"=15"則（

A.xz-\-2yz-2xy=0B.5x<9y<15zC.xy<2z2D.9x+2y<16z

12.在棱長為1的正方體/BCD-481GA中，點尸滿足屈=4而+〃兀，其中無€[0,1],

[0,1],則下列說法正確的是（）

A.若〃=g,則尸點軌跡所在直線與平面AXCD平行

B.若文+〃=1,則4。_L8P

C.若x=〃，則|赤|+14Al的最小值為■+>

D.若AP與平面CG3。所成角的大小為殳，則2〃的最大值為:

42

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數/（x）=f—3x,則曲線V=/（x）在點（1,—2）處的切線方程為.

14.（V—/一2y—l）5的展開式中的系數為.（用數字作答）

15.求作一個立方體，使其體積等于已知立方體體積的2倍，這就是歷史上有名的立方倍積問題.1837年法

國數學家聞脫茲爾證明了立方倍積問題不能只用直尺與圓規(guī)作圖來完成，不過人們發(fā)現，跳出直尺與圓規(guī)

作圖的框框，可以找到不同的作圖方法.如圖是柏拉圖（公元前427—公元前347年）的方法：假設已知立

方體的邊長為。，作兩條互相垂直的直線，相交于點。，在一條直線上截取。/=a,在另一條直線上截取

08=2a,在直線。5,CM上分別取點C,。，使NNCD=N5QC=90°（只要移動兩個直角尺，使一個

直角尺的邊緣通過點A,另一個直角尺的邊緣通過點B,并使兩直角尺的另一邊重合，則兩直角尺的直角

頂點即為C。），則線段OC即為所求立方體的一邊.以直線。4、OC分別為x軸、了軸建立直角坐標

系，若圓E經過點4C。，則圓E的方程為

y

16.已知數列｛%｝滿足4+i=a“+吃，集合5=卜也口“卜eN*｝,若S恰有4個子集，則5=.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

2

17.記S”為數列｛%｝的前〃項和，若q=3,(?+l)an+1+(2?+l)5?=2.

(1)求；

71Z、

(2)若“=卞_B,求數列也｝的前〃項和北.

n(2〃-1電

18.已知△45C的內角45c的對邊分別為。也。，A為銳角，44B。的面積為S,

4bS=a(b2+c2-a2\

C

(1)判斷A48C的形狀，并說明理由；

7T37r

(2)如圖，若NABC=—,BC=M，。為AA8C內一點，且0c=1,ZAOC=—,求03的長.

44

19.如圖，在三棱柱48C-48cl中，幺/=4。=6,4G=60，平面45CL平面441℃.

(2)若45,4。，三棱錐4一48。的體積為18,點。在棱ZC上，且求平面4。巴與

平面48c夾角的余弦值.

20.2023年5月28日我國具有完全自主知識產權的國產大飛機C919開啟全球首次商業(yè)載客飛行，C919飛

機的研制，聚集了我國數十萬科研人員的心血，其中2、B、C、D、E、E等高校為C919大飛機做出了

重要貢獻，如N高校參與了氣動總體、結構強度、航電、飛控和液壓等設計，參加人數如下表：

氣動總結構強航飛液

項目

體度電控壓

參與人

55343

數

3高校有8位教師參加了相關設計論證，具體如下表:

氣動總氣動外

結構強航電設液壓系起落架

設計論體形

度計統的

證設計論設計論

論證論證論證論證

證證

參與教

ab,cde,fgh

師

(1)某科普博主準備從幺、B、C、D、E、E共6所高校中隨機選3所高校介紹其為C919大飛機做出的

貢獻，連續(xù)3天，每天發(fā)布一篇博文，每篇博文介紹一所高校(3天將選中的3所高校全部介紹完)，求

C、。被選到，且C在第2天被介紹的概率；

(2)若從/高校參與設計的20人中隨機選3人，在選到航電設計人員的條件下，求選到氣動總體設計人

員的概率；

(3)若從2高校參與的6個論證項目中隨機選取3個，記這3個論證項目中8高校參與教師人數為X,

求X的分布列與期望.

21.已知雙曲線「：g.=l(a〉0,b〉0),4,4為「的左、右頂點，P為「上一點，

abI2,

04的斜率與04的斜率之積為;.過點2(3,0)且不垂直于x軸的直線/與「交于N兩點.

(1)求「的方程；

(2)若點、E,尸為直線x=3上關于x軸對稱的不重合兩點，證明：直線ME,NF的交點在定直線上.

1

29

22已知函數f(x)=—ax-[2a+l)x+2Inx{aGR).

，2

(1)若/(%)有唯一極值，求。的取值范圍；

(2)當aWO時，若/(再)=/(>2)，/。工2，求證：<4.

局二數學

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設集合/={印2<°},――2叫,則()

A.(一小2)B.(-1,0]C.(-1,2)D.[-l,0]U[l,2]

【答案】D

【解析】

【分析】解對數不等式、一元二次不等式求集合，再應用補運算求集合.

【詳解】由題設2={x[0<x<l},8={x|(x+l)(x—2）<0}={x|-l<x<2},

所以即4=[—1,0川口,2]

故選：D

2.已知復數Z1=l—i,z2=a+i,若z/z?為純虛數，則實數。的值為（）

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】c

【解析】

【分析】應用復數乘法及純虛數定義列方程求參數.

【詳解】=?！猧)(a+i)=a+l+(l—a)i為純虛數J

。+1=0

所以.=>?=-1.

1—t7H0

故選：C

3.函數/("=?,的圖象大致為()

e11

%

'EC^\一

-暴3V”

%、一小/,

苫\9口]

【答案】B

【解析】

7T

【分析】根據給定的函數，利用奇偶性可排除兩個選項，再利用當xe(O,Q)時，函數值的正負即可判斷作

答.

【詳解】函數/("=個浮的定義域為R,/(—X)=X：sJ-%)=即函數/(x)是

eee

奇函數，排除CD；

當xe(O,])時，=即當xe(O,])時，函數/⑴的圖象在x軸的上方，顯然A不滿

足，B滿足.

故選：B

4.已知a,A是空間兩個不同的平面，機,〃是空間兩條不同的直線，則下列說法正確的是()

A.若m//a,nilP,JImlIn,貝!]a〃6

B.若心〃a,nilP,且m_L〃，則

C.若陽_La,nilP,且m_L〃，則

D.若加J_a,nL/3,且m_L〃，則

【答案】D

【解析】

【分析】利用空間線面、面面平行、垂直的判定定理和性質定理分別分析各個選項可得解.

【詳解】對于A,若根//a,〃〃尸，且加〃〃，則a,尸可能相交或平行，故A錯誤；

對于B,若mlla,nll/3,且相，〃，則a,6可能相交或平行，故B錯誤；

對于C,若加，a,nll/3,且切，〃，則a,4可能相交或平行，故C錯誤；

對于D,若加J_a,mLn,則〃在平面a內或〃//a,又〃_!_，，所以故D正確.

故選：D.

5.已知角。的始邊為x軸非負半軸，終邊經過點(3,6)，將角。的終邊順時針旋轉1后得到角"，則

tan尸=()

A.—B.--C.6D.-V3

33

【答案】B

【解析】

【分析】由三角函數的定義可得tan，=弓，依題意得尸=9-三，結合兩角差的正切公式運算求值.

【詳解】因角。的終邊經過點（3,百），由三角函數的定義可得tan，=￡，

/\tan6八,-tan—兀同

又依題意得尸=9—烏，所以tan￡=tan=-----------=，

3''1+tan6^-tan—

3

故選：B.

6.已知拋物線￡:/=2川（夕〉0）的焦點為歹，準線為/,過E上的一點A作/的垂線，垂足為B,若

\AB\=3\0F\（。為坐標原點），且△4BE的面積為12血，則￡的方程為（）

A.j2=4xB.j2=4&C.j2=8xD./=8氐

【答案】C

【解析】

【分析】表達出|48|和點A坐標，利用△4BE的面積求出P,即可得出E的方程.

【詳解】由題意，

在拋物線E=2.（夕>0）中=3]。耳,

焦點尸準線/：》=一^

：.\OF\=^,\AB\=^p,則N（p,土亞p）

四位|=>]?，行P|=12后，解得：p=4

???￡的方程為：/=8x.

故選：C.

7.一個軸截面是邊長為2G的正三角形的圓錐型封閉容器內放入一個半徑為1的小球。后，再放入一個

球則球儀的表面積與容器表面積之比的最大值為（）

41V3

---B.—

8127§

【答案】A

【解析】

【分析】由題設易知放入一個半徑為1的小球o后，圓錐軸截面中小球。的截面圓為內切圓，要使比值最

大，球2的半徑々最大，利用內切圓性質求與，進而求球體、圓錐表面積，即可得比值.

16

【詳解】由邊長為2G的正三角形的內切圓半徑為4=-Lx2V3x—=1，

32

即軸截面是邊長為2G的正三角形的圓錐內切球半徑為1，

所以放入一個半徑為1的小球a后，再放一個球如下圖,

要使球。2的表面積與容器表面積之比的最大，即球。2的半徑々最大,

所以只需球。2與球0、圓錐都相切，其軸截面如上圖，此時々=；x（2Gx等—2八）=；，

所以球。2的表面積為4尾=—,圓錐表面積為3兀+jx2Gx2百兀=9兀,

92

4

所以球。2的表面積與容器表面積之比的最大值為—.

81

故選：A

（3兀3兀?sinsinx<cosx

8.已知函數，（x）的定義域為］I,且/（》）=<..，若關于％的方程/(%)=。有

smx,sinx>cosx

現+毛+毛+匕的取值范圍是（

4個不R］頭根玉,%，%3，*4(%!<x2<x3<x4),則/(xjsin

2

A.仕叵IB.c.(1,V2)D.(-72,1)

【答案】A

【解析】

【分析】利用輔助角公式得sinx-cosx=J5sin（x-；）,討論其符號求x范圍，進而寫出了⑴解析式并畫

出草圖，數形結合得玉+%=—］,迎+%=兀、￥</（西）<1，即可得答案.

【詳解】由$111%一（：0$%=亞5畝（％-巴），

4

兀7C

若sinxvcosx,則5由（％—1）<0,可得（2E+1）兀<、一］<2（左+1）兀，左￡Z,

Sir97r

所以2左兀H---<X<2左兀H---，左￡Z,

44

兀7C

若sinxNcosx,則sin（x—a）20，可得2EV、一^V（2左+1）兀，左￡Z,

jrSir

所以2左兀+—<X<24兀H---，左￡Z,

44

要使/（%）=。有4個不同實根國,、2，、3，%4（玉<X2<%3<%4），則注，

,E心兀JMMM+%4兀L行

由圖知：x2=——,X3+x4=71,故-------------=—,且一^―</（%］）<1,

所以/（xjsin土土強手上的范圍為辛.

2122）

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：利用三角恒等變換研究正弦型函數性質，并畫出，（x）的圖象為關鍵.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.近年來，鄉(xiāng)村游成為中國國民旅游的熱點，下面圖1,2,3,4分別為2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者年

根據該圖，下列結論錯誤的是（）

I

Xlioooo,、

[15000.

f60U,

I5IK）（小幾）/900]時梵!R

20000幾以二-300疝以卜

X.//o/3,9%

[300.600*元）

）

\44.6%\'5000斤以卜

田4

A.2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中年齡在19?50歲之間的男性占比超過,

3

B.2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中月收入不高于1萬元的占比超過70%

C.2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中一次鄉(xiāng)村旅游花費4個范圍占比的中位數為30.6%

D.2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者一次鄉(xiāng)村旅游花費的平均數估計值高于650元（同一花費區(qū)間內的數據用

其中間值作代表）

【答案】BC

【解析】

【分析】由圖1和圖2可判斷A選項，由圖3可判斷B選項，由圖4可判斷C、D選項

【詳解】由圖1和圖2可知，2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中年齡在19?50歲之間的男性占比為

97.6%x37.2%?36.3%,故A正確;

由圖3可知，2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中月收入不高于1萬元的占比為60%,故B錯誤;

由圖4可知，2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中一次鄉(xiāng)村旅游花費4個范圍占比的中位數為

23.7%+30.6%=27^5%^故c錯誤;

2

由圖4可知，2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者一次鄉(xiāng)村旅游花費的平均數估計值為

150x3.9%+450x41.8%+750x30.6%+1050x23.7%=672.3，故D正確.

故選：BC

22_—

10.若矩形4BCO的所有頂點都在橢圓E:=+匕=1伍〉0）上，且［48|=2行，以。|=2百，點尸是

a2

E上與4民。,。不重合的動點，則（）

——-1

A.E的長軸長為4B.存在點尸，使得尸幺?尸C=——

2

C.直線p4PB的斜率之積恒為-LD.直線尸4尸。的斜率之積恒為

22

【答案】ABD

【解析】

【分析】對A,根據橢圓的對稱性結合|/回=2也可判斷橢圓焦點在x軸上，由此求得4瓦。,。坐標，

代入橢圓方程求得。=2,得解；對B、D,設點尸（X,#代入運算可判斷得解；對C,舉反例可判斷.

【詳解】因為矩形4SC。的頂點都在橢圓上，根據橢圓的對稱性可得4c關于原點對稱，瓦。關于原點

對稱，

由:+匕=1,|46|=2夜，可得/〉2,即橢圓焦點在x軸上，

a2

如圖所示,又"=26，忸C|=2,易得z（萬l）,5（-V2,l）,C（-V2,-l）,D（V2,-1）.

對于A,將點2（、歷,司代入橢圓方程可得指+。=1,解得。=2,橢圓的方程為9+9=1,所以橢圓

的長軸長為4,故A正確；

對于B,設點尸（xj）,且x?+2y2=4,x手士母，則尸Z=（正―x,l—了），尸C=（—正—羽―1—y）,

所以尸PC=^V2-xj^-V2-xj+（l-j）=x2+y2-3=1-j2,X-72<y<42,

即當y=土逅時，PA-PC=--,故B正確；

-22

尸（—2,0）,則即/=￡+2，1

對于c,當點尸是左頂點時,

-V2+2'

,,111

所汝kpA-kpB=m^F^=3,故C錯誤;

對于D,設點尸（X/）,且/+2/=4,xW±C，

7V—17V+1

則kpA=~~7=，kpc=7=，

x—V2x+A/2

)21_J/]

所以原-k一,故D正確.

pcx2-22-2y22

故選：ABD.

11.已知正數x/，z滿足5、=9"=15=，則（）

A.xz+lyz-2xy=0B.5x<9y<15zC.xy<2z2D.9x+2y<16z

【答案】AB

【解析】

【分析】設5工=9'=15'=//〉1,求出x，N，z,利用對數的運算及換底公式計算判斷A；利用作商法計算

判斷B；利用作差法計算判斷CD.

【詳解】依題意，設5'=y=15=則xlog,5=ylog/9=zlog/5=l,

111

x—9y~,z=

log,5"log,9log/5

[2252x9

對于A,xz+2yz-2xy=xyz(—+------)=xyz(2log,5+log,9-2logJ5)=xyzlog———=0,A正確；

yxzz15

對于B而艮…",則…’

125o

-^<1,即有Iogg5：l53<l,貝19y<15z,

*ms,9

243x9

所以5x<9y<15z,B正確;

122八，2xy

對于C,由選項A知，—I--------=0,得2=-------,

yxzx+2y

則——xy{x-2y')-

>0,C錯誤;

(x+2y)2

?c,,0c32孫(9x+2v)(x+2y)-32xy(3x-2y)2

對于D,9x+2y-16z=9x+2y-------=-------------------------=-------->0,

x+2yx+2yx+2y

因此9x+2y〉16z,D錯誤.

故選：AB

12.在棱長為1的正方體4BCD—481GA中，點尸滿足而=彳而+〃西，其中沈

[0,1],則下列說法正確的是()

A.若〃=工，則尸點軌跡所在直線與平面4CD平行

2

B,若彳+〃=1,則&C_LAP

c若幾=〃，則|赤卜|府|的最小值為6丁

7T1

D.若8P與平面CG2。所成角的大小為則4〃的最大值為:

42

【答案】ABD

【解析】

【分析】A、B、C根據條件確定尸點軌跡，結合線面平行判定、線面垂直的判定及性質、平面上兩點距離

z、TT

最短判斷；D由條件得尸在線段G。上運動，令NDC尸=9e[0,Q],則4=cosd〃=sine,結合三角

恒等變換及正弦型函數性質求最值判斷.

【詳解】A：若及尸為CG，OR中點，當〃=；時尸在線段E尸上運動，而EF//CD,

面4CD,CDu面4C。，則￡尸//面4。。，A對；

B：由彳+〃=1,則尸在線段G。上運動；在正方體中易知gCL8G，

且451±面BCC[B[,8Gu面BCC[Bi，則A1B}±BC〉

B[Cn4e=B[,BXC,A[B]<z面&B]C,則g1面4gC,&Cu面A^C,

所以8G，4C,同理可證AD工4C，又BC[CBD=B,BC[,BDu面BC]D,

所以4CL面Bq。，APu面BG。，則4C_L5尸，B對；

將面CDC｛翻折至與面5004共面，如下圖，=44=135°,

所以。,P,4共線時|。尸|+，尸|的最小值為DAl=Vl+l-2cosl35°=,2+以，C錯;

7T

D：若AP與平面CG2。所成角的大小為彳，連接5G，AD,又面S)〃G，

結合正方體性質ZCC.B=ZCDB=:TT,要使線面角NCPB恒為7T:，

只需尸在面CDD￡中以C為圓心，CC,為半徑的圓弧G。上運動；

TV

如上圖，令NDC尸=9e[0,—],則2=cos仇〃=sin。，

11兀

所以即=sin9cos9=—sin2e4—,當且僅當6=—時取等號,

224

所以彳〃的最大值為D對.

故選：ABD

【點睛】關鍵點點睛：根據條件確定尸點運動軌跡為關鍵.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數/(x)=f—3x,則曲線＞=/(x)在點(1,—2)處的切線方程為.

【答案】x+y+l=0

【解析】

【分析】應用導數幾何意義求切線方程即可.

【詳解】由題設/'(x)=2x-3,貝1]/")=-1,故點(1,一2)處的切線方程為y+2=-(x-l),

所以x+y+1=0.

故答案為：x+y+l=0

14.(Y—2y—1)5的展開式中/的系數為.(用數字作答)

【答案】140

【解析】

【分析】要產生//可能是1個1個一3個_1或1個，，2個-2,2個-1,分別進行計算求解

即可.

【詳解】(——/—2了—1丫的展開式中要產生//可能是1個了2,1個—3個t或1個，，2個

-2j,2個-1,

故展開式中含/項為C；雇C；[-y2)C；(-1)3+C；雇C；(—24c；(-1)2=140//,

即展開式中//的系數為140.

故答案為：140.

15.求作一個立方體，使其體積等于已知立方體體積的2倍，這就是歷史上有名的立方倍積問題.1837年法

國數學家聞脫茲爾證明了立方倍積問題不能只用直尺與圓規(guī)作圖來完成，不過人們發(fā)現，跳出直尺與圓規(guī)

作圖的框框，可以找到不同的作圖方法.如圖是柏拉圖（公元前427—公元前347年）的方法：假設已知立

方體的邊長為。，作兩條互相垂直的直線，相交于點0,在一條直線上截取。/=。，在另一條直線上截取

OB=2a,在直線。瓦CM上分別取點C,Q,使NNCD=NRDC=90。（只要移動兩個直角尺，使一個

直角尺的邊緣通過點A,另一個直角尺的邊緣通過點8,并使兩直角尺的另一邊重合，則兩直角尺的直角

頂點即為C。），則線段OC即為所求立方體的一邊.以直線。4、0c分別為x軸、了軸建立直角坐標

系，若圓E經過點4G。，則圓E的方程為.

|(9C|2=|0^|.|(9￡)|

【分析】根據題設有<求。C、OD,再求出￡坐標和圓的半徑，進而寫出圓的方程.

\OD^=\OC\-\OB\

\OCf=\O^-\OD\=a\OD\

【詳解】由題設,則=2叫oq=>\OC\=6a,

|(9￡>|2=\OC\-\OB\=2a\OC\

所以|。必=吹口,

由NNCZ>90。，要使圓￡經過點4G。，則圓心E為中點,

所以￡（號4%0）且半徑為獸a,

故圓￡的方程為（x—1=（1+，）

痂型安%/1—V?22（1+V?）22

故答案為：（%-----——a）+y--------a

16.已知數列｛4｝滿足a.=4+事，集合5=上吊％,€>1*｝,若S恰有4個子集，則5=.

【答案】｛-1,萬｝或｛-萬,1｝

【解析】

2%冗27r

【分析】根據題設sin%有且僅有2個對應值，結合等差數列定義得%=亍+%-丁，〃eN*，根據正

弦型函數周期性，只需研究sin外,sin%,sin%是否相等，應用分類討論求對應集合S.

【詳解】由S恰有4個子集，故集合S共有2個元素，即sin%有且僅有2個對應值，

27T27r2777T27T

由?！?1-即｛a”｝是公差為的等差數列，則％=一^——~>〃eN*,

所以%的最小正周期為T=3,則角%必與q,或，色中的一個終邊相同，

所以S中有且僅有sina”sina2,sina3且必有兩個相等，

若sin%=sin的Hsin%,則sinq=sin（g+aj,整理得百cos（q+三）=0,

兀兀711

所以％+—=收+一,左eZ,則％=析+一,左eZ,故sin%=sin%=±—，

3262

]_7i5兀3兀1

當sinq=sin%=一時，不妨取q=—，則g=—，%=—，此時S—｛-1,一｝滿足；

26622

.1一5兀7[711

當sin%=sina?~—時，不妨取q—---，則a?——，%=一，此時S=｛—,1｝滿足；

26622

若sin%=sin%wsin%，則sin%=sin（如+aj,整理得Gsin（q+烏）=0,

36

兀71]

所以％+—二左兀,左￡Z,貝i]%=析——,keZ,故sinq=sin的=土一，

662

15兀3兀13兀1

當sin%=sin%=一時，不妨取卬=——，則。2=——，/=---，此時S=｛-1,一｝滿足；

26262

]兀717兀]

當sin%=sin%=—時，不妨?。?—,則%=—，%=—，此時S=｛—,1）滿足；

26262

若sing=sin%。sinq,則sing=$山（&+。2），整理得+烏）=0，

36

兀兀]

所以。2+—=析，左￡Z,貝|。2=左?！?，左eZ,故sin%=sin%=±-，

662

[5TC7i3兀1

當sina?—sin/=一時，不妨取a?=—，則出=一，%=—，此時8~｛-1,一｝滿足；

26622

I_兀5兀兀]

當sing=sin/=—時，不妨取出=—，貝----，%=—，此時S=｛—,1｝滿足；

26622

綜上,s=｛T；｝或｛—；」｝.

故答案為：｛—1,萬｝或｛—『I｝

【點睛】關鍵點點睛：利用集合子集個數得sin4有且僅有2個對應值，根據等差數列定義、正弦型函數

的周期性，轉化為研究sinq,sin外,sin%且必有兩個相等為關鍵.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.記S"為數列｛%｝的前〃項和，若4=3,(〃+1)2%用+(2〃+1)5“=2.

(1)求S”；

⑵若a=F―B,求數列也｝的前"項和1.

n(2〃―1電

【答案】(1)5“=絲工；

n

(2)n.

2〃+1

【解析】

【分析】(1)由題設及。“,5"關系得(〃+1)21+1-〃2y=2,構造新數列并結合等差數列定義寫出通項公

式，進而可得s“；

(2)應用裂項相消法求前"項和.

【小問1詳解】

由題設(〃+1)2(S〃M—S.)+(2〃+1)S〃=2,則(〃+1)2S〃+1—/s“=2,

又12義岳=%=3,故｛/SJ是首項為3,公差為2的等差數列，

。I1

所以〃為“=3+2(〃-1)=2〃+1,則S“=.

優(yōu)

【小問2詳解】

,1111、

由m得％=7^^