2024年新高考新結(jié)構(gòu)2月數(shù)學(xué)選填壓軸好題匯編（解析版）

2024年新高考新結(jié)構(gòu)2月數(shù)學(xué)選填壓軸好題匯編

一、單選題

題目口（2024.廣東深圳.高三深圳中學(xué)開學(xué)考試）已知函數(shù)/㈤滿足/（2+夕）=/⑺+/（夕）—2,/⑴=4

且當(dāng)名>0時，/（力）>2,若存在力G[1,2],使得/（a/—4/）+/（2力）=1,則a的取值范圍是（）

A.(0

【答案】。

【解析】任取力1，力2,且力1<力2,則電一名1>0,而當(dāng)力>0時，/(N)>2,于是/(力2—力1)>2,

又/(力+y)=f(心)+/(g)—2,因此/(g)=f[xi+(%2—力J]=fM+/(力2-力1)-2>/31),

貝U函數(shù)/(/)是增函數(shù),f(ax2—4x)+/(2/)=f[(ax2—4x)+2x]+2=f(ax2—2x)+2=1,

于是/(或?_2/)=-1,令/=g=o,得/(o)=2,令力=1,夕=一1,得/(-1)=0,

令x=-l,y=-l，得/(—2)=—2,令x=-2,y=-l，得/(—3)=-4,

令力=g二一1,即有/(CXT2-2T)=/(一,),因此ax2-2x=一年,

原問題即2a=3^■在[1,2]有解，令±=工6及,1],

則2a=-3廿+4力=—3(力—在力G時有解，從而2aE[l，,],aE，

所以a的取值范圍是年].

故選：D

題目⑥（2024.廣東深圳.高三深圳中學(xué)開學(xué)考試）在橢圓5+q=l（a>b>0）中，小月分別是左，右焦

ab

點，P為橢圓上一點（非頂點），/為△四用內(nèi)切圓圓心，若三退=!，則橢圓的離心率e為（）

SAP鳥用J

A.yB.y。,4D.烏

【答案】8

【解析】橢圓4+<=1（<1>6>0）中，^,后分別是左，右焦點，P為橢圓上一點（非頂點），

ab

/為△PEE內(nèi)切圓圓心，設(shè)△尸后月的內(nèi)切圓半徑為r,

貝IS^pF[F=x（|PEl+\P^\+㈤閏I）=（a+c）/，S△%㈤知，=",

由一：△酌—:=[■，得Q+。=3c,即a=2c,

b"F1F2Q十co

：.橢圓的離心率為6=￡■=4.

a2

故選：B

題目瓦1（2。24?廣東中山.高三開學(xué)考試）已知/（C）=Inre—arc3,g（力）=/e'一Inc—/一~|■，若不

等式且2>0的解集中只含有兩個正整數(shù)，則a的取值范圍為（）

g⑺

A1n3ln2）R（ln3ln2\「rln2ln3\0（1n2ln3）

A,L27，8（27，8J532，27）?（32，27J

【答案】。

【解析】。(力)=xex—lnx—x—，定義域為(0,+8),

q(X)=e+xe--------1=----------------------,

xx

令h{x}—xex—l，再力>0上h\x)=ex(x+1)>0,

???僅/)再力>0上單調(diào)遞增，

x從+8趨向于0時，力e”趨向于。，貝［Ih{x}—xex-l趨向于一1,

設(shè)Zz（g）=1=0,即g6°=1,g=—Ing,

則在力E（O,xo）上九（力）E（―1,0）,在%E（g,+8）上九（力）E（0,+co）,

，在力e（0,60）上g'（①）v0,在力￡（g,+8）上g（6）>0,

???g（N）在（0,g）上單調(diào)遞減，在（四）,+8）上單調(diào)遞增，

g（/）min=g（g）=力（）6°—lng_g__—■=1+x0—x0-■|-=!>。，

則塔_>0等價于〃為>0,

gQ）

/（力）=Ina:—ax3，定義域為（0,+<x））,

則/（力）>0,即In/—Q/>O,等價于0

x

2

令，（⑼=T■，則?。?）/一3-1110；_x(l-31ns)

(日2

1_1_

1—31nTV0,解得力>/，1—31na;>0,解得0V6V”,

則當(dāng)力e（°商）時，，'（N）>0,當(dāng)rre(e*+8)時，/(:c)<0,

L

3

則j{x）=宜系在（0.',e3上單調(diào)遞增，在e,+oo）上單調(diào)遞減,

X

即，（力）的最大值在力=”處取得,

Inx_

令，O）

哀一0,解得c=1,即函數(shù)與力軸交于點（1,0）,

InrcInx

函數(shù)，（力）當(dāng)力由+oo->0時，Ina;t-8,0,貝I/(a?)■>—00,

Inx

當(dāng)⑦由+0070時，In力一+8,dT+00,但力3的增長要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于］n/，則/（⑼=

T390,

要使a<警解集中只含有兩個正整數(shù)，只能是2,3,

⑷&a<7?⑶,解得胃二*&a<*,即ac［ln2ln3

初，萬

故選：C.

2

題目⑷(2024.湖南長沙.高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí))雙曲線—與=1的右支上一點P在第一象限，

916

后，國分別為雙曲線。的左、右焦點，/為APE月的內(nèi)心，若內(nèi)切圓I的半徑為1,則APE用的面積等于

()

A.24B.12C.警D.冬

OO

【答案】。

272

【解析】由雙曲線。:2----—=1的a=3,b=4,c=5,

916

設(shè)圓與三角形三邊相切于點河,N,Q,

則|F^|-|F^|=\PM\-Y\MF^-m-\PQ\=\MFr\-|Q^|=|NF]|—|N引=2a,

X|7VF]|+|7V^|-2c,

所以|7VFJ|=Q+c=8,|7VZ^]—c—a—2,

因此77V_L力軸，因此|7VFJ|=a+c=8,\NF^\=c—Q=2,|77V|=1,1(3,1),

tan//印V==5,tan//EN=攔土=

\NFX\8'即2，

1/兀\sin傳一/%N-/氏N)i

所以tan=/EPF]=tan=-AIFXN-NIEN=--------------------------=--------------------------------=

2'2，cos(f-AIFXN-AIF2N)tan(2里N+

1x

~ll_3_\IM\2.|ppi=J_+Q=26

X+12\PM\?3『JJ3+3，

因此|P￡|=\PFl\-2a=^-,故三角形的面積為J(|P園+\PF^+田月I)x1=警.

DZO

故選：c

題目回（2024.湖南邵陽.高?？奸_學(xué)考試）在△48。^,AB-AC=ABA-BC=uCA-

屈，則下列說法一定正確的是（）

A.若旗＞0,則△AB。是銳角三角形B.若物＞0,則△ABC是鈍角三角形

C.若辦V0,則△AB。是銳角三角形D.若加V0,則△ABC是鈍角三角形

【答案】。

【解析】因為荏?前=4巨X?反?=〃瓦？?赤，

即國?\AC\cosA="明?\BC\cosB="麗?\CB\cosC,

又［“W0時，三角形一定不是直角三角形，

,lAClcosAlABlcosA

則有/（=-----,〃二尸石-----,

|BC|cosB\CB\COSC

\AC\\AB\cos2A

人u—

|BC|2COSBCOSC

若W>0,則cosBcosOO,B,。為銳角，但是不能判斷人的大小,

故AB錯誤；

當(dāng)V0時，則cosBcosC<0,B,C中必有一個鈍角,

故此時△ABC是鈍角三角形，。錯誤，。正確，

故選：D

1題目回（2024?湖南長沙?高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知對任意實數(shù)c都有『（⑼=2e^+/（⑼，/（0）=—1,

若不等式/（,）Va（c—1）,（其中a<1）的解集中恰有兩個整數(shù),則a的取值范圍是

【答案】。

【解析】令g（0=孥

或力二/原）:〃0=23+/（2―/原）=2，即g（0=2c+c,（c為常數(shù)）

ee

則/（力）—（26+c）ex

因為/（0）=—1，所以c=—1,即/（%）=（2力—1時

?"（/）=（2c+l）e"

>0=2>-y,f\x）<0^>Z<-y

.?"（c）在區(qū)間（一8,—上單調(diào)遞減，在區(qū)間（一］,+8）上單調(diào)遞增

令九（力）=a（x—1）,由于立（力）過定點（1,0）,則函數(shù)/（比）和九（力）圖像如下圖所示

要使得/（,）<九（力）的解集中恰有兩個整數(shù),則有

ff（-2）>M-2）-1一*>—3a

故選。

題目可（2024?湖北武漢?高?？奸_學(xué)考試）已知實數(shù)的、私外統(tǒng)滿足冠+*=2,晟+萌=2,gg

+沙?=0,記?=晶+%—2，^|+|22+必-2四］,則1（7的最大值是（）

A.2V2B.4A/2C.6V2D.8V2

【答案】。

【解析】設(shè)何⑸,明),N(g,%),因為Xi+yl—2,后+*=2,,任2+%%=0

因為V、N在以原點0(0,0)為圓心，、/5為半徑的圓上，且。A/_LON.

設(shè)點N到直線，+？/—2蓼=0的距離之和為u,則u=⑶+仇二2四+區(qū)+噎附，轉(zhuǎn)化為求，

V2V2

的最大值.

設(shè)點P為點“與點N的中點，設(shè)P點到直線力+"—22=0的距離為d,則&=2d,

又\OP\=-1-|7W|=1.故P點軌跡方程為圓小才二1.

圓力?+#=1上點到直線力+g—2^/2-—0距離的最大值d-+1—3.

maxV2

所以功的最大值是6四.

故選：C.

題目回(2024.湖北武漢.高三?？奸_學(xué)考試)已知/(2)是定義在(0,+oo)上的單調(diào)函數(shù)，滿足

/(/(,)—4—2111必+2)=6—1,則函數(shù)/(,)的零點所在區(qū)間為()

A.(0,十)C-(p1)D.(l,e)

【答案】。

【解析】設(shè)/(力)—e*—21n:c+2=0即/(力)=e°+21n/—2+力，/(力)=e—1

再通過函數(shù)八力)的單調(diào)性可知，即可求出力的值，得到/(力)函數(shù)的解析式，然后根據(jù)零點存在性定理即可

判斷零點所在區(qū)間.設(shè)/(力)—e*—2ble+2=%，即/(%)=e*+2hi/—2+1,/(t)=e—1,因為f(①)是定義

在(0,+oo)上的單調(diào)函數(shù)，所以由解析式可知，/(力)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

而/(I)=e—2+f(t)=e—1,故2=1,即f(x)=e*+21n7—1.

因為/(l)=e—1>0,/(工)=ee+21n———1=ee—3,

由于lne7-ln3=,一ln3V0,即有e7<3,所以尼■)=/一3V0.

故，(1)/⑴<0,即43)的零點所在區(qū)間為(―,1).

故選：C.

題目回(2024.湖北襄陽.高三襄陽五中?？奸_學(xué)考試)已知在銳角△ABC中，角4B,。所對的邊分別為

3

a,b,c,c2—，則c的取值范圍為

osinAsinB

A.(0,3]B.[2,V6)C.(1,3]D.(V3,3]

【答案】B

33

2

sinAsinBsin(B+C)sinBsin(f+B)sinB^cosBsinB+^-sinB

=__________3__________=________3________

^-sin2B—*os2B+]ysin^2B-專)+]

在銳角ZVLB。中，因為OVBvg,OVCV1,即OV第一石<1，所以《VBV],

223262

所以告V2BV兀，即專V2B—■兀，

36bo

所以sin(2B-f)G(1,l],即ysin(2B—專)+"偉/,

所以1一/3n―T6國，6)，

￥sm(2B--6)+7

即C2G[4,6),因為c>0,

所以c€[2,〃⑥,

故選：B.

題目回（2024.湖北襄陽.高三襄陽五中?？奸_學(xué)考試）己知雙曲線。:名―*=l（a>0,6>0）的左、右頂

ab

點分別為4,為。的右焦點，。的離心率為2,若P為。右支上一點，PFLFTU，記/4P4=

夕（0V。V~1"），貝Ijtan9=（）

A.B.1C.A/3D.2

【答案】A

【解析】設(shè)。的焦距為2c,點P（g,為），由C的離心率為2可知。=2Q,b=，^Q,

因為PF工況42,所以g=c,將P（c,2/o）代入。的方程得寫一專=1,即|y0|=V3fe,

ab

所以tanNF4F二4'—3,tan/P_AiF=—^/3b———y,

c—ac—（—a）

故tan。=tan（ZFAF-APA^F}—=春.

21??oJX12

故選:A.

題目叵］（2024?山東?高三山東聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)/Q）存在極小值點如

且/（3）<—e3,則實數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.（0艱）B.（0,1）C,（0$）D,（0,1）

【答案】。

【解析】函數(shù)/（力）=mx2—xlnx的定義域為（0,+8）,求導(dǎo)得/'（力）=2mx—1—Inx,

當(dāng)？0時，函數(shù)/（力）在（0,+oo）上單調(diào)遞減，/（1）=2m—1<0,

f（e2m_1）=2me2m-1-l-（2m-1）=2m（e2m-1-l）>0,則存在力住（0,1）,使得/（g）=0,

當(dāng).當(dāng)（o,力J時，，㈤>o,/Q）遞增，當(dāng)/e（宏1,+8）時"3）<o,y（x）遞減,

函數(shù)f（6）在⑦=力1取得極大值，無極小值，不符合題意；

當(dāng)7rz>0時，令gQ）=/'（/）=2mx—1—In%,求導(dǎo)得g\x）=2m—顯然g\x）在（0,+co）上單調(diào)遞增，

x

當(dāng)。e時，g(x)V0,函數(shù)/(%)遞減，當(dāng)宓￡("—,+8)時，g\x)>0,函數(shù)/'(/)遞增,

\2m)

于是f(N)min=/'(~^)=ln2?n,

當(dāng)2?n>1,即772>■時，f(x)>0,函數(shù)/(力)在(0,+co)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(G無極值,

當(dāng)OVnzv］時，/(a)V0,而/(管)=二二一1一111管=萼~-111館>0,

存在X2E(0,"—),使得/(62)=0,當(dāng)力e(0,62)時，/(力)>0,函數(shù)/(力)遞增，

\2m)

當(dāng)力e(電’高7)時’f⑸v0,函數(shù)/(劣)遞減,函數(shù)/(力)在力=力2取得極大值,

,<4,求導(dǎo)得磯c)=一?0,

函數(shù)九(①)在(0,y)上單調(diào)遞減,九㈤>嗚)=3—21n2>0,則F隆)>0,

存在(［-,+8),使得/(g)=0,當(dāng)xE時，/'(/)<0,函數(shù)/㈤遞減，

r

/TTTz4my

當(dāng)Ne(g,+8)時，/'(/)>0,函數(shù)/㈤遞增，函數(shù)/(/)在為=力3取得極小值，因此力3=20,

由/(g)=0,付mx0=-------,/(g)=mxo-xolnxo=---------<-e,

即有g(shù)—glng+2e—3<0,令夕(劣)—x—x\nx+2e3,rc>1,求導(dǎo)得/(力)=—1nx<0,

函數(shù)0(力)在(1,+8)上單調(diào)遞減，而^)(e3)=0,即有"(g)<<^(e3)，于是g>e3,

顯然?72=1,令”(力)=上空處,/>e:求導(dǎo)得u{x)=一<0,即函數(shù)u{x)在(e3,+oo)上單調(diào)遞

2g2力2x

減

因此u{x)<tz(e3)=今,即?又今則0<??2<3，

eee2e

所以實數(shù)小的取值范圍為

故選：D

趣目叵(2024.山東.高三山東校聯(lián)考開學(xué)考試)已知向量足金滿足同=同=2,同=2,

怩一百=迎，則風(fēng)的最大值為()

A.V3B.2V3C.3V3D.473

【答案】。

【解析】因為同=同=［一同=2,所以可以構(gòu)造如圖正△CUB:

使得：OA=a,無=1,延長OA到。,使得玩=2蜃

以。為圓心，為半徑作圓，

因為|2五一,=通,所以歷的終點。在這個圓上.

所以2—9=而一加=反？

所以\BC\<\BD\+\DC\,

而\BD\^J|A而『+|AB『一2|ABHAD|cosl20°=2遍,|CD|二V3.

所以|c-S|<3V3.

故選：C

南目至］(2024.福建泉州.高三福建省安溪第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)已知正數(shù)a,b,c滿足ea=b=Inc.e為

自然對數(shù)的底數(shù),則下列不等式一定成立的是()

A.a+c<26B.a+c>2bC.ac<b2D.ac>b2

【答案】B

［解析】由題設(shè)a>0,則6>1,且°=ln6,c=e，,則a+c=Inb+e6,

令f(x)=111力+已少一2力且力>1,故/'(6)=—+ex—2,

x

令g(x)=—+ex—2,則g\x)=ex--］在(l,+oo)上遞增，故g(x)>g'⑴=e—l>0,

xx

所以g(力)=/(力)在(l,+oo)上遞增，故/(6)>/(1)=e—1>0,

所以/(力)在(1,+8)上遞增，故/(力)>/(1)=e—2>0,

即Inrc+ex>2x在(1,+8)上恒成立，故Q+c>2b,A錯，_B對；

對于QC4的大小關(guān)系，令無(力)=exlnx—x2JLx>1,而無⑴=—1<0,/z(e)=ee—e2>0,

顯然九(力)在(1,+8)上函數(shù)符號有正有負(fù)，故Un力,小的大小在力e(1,+8)上不確定，

即ac,b2的大小在be(l,+oo)上不確定，所以。錯.

故選：B

題目包(2024?福建?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)已知橢圓C：4+￥=l(a>b>0)的左、右焦點分別用，后，橢

ab

圓的長軸長為2V2，短軸長為2,P為直線/=2b上的任意一點，則/RPE的最大值為()

【答案】。

【解析】由題意有Q=，^,b=lfc=lf

設(shè)直線力=2與re軸的交點為Q,

設(shè)|PQ|=t，有tan/PEQ==4，tan/P^Q==t

LTIQJLTQGZ

13_2力2t_V3

可得tan/EPE=tan(ZF^Q-/PRQ)<-----———-

1+4F+3t+j2-s/3t3

ob

當(dāng)且僅當(dāng)％=通時取等號，可得鏟E的最大值為A.

故選：D.

題目叵(2024.浙江.高三浙江金華第一中學(xué)校考開學(xué)考試)已知直線垂直單位圓。所在的平面，且直

線BC交單位圓于點A,AB=BC=1,P為單位圓上除A外的任意一點,I為過點P的單位圓。的切線,

則()

A.有且僅有一點P使二面角Z—C取得最小值

B.有且僅有兩點P使二面角B—Z—C取得最小值

C.有且僅有一點P使二面角Z—C取得最大值

D.有且僅有兩點P使二面角B—Z—C取得最大值

【答案】。

【解析】過人作于M,連接MB、,如圖所示，

因為直線BC垂直單位圓O所在的平面，直線,在平面內(nèi)，且直線BC交單位圓于點4

所以AC_LZ,平面AMC,AMI"!AC=A,所以Z_L平面

平面4MC,所以Z_LMC,

所以乙BMC是二面角B—/—C的平面角，

設(shè)NBMC=8,4AMe=a,4AMB=§,，則6?=”—萬，

由已知得te(0,2],AB=BC=1,

C2__x

tan"tan(f)=弋：二震=匕三=&,

丁tt

令f㈤=」-則/⑴J—+2)-(明="+￡)"一

八')廿+2'#+2)2(t2+2)2'

當(dāng)te(0,V2)時,FU)>o,f⑴單調(diào)遞增，當(dāng)te(72,2]時vo,/(力)單調(diào)遞減，

/(2)=4>/(0)=0

所以te(0,2],當(dāng)t=2時，/⑴取最大值，沒有最小值，

即當(dāng)t=V2時tanf取最大值，從而占取最大值，

由對稱性知當(dāng)力=方時，對應(yīng)P點有且僅有兩個點，

所以有且僅有兩點P使二面角5—/一。取得最大值.

故選：D.

題目包（2024?浙江?高三浙江金華第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓。的方程為

（C—3>+才=1,且圓。與/軸交于兩點,設(shè)直線I的方程為"=0）,直線Z與圓。相交于4,_B

兩點，直線力M與直線BN相交于點P,直線4"、直線BN、直線OP的斜率分別為自尼施，貝I（）

=卜卜3

A.自+%=2k3B.2k1+卜2=k3C.fci+2fc2履D.k1+2=

【答案】4

【解析】如圖，由題意得lAM:y=ki（x—2）,與圓C:（比一3）2+>=1聯(lián)立,

消y整理得（力-2）［（1+就）力-（2fc?+4）］=0,

2優(yōu)+4

x=2,x

MA1+k”

同理可得若篝匹卜

：.A

+fci1+fc?

?,k°A=k（DB，

2kl—2k：

.1+猶:江;,即（1+自治）（%1+2卜2）=0.

"2M+4

1+就1+/

,**自治#—1,**,卜2=，

MD/、./%=阮（g—2）,

僅口如認(rèn)）…娠=自（力。_4）,

2自一4k2

g：

卜1一卜2，.p12kl—4k2—2自心

，即

—2自心P

k]A72k]AZ2

y。卜1—卜2'

2kl

網(wǎng)=±=?自，

J

*,*k1+42=2k3,

故選：4

「題目叵（2024?江蘇鎮(zhèn)江?高三揚(yáng)中市第二高級中學(xué)開學(xué)考試）已知斜率為％（%>0）的直線過拋物線。：才=

4c的焦點尸且與拋物線C相交于A,B兩點,過AB分別作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，8,若

△ABB與△AB4的面積之比為2,則k的值為（）

A.A/2B.。C.D.2-\/2

【答案】。

【解析】如圖所示：

由拋物線C:y2=46，得F（L0）,

設(shè)直線4B:y=k{x-l）,461，3），石（電,紡），

由］；二（>1）得“濘―（2必+4）力+/=。，

甑w-I?2k?+4

加以力2=1，21+力2=一'

ylBBtllAxBxl_\BB^_\BF\

由已知和拋物線定義知：

用44JI4B1I1441MW

則有電+1=2Q1+1),即x2=2g+l,

/2=26]+1,

所以</便2=15

。+劣2=晨產(chǎn),

解得/1=]~,/2=2,k=2V2.

故選：。

題目叵(2024.江蘇鎮(zhèn)江.高三揚(yáng)中市第二高級中學(xué)開學(xué)考試)已知函數(shù)/Q)的定義域為R,且/(力)+i為

奇函數(shù)，/(⑼一2c為偶函數(shù).令函數(shù)若存在唯一的整數(shù)g,使得不等式[g(g)產(chǎn)

I—/⑺，/V0.

+展9(割)<0成立,則實數(shù)(1的取值范圍為()

A.[-8,-3)U(1,3]B.[-3,-1)U(3,8]C.[-3,0)U(3,8]D.[-8,-3)U(0,3]

【答案】B

【解析】+X2為奇函數(shù)，f(x)—2x為偶函數(shù),

+(-x)'2=-f(x)-x2,f(-x)+2x=f(x)-2x,

兩式相減整理得/(2)=2x—x,

/、(2x—x2,x^0,

???加)=(2-2工,工<。.

g(/)的圖象如圖所示：

存在唯一的整數(shù)g,使得不等式[g(g)「+a,g(g)<0成立，

即存在唯一的整數(shù)g,使得不等式g(g)[g(g)+a]V0成立，

當(dāng)a=0時，[g(g)『V0,顯然不成立;

當(dāng)aVO時，需滿足g(g)e(0,-a)只有一個整數(shù)解，

*.*g(l)=1,g(—1)=3,則1<一a&3,即一3&a<—1;

當(dāng)a>0時，需滿足g(g)€(一。,0)只有一個整數(shù)解，

g(2)=0,g(3)——3,g(4)——8,則一84—aV—3，即3VQ48.

綜上，實數(shù)a的取值范圍為U(3,8].

故選：A

二、多選題

題目叵(2024.廣東深圳.高三深圳中學(xué)開學(xué)考試)在空間直角坐標(biāo)系Oa;yz中，4(0,0,0),B(l,l,0),

。(0,2,0),。(—3,2,1),兇>2,2,1)在球歹的球面上,則()

A.DE〃平面ABCB.球尸的表面積等于100兀

C.點D到平面ACE的距離等于佳譽(yù)D.平面ACD與平面ACE的夾角的正弦值等于4

55

【答案】

【解析】平面ABC的一個法向量亢=(0,0,1),屈=(/+3,0,0),

則五?方商=0,又因為平面ABC,所以DE〃平面ABC,A正確；

因為4(0,0,0),8(1,1,0),。(0,2,0),則4B_L8C,球心F在平面以上的投影點即△48。外接圓圓心F'

(0,1,0),

設(shè)F(O,Lz),因為因|=|FD|,則(1—2)2+Z2=(0+3)2+(1-2)2+(z-1)2,

得z=5,即F(0,1,5),球半徑_R=|FC|=V26，球F表面積S=4兀x26=104兀,B錯誤；

由|迎|=七(/—Op+(2-1)2+(1-5)2=26,得x2=3,E(3,2,1),

%百=(0,2,0),N后=(3,2,1),設(shè)平面ACE的一個法向量力=(a,6,c),

fAE-m=0亦…(3a+2b+c=0s

一一，所以o-n，取館=1,0,—3,

[AC-m=0[2b-0

AD=(—3,2,1)，點。到平面ACE的距離等于=I-31=絲五，。正確；

|m|Vl2+(-3)25

同理可得平面力CD的一個法向量3=(1,0,3),

\s-m11—9lA

平面、CD與平面ZCg的夾角的余弦值等于LL二=>,

同.同VioxVio5

正弦值等于錯誤.

故選：ZC

題目配(2024.廣東深圳.高三深圳中學(xué)開學(xué)考試)函數(shù)/(,)=/叫93)=|111引，4,)=—嬴+2,則下列說

法正確的有()

A.函數(shù)F(c)=/(c)—4⑼至多有一個零點

B.設(shè)方程/(0=g(⑼的所有根的乘積為p,則pe(0,1)

C.當(dāng)k=0時,設(shè)方程g(c)=無(力)的所有根的乘積為q,則q=1

D.當(dāng)k=1時,設(shè)方程/㈤=人(劣)的最大根為力河,方程g?=h(x)的最小根為力加,則xM-\-xm=2

【答案】ABC。

【解析】對于選項A,令FQ)=0,則/(劣)=h(x),

而h(x)——kx+2恒過定點(0,2),

當(dāng)k=0時，h{x)=2,

畫出f(x)—e_因與h{x)=2的圖象，如圖所示：

則F(x)—0無零點,

當(dāng)kW0時，h(x)=—kx+2恒過定點(0,2),則fQ)=e-團(tuán)與h(x)=—kx+2圖象，如圖所示:

則FQ)=0有一個零點，故F(T)=0至多有一個零點，A正確;

對于選項B,畫出f(x)=團(tuán)與g(x)=|lna?|的圖象，如圖所示:

其中/的二—Inci,電=lnre2,

由圖象可知，e—E(0,1),6(0,1)且Kef,

即In62+lng=In720=6%一e&e(-1,0)，故22力差(e-1,l)G(0,1),

則pG(0,1),故石正確；

對于選項C,當(dāng)k=0時，h{x)=2,即|lnc|=2,

求出為二/2=e-2，故q=力口2=e2e-2=1,故。正確；

對于選項D,當(dāng)k=1時，h{x)——X+2,

畫出于(x)=e~^與h(x)=—x+2的圖象，如圖所示:

貝可已一母=—力河+2,

畫出g(x)=|lnx|與h{x}=—x+2的圖象，如圖所示:

g(劣)—h(x)的最小根為力皿則一In力館=—力小+2,

由于g=—Inx與y=e~x互為反函數(shù)，則關(guān)于g=力對稱,

而y——X+2也關(guān)于沙=力對稱，

故e~?河+2與一In力俏=—力俏+2相加得，

XM

-lnxm+e~=-xM-{-2-xm+2=2,

即xM+xm=2,故。正確.

故選：ABCD

題目巨](2024.廣東中山.高三開學(xué)考試)如圖所示，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，河，

N分別為線段AB,AD上異于點A的動點,且滿足4Al=AN,點、H為MN的中點,將點A沿MN折至點、A

處，使AH，平面BCD,則下列判斷正確的是()

A.若點M為AB的中點,則五棱錐4—MBCDN的體積為當(dāng)?

B.當(dāng)點河與點B重合時，三棱錐n—BCD的體積為粵2

C.當(dāng)點M■與點B重合時，三棱錐A-BCD的內(nèi)切球的半徑為4-2V3

D.五棱錐A—體積的最大值為12y

【答案】ABD

【解析】設(shè)AM^x,因為AM^AN,點、H為MN的中點，所以AH±MN,

且Af?=號底面MBCDN的面積為16—ya;2(OV244),所以五棱錐A-MBCDN的體積為

—^/)(0<2W4).

當(dāng)點M為AB的中點時，五棱錐A-MBCDN的體積為理x2x(16—4x22)="②，A正確.

6\2，3

當(dāng)點Af與點B重合時，三棱錐A-BCD的體積為平x4x(16—]x42)=氣②，B正確.

連接HC,因為AH_LHC,AC=AB=4。=BC=4,所以三棱錐A-BCD的表面積為16+2x乎x4?

=8(2+〃^),設(shè)三棱錐n-BCD內(nèi)切球的半徑為r,

則占rx8(2+V3^)=,解得V=4\例一2^/6,C錯誤.

OO

五棱錐4-MBCDN的體積V{x}=祟c(16-#)(0V244),則V\x)=窄(16—#),令V\x)>

0,得0<a;<—;令V(c)<0,

得竽〈工W4.所以V(x)max=V(竽)=普產(chǎn)，。正確.

故選：ABD

題目叵(2024?廣東中山?高開學(xué)考試)已知定義域為(0,+s)的函數(shù)/(①)滿足/Q)+勸'

(,)=e"J'(l)=L數(shù)列｛冊｝的首項為1,且/(廝+J=>(M)-1,則()

Qn+1

A./(In2)=log2eB./(T)>1C.Q2023V電024D.0<an<1

【答案】ABO

xx

【解析】[時(/)]'=/(比)+時'?=e9：.xf(x)=e+c.

取①=1可得f(l)=e+c,由f(x)+xf(x)=ex,

令。=1,得/(l)+/(l)=e.

vf(1)=1,：.c=-i,.-.y(T)=

.,./(ln2)=焉~=log2e,故A正確；

設(shè)9(N)二e“一/一1,則j(x)=e^—1,

當(dāng)力<0時，cp(x)VO,當(dāng)力>0時，d(力)>0,

所以p(e)在(一00,0)上單調(diào)遞減，在(0,+OO)上單調(diào)遞增，0(/)min=0(O)=。，

pQ)=ex-x—1>0,即e">￡r+1,當(dāng)且僅當(dāng)力=0時，等號成立.

故/(力)>1,故B正確.

由/(%+)=T,得f(M+1)=/三=~1,

Qn+1Qn+lQn+1

a%_i

即^+1=/(a)，所以ean+1=-一-,

enQ九

+1

%e%”=e°"-l>(a?+l)-l=an,即a?(e°"-l)>0,

因為函數(shù)/(2)定義域為(0,+oo),

+1

所以0n>0,有e°"-l>0,即an+1>0,

QM_-I

下證數(shù)列｛aJ單調(diào)遞減，即證ea"+1<e"",即證金二1<e%,

Qn

anan

即證e-l<ane,即證(1-aje每一1<0,

令gQ)=(1—rr)e”一1,則gf(x)=—xex,

當(dāng)力>0時，g'(力)V0,所以g(力)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

因為an>0,g(M)Vg(0)=0,所以冊+1〈冊,即數(shù)列｛aj單調(diào)遞減，

所以0Van<。1=1,。2023>。2024，故。錯誤，。正確.

故選：ABD.

題目包(2024.湖南長沙.高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí))若/(乃是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線2

=1對稱，且對任意21,，2^[0,；],都有/(g+/2)=/31)/(，2)，則下列說法正確的是()

A./(I)一定為正數(shù)B.2是/(工)的一個周期

C.若/⑴=1，則/(爐)=1D.若/⑸在[o4]上單調(diào)遞增,則/⑴片焉■

【答案】BCD

【解析】因為f(x)=0符合條件,故A錯誤；

因為偶函數(shù)/(力)的圖像關(guān)于直線⑦=1對稱，所以/(力+2)=/(—/)=/(力)，故B正確；

因為對任意力1,ge[o,4],都有/(61+/2)—/(^i)/(^2)，所以對任意力e[0,1],取力產(chǎn)x2—--得f3)=

由2是/㈤的周期得了(等)=/(506—J)=/(-J)=XJ)=1,故。正確;

假設(shè)/⑴=/，由/⑴=團(tuán)初"M1)]=壺及/⑺>。，ce[o,i],得/既)=焉,f匕)

=1

一^2024，

故f$>/(]),這與/㈤在[。,會上單調(diào)遞增矛盾，故。正確.

故選：BCD

題目包(2024.湖南長沙?高三長郡中學(xué)校考階段練習(xí))己知A,C兩點位于直線I兩側(cè)，B,D是直線I

上兩點，且△ABD的面積是4CBD的面積的2倍，若前=(；—：—sin宓廬苗+(1+/(為)市5,

下列說法正確的是(