第6講弦圖模型（原卷版）-中考數(shù)學幾何模型12講

中考數(shù)學幾何模型6：弦圖模型名師點睛撥開云霧開門見山弦圖模型，包含兩種模型：內弦圖模型和外弦圖模型.（一）內弦圖模型：如圖，在正方形ABCD中，AE⊥BF于點E，BF⊥CG于點F，CG⊥DH于點G，DH⊥AE于點H，則有結論：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.（二）外弦圖模型：如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊上的點，且四邊形EFGH是正方形，則有結論：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，分別以AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG，連接EG，若AB=12，BC=16，求△AEG的面積.變式練習>>>1．如圖，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E在邊AD上，連接CE，以CE為邊作正方形CEFG，點D，F(xiàn)在直線CE的同側，連接BF，若AE=1，求BF的長.例題2.如圖，以Rt△ABC的斜邊BC在△ABC同側作正方形BCEF，該正方形的中心為點O，連接AO.若AB=4，AO=，求AC的長.變式練習>>>2．如圖，點A，B，C，D，E都在同一條直線上，四邊形X，Y，Z都是正方形，若該圖形總面積是m，正方形Y的面積是n，則圖中陰影部分的面積是___________.例題3.如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，D為△ABC外一點，滿足∠CBD=90°，BC=BD，若，求AC的長.變式練習>>>3．點P是正方形ABCD外一點，PB=10cm，△APB的面積是60cm2，△CPB的面積是30cm2．求正方形ABCD的面積.例題4.在邊長為10的正方形ABCD中，內接有6個大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形邊上的小正方形的頂點，如圖所示，求這六個小正方形的面積.變式練習>>>4．如圖，在平面直角坐標系中，經過點A的雙曲線y＝（x＞0）同時經過點B，且點A在點B的左側，點A的橫坐標為，∠AOB＝∠OBA＝45°，則k的值為．例題5.如圖，在等腰Rt△ACB和等腰Rt△DCE中，∠AXB=∠DCE=90°，連接AD，BE，點I在AD上，若IC⊥BE，求證：I為AD中點；若I為AD中點，求證：IC⊥BE例題6.在平面直角坐標系中，直線l的解析式為，其與x軸交于點A,與y軸交于點B，在直線l移動的過程中，直線y=4上是否存在點P，使得△PAB是等腰直角三角形，若存在，請求出滿足條件的所有點P的坐標，如不存在，請說明理由.達標檢測領悟提升強化落實1.如圖所示，“趙爽弦圖”是由8個全等的直角三角形拼接而成的，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，已知S1+S2+S3＝10，則S2的值是．2.我國古代數(shù)學家趙爽利用弦圖證明了勾股定理，這是著名的趙爽弦圖（如圖1）．它是由四個全等的直角三角形拼成了內、外都是正方形的美麗圖案．在弦圖中（如圖2），已知點O為正方形ABCD的對角線BD的中點，對角線BD分別交AH，CF于點P、Q．在正方形EFGH的EH、FG兩邊上分別取點M，N，且MN經過點O，若MH＝3ME，BD＝2MN＝4．則△APD的面積為．3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE，BG，EG．（正方形的各邊都相等，各角均為90°）（1）判斷CE與BG的關系，并說明理由；（2）若BC＝3，AB＝5，則AEG面積等于．4．【問題解決】一節(jié)數(shù)學課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，點P是正方形ABCD內一點，PA＝1，PB＝2，PC＝3．你能求出∠APB的度數(shù)嗎？小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BP′A，連接PP′，求出∠APB的度數(shù)；思路二：將△APB繞點B順時針旋轉90°，得到△CP'B，連接PP′，求出∠APB的度數(shù)．請參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程．【類比探究】如圖2，若點P是正方形ABCD外一點，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度數(shù)．5．如圖，已知∠ABC＝90°，D是直線AB上一點，AD＝BC．（1）如圖1，過點A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，連接DC、DF、CF．①求證：AF+AB＝BC②判斷FD與DC的關系并證明；（2）如圖2，E是直線BC上一點，且CE＝BD，直線AE、CD相交于點P，∠APD的度數(shù)是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由．6．【探究證明】（1）某班數(shù)學課題學習小組對矩形內兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關系進行探究，提出下列問題，請你給出證明．如圖1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點G，H，求證：；【結論應用】（2）如圖2，在滿足（1）的條件下，又AM⊥BN，點M，N分別在邊BC，CD上，若，則的值為；（直接寫出結果）【聯(lián)系拓展】（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝6，BC＝CD＝3，AM⊥DN，點M，N分別在邊BC，AB上，求的值．7．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，l是AD的垂直平分線，交AD于點M，以腰AB為邊作正方形ABFE，EP⊥l于P．求證：2EP+AD＝2CD．8．提出問題：如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE，BG，EG．（1）探索CE與BG的關系；（2）探究△ABC與△AEG面積是否仍然相等？說明理由．（3）如圖2，學校教學樓前的一個六邊形花圃被分成七個部分，分別種上不同品種的花卉，已知△CDG是直角三角形，∠CGD＝90°，DG＝3m，CG＝4m，四邊形ABCD、CIHG、GFED均為正方形，則這個六邊形花圃ABIHFE的面積為．9．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行線l1與l2、l2與l3、l3與l4之間的距離分別為d1、d2、d3，且d1＝d3＝1，d2＝2．我們把四個頂點分別在l1、l2、l3、l4這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”．（1）如圖1，正方形ABCD為“格線四邊形”，則正方形ABCD的邊長為．（2）矩形ABCD為“格線四邊形”，其長：寬＝2：1，求矩形ABCD的寬．（3）如圖1，EG過正方形ABCD的頂點D且垂直l1于點E，分別交l2，l4于點F，G．將∠AEG繞點A順時針旋轉30°得到∠AE′D′（如圖2），點D′在直線l3上，以AD′為邊在E′D′左側作菱形AB′C′D′，使B′，C′分別在直線l2，l4上，求菱形AB′C′D′的邊長．10．四邊形A