2024年全國(guó)普通高中九省聯(lián)考模擬數(shù)學(xué)試題(三)

2024年高考模擬數(shù)學(xué)試題（三）試卷+答案

本套試卷根據(jù)九省聯(lián)考題型命制，題型為8+3+3+5模式，適合黑龍江、吉林、安徽、江西、甘肅、河

南、新疆、廣西、貴州等省份考生模擬練習(xí).

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

L某校高三年級(jí)一共有1200名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，已知所有學(xué)生成績(jī)的第80百分位數(shù)是103分，則數(shù)學(xué)

成績(jī)不小于103分的人數(shù)至少為（）

A.220B.240C.250D.300

2.設(shè)是圓。上兩點(diǎn)，若MN=2,則礪.麗=（）

A.-4B.-2C.2D.4

3.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒颍總€(gè)人都等可能地把球傳給另一人，由甲開始傳球，作為第一次傳球，

經(jīng)過3次傳球后，球回到甲手中的概率為（）

A.-B.—C.-D.L

81642

4.已知分別為橢圓c:菅+3=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓上一點(diǎn)，則|PF|2+『吁-2|PF||PF|的最大值

為（）

A.64B.16C.8D.4

5.已知數(shù)列3｝為等比數(shù)列，S是它的前〃項(xiàng)和，若4.G=2。,且。與2a的等差中項(xiàng)為:，則S=

5

nn231474

（）

A.35B.33C.31D.29

6.甲、乙兩個(gè)圓錐的底面積相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為"、S體積分別為

甲乙

sV

9、匕，若h=2,則寸等于（）

甲乙3V

B,也C2M

A.V10

,5

7.如圖,F,尸是分別是雙曲線二一四b>0）的左、右

12/7。?2In/"7）2

點(diǎn)，尸為雙曲線右支上的一點(diǎn)，圓M與△尸勺勺三邊所在的直線都

切，切點(diǎn)為A,B,C,若|尸目=。，則雙曲線的離心率為（

A.^2B.2C.百D.3

8.已知85（4。。一。）+85（40。+。）+?05（8。。一。）=0,則tan?=（）

A.-73B.一也C.3D.百

33

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.非空集合A具有如下性質(zhì)：①若x,yEA,則工￡白；②若羽WA,則x+yEA下列判斷中，正確的有（）

y

A.-1胡B?翳日

C.若x,yGA,則孫巳4D.若x,yEA,貝Ux-yEA

10.已知函數(shù)/（X）sin23xcos<p+cos2coxsin（pj3>0,0<（p<；）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的

是（）

A./G）的圖象關(guān)于點(diǎn)卜寸稱

B./G）在區(qū)間［o,"的最小值為一;

C.為偶函數(shù)

D./G）的圖象向右平:個(gè)單位后得到y(tǒng)=sin2x的圖象

11.已知定義在R的函數(shù)/G）滿足以下條件：

（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y恒有/G+y）fG）/（y）+fG）+f（y）；

（2）當(dāng)x>0時(shí)，/G）的值域是（0,+℃）

（3）/（1）=1

則下列說法正確的是（）

A./（x）值域?yàn)長(zhǎng)l,+s）B./（x）單調(diào)遞增

3_f（Q

C./'（8）=255D./J：/）的解集為I+s）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知復(fù)數(shù)z滿足卜-2|=卜|=2,則空=.

13.已知函數(shù)/G）=X3+2X-2T,若實(shí)數(shù)。、匕滿足了（2.2）+/。2_1）=0,則4Ji+2b2的最大值為

2

14.如圖，矩形ABC。中，AB=2AD,E為邊AB的中點(diǎn)，將△4DE沿直線。E翻折成.若M為

1

線段AC的中點(diǎn)，則在△4DE翻折過程中，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是

1

(填寫所有的正確選項(xiàng))

(1)怛必是定值

(2)點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)

(3)存在某個(gè)位置，使。EJ.AC

1

(4)存在某個(gè)位置，使M3〃平面A

1

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)兩個(gè)安全設(shè)備間由一組對(duì)接碼進(jìn)行“握手”連接，對(duì)接碼是一個(gè)由“1,2,3,4”4個(gè)數(shù)字組成的

六位數(shù)，每個(gè)數(shù)字至少出現(xiàn)一次.

(1)求滿足條件的對(duì)接碼的個(gè)數(shù)；

(2)若對(duì)接密碼中數(shù)字1出現(xiàn)的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

16.(15分)已知函數(shù)/(x)=lnx-a(x-l).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論/G)的單調(diào)性；

(2)若/G)有兩個(gè)零點(diǎn)，求”的取值范圍.

3

n7i

17.(15分)如圖，在四棱臺(tái)ABCZ5-A/嗎G0中，底面ABC。是菱形，ZABC=~,ZB;BD=-,

(1)求證：直線ACJ_平面B￡>嗎；

(2)求直線A,與與平面ACJ所成角的正弦值.

18.(17分)已知拋物線€:》2Px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，斜率為左—0)的直線過點(diǎn)十多。｝交C于

A,B兩點(diǎn)，且當(dāng)k=；時(shí)，|4川+步周=16.

⑴求C的方程；

AF\AQ\2

⑵設(shè)C在42處的切線交于點(diǎn)。，證明港一

\BQ|2

19.(17分)若項(xiàng)數(shù)為k/eN*,k33)的有窮數(shù)列伍｝滿足：OWa<a<a<-<a,且對(duì)任意的

n123k

i,jQWiWjWk),a+a或。-。是數(shù)列｛a｝中的項(xiàng)，則稱數(shù)列伍｝具有性質(zhì)尸.

jijinn

(1)判斷數(shù)列0,1,2是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

(2)設(shè)數(shù)列僅｝具有性質(zhì)p,a。=1,2,…，口是｛。｝中的任意一項(xiàng)，證明：。-a一定是伍｝中的項(xiàng);

ninkin

(3)若數(shù)列｛。｝具有性質(zhì)p,證明：當(dāng)z25時(shí)，數(shù)列｛。｝是等差數(shù)列.

nn

4

2024年高考模擬數(shù)學(xué)試題（三）試卷+答案

（題型同九省聯(lián)考，共19個(gè)題）

注意事項(xiàng)：

].答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.某校高三年級(jí)一共有1200名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，已知所有學(xué)生成績(jī)的第80百分位數(shù)是103分，則數(shù)學(xué)

成績(jī)不小于103分的人數(shù)至少為（）

A.220B.240C.250D.300

答案B

解析由1200x80%=960人，所以小于103分學(xué)生最多有960人，所以大于或等于103分的學(xué)生有

1200-960=240人.故選B

2.設(shè)",N是圓。上兩點(diǎn)，若MN=2,則礪.旃=（）

A.-4B.-2C.2D.4

答案C

解析設(shè)"N中點(diǎn)為尸，則。PLMN,

所以質(zhì)?旃=島+而）.麗=辦.麗+而?麗=^^+0=2.解法二：

cosZOMN=

3.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒颍總€(gè)人都等可能地把球傳給另一人，由甲開始傳球，作為第一次傳球,

經(jīng)過3次傳球后，球回到甲手中的概率為（）

A.-B.—C.-D.

8164

答案C

解析設(shè)甲、乙、丙三人用Ac,由題意可知：傳球的方式有以下形式,

5

(Q,b,Q,Z?),(Q,b,a,C),(Q,Z?,C,〃),(〃,/?,c,b),(a,C,Q,Z?),(Q,C,Q,C),(a,c,瓦c),

21

所求概率為故選C

84

4.已知?分別為橢圓。：看+亍1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則吃F+|嗎2-2修|嗎的最大值

為()

A.64B.16C.8D.4

答案B

解析：|「呼+1”F-21PqiPPJ=?「勺卜I”,

因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)P滿足|PF|-|PF|<|FF|,當(dāng)點(diǎn)P為FF的延長(zhǎng)線與C的交點(diǎn)時(shí)，|P,I-|竺I取得最大

值，最大值為歸勺1=4.所以『呼+『吁一2|尸邛”|的最大值為16.故選B.

5.已知數(shù)列3｝為等比數(shù)列，S是它的前〃項(xiàng)和，若a-G=2a,且a與2a的等差中項(xiàng)為以，則S=

5

nn231474

()

A.35B.33C.31D.29

答案C

解析設(shè)等比數(shù)列的公比為“，則?！?aq-aq2=2a,所以。=2,

231114

515)16(Y)5)

又〃+2〃=a+2。0=處—,解得q-=,〃16,端以S~=^~~——=~：---31,故選C.

47444215l-q

2

6.甲、乙兩個(gè)圓錐的底面積相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S田、S體積分別為

甲乙

sV

%、V乙，若丁=2,則聲等于()

乙乙

「2M

A.MB.L?-------D.

56

答案B

解析設(shè)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)分別為/,/.

12

由甲、乙兩個(gè)圓錐的底面積相等，得出兩個(gè)圓錐底面圓半徑相等，設(shè)為廠.

2兀/2兀/Yr

由側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，得力——=2兀，則7+1=1①.

1212

6

qTtlI

因?yàn)槎?2,則r打2,所以/=2/②，

S兀力/12

乙22

由①②解得/棄,/I，所以甲圓錐的高/?=」/2一r2=,9r2一廠2=20r,

1221Y1

乙圓錐的圖"二J/2—T2=二——r，

2*22

2應(yīng)■

—^nh—2—Tin4加

3Ti卷一.故選B.

乙-E7

326

7.如圖，F(xiàn),尸是分別是雙曲線三一21l(fl>0,6>0)的左、

12a2b2

點(diǎn)，P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，圓M與△尸尸尸三邊所在的直線都

12

切，切點(diǎn)為A，B,C,若|PB|=。，則雙曲線的離心率為()

A.0B.2C.出D.3

答案B

解析：連接MA,MC,MF,

1

由直線和圓相切的性質(zhì)，可得聲4|歸回a,設(shè)

性卻歸C|x,由雙曲線的定義可得，|尸,卜|尸陰=2°,

則|P4|=2a+|PFj=2a+|尸回+怛Fj=3a+x,

\AF\=\AP\+\PF\=4a+x,|FC|=|FF|+|FC|=2c+x,

由圓外一點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)相等，即有4a+x=2c+x,即c=2a,

仁22.故選B.

a

8.已知cos（40。一。）+cos（40。+。）+cos（80。一。）=0,則tan?=（）

A.-J3B.一遮C.BD.Ji

33

答案A

解析H^cos（40°-6）+cos（40°+6）+cos（80°-6）=0,

所以cos4（）Ocos0+sin40°sin0+cos4O°cos0-sin40°sin0+cos8O0cos0+sin8O°sin0=0,

所以2cos40°cos。+cos8O0cos0+sin8O°sin0=0，

所以2cos400+cos800+sin80°tan。=0,

7

匚匚“a2cos400+cos80°2cos(120°-80°)+cos80°

所以tan。=----------------=

sin80°sin80°

2(cos120°cos800+sin120°sin80°)+cos800在sin80°

-布.故選A.

sin80°sin80°

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.非空集合A具有如下性質(zhì)：①若x,yEA,則工￡白；②若羽WA,則x+yEA下列判斷中，正確的有（）

y

A.-IgAB?翳日

C.若x,yGA,則孫巳4D.若x,yEA,則x-yGA

答案ABC

解析：對(duì)于A,假設(shè)-1EA,則令x=y=-l,則上=1EA,x+y=-2GA,

y

令x=-l,y=l，則上=-1EA,x+y=0EA,令x=l,y=0,不存在工，即yWO,矛盾,

yy

-164.故A對(duì);

對(duì)于5,由題，1GA,則1+1=2巳4,2+l=3EA,???，2022GA,2023GA,

???翳訊故5對(duì);

對(duì)于cjt?*1eA,xGA,/?—■eA,

x

VJGA,—GA,???干=xyGA,故C對(duì);

x±

X

對(duì)于Z),VIGA,2GA,若X=2,y=l,則x-y=lGA,故錯(cuò)誤.故選ABC.

(

10.已知函數(shù)/（X）sin2coxcos(p+cos2coxsin(pfco>0,0<p<—的部分圖

象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

/G）的圖象關(guān)于點(diǎn)［g,。］對(duì)稱

A.

B./（X）在區(qū)間。目71的最小值為彳

2

C.小為偶函數(shù)

D./G）的圖象向右平二個(gè)單位后得到y(tǒng)=sin2x的圖象

6

答案BC

解帕/（x）sm（23x+總由圖象可知即sin*,又0所以中=￡，

8

由五點(diǎn)作圖法可得cox2?兀+B7T=T371，解得①=2,所味/(X)sin)2x+兀-、,

362v07

對(duì)于A：dq)=sin[g+\|=T,所以/(x)的圖象關(guān)于x=-(對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；

「兀1?！肛?兀](兀、「11「兀11

對(duì)于B：當(dāng)冗￡0,—時(shí)，2x+—G—sin2x+-e--,1,即/(%)在區(qū)間0,—上的最小值為-；,

2J6|_66」16/1_2」1_2」2

故B正確；

對(duì)于C：/(x+g(兀、兀

sin2x+—+-=sin|2x+-COSX,C

LI6j6_I2,為偶函數(shù)，故正確.

71(兀、兀sin(2x-的圖象，故D錯(cuò)誤；故

對(duì)于D：7(%)的圖象向右平移7個(gè)單位后得至的sin2x---+-=

6LI6J6_

選BC.

11.已知定義在R的函數(shù)/G)滿足以下條件：

(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y恒有/G+y)f(x)fG)+fG)+f(y)；

(2)當(dāng)尤＞0時(shí)，/G)的值域是(o,口)

⑶/(i)=i

則下列說法正確的是()

A./G)值域?yàn)椋?1,4-00)B./G)單調(diào)遞增

3_f(\

c./(8)=255D.］［；(；)的解集為1+8)

答案BCD

解析對(duì)選項(xiàng)A：令，1可?？傻?心)/(1)/(0)+/(0)+/(1),^f(0)=0,

令y=-X可得/(0)=/(一x)/G)+/Q)+/(-x),/(-x)^-l,

/G)=/1!)?I=T+/(，)+I，當(dāng)x<0時(shí)，/(T)>0,則/(x)=T+/(_：)+i>T，

綜上所述：/G)e(-1,+?),錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)B：任取ER且x〉x,/(x-x)>0,f(x)>-1,

1212122

則)—/(x)=/(%—X+冗)—/(x)=/(x-1)/(x)+/(x)/(x-x)F/G)+11>0,所以函

1212221221212L2J

9

數(shù)y=/G）在R上單調(diào)遞增，正確；

對(duì)選項(xiàng)C：取有盧1得到/L）/（1）/（1）+/（1）+X1）3；

取*戶2得到4）/（2）/（2）+/（2）+742）15；

取*盧4得到世8）/（4）/（4）+/（4）+/=（4）255,正確;

對(duì)選項(xiàng)D：/［省,/[/(X)][1+/G)]>3-/(X),

即/[/G)]fG)+fG)+f[fG)]=/[X+/G)]>/(2),

即x+y(x)N2,又函數(shù)g(x)=x+/(x)單調(diào)遞增，且g(l)=l+l=2,故xNl,正確;

故選BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知復(fù)數(shù)z滿足卜-2|=卜|=2,則百=

答案-8

解析設(shè)片a+bi,則z-2=a-2+Z?i,

。2+/72=4

所以(a-2》+從=4'解得

當(dāng)^l=bV?時(shí)，z=1+-J3iJ故Z2=

G+2后)(+V§1)=-2+6i2=-8；

空二

當(dāng)a=l,6=-4時(shí)，=1-后,故z2=(一占)=1-2.+3i2=—2—2/,

Z3=C2—2'^'i)(―^/5i)=—2+6i2=—8,故答案為—8

13.已知函數(shù)/（X）=X3+2.2-￡,若實(shí)數(shù)a、6滿足/（2a2）+/Q-1）=。，則。向與7的最大值為

3

答案7

4

解析函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镽,且/（一x）=（—X）+2T-2,=-x3+2f—2%=-f（x）,

所以，函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)y=%3、y=2x、丁=-2-均為區(qū)上的增函數(shù)，故函數(shù)/（X）在R上為

10

。2一1）=/（1一"）,

增函數(shù),

所以，2a2=1一小，即2a2+從=1,當(dāng)外/1+2核取最大值時(shí),則。＞0,

所以，aJl+2比.（1+2心或+1卜止步!

而22/?2+1逅

4

當(dāng)且僅當(dāng)＜2〃2+6=1時(shí),即當(dāng)＜等號(hào)成立,

1

〃＞0b=+

2

因此，._____的最大值為3:.3故答案為:

14.如圖，矩形ABCD中，AB=2AD,E1為邊AB的中點(diǎn),將aAOE沿直線。E翻折成△AOE.若Af為

1

線段AC的中點(diǎn)，則在△AOE翻折過程中，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的

1

是（填寫所有的正確選項(xiàng)）

（1）怛叫是定值

（2）點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)

（3）存在某個(gè)位置，使

1

（4）存在某個(gè)位置，使〃平面4OE

1

答案（1）（2）（4）

解析取CD中點(diǎn)Q,連結(jié)/。，BQ,

則MQ//D4,BQ//DE,

1

平面M8Q〃平面AOE,又?.?MBu平面M3。，

1

平面AOE,故（4）正確；

1

由NAi=1AD定值，好亦定值,

由余弦定理可得MB2=MQ2+QB2-2MQ?QB?cosZMQB

所以M3是定值，故（1）正確;

???5是定點(diǎn)，是在以5為球心，MB為半徑的球面上，故（2）正確;

■.■ZADE=ZADE=^,NCDE=45。,且設(shè)AO=1,A2=2'

11

則GE五，

若存在某個(gè)位置，使DE1々C,則因?yàn)镈E2+CE2=CD2，即CE，DE,因?yàn)閈CnC￡=C，則DE1平面ACE,

所以DELAE,與D4LAE矛盾，

111

故(3)不正確.故答案為：(1)(2)(4)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)兩個(gè)安全設(shè)備間由一組對(duì)接碼進(jìn)行“握手”連接，對(duì)接碼是一個(gè)由“1,2,3,4”4個(gè)數(shù)字組成的

六位數(shù)，每個(gè)數(shù)字至少出現(xiàn)一次.

(1)求滿足條件的對(duì)接碼的個(gè)數(shù)；

(2)若對(duì)接密碼中數(shù)字1出現(xiàn)的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解析(1)當(dāng)對(duì)接碼中一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)3次，另外三個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)1次時(shí)，種數(shù)為：

OA64x6x5x4x3x2xl

-?一&。---------------480,2分

A33x2x1

3

當(dāng)對(duì)接碼中兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)2次，另外兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)1次時(shí),

4x3一

,八A---x6x5x4x3x2xl

種數(shù)為22x1----------------[080,..........4分

A2A22xlx2xl

22

所有滿足條件的對(duì)接碼的個(gè)數(shù)為1560..........5分

(2)隨機(jī)變量X的取值為L(zhǎng)2,3,

CiAsC2A6

__36.+__36

P@@上_上絲.........7分

156026

QA?

P&9,9分

156026

C3A31

Pa0—6-----3=11分

156013

故概率分布表為:

13分

16.(15分)已知函數(shù)/(x)=lnx—〃(x—l).

12

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若/G)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

解析(1)當(dāng)a=l,/GXlnx-x+lG>0),則廣(%)=--1=1^,

XX

令r(r)>0解得O<X<1,令/(x)<0解得x>l,

所以/G)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+?0單調(diào)遞減..........4分

(2)由題意可得x>0,r(x)=」—a=E竺，.........5分

XX

當(dāng)aWO時(shí)，/'Q)>。恒成立，/G)單調(diào)遞增，故至多有一個(gè)零點(diǎn)，

不符合題意，.........7分

所以a>0,由尸G)>0解得0<尤<!，由/'(x)<0解得x>1，

aa

所以/(X)在單調(diào)遞增，在+8］單調(diào)遞減，

所以由零點(diǎn)存在性定理可得若/G)有兩個(gè)零點(diǎn)，則?。?1/_尸-1］>0,

\a)a\a)

即In〃一a+l<0,...................9分

令g(a)=lna-a+1,由(1)得g(〃)在(0,1)單調(diào)遞增，

在(1,+8)單調(diào)遞減，..........11分

又g(D=O,所以由g(a)<0解得ae(0,l)U(l,+8),...................13分

因?yàn)?Q?)=lne-a-aG-a-l)=-ae—“<0,

所以由得在e-。和工之間存在一個(gè)零點(diǎn)，.........14分

又/'(1)=0,所以a的取值范圍為(o,l)u(l,+s)....................15分

71兀

17.(15分)如圖，在四棱臺(tái)ABCA-A//CQ,中，底面4BC。是菱形，ZABC=-,ZB.BD=-

36

NBBA=NBB*AB2AB2FBB3

ii?ii

(1)求證：直線AC,平面8。嗎；

(2)求直線A,%與平面ACq所成角的正弦值.

解析(1)連-接AC8。交于。，

13

因?yàn)?/BBA=/BBC,BB=BB,

ii1i

所以AB3C=AB3A,故BA=3C

iiii

又因?yàn)閛為菱形對(duì)角線交點(diǎn)，即是線段AC的中點(diǎn)，所以BOLAC

1

又四邊形A8C。為菱形，故ACL8。

而30口3。=0,所以ACJ_平面

11

方法二：因?yàn)?BA4=/BBC,

11

所以點(diǎn)q在平面ABCD內(nèi)的射影。在為/A5C的平分線，

又四邊形A8C。為菱形，故BO為NA8C的平分線，則Oe直線2。

故平面BDBJ■平面ABCD,而平面BDBA平面ABCD=BD，

11

又四邊形A8CD為菱形，故

所以AC,平面出汨

1

（2）延長(zhǎng)44,33,CC,DD交于點(diǎn)尸，平面808即為平面尸，平面ACC即平面ACP

111111

由（1）得平面ACP_L平面BDP,0P=平面ACPPl平面BDP,

所以過3做尸，則平面ACP,故/84”即為直線48與平面4口7所成角（若研究直線

11111111

AB與平面ACC所成角的正弦值則線段等比例擴(kuò)大2倍結(jié)果不變）

1

因?yàn)樗睦馀_(tái)ABC。一ARCR4A3號(hào)V2,所以A8=1,BP=6

n

由菱形有48SC2,且/ABC=w，所以8。=2

兀

作因?yàn)?勺3。=不，則3G=34，PG,所以

POdBG?+PGz叵,

,36+21-39s3手

則nc°s"PO次西無T'sin4P0=m

14

故sinZBA//=￡^=生.

「BA14

11

法二：延長(zhǎng)A4,5B,CC,DD交于點(diǎn)尸，

iiii

平面5。勺即為平面尸，平面ACq即平面A”,

14

設(shè)直線A8與平面ACC所成角為。

111

過戶作垂足為G,因?yàn)?P=6,所以

建系，以。氏。。為羽y軸，作z軸//GP,

設(shè)平面ACP的法向量為機(jī)=（x,y,z）,貝!J

2y=0

-2y/3x+y+3z=0'

所以機(jī)=（二叵,0,1），

2

cos-----3,--^=訴［、］.03幣

1??'cc312J714，所以sine=：

2x2x/—FI14

\4

即直線A.B.與平面ACC.所成角的正弦值為止.

14

18.（17分）已知拋物線€:戶2Px（p>0）的焦點(diǎn)為憶斜率為斤（%0）的直線過點(diǎn)尸交C于

A,B兩點(diǎn)，且當(dāng)k=；時(shí)，|AF|+|BF|=l6.

⑴求C的方程；

AF\AQ\2

⑵設(shè)。在48處的切線交于點(diǎn)Q,?-=

\BQI2

解析（I）設(shè)斜率為且過點(diǎn)尸的直線為/：不my-4，其中機(jī)=之

2k

設(shè)AGJ>］）,5G^，八）?當(dāng)％=g時(shí)，l：=x2y_g將其與€：”2Px（p>0）聯(lián)立，消去工得:

尸-4py+p2=0,由韋達(dá)定理有y豐y4p,myp2.

i2i2

又由拋物線定義知|AF|+|8F|=X］+x,+p,又X］+x,=2（*+y,）-p,結(jié)合

\AF\+\BF\^l6,則8P=16np=2.得C的方程為y2=4x；.........5分

（2）由（l）可得，P（-l,0）,則/：?my-l,將其與拋物線方程聯(lián)立，

15

消去x得：產(chǎn)一4畋+4=0,貝(Jy*y4m,y4.

1212

設(shè)C在A點(diǎn)處的切線方程為am(y-y)+x,

111

C在B點(diǎn)處的切線方程為mm(y-y)+x.

8分

222

將m機(jī)(y-y)+x與y2=4x聯(lián)立，消去x得:

y2—4my+4my-4x=0,

1111111

因片m(y-y)+x為拋物線切線，則

聯(lián)立方程判別式A16m2-16my+0,

1111

又y2=4x=>16x

111

則16m2-16my+16x=16加2-16my+4y2-yr=0,

111111111

得m=工，同理可得相

i22

x=m-y)+x

將兩切線方程聯(lián)立有1\1,代入機(jī)m

%=m-yJ+x12

222

yy

X=F21,得。(1,2冽).

解得4

2

y■2m

2

1

則I叫2=Q-l)+(y-2m)，又％=⑺-1,

iiii

=(my一2)+(y-2m)=Cn2+i)y

則|4。|2-Smy+4加2+4,

1

同理可得=Cn2+1

Smy+4機(jī)2+4.12分

2

AFx+1my-1+1

注意到聯(lián)-----}—―--y

x+1my-1+1y，

222

則/需|2

等價(jià)yjBQfjjA。'下面說明七口q2=|Ag|2

|2

yW02—(m2+1)yy2-Smyy+4C12+l)y,因yy=4,

12

則y忸。"4Cn2+1)(>+y)-32m.又y|A2|2=

VH2+1)y>2-8myy+4Q2+1))=4Cn2+1)(y+y)-32m,

2112212

16

..,,AF\AQ\.|2

則y|52|2=y17分

|A。'故正］BQI2'

19.(17分)若項(xiàng)數(shù)為人(AeN*,左三3)的有窮數(shù)列｛、｝滿足：0W4<%<%<…<4，且對(duì)任意的

i,jQWiWjWk),a+。或。-a是數(shù)列｛a｝中的項(xiàng)，則