2024年高考數學雙曲線的定點問題講義

雙曲線的定點問題

22

1.已知雙曲線C：臺方=1(。〉0/〉0)的右焦點為尸，半焦距0=2,

點歹到右準線x=^的距離為,，過點e作雙曲線C的兩條互相垂

c2

直的弦AB,CD,設AB,8的中點分別為N.

(1)求雙曲線。的標準方程；

(2)證明：直線MN必過定點，并求出此定點坐標.

2.已知動圓尸過點1(2,0),并且與圓6：(x+2)2+y2=4相外切，

設動圓的圓心P的軌跡為C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過動點尸作直線與曲線次.9點交于A3兩點，當尸為A6的

中點時,求儂的值;

(3)過點工的直線4與曲線。交于E，尸兩點，設直線/:x=；,點

。(-1，0),直線功交/于點求證：直線E”經過定點，并求出

該定點的坐標.

3.已知離心率為2的雙曲線C的一個焦點Ac,0)到一條漸近線的

距離為

(1)求雙曲線。的方程；

(2)設4A分別為。的左右頂點，P為c異于4A一點，直線AP

與4P分別交y軸于M，N兩點，求證：以線段MN為直徑的圓。經

過兩個定點.

4.已知動圓尸過點6(2,0)并且與圓片:(x+2『+y2=4相外切，動圓

圓心P的軌跡為C.

(1)求曲線C的軌跡方程；

（2）過點鳥（2,0）的直線4與軌跡。交于A、3兩點,設直線=

點0（-1,0）,直線AZ）交/于求證：直線經過定點。,0）.

5.已知雙曲線C的中心在坐標原點,焦點在工軸上，離心率6=乎，

虛軸長為2.

（1）求雙曲線。的標準方程；

（2）若直線/：y=kx+m與雙曲線c相交于A，B兩點（AB均異于左、

右頂點），且以為直徑的圓過雙曲線C的左頂點。，求證：直線

/過定點，并求出定點的坐標.

22

6.已知雙曲線c?-當=1（。>0,6>0）,點A（2四,0）在曲線C上，曲線

ab

c的離心率為半，點P、。為曲線。上易于點A的任意兩點,。為坐

標原點.

（1）求曲線。上方程；

（2）若耳、8為曲線二的焦點，求空料最大值；

（3）若以P。為直徑的圓過點A,求證：直線PQ過定點，并求出

定點坐標.

22

7.已知曲線。：千-卷=1,。為曲線C上一動點，過。作兩條漸近

3o

線的垂線，垂足分別是［和尸2.

（1）當。運動到（3,2如時，求露淀的值；

（2）設直線/（不與x軸垂直）與曲線C交于M、N兩點，與x軸

正半軸交于丁點，與，軸交于s點，若疆=1MT,SN=滯,且

之+〃=1,求證T為定點.

22

8.雙曲線方=1經過點⑵3）,兩條漸近線的夾角為鼻，直線

/交雙曲線于A、B.

（1）求雙曲線。的方程；

（2）若/過原點，P為雙曲線上異于4、3的一點，且直線9、PB

的斜率為％、kpB,證明：以?%為定值；

（3）若/過雙曲線的右焦點耳，是否存在x軸上的點M（加,0）,使得

直線/繞點耳無論怎樣轉動，都有=0成立？若存在，求出M

的坐標，若不存在，請說明理由.

二、填空題

丫2

9.已知雙曲線C直線/：y=H+77i與雙曲線。相

交于45兩點（A,5均異于左、右頂點），且以線段A3為直徑的

圓過雙曲線。的左頂點。，則直線/所過定點為.

2

10.已知雙曲線》2一5=1,點A（TO）,在雙曲線上任取兩點八Q

滿足APLAQ,則直線PQ恒過定點;

參考答案

2

1.(I)y-y2=l(2)證明見解析；定點(3,0)

【分析】(I)由題意可得C的值，再由點口到直線戶《的距離為:，

c2

可得。的值，再由明C之間的關系求出雙曲線的方程；

(2)設弦A3所在的直線方程，與雙曲線的方程聯立可得兩根之和進

而可得A5的中點M的坐標，再由橢圓可得弦8的中點N的坐標，分

別討論當的斜率存在和不存在兩種情況可得直線MN恒過定點.

21

【解析】(1)由題設可得。-幺=二c=2,所以/=3,〃=c2_〃=i

c2

r2

所以雙曲線的標準方程為十丁=i

(2)證明：點打2,0),設過點口的弦A5所在的直線方程為了=@+2,

4(”)，咐，％),

則有+寧］.

(2

二—2_1

聯立§7-,可得(r-3)y2+40+l=O.

x=ky+2

因為弦A3與雙曲線C有兩個交點，所以左2-3/0,

所以％+%=占，所以

(1)當k=0時，M點即是尸點，此時，直線MN為X軸.

(2)當左W0時，將上式M點坐標中的人換成-；，同理可得

k

(6k22k)

N--------------------

(3人2—1'3公一

①當直線MN不垂直于x軸時，

2k2k

直線的斜率2片三=泮，

3-F3左2—1

其方程，一4=可31-金］,化簡得y=^Q(x—3),

所以直線MN過定點(3,0)；

②當直線MN垂直于％軸時,占=—，此時，人士"直線"N也

過定點(3,0).

綜上所述，直線MN過定點(3,0).

【點評】本題主要考查雙曲線的標準方程及性質、定點問題等知識以

及邏輯思維與運算求解能力，考查了學生的計算能力，屬于難題.

2

2.(1)x2-^-=l(x>0)；(2)4；(3)證明見解析，定點的坐標為(1,0).

【分析】(1)利用動圓經過的點及外切關系可求；

(2)設出直線方程，聯立方程組，結合中點公式，得到0403,進

而可求儂.儂；

(3)設出直線方程，聯立方程組，結合韋達定理，證明直線襁經過

/E?點.

【解析】(1)設動圓的圓心y),半徑為廠，則由題意可得

即|「耳|-|尸周=2,

因為用閭=4>2,所以點P的軌跡是以用耳為焦點的雙曲線的右支,

且a=l,c=2

2

所以曲線C的方程為V—3=1(X〉O).

(2)當直線的斜率不存在時，尸(1,0),4(1,我,8(1,-我,此時|。4卜|郎=4；

當直線的斜率存在時，設直線的方程為y=kx+m,,

_,[y=kx+m,

聯五二22八得(3-F?2_2①u-/=0,

3x-y=0

2

?2kmm

3-kwO,再+%2=^7^，為X2=一^7，

2

36%，必%=Ex'X?+初i(玉+x)+m23m

%+%=左(玉+%)+2m2

因為P為AB的中點，所以尸(二，$),代入曲線方程得

j—K5—K

k2ml3m2

---------------------------1

(3-42)2(3-42了；

整理可得病=左2_3；

—m23m22m2.

OA-OB=玉4+%%------T+------7=------7=-2,

3-k23-423-k2

因為3爐_V=0恰為雙曲線的漸近線，且其中一條漸近線v=氐的傾

斜角為60。,

所以OA.03=|OA||OB\COS120°=-1J6>A|J6>B|=-2,所以|。聞0q=4.

綜上可得倒煙=4.

13

(3)證明：當直線4的斜率不存在時，￡(2,3),F(2,-3),M(-,|),直線

FM：3尤+y-3=0經過點(1,0).

當直線4的斜率存在時，設直線/Q-2),與4%),"%%),

直線E?y=七(x+1),當X=；時，加=譚周,

人1IJ.

M，2(：；°),聯立,得(3-廿)/+442*―?+442)=0,

4k23+止

3-kwO,x+x=-----7，X1X=-----z-,

'12，3—公-23—42'

下面證明直線FM經過點。(LO),即證含=4，

A|+1%2—1

把％=%(%-2),%=左(%一2)代入整理得4%%-5(內+X2)+4=0,

口山(3+442、(442)12+16左2―20公

即4x------——5x------+4=-----；-------+4=—4+4=0,

1(3-k-)(3-k-)k2-35

所以直線9經過點(LO).

【點評】本題主要考查雙曲線的方程及直線與雙曲線的位置關系，聯

立方程結合韋達定理是主要的考慮方向，側重考查數學運算的核心素

養(yǎng).

2

3.(1)%2-^-=1；(2)詳見解析.

【分析】(1)根據離心率求得。，仇。的關系式，利用焦點到漸近線的距

離列方程，解方程求得“也。的值，進而求得雙曲線方程.(2)設出P

點的坐標，根據點斜式求得AP和4P的方程，進而求得股,N兩點的

坐標，根據中點坐標和直徑長求得圓。的方程.令y=0求得兩個定點的

坐標.

22

【解析】(1)設C：——yr-1(^>0,Z?>0),

ab

因為離心率為2,所以C=2Q,b=y/3a.

所以。的漸近線為氐土y=o,

|A/3C-0|

于是。=1,b=布,

故C的方程為必-==1.

（2）設尸（如為）（無0#±1）,

因為A（TO）,A（1,0）,

可得直線4P與方程為丁=出（》+1）,

AQ_T1AQ_1

由題設,所以叩看,\MN\=，4W中點坐標

1-X：,

于是圓。的方程為f+9-差）=百廣

因為片-1=1,所以圓。的方程可化為好+/+口-3=0.

3為

當y=o時，％=土百，因此。經過兩個定點卜"。）和（百，。）.

【點評】本小題主要考查雙曲線標準方程的求法，考查雙曲線的漸近

線，考查直線的點斜式方程和圓的標準方程的求法，考查化歸與轉化

的數學思想方法，屬于中檔題.

2

4.（1）^2-2_=I（X>0）；（2）證明見解析.

【解析】⑴由已知得1尸￡|=1%|+2,即|尸耳|-|尸閭=2,

所以P的軌跡。為雙曲線的右支，且2a=2,a="I片司=2c=4,c=2,

b=y/c1-cT=G,

2

，曲線C的標準方程為f—1_=1(尤〉0).

(2)當直線4的斜率不存在時，4(2,3),網2,-3),Mlplj,則直線

所經過點/1，。)；

當直線4的斜率存在時，不妨設直線4：y=Mx-2),4(%,K),B(x2,y2),

13%'

則直線AD：(當時,

y=/x+i),x=4%=2?+1)M

七十12[2'2國+1)/

y=k(x-2)

由得(3—左2)工2+4左2X一(4左2+3)=0

3x2-/=3

-4左2止+3

所以石+%2=XX=-5-----

3-左212k22-3

下面證明直線經過點用L0),即證心亡總，即三+37，

A|+1%2—1

即-+3%=%為+%,由％=@-2左,%二仇-2左，

整理得，4%%-5(%+/)+4=0,即4.上上—5?當?+-*―3)=o恒成

P-3lc-3k2-3

立.

即kEM=kEB,即BM經過點E(l,0),

故直線過定點(1,0).

【點評】本題考查了利用定義求圓錐曲線的方程，直線與圓錐曲線的

位置關系，直線過定點問題,綜合性強，需要很好的思維和計算能力，

屬于難題.

(1)根據題意，判斷出動點的軌跡方程為雙曲線的右支，然后根據

定義即可求得雙曲線的方程.

(2)討論當直線斜率存在與不存在兩種情況下直線過定點問題.當斜

率不存在時，易得直線過定點的坐標為E(LO);當斜率存在時，設出

直線方程，聯立曲線方程，消y得到關于％的一元二次方程，利用根

與系數的關系表示出兩個交點橫坐標間的關系；利用七再證

明直線5M經過E(LO).

5.(1)＞2=1⑵證明見解析，定點坐標為H，oj

【分析】(1)求雙曲線標準方程，一般方法為待定系數法，即根據題

意列出兩個獨立條件：、且,26=2,,解方程組得a=2/=1(2)以AS

a2

為直徑的圓過雙曲線C的左頂點。(-2,0),等價于AD.8。=0,根據向量

數量積得X%+旺＜2+2(%+々)+4=0,結合直線l-y^kx+m方程得

(@+㈤例+㈤+巧+2(%+々)+4=0,利用直線方程與雙曲線方程聯立

方程組，消y得。-4左2卜2―8〃依—4(療+1)=0,再利用韋達定理代入等

式整理得3〉-16根+20k2—o,因此加二2人或加=不-.逐一代入得當

m=當時，/的方程為,，=./獷:，直線過定點

3工?;”\5)

22

【解析】⑴設雙曲線的標準方程為收-方=1程＞0力＞0),由已知得

￡=q,26=2a42+^=02^^”2力=1,所以雙曲線的標準方程為

a2

X22

=i.

y=kx+m

⑵設人（%,%）,5（%,%）,聯立｛-2_J得（1-4燈爐-8〃心-4（〃/+1）=0,

「二1

A=64m2P+16(l-4F)(m2+l)>0

r8mk.

-t-{x+x9=-------<0

有I21-4左2

一4仇2+1)

=——-----i>0

121—4左2

m2—4k2

yy=(g+m)(fcv+m)=k2xx+mk^x+x)+m2，以AB為直徑的

x22x2x21—4/

圓過雙曲線C的左頂點￡>(-2,0),：?m％=-1，即

%為一1.VT|It)”_0./一4*一4"+1)16L

西+2小一ij%+3+25+々)+4—++U0

,3m2—16mk+20k2=0,解得切=2左或一=不一.當加=2左時，/的萬程為

y=M%+2),直線過定點(-2,0),與已知矛盾；當機=一時，/的方程為

直線過定點經檢驗符合已知條件，所以直線/過

工WI3)

定點，定點坐標為［一與可?

考點：雙曲線標準方程，直線過定點

【點評】定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”

是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或

三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在

求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，

到最后必定參數統(tǒng)消，定點、定值顯現.

22

6.(1)方程為￡-號=1⑵V6(3)證明見解析；PQ過定點(660)

o4

【分析】(1)根據離心率得雙曲線中a、b的關系，代入點的坐標，解

方程組即可求得雙曲線方程.

(2)設點P(x。%),根據焦半徑公式表示出|咫|,|9|代入表達式,

轉化為關于橫坐標的表達式，根據橫坐標的取值范圍即可求得最大值.

(3)設出點P、Q的坐標和直線PQ的方程為，聯立雙曲線方程可得

P、Q兩點縱坐標的關系;根據以PQ為直徑的圓過點A,化為APAQ=O,

代入坐標化簡即可求得過定點的坐標.

【解析】(1)離心率為e，=逅所以

a22

即a^+b-=|/

b2=-a2

2

因為點420,0)在雙曲線上，所以

/=8

解得

Z?2=4

22

所以雙曲線方程為卜卜

(2)由雙曲線的對稱性知,不妨設P在左支上，設？(%%)

由焦半徑得：|也|=-氣-%\PF2\=-ex0+a^x0<-2^2j

而"明+熙L—2%

所以|0尸|.

附|+歸叫＜「

=屈

當其時取等號.

所以\0P\"3_45=8

2-8

黨料的最大值是指.

(3)設。。：％=沖+〃,。(%,%),。(%2，%),聯立直線PQ和雙曲線方程,

化簡得

{rn—2）y2+2mny+T?2—8=0

所以由/>0得癡2/一4（祖2一2）（/一8）>。

2mnn2-8r-

yi+y2=~—r，%%且n根w±V2

2—mm—2

由題知APAQ=0

所以（X「20）（X2-2拒）+x%=0

（加/+n—2y/2^my2+n—2y/2^+yvy2=0

2

（1+根2）%%+相（〃一2A/^）（X+y2）+（zz—2A/2）=0

代入得（1+m2）-^—―+m（n-2后）2nmz+5_2^2）2=0

'7m-22—m

解得〃=6夜或〃=20（舍去），所以PQ方程為％=的+60

即得PQ過定點（60.0）

【點評】本題考查了雙曲線標準方程的求法，雙曲線焦半徑公式的應

用，直線過定點的求法，綜合性強，屬于難題.

7.（1）j；（2）證明見解析；

【分析】（1）確定兩條漸近線方程，求出點。到兩條漸近線的距離,

再計算正與謂夾角的余弦值，應用向量的數量積公式，即可求得結

論.

（2）設而不解，聯立直線與雙曲線方程得到根與系數的關系，再利

用向量式疆=AMT,SN=juNT,將尢〃表示出來，代入九+〃=1化簡即

可證得T為定點.

22_

【解析】解：（1）由曲線C：?-2=1,得漸近線方程為土&—=0,

3O

作示意圖如圖所示:

cos20-sin201-tan201

設tan0=\/2,則cos26=

cos20+sin201+tan203

貝IjcosZF\QP2=一cos28=:,

|3A/2-2^|_3A/2-2^“_|-372-2^|_372+273

3~~V352忑V3

UUULUUU18-1212

043=.QEcosN《Q2=

廠.§一§

(2)設>(%,%),陽々,%),T(m,O),S(O,n),m>0,設直線/的斜率為左,

貝lJ/:y=A（x-m）,又^-一匕=1,得（2—左2）/+2左之加彳一左2加一6=。

36

2l

ZB2kmk2m+6

信%+%2=一5^記，再々=--

2_k2

,uuuUUU.再二2（加一匹）

由SM=XMT,則（石，%-X],-乂）即’

[另一〃="-％）

得x=一^,同理，由SN=NNT=N=,

m-xxm-x2

則2+〃=4+^=丁區(qū)+々）-=I

m-xxm-x2m-+x2）m+xtx2

22

4曰C/,、Q2rill2m-2k2m3-（km+6）

得2儂X]+%）-=m,貝I——+'~-=",2

2-左22-k2

得裙=9,又加＞0,得根=3,即T為定點（3,。）.

【點評】本題考查了直線與雙曲線的位置關系，向量數量積的定義,

設而不解，根與系數的關系，學生的計算能力,是一道綜合應用能力

較強的題目.

2

8.(1)x2-^=l

3

(2)證明見解析

(3)存在，”(-1,0).

【分析】(1)根據雙曲線所過的點和漸近線的夾角可得關于。力的方

程組，解該方程組后可得雙曲線的標準方程.

(2)設A(%，x),P(x0,y0),用三點的坐標表示即次依，再

利用點滿足的方程化簡前者可得所求的定值.

(3)設直線/為丁=左(％-2),W9，%),根據M4A?=O可得恒

等式(1+公居%-(〃2+2左2)(石+/)+川+4左2=0,聯立直線方程和雙曲線

方程后利用韋達定理化簡前者可得加=-1,從而得到所求的定點.

h

【解析】(1)雙曲線的漸近線方程為'=±9/

a

因為兩條漸近線的夾角為7,故漸近線y=-x的傾斜角為搟或？，

3a63

所以2=6或2=坐.

aa3

b=y/3a

故1491(無解)，故＜

b=?

丁一聲

所以雙曲線*-==L

(2)設A(/K),5(-%,-為),尸(如為),

222222

因為焉一甘=1片苫=1,所以焉"普告即H

所以孰%為定值;.

（3）雙曲線的右焦點為馬（2,0）,

當直線/的斜率存在時，設直線/的方程為：y=k（x-2）,設4（/%）,

3（%2,丁2）9

因為M4M5=0,所以（％-加）（%2-m）+%%=。，

2

整理得到（1+左2）玉%2-（根+2公）（％+x2）+m+4左之=0①，

由可以得到（3一左2卜2+4女,-4左2—3=0,

、尤y

因為直線/與雙曲線有兩個不同的交點，

故A=16左，+4（3—左2）（4左2+3）=36+45左2>0且3—左2/0,

所以4/±^3.

由題設有①對任意的女片土也總成立，

m4k24k~+3

因石+々=一1記石―一三石'

所以①可轉化為-（1+/）蘭胃+（〃，+2/）若+府+4公=0,

3—K3—K

整理得到3（療T）+（5+4w-療）r=o對任意的心±6總成立,

故［I：.=0,故加=-1即所求的定點M的坐標為（TO）.

當直線/的斜率不存在時，則箕=2,此時A~3）斜（2,-3）或

B（2,3）,A（2,-3）,

止匕時跖=—3+3=0.

綜上，定點〃的坐標為（T。）.

【點評】求雙曲線的標準方程，關鍵是基本量的確定，方法有待定系

數法、定義法等.直線與雙曲線的位置關系中的定點、定值問題，一

般可通過聯立方程組并消元得到關于X或y的一元二次方程，再把要

求解的目標代數式化為關于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關系式，該

關系中含有石々,%1+々或%+丁2,最后利用韋達定理把關系式轉化

為若干變量的方程（或函數），從而可求定點、定值、最值問題.

9.辛

【分析】聯立直線與雙曲線求出韋達定理，由題知鼬?^BD=-1,結合

斜率公式和韋達定理即可求解

【解析】設A(%i,yi),Bg,y2),

y=kx+m

聯立x22得(1—4Q)%2—4(4+1)=0,

『二i