上海市嘉定區(qū)嘉一中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

上海市嘉定區(qū)嘉一中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直，則的方程為（）A． B．C． D．2．已知是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為（）A．4 B．6 C．8 D．123．設(shè)變量想x、y滿足約束條件為則目標(biāo)函數(shù)的最大值為()A．0 B．-3 C．18 D．214．設(shè)，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．已知某區(qū)中小學(xué)學(xué)生人數(shù)如圖所示，為了解學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法來(lái)進(jìn)行調(diào)查。若高中需抽取20名學(xué)生，則小學(xué)與初中共需抽取的人數(shù)為（）A．30 B．40 C．70 D．906．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的值為（）A．1 B．4 C．6 D．77．已知函數(shù)，則有A．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 B．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．的最小正周期為 D．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減8．為了了解某同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對(duì)他的6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出的莖葉圖如圖所示，則下列關(guān)于該同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的說(shuō)法正確的是()A．中位數(shù)為83 B．眾數(shù)為85 C．平均數(shù)為85 D．方差為199．在等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的前六項(xiàng)和為（）A．63 B．－63 C．－31 D．3110．已知，且，，則()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，角的對(duì)邊分別為，且面積為，則面積的最大值為_____．12．函數(shù)的最小正周期為______________.13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則__________．14．若，則__________．15．在邊長(zhǎng)為2的正△ABC所在平面內(nèi)，以A為圓心，為半徑畫弧，分別交AB，AC于D，E.若在△ABC內(nèi)任丟一粒豆子，則豆子落在扇形ADE內(nèi)的概率是________．16．如圖，，分別為的中線和角平分線，點(diǎn)P是與的交點(diǎn)，若，，則的面積為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．向量，，，函數(shù)．（1）求的表達(dá)式，并在直角坐標(biāo)中畫出函數(shù)在區(qū)間上的草圖；（2）若方程在上有兩個(gè)根、，求的取值范圍及的值．18．在等差數(shù)列{an}中，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a5是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn=an·bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．19．函數(shù)在同一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)時(shí)，取最大值1，當(dāng)時(shí)，取最小值-1．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．（2）若函數(shù)滿足方程，求在內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．20．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，；（1）求公差的取值范圍；（2）判斷與0的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）指出、、、中哪個(gè)最大，并說(shuō)明理由；21．在中，，點(diǎn)D在邊AB上，，且.（1）若的面積為，求CD；（2）設(shè)，若，求證：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)（1,0）的坐標(biāo)即得解.【詳解】設(shè)直線的方程為，由題得.所以直線的方程為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，判斷出函數(shù)的周期，由此畫出的圖像.由化簡(jiǎn)得，畫出的圖像，由與圖像的交點(diǎn)以及對(duì)稱性，求得函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和.【詳解】由于，故是函數(shù)的對(duì)稱軸，由于為奇函數(shù)，故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由此畫出的圖像如下圖所示.令，注意到，故上述方程可化為，畫出的圖像，由圖可知與圖像都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，它們兩個(gè)函數(shù)圖像的個(gè)交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性以及周期性，考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的求解策略，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.3、C【解析】

畫出可行域如下圖所示，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，且最大值為.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值.這種類型題目的主要思路是：首先根據(jù)題目所給的約束條件，畫圖可行域；其次是求得線性目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù)；接著畫出基準(zhǔn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)直線；然后通過(guò)平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置；最后求出所求的最值.屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

首先解兩個(gè)不等式，再根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)選出正確選項(xiàng).【詳解】由解得.由得.所以“”是“”的必要而不充分條件故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查絕對(duì)值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)高中抽取的人數(shù)和高中總?cè)藬?shù)計(jì)算可得抽樣比；利用小學(xué)和初中總?cè)藬?shù)乘以抽樣比即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，抽樣比為：則小學(xué)和初中共抽取：人本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣中樣本數(shù)量的求解，關(guān)鍵是能夠明確分層抽樣原則，準(zhǔn)確求解出抽樣比，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)是零點(diǎn)以及的縱坐標(biāo)值，求解出的坐標(biāo)值，然后進(jìn)行數(shù)量積計(jì)算.【詳解】令，且是第一個(gè)零點(diǎn)，則；令，是軸右側(cè)第一個(gè)周期內(nèi)的點(diǎn)，所以，則；則，，則.選C.【點(diǎn)睛】本題考查正切型函數(shù)以及坐標(biāo)形式下向量數(shù)量積的計(jì)算，難度較易.當(dāng)已知，則有.7、B【解析】

把函數(shù)化簡(jiǎn)后再判斷．【詳解】，由正切函數(shù)的性質(zhì)知，A、C、D都錯(cuò)誤，只有B正確．【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式和正切函數(shù)的性質(zhì)．三角函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，一般要把函數(shù)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合相應(yīng)的三角函數(shù)得出結(jié)論．8、C【解析】試題分析：A選項(xiàng)，中位數(shù)是84；B選項(xiàng)，眾數(shù)是出現(xiàn)最多的數(shù)，故是83；C選項(xiàng)，平均數(shù)是85，正確；D選項(xiàng)，方差是，錯(cuò)誤．考點(diǎn)：?莖葉圖的識(shí)別?相關(guān)量的定義9、B【解析】

利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出公式，由此能求出數(shù)列的前六項(xiàng)和.【詳解】在等比數(shù)列中，，，解得數(shù)列的前六項(xiàng)和為：.故選：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解基本量，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)同角公式求出，后，根據(jù)兩角和的正弦公式可得.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了同角公式，考查了兩角和的正弦公式，拆解是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用三角形面積構(gòu)造方程可求得，可知，從而得到；根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式可求得，代入三角形面積公式可求得最大值.【詳解】，由余弦定理得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查解三角形問(wèn)題中的三角形面積的最值問(wèn)題的求解；求解最值問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠通過(guò)余弦定理構(gòu)造等量關(guān)系，進(jìn)而利用基本不等式求得邊長(zhǎng)之積的最值，屬于?？碱}型.12、【解析】

利用函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期為，得出結(jié)論．【詳解】函數(shù)y＝3tan（3x）的最小正周期是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期性，利用了函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期為．13、【解析】分析：由，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，相減可得，則，由此可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式詳解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)由可得二式相減可得：又則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列點(diǎn)睛：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即數(shù)列遞推式，在解答此類問(wèn)題時(shí)看到，則用即可算出，需要注意討論的情況。14、；【解析】

把分子的1換成，然后弦化切，代入計(jì)算．【詳解】．故答案為－1．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．解題關(guān)鍵是“1”的代換，即，然后弦化切．15、【解析】

由三角形ABC的邊長(zhǎng)為2不難求出三角形ABC的面積，又由扇形的半徑為，也可以求出扇形的面積，代入幾何概型的計(jì)算公式即可求出答案．【詳解】由題意知，在△ABC中，BC邊上的高AO正好為，∴圓與邊CB相切，如圖．S扇形＝×××＝，S△ABC＝×2×2×＝，∴P＝＝.【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型概率的求法，屬基礎(chǔ)題.16、【解析】

設(shè),,求點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用換元法，求直線方程，再解出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積運(yùn)算求出，最后結(jié)合三角形面積公式求解即可.【詳解】解：由，可設(shè),,則，設(shè)，則，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線、方程解得，則，，可得，解得：，即，即，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)及三角形面積公式，屬中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），見(jiàn)解析（2）或，或．【解析】

（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角公式，輔助角公式即可求出的表達(dá)式，再根據(jù)五點(diǎn)作圖法或者平移法即可作出其在上的草圖；（2）依題意知，函數(shù)在上的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，即可求出的取值范圍及的值．【詳解】（1）依題知，．將正弦函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，即可得到的圖象，截取的部分即得，如圖所示：（2）依題可知，函數(shù)在上的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，可知，或，當(dāng)時(shí)，兩交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以；當(dāng)時(shí)，兩交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以．故或，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角公式，輔助角公式的應(yīng)用，正弦型函數(shù)圖象的畫法，以及方程的根與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，數(shù)形結(jié)合能力，以及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．18、（1）bn=3n－1；（2）Sn=(n－1)·3n+1【解析】

(1)由a1，a2，a5是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)得，a22=a1·a5?(a1+d)2=a1·(a1+4d)··?a12+2a1d+d2=a12+4a1d?d2=2a1d，又d≠0，所以d=2a1=2，從而an=a1+(n－1)d=2n－1，則b1=a1=1，b2=a2=3，則等比數(shù)列{bn}的公比q=3，從而bn=3n－1(2)由(1)得，cn=an·bn=(2n－1)·3n－1，則Sn=1·1+3·3+5·32+7·33+…+(2n－1)·3n－1①3Sn=1·3+3·32+5·33+…+(2n－3)·3n－1+(2n－1)·3n②①－②得，－2Sn=1·1+2·3+2·32+2·33+…+2·3n－1－(2n－1)·3n=1+2×－(2n－1)·3n=－2(n－1)·3n－2··則Sn=(n－1)·3n+1．19、（1），；（2）．【解析】

（1）先求出周期得，由最高點(diǎn)坐標(biāo)可求得，然后由正弦函數(shù)的單調(diào)性得結(jié)論；（2）由直線與的圖象交點(diǎn)的對(duì)稱性可得．【詳解】（1）由題意，∴，又，，，由得，∴，令得，∴單調(diào)減區(qū)間是，；（2）在含有三個(gè)周期，如圖，的圖象與在上有六個(gè)交點(diǎn)，前面兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，中間兩個(gè)關(guān)于直線對(duì)稱，最后兩個(gè)關(guān)于直線對(duì)稱，∴所求六個(gè)根的和為．【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)的性質(zhì)求解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的分布問(wèn)題．函數(shù)零點(diǎn)與方程根的分布問(wèn)題可用數(shù)形結(jié)合思想，把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用對(duì)稱性求解．20、（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3），理由見(jiàn)解析；【解析】

（1）由，，，得到不等式且，即可求解公差的取值范圍；（2）由，，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式，得到且，即可求解；（3）有（2）知，可得，數(shù)列為遞減數(shù)列，即可求解.【詳解】（1）由題意，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，可得，，即且，解得，即公差的取值范圍是.（2）由，，可得且，即且，所以，所以.（3）有（2）知，可得，數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以、、、中最大.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，其中解答熟記等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，合理利用數(shù)列的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）直接利用三角形的面積公式求得，再由余弦定理列方程求出結(jié)果；（2）兩次利用正弦定