山東省棗莊市市中區(qū)棗莊三中2024年數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

山東省棗莊市市中區(qū)棗莊三中2024年數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知兩個(gè)單位向量的夾角為，則下列結(jié)論不正確的是（）A．方向上的投影為 B．C． D．2．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則(

)A．36 B．30 C．24

D．13．曲線與曲線的（）A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．短軸長(zhǎng)相等C．焦距相等 D．離心率相等4．已知，都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．下列命題中不正確的是（）A．平面∥平面，一條直線平行于平面，則一定平行于平面B．平面∥平面，則內(nèi)的任意一條直線都平行于平面C．一個(gè)三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個(gè)平面，那么該三角形所在的平面與這個(gè)平面平行D．分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線6．設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，則②若，，，則③若，，則④若，，則其中正確命題的序號(hào)是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A．2 B． C． D．128．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為（）A．－3 B．1 C．9 D．109．下列角位于第三象限的是（）A． B． C． D．10．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，那么四棱錐的體積是（）A．B．C．D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)______．12．九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開(kāi)為勝.據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合面為一”.在某種玩法中，用表示解下個(gè)圓環(huán)所需的移動(dòng)最少次數(shù)，滿足，且，則解下4個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為_(kāi)____.13．已知等比數(shù)列中，若，，則_____．14．已知向量，若，則________.15．在中，，是線段上的點(diǎn)，，若的面積為，當(dāng)取到最大值時(shí)，___________.16．設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則的前10項(xiàng)和________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求的前項(xiàng)和（結(jié)果需化簡(jiǎn)）18．如圖，已知四棱錐的側(cè)棱底面，且底面是直角梯形，，，，，，點(diǎn)在棱上，且.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.19．已知和的交點(diǎn)為．（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程（2）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與軸、軸交于、兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求的面積．20．在中，，點(diǎn)D在邊AB上，，且.（1）若的面積為，求CD；（2）設(shè)，若，求證：.21．已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若，求△ABC面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】試題分析：A．方向上的投影為，即，所以A正確；B．，所以B錯(cuò)誤；C．，所以，所以C正確；D．，所以．D正確．考點(diǎn)：向量的數(shù)量積；向量的投影；向量的夾角．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”這條性質(zhì)．2、B【解析】

通過(guò)等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由于，故，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，難度較小.3、D【解析】

首先將后面的曲線化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)形式，分別求兩個(gè)曲線的幾何性質(zhì)，比較后得出選項(xiàng).【詳解】首先化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)方程，，由方程形式可知，曲線的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8，短軸長(zhǎng)是6，焦距是，離心率，，的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是，短軸長(zhǎng)是，焦距是，離心率，所以離心率相等.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.4、D【解析】；，與沒(méi)有包含關(guān)系，故為“既不充分也不必要條件”.5、A【解析】

逐一考查所給的選項(xiàng)是否正確即可.【詳解】逐一考查所給的選項(xiàng)：A.平面∥平面，一條直線平行于平面，可能a在平面內(nèi)或與相交，不一定平行于平面，題中說(shuō)法錯(cuò)誤；B.由面面平行的定義可知：若平面∥平面，則內(nèi)的任意一條直線都平行于平面，題中說(shuō)法正確；C.由面面平行的判定定理可得：若一個(gè)三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個(gè)平面，那么該三角形所在的平面與這個(gè)平面平行，題中說(shuō)法正確；D.分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線，不可能相交，題中說(shuō)法正確.本題選擇A選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的線面位置關(guān)系判定與證明：（1）對(duì)于異面直線的判定要熟記異面直線的概念：把既不平行也不相交的兩條直線稱為異面直線；（2）對(duì)于線面位置關(guān)系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關(guān)鍵.6、A【解析】

根據(jù)線面平行性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的定義，可得①是真命題；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，可得②是真命題；在正方體中舉出反例，可得平行于同一個(gè)平面的兩條直線不一定平行，垂直于同一個(gè)平面和兩個(gè)平面也不一定平行，可得③④不正確．由此可得本題的答案．【詳解】解：對(duì)于①，因?yàn)?，所以?jīng)過(guò)作平面，使，可得，又因?yàn)?，，所以，結(jié)合得．由此可得①是真命題；對(duì)于②，因?yàn)榍?，所以，結(jié)合，可得，故②是真命題；對(duì)于③，設(shè)直線、是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線，而平面是正方體下底面所在的平面，則有且成立，但不能推出，故③不正確；對(duì)于④，設(shè)平面、、是位于正方體經(jīng)過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面，則有且，但是，推不出，故④不正確．綜上所述，其中正確命題的序號(hào)是①和②故選：【點(diǎn)睛】本題給出關(guān)于空間線面位置關(guān)系的命題，要我們找出其中的真命題，著重考查了線面平行、面面平行的性質(zhì)和線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．7、C【解析】

由該幾何體的三視圖可知該幾何體為底面是等腰直角三角形的直棱柱，再結(jié)合棱柱的表面積公式求解即可.【詳解】解：由該幾何體的三視圖可知，該幾何體為底面是等腰直角三角形的直棱柱，又由圖可知底面等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，棱柱的高為1，則該幾何體的表面積是，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖，重點(diǎn)考查了棱柱的表面積公式，屬基礎(chǔ)題.8、C【解析】

畫(huà)出可行域，向上平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置，由此求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示，由圖可知，向上平移基準(zhǔn)直線到的位置，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值為.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃的知識(shí)求目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)第三象限角度的范圍，結(jié)合選項(xiàng)，進(jìn)行分析選擇.【詳解】第三象限的角度范圍是.對(duì)A：，是第二象限的角，故不滿足題意；對(duì)B：是第二象限的角度，故不滿足題意；對(duì)C：是第二象限的角度，故不滿足題意；對(duì)D：，是第三象限的角度，滿足題意.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查角度范圍的判斷，屬基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)錐體體積公式，求得四棱錐的體積.【詳解】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可知平面，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查四棱錐體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

實(shí)數(shù)滿足表示點(diǎn)在直線上，可以看作點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，最小值是原點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足＝1所以表示直線上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故的最小值為原點(diǎn)到直線的距離，即，故的最小值為1.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離公式，此題的關(guān)鍵在于的最小值所表示的幾何意義的識(shí)別.12、7【解析】

利用的通項(xiàng)公式，依次求出，從而得到，即可得到答案?！驹斀狻坑捎诒硎窘庀聜€(gè)圓環(huán)所需的移動(dòng)最少次數(shù)，滿足，且所以，，故，所以解下4個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為7故答案為7.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式，屬于基礎(chǔ)題。13、4【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的等積求解即可.【詳解】因?yàn)?故.又,故.故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列等積性的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

直接利用向量平行性質(zhì)得到答案.【詳解】，若故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行的性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題.15、【解析】

由三角形的面積公式得出，設(shè)，由可得出，利用基本不等式可求出的值，利用等號(hào)成立可得出、的值，再利用余弦利用可得出的值.【詳解】由題意可得，解得，設(shè)，則，可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，，，由余弦定理得，解得．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理解三角形，同時(shí)也考查了三角形的面積公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值時(shí)，需要結(jié)合已知條件得出定值條件，同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.16、【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)求出公差，由此能求出【詳解】因?yàn)槭枪畈粸?的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列所以，即解得或(舍)所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前10項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)合理運(yùn)用.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）；【解析】

（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式得時(shí)，，時(shí)，，化簡(jiǎn)計(jì)算可得所求通項(xiàng)公式；（2）求得，運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和．【詳解】（1）可得時(shí)，則（2）數(shù)列滿足，可得，即，前項(xiàng)和兩式相減可得化簡(jiǎn)可得【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．18、（1）見(jiàn)證明；（2）4【解析】

（1）取的三等分點(diǎn)，使，證四邊形為平行四邊形，運(yùn)用線面平行判定定理證明.（2）三棱錐的體積可以用求出結(jié)果.【詳解】（1）證明：取的三等分點(diǎn)，使，連接，.因?yàn)?，，所以?因?yàn)?，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：因?yàn)?，，所以的面積為，因?yàn)榈酌?，所以三棱錐的高為，所以三棱錐的體積為.因?yàn)椋匀忮F的高為，所以三棱錐的體積為，故三棱錐的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定定理、三棱錐體積的計(jì)算，在證明線面平行時(shí)需要構(gòu)造平行四邊形來(lái)證明，三棱錐的體積計(jì)算可以選用割、補(bǔ)等方法.19、（1）；（2）2【解析】

（1）聯(lián)立兩條直線的方程，解方程組求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的斜率求得與其垂直直線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求得所求直線方程.（2）根據(jù)（1）中點(diǎn)的坐標(biāo)以及為中點(diǎn)這一條件，求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得三角形的面積.【詳解】解：（1）聯(lián)立，解得交點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵與垂直，∴的斜率，∴的方程為，即.（2）∵為的中點(diǎn)，已知，，即，∴【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查兩條直線垂直斜率的關(guān)系，考查直線的點(diǎn)斜式方程，考查三角形的面積公式以及中點(diǎn)坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）直接利用三角形的面積公式求得，再由余弦定理列方程求出結(jié)果；（2）兩次利用正弦定理，結(jié)合兩角差的正弦公式、二倍角的正弦公式進(jìn)行恒等變換求出結(jié)果．【詳解】（1）因?yàn)?即，又因?yàn)?，所以．在△中,由余弦定理得，即，解得．（2）在△中，，因?yàn)椋瑒t，又，由正弦定理，有，所以．在△中,，由正弦定理得，，即，化簡(jiǎn)得展開(kāi)并整理得【點(diǎn)睛】以三角形為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對(duì)三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問(wèn)題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng).解答這類問(wèn)題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換，可得，結(jié)合范圍，可求的值．（Ⅱ）方法1：由余弦定理，基本不等式可得，利用三角形的面積公式即可求解；方法