2024年初中升學(xué)考試九年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-矩形的性質(zhì)

矩形的性質(zhì)

36.（2023?蘭州）如圖，在矩形/8CD中，點(diǎn)E為歷1延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，尸為CE的中點(diǎn)，以8為圓心，BF長(zhǎng)為半徑

的圓弧過力。與CE的交點(diǎn)G,連接8G.若48=4,C￡=10,則4G=（）

【答案】C

【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得8尸=4G=5,然后在RtZ\/BG中利用勾股定理即可求

出4G的長(zhǎng).

【解答】解：???四邊形為矩形，

:.NABC=NBAD=90°,

在RSCE中，點(diǎn)尸為斜邊CE的中點(diǎn)，

1

：.BF=^CE=5,

:.BG=BF=5,

在“△/8G中，4B=4,BG=5,

由勾股定理得：AG=7BG2-AB?=3.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，圓的概念，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是理解直角

三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；同圓的半徑相等.

矩形的性質(zhì)

39.（2023?蘭州）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線/C與BD相交于點(diǎn)。，CDHOE,直線CE是線段OD的垂直平分

線，CE分別交。。，4D于點(diǎn)凡G,連接

(1)判斷四邊形O8E的形狀，并說明理由;

(2)當(dāng)CD=4時(shí)，求EG的長(zhǎng).

【答案】(1)答案見解答過程；(2)—.

【分析】(1)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得/^二用，ED=OE,CD=CO,再證△F0C和△尸0E全等得CD

=0E,據(jù)此可得皮＞=OE=CD=CO,進(jìn)而可判定四邊形08￡的形狀；

(2)先證△ODC為等邊三角形得￡＞。=8=4,NOZ)C=60°,進(jìn)而DF=2,據(jù)此再分別求出CF,GF,進(jìn)而

可得EG的長(zhǎng).

【解答】解：(1)四邊形OCDE是菱形，理由如下：

'：CD//OE,

：.4FDC=4FOE,

?：CE是線段OD的垂直平分線，

；.FD=FP，ED=OE,CD=CO,

在△FDC和△FOE中，

NFDC=NFOE

FD=FP,

Z.DFC=4OFE

：./\FDC^/\FOECASA),

：.CD=OE,

又ED=OE,CD=CO,

:.ED=OE=CD=CO,

，四邊形OCDE是菱形.

（2）；四邊形/8CO為矩形，

：.ZBCD=ZCDA=90°,DO=CO,

TCE是線段OD的垂直平分線，

：.CD=CO,

：.CD=CO=DO,

...△OOC為等邊三角形，

：.DO=CD=4,ZODC=6Q0,

：.DF=^D0=2,

在RtZ\C￡>尸中，CD=4,DF=2,

由勾股定理得：CF=>JCD2-DF2=273,

由（1）可知：四邊形OCOE是菱形，

EF=CF=2V3,

?：NGDF=NCD4-/ODC=30°,

GF

?*.tcniDF=》尸

GF=DF-tanZGDF=2tan30°=竽，

.crcvre?/o2店4?

..EG=EF-GF=2V3=—g―.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解答此題關(guān)鍵是理解菱形

的判定，等邊三角形的性質(zhì)，數(shù)量利用勾股定理銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算.

矩形的性質(zhì)

41.（2023?蘇州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)力的坐標(biāo)為（9,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）,以04,OC為邊作

矩形。18c.動(dòng)點(diǎn)、E,尸分別從點(diǎn)O,8同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿8c向終點(diǎn)4,C移動(dòng).當(dāng)

移動(dòng)時(shí)間為4秒時(shí)，/UEF的值為（)

A.V10B.9V10C.15D.30

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【分析】利用點(diǎn)的坐標(biāo)，分別計(jì)算NC和EF,再相乘即可.

【解答】解：連接NC、EF.

??,四邊形。N3C為矩形，

：.B(9,3).

又?；OE=BF=4,

：.E(4,0),F(5,3).

：.AC=70c2+0A2=,32+92=3710,

EF=7(5-4)2+32=VlO,

xV10=30.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查矩形的性質(zhì)及坐標(biāo)，較為簡(jiǎn)單，直接計(jì)算即可.

42.（2023?寧波）如圖，以鈍角三角形/8C的最長(zhǎng)邊8c為邊向外作矩形8C0E,連結(jié)/E,AD,設(shè)AAED,AABE,

△力CZ）的面積分別為S,Si,S2,若要求出S-S1-S2的值，只需知道（）

A.△Z8E的面積B.△/（?￡）的面積

C.△Z8C的面積D.矩形8COE的面積

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；三角形的面積；三角形三邊關(guān)系.

【分析】作于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F,可證明四邊形"GE是矩形，AFLBC,可推導(dǎo)出S-Si-52=笈。

11111

?AG-誑。EG-DG=，F(xiàn)?CMBC所以只需知道ABC就可求出S-Si-S2的

乙乙%乙DAGV乙GED=/乙*AF=S,S^,

值，于是得到問題的答案.

【解答】解：作/G_LE。于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F,

?.?四邊形88E是矩形，

:.NFBE=NBEG=NFGE=9Q°,BC//ED,BC=ED,BE=CD,

四邊形8尸GE是矩形，N4FB=NFGE=9Q°,

:.FG=BE=CD,AFLBC,

：.S-Si-S2=^ED'AG-^BE'EG-^CD^DG=%D"G-#G?ED=^BC'AF=S^ABC,

只需知道SA/BC,就可求出S-Si-S2的值，

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查矩形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式、矩形的面積公式、根據(jù)轉(zhuǎn)化思想求圖形的面積等

知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

矩形的性質(zhì)

41.（2023?十堰）如圖，將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩形框架/8C。，然后向左扭動(dòng)框架，觀察所得四邊形的變化,

下面判斷錯(cuò)誤的是（)

AD

BC

A.四邊形488由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?/p>

B.對(duì)角線8。的長(zhǎng)度減小

C.四邊形N8CZ）的面積不變

D.四邊形N8CZ）的周長(zhǎng)不變

【答案】C

【分析】由題意可知左扭動(dòng)矩形框架/8CZ）,四邊形變成平行四邊形，四邊形的四條邊不變，故周長(zhǎng)不變，對(duì)角

線8。減小，但是8C邊上的高減小，故面積變小，故選C.

【解答】解：左扭動(dòng)矩形框架/8CZ）,只改變四邊形的形狀，四邊形變成平行四邊形，/不符合題意；

此時(shí)對(duì)角線8。減小，對(duì)角線4c增大，8不合題意.

8C邊上的高減小，故面積變小，。符合題意，

四邊形的四條邊不變，故周長(zhǎng)不變，O不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，熟悉性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

矩形的性質(zhì)

AB

41.（2023?杭州）如圖，矩形的對(duì)角線ZC,8。相交于點(diǎn)。.若NNO8=60。，則一=()

BC

B*C

1V3-1V3V3

A.B.C.D.一

2223

【答案】D

【分析】先證△/BO是等邊三角形，可得N84O=60°,由直角三角形的性質(zhì)可求解.

【解答】解：,??四邊形48。是矩形，

：?AO=BO=CO=DO,

?.?408=60°,

.**/\ABO是等邊三角形，

???NBZO=60°,

AZACB=30°,

BC=

.ABV3

?■=,

BC3

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

矩形的性質(zhì)

37.（2023?濱州）如圖，矩形/8CD的對(duì)角線4C,8。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,尸分別是線段04上的點(diǎn)，若4E

=BF,AB=5,AF=\,BE=3,則8尸的長(zhǎng)為_俄_.

【答案】V22.

【分析】過/作于M過8作8M_L/C于根據(jù)矩形的性質(zhì)得到08=OA=^AC,AC=BD,

根據(jù)三角形的面積公式得到NN=8M,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CW=0M,FM=EN,談FM=EN=x,根據(jù)

勾股定理即可得到結(jié)論.

［解答］解：過N作ANYBD于N,過8作BM1AC于M,

:.NANO=NANB=NBMO=/BMA=90°,

???四邊形48C。是矩形,

；?OB=3BD,OA=AC=BD,

：.OB=OA,

9

：SAAOB=%B?AN=2?BM,

:?AN=BM,

:.RtAAONgRtABOM(HL),

：.ON=OM,

：.BN=AM,

":AE=BF,

：?R3ANE學(xué)/\Rt4BMF(HL),

:?FM=EN,

設(shè)FM=EN=x,

VJF=1,BE=3,

:?BN=3-x,4M=l+x,

3-x—1+x,

??x=1,

：.FM=\,

：.AM=2,

??ZB=5,

：.BM=y/AB2-AM2=VH,

：.BF=y/FM2+BM2=Ml+21=V22,

故答案為：V22.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

38.（2023?陜西）如圖，在矩形/8CO中，AB=3,8c=4.點(diǎn)E在邊/。上，且ED=3,M,N分別是邊“8、BC

上的動(dòng)點(diǎn)，且BM=BN,P是線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM,PN.若PM+PN=4.則線段PC的長(zhǎng)為2a.

【答案】2V2.

【分析】由題意知△COE是等腰直角三角形，作點(diǎn)N關(guān)于EC的對(duì)稱點(diǎn)N,則M在直線8上，連接PM,PN

=PM,PM+PN=4.即尸"+PM=4,BC=4,BM=BN,所以此時(shí)A/、P、N三點(diǎn)共線且MM〃4D,點(diǎn)尸在W

的中點(diǎn)處，PM=PN=2,PC=2五.

【解答】解：,:DE=AB=CD=3,

△CDE是等腰直角三角形，

作點(diǎn)N關(guān)于EC的對(duì)稱點(diǎn)M,則M在直線CD上，連接/W,如圖：

■:PM+PN=4.

：.PM+PN'=4=BC,即W=4,

此時(shí)〃、P、N三點(diǎn)共線且MM〃/。，點(diǎn)P在MM的中點(diǎn)處,

:.PM=PN=2,

；.PC=2VL

故答案為：2企.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題關(guān)鍵.

矩形的性質(zhì)

37.（2023?內(nèi)江）出入相補(bǔ)原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，最早是由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建.“將一個(gè)幾何

圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要

內(nèi)容之一，如圖，在矩形中，AB=5,AD=\2,對(duì)角線/C與8。交于點(diǎn)。，點(diǎn)E為8c邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

60

EFrAC,EGLBD,垂足分別為點(diǎn)RG,則EF+EG==.

【分析】連接OE,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到8c=/。=12,AO=CO=BO=DO,NZ8c=90°,根據(jù)勾股定理得到

AC=VAB2+BC2=13,求得OB=OC=竽，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接0區(qū)

???四邊形/8CD是矩形,

48C=90°,BC=AD=\2,AO=CO=BO=DO,

"：AB=5,8c=12,

：.AC=>1AB12+BC2=13,

.?.08=0C=寧,

11111_

SABOC=S/BOE+S^COE=7EG+5OOEF=5s△/BC=xx5x12=15,

S乙乙乙/1乙

113113113

x—EG+-X—EF=-x—(EG+EF)=15,

222222、7

60

：.EG+EF=正'

故答案為：—.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的

應(yīng)用.

矩形的性質(zhì)

28.(2023?溫州)如圖，已知矩形Z8CD,點(diǎn)￡在C8延長(zhǎng)線上，點(diǎn)尸在8c延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)尸作FH_LEF交瓦)

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連結(jié)/尸交E”于點(diǎn)G,GE=GH.

(1)求證：BE=CF；

AB5

(2)當(dāng)一=-,/。=4時(shí)，求EF的長(zhǎng).

FH6

【答案】(1)證明見解析過程；

(2)6.

【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到GE=GF,再根據(jù)等邊對(duì)等角得出NE=NG/^,

根據(jù)矩形的性質(zhì)得出/8=Z)C,N4BC=NDCB=90：于是可證aZB廳和△OCE全等，得至I」8尸=?！?從而問

題得證；

(2)先證△EC￡)s得出比例式，再結(jié)合已知即可求出E尸的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：

:.NHFE=9G°,

,:GE=GH,

1

：.FG=^EH=GE=GH,

:?/E=NGFE,

???四邊形/BCD是矩形，

：?AB=DC,ZABC=ZDCB=90°,

:?△ABF9XDCE(AAS),

BF=CE,

：?BF-BC=CE?BC,

即BE=CF；

(2)解：：四邊形49C。是矩形，

:.DC1BC,即。C_LEF,AB=CD,BC=AD=4,

?：FHLEF,

J.CD//FH,

:?△ECDsAEFH,

.ECCD

EF~FH'

.ECAB

EF-FH

?.4B5

,尸H―6，

.EC__5

??—―,

EF6

設(shè)BE=CF=x,

EC=x+4,EF=2x+4,

.x+45

*'2x+4-6

解得x=l,

:.EF=6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些圖形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

29.(2023?隨州)如圖，矩形Z8CO的對(duì)角線4C,8。相交于點(diǎn)。，DE//AC,CE//BD.

(1)求證：四邊形OCE。是菱形；

(2)若8C=3,DC=2,求四邊形。CEO的面積.

AD

E

/0、/

BC

【答案】（1）證明見解答；

（2）3.

【分析】（1）證明四邊形OCE。是平行四邊形，再根據(jù)矩形性質(zhì)可得：OC=OD,利用菱形的判定即可證得結(jié)論；

（2）先求出矩形面積，再根據(jù)矩形性質(zhì)可得S^OCD=矩形'BCD,再由菱形性質(zhì)可得菱形OCED的面積=2SAOCD

可解答.

【解答】（1）證明：,JDE//AC,CE//BD,

二四邊形OCED是平行四邊形，

?矩形ABCD的對(duì)角線NC,BD相交于點(diǎn)O,

:.AC=BD,OC=^AC,0D=^BD,

：.OC=OD,

四邊形OCED是菱形；

（2）解：；四邊形N8CD是矩形，8c=3,DC=2,

：.OA=OB=OC=OD,S^niABCD=3X2=6,

??S&OCD=矩形ABCD=4X6==1.5,

?..四邊形OCED是菱形，

二菱形OCED的面積=2SAO8=2X1.5=3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形面積和菱形面積等基礎(chǔ)知識(shí)，能綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)

行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.

矩形的性質(zhì)

42.（2023?河南）矩形NBCD中，M為對(duì)角線8。的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊4。上，且ZN=/2=1.當(dāng)以點(diǎn)。，M,N為

頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為2或1+魚

【答案】2或1+應(yīng).

【分析】以點(diǎn)。，M,N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，分兩種情況：如圖1,當(dāng)NMND=90°時(shí)，如圖2,

當(dāng)NNMD=90。時(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：以點(diǎn)。，M,N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，分兩種情況：

??,四邊形/8CD是矩形，

，4=90°,

J.MN//AB,

???加為對(duì)角線8。的中