廣東省深圳市鹽田某中學2023-2024學年高一年級下冊4月月考數(shù)學試題（含答案解析）

廣東省深圳市鹽田高級中學2023-2024學年高一下學期4月

月考數(shù)學試題

學校:姓名班級：考號：

一、單選題

1.a=巴是sin[1+巴]=立的（）

6V6J2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知復數(shù)z=（2-6（1）（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）

A.回B.而C.2百D.714

3.如圖在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，平行四邊形A8CZ）的頂點。被陰影遮住,

則（）

A.10B.11C.12D.13

4.已知向量。=（4,3）,則與向量.同向的單位向量的坐標為（）

3_4434334

A.B.C.D.

5，-555555555

5.已知圓錐尸O的母線長為2,。為底面的圓心，其側面積等于2扃，則該圓錐的體

積為（）

A.3兀B.血兀C.兀D.2兀

6.函數(shù)y=Asin（〃次+。）（人＞0,。＜。＜兀）在一個周期內的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解

析式為（）

B.y=2sinl2x+-j

7兀11兀

C.y=sinIx+—D.y=2sinx+

1212

7.折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折

扇也寓意“善良”“善行”，它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝

千里、大智大勇的象征（如圖甲）.圖乙是扇形的一部分，若兩個圓弧OE,AC所在圓的

半徑分別是12和27,且NA8C=120.若圖乙是某圓臺的側面展開圖，則該圓臺的側面

口1330直

A.292KD,--------------71C.195TID.243兀

3

8.已知sine+cos6=g(0<e<7T),貝|cos26=()

A.土竺24

BD.C.D-

25254

二、多選題

?2023

9.若復數(shù)Z=------------，則()

l-2i

z的共軌復數(shù)彳=等|z|=￥

A.B.

C.復數(shù)z的虛部為-D.復數(shù)z在復平面內對應的點在第四象

限

10.對于.ABC,有如下命題，其中正確的有（)

A.若A>B,則sinA>sinB

試卷第2頁，共4頁

B.若sin2A=sin25,則ABC是等腰三角形

C.若sin?A+sin?5+cos2c<1,則為鈍角三角形

D.若AB=E,AC=1,3=30。，貝。ABC的面積為3

4

11.八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的

正八邊形ABCDEFGH,其中|。4|=1,則下列結論正確的有（）

圖

圖12

A.OAOD=-—B.OB+OH=-^2OE

2

c.AHH6=BCBOD.A”在四向量上的投影向量為

一旦AB

2

三、填空題

什一sin2a+3sinacostz

12.右tana=2,則-----------------

cosa+1

13.圣?索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體,

極具對稱之美.為了估算圣?索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物

AB,高約為36m,在它們之間的地面上的點M（B,M,。三點共線）處測得建筑

物頂A、教堂頂C的仰角分別是45。和60。，在建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為15。,

則可估算圣?索菲亞教堂的高度C。約為

14.在平行四邊形ABCD中，分別為AB,4。上的點，且AM=2Affi,AN=,

連接AC,與MN交于點、P,若AP=XAC，則％的值為.

四、解答題

15.已知卜|=1,愀=2,〃與％的夾角為120。

⑴求國-母.

⑵求(a+26).(a-36).

(3)若向量6+左￡與6-左°相互垂直，求實數(shù)上的值.

16.已知a,b,c分別為ABC三個內角A,B,C的對邊，A=y.

⑴若5=C,a=2A/3,求c；

(2)若.ASC的面積為26，c=2,求a.

17.已知向量￡=(3,1),6=(—2,力2).

(1)若a與b的夾角為鈍角，求實數(shù)加的取值范圍；

⑵若￡””26),求向量〃在。上的投影向量的坐標.

18.在①右(a-6cosC)=csin3,②S.=BA.BCsinB,③

cos2A-COS2B=sin2C-sinAsinC三個條件中任選一個補充在下列問題中，并解決該問題.

在［ABC中，角AC所對的邊分別為〃也。，,且。=2.求：

⑴以

(2)ABC周長的取值范圍.

19.已知函數(shù)/(x)=2sinxcosx+26cos之冗一6.

⑴求/(九)的單調遞增區(qū)間；

TTJT

(2)當工￡一§'1時，求/(龍)的最值.

⑶當時，關于x的不等式4匕彳一)一/卜+石卜4有解，求實數(shù)a的取值

范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.A

【分析】解出sin"/邛中。的值，即可判斷出答案.

【詳角軍】當sin〔a+C]=3時，cif+—=—+2fai(^</+—=—+2fai(^eZ),

6J26363

jrjr

即a=—+2E(Ze2)或1=—■卜2kn(keZ),

62

所以a=J是sin(a+0=且的充分不必要條件.

6I2

故選：A

2.A

【分析】利用復數(shù)的乘法運算以及復數(shù)的模求法公式即可求解.

【詳解】由z=(2—7)(1—力)=1一3力，

貝U|z|=J/+(_3)2=回,

故選：A.

【點睛】本題考查了復數(shù)的乘法運算、復數(shù)模的求法，屬于基礎題.

3.B

【分析】以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，利用向量數(shù)量積的坐標運算即可求解.

【詳解】以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，

則4(0,0),2(4,1),C(6,4),

AB=(4,1),AD=2C=(2,3),

.-.AB-AD=4x2+1x3=11,

故選：B.

【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標運算，考查了基本運算能力，屬于基礎題.

4.B

答案第1頁，共10頁

【分析】由向量一的坐標除以向量a的模，可得與向量a同向的單位向量的坐標.

【詳解】向量a=（4,3）,忖=5,

a143、

所以與向量°同向的單位向量為甲仁,3

故選：B

5.C

【分析】根據(jù)圓錐的側面積等于2扃，可求得圓錐的底面圓半徑為廠=括，再由體積公式

求解即可.

【詳解】設圓錐PO的底面圓半徑為人由母線長為2,側面積等于2扃，

得;x2ax2=26兀，解得r二百，

因此圓錐的高/z=V22—r2=,4—（6）=1，

所以該圓錐的體積為y=g口%=g兀x（追）xi=7t.

故選：c.

6.A

【分析】根據(jù)圖象先確定A的值及周期，進而得到同=±2,分類討論，結合函數(shù)圖象過點

求出夕的值即可.

【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可得A=2,

由周期T=2『喋"，

即*兀摑=±2,

當。=2時，y=2sin（2x+。），

又函數(shù)圖象過點［展,21

71JT

所以---\-cp=2kji+—,kGZ,

62

答案第2頁，共10頁

2兀

即"=2fal+—,kwZ,

2兀

又因為°<9<兀，故。

貝Uy=2sin12%+g

當g=-2時，y=2sin（―2x+夕）,

又函數(shù)圖象過點

TTTT

所以一+0=2E+一,左￡Z,

62

71—

即0=2kn+—,kE,Z,

TT

又因為0＜夕＜兀，故夕=§,

=2sin(2%+-^

綜上知，y=2sin（2x+1

故選：A.

7.C

【分析】設圓臺的上底面半徑為人下底面半徑為R,利用弧長公式求出廠、R,再得到母

線長，最后由側面積公式計算可得.

【詳解】設圓臺的上底面半徑為「，下底面半徑為R,

2兀271

則利用弧長公式可得2a=（xl2,即廠=4；2欣=（x27,即生9；

又圓臺的母線長為/=27-12=15,

所以圓臺的側面積S=7i（4+9）xl5=1957i,

故選：C.

8.D

【分析】根據(jù)給定條件，求出sin，-cos〃，再利用二倍角的余弦公式計算即得.

答案第3頁，共10頁

124

【詳角軍】由sine+cos9=y兩邊平方得：2sin6>cos6>=-—<0,而0<9<兀，sin6^>0,則

cos3<0,

.____________7

因止匕sin6-cose=Jl-2sin9cos夕=—,

177

所以cos20=cos20-sin20—(cos0+sin6)(cos^-sin^)=—x(--)=--.

故選：D

9.ABD

【分析】首先化簡復數(shù)z,再根據(jù)復數(shù)的相關概念，即可判斷選項.

【詳解】???z=/3,.\z=1=上一=上支吆匕=2一,則三=2±1故A正確?

…十用牛，i-2il-2il-2i(l-2i)(l+2i)55人,5口乂人正明，

1^1=!|：+:口,冬，故B正確；復數(shù)z的虛部為-故C錯誤；

復數(shù)z在復平面內對應的點為||，-()在第四象限，故D正確.

故選：ABD

10.AC

【分析】根據(jù)題意，結合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面積公式，逐項判定，即可求

解.

【詳解】對于A中：若A>B,可得。>人,由正弦定理可得sinA>sin3,所以A正確；

對于B中：若sin2A=sin23,因為A,3e(0,兀)，且4+3<兀，

則2A23?0,2兀)，2A+2B<2TC,所以2A=23或24+28=兀，則A=B或4+8=5,所

以.ABC是等腰三角形或直角三角形，所以B錯誤；

對于C中：若sin?A+sin2B+cos2C<L貝!Jsin?A+sin2B<sin2C,

^2>2_2

由正弦定理可得〃+/<，，即/+/_02<0,則cosC=<0,

lab

因為?！?0,兀)，可知角C鈍角，所以JU3C為鈍角三角形，所以C正確；

對于D中：因為‘=質力=1,8=30。，由余弦定理可得：b2^cr+c2-2accosB,

即1=/+3-3〃,解得。=1或〃=2,

所以ABC的面積為工acsinB=3或工acsinB=3,所以D錯誤.

2422

故選：AC.

答案第4頁，共10頁

11.ABD

【分析】正八邊形ABCDEFG以中，每個邊所對的角都是45。，中心到各頂點的距離為1,

然后再由數(shù)量積的運算逐一分析四個選項得答案.

【詳解】正八邊形ABCDEFG〃中，每個邊所對的角都是45。，中心到各頂點的距離為1,

對于A,OAOD=lxlxcosl35°=--,故A正確；

2

對于B,NBOH=90。,則以OB,為鄰邊的對角線長是1。川的血倍，

可得OH+OB=yflOA=f/^OE,故B正確；

對于c,|AH|=|BC|,\HO\=\BO\,A〃與80的夾角為180。一/AHO,

8c與8。的夾角為/O3C=NAHO,AH-HO=-BC-BO)故C錯誤；

AHABAB…y夜…

對于D,A〃在AB向量上的投影向量為飛曠.同=COS135,AB-；-AB,故D正確.

故選：ABD.

12.I/

33

【分析】不難發(fā)現(xiàn)所求式易于轉化成正余弦的齊次式，故通過弦化切即可計算得到.

.、斗即、+sin2a+3sinacosasir?o+3sinacos。tan2a+3tan。h

【詳解】由-------z--------------=---------z--------z——=------------2-------，因tana=2,故

cosa+12cosa+sina2+tana

sin2a+3sinacosa_tan2a+3tana_10_5

cos2a+12+tan2a63

故答案為：

13.54m

【分析】根據(jù)題意求得|AM|=36五，在AMC中由正弦定理求出|CW|,即可在直角VCDAf

中求出|CD|

【詳解】由題可得在直角.中，ZAMB=45°,\AB\=36,所以|AM|=360,

在，AWC中，ZAMC=180°-60°-45°=75°,ZM4C=15°+45°=60°,

所以ZACM=180。-75。-60。=45。，

所以由正弦定理可得出L=上空L,所以|CM|=——=36g,

sin45°sin60°J2

~T

答案第5頁，共10頁

則在直角VCDM中，|CD|=|OW|-sin60o=54,即圣?索菲亞教堂的高度約為54m.

故答案為：54m

14.-

7

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的加法，結合共線向量定理的推論求解作答.

【詳解】在YABCD中，不共線，因為AM=2助5,AN=A?,

332

則有AP=2AC=A(AB+AD)=A{-AM+2AN)=—AM+2AAN,

又P,M,N三點共線，于是得皇+22=1,解得2=。，

所以2的值為方

故答案為：

15.(1)2A/3；

(2)-22；

(3)k=12.

【分析】(1)根據(jù)平面數(shù)列數(shù)量積的定義可得°包=-1，計算|2〃-巧即可求解;

(2)由(1),根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算律計算即可求解；

(3)根據(jù)平面垂直向量可得其數(shù)量積為0,計算即可求解.

【詳解】⑴由題意得，"心曰珊cosl20°=-l,

所以"-目=4a--4a-b+b~=12,

所以悔叫=26；

(2)由(1)知〃./?=—1,

貝！J(a+2Z?>(a-3b)=/—"為一6片=-22;

（3）因為（/?+左a）_L（Z?—左a）,

答案第6頁，共10頁

所以S+ka)?(/?一ka)=0,

即/-左2j=o，得4/2=0,解得左=±2,

即實數(shù)上的值為±2.

16.(1)2

(2)2^

【分析】（1）先求出角C,結合正弦定理可得答案;

（2）先利用面積求出6,結合余弦定理可得答案.

【詳解】⑴因為A=亭，B=C,所以B=C=g

36

c

由正弦定理二可得c=2.

sinAsinC

(2)因為."C的面積為2石，所以gbcsinA=2百，

因為A=§,c=2,所以立6=2g,解得6=4.

32

2TT

由余弦定理可得。2=16+4-2X4X2COS可=28,即〃

22

17.(l)(-<x),--)u(--,6)

⑵（一套a

【分析】（1）依題意需使a2<0且a與。不共線，求解不等式組即得；

（2）由26）代入坐標計算求出機=11,再由向量〃在匕上的投影向量公式繇b,代

入求解即得.

【詳解】⑴因。=（3,1）,6=（-2,間，要使a與b的夾角為鈍角，需使［“"I；：［:<°，

222

解得：相<6且相即實數(shù)用的取值范圍為（-8,-1）口（-耳,6）.

（2）由a_L（a-2b）可得Q（Q-2Z?）=a2-2a-b=10-2（-6+m）=22-2m=0,解得加=n,

故a=（3,1）力二（一2,11）,則〃=3x（-2）+1x11=5,

答案第7頁，共10頁

因向量.在萬上的投影向量為篙匕=展匕,故投影向量坐標為（-己）.

|b\123232525

71

18.⑴§

⑵（4,6]

【分析】(1)選①由三角恒等變換可得tan2=石求出角，選②由三角形面積公式及數(shù)量積

公式化簡得出cosB即可求解，選③轉化為正弦函數(shù)，利用正弦定理、余弦定理求出cosB得

解；

7T

(2)由正弦定理及三角恒等變換可得a+c=4sin(C+z),利用正弦函數(shù)的值域求范圍即可

O

得解.

【詳解】(1)若選①

A/3(6Z-Z?COSC)=csinB,由正弦定理得：

/.百(sinA-sinBcosC)=sinCsinB,

/.V3[sin(B+C)-sinBcosC]=sinCsinB,

^3sinCcosB=sinCsinB,sinCW0,

A/3COSB=sinBtanB=^3(0<B<TI),

：.B=-.

3

若選②

S4ABe=BABCsinB,二S4ABe=c?cosB-sinB

=

SABC=；〃csinB,cos^~，

cC兀

0<B<TI,：.B=—.

3

若選③

cos2A-cos2B=sin2C-sinAsinC

/.(1-sin2A)-(1-sin2B)=sin2C—sinAsinC,

/.sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,

答案第8頁，共10頁

由正弦定理得：a1+C1-b2=ac,

由余弦定理得：cosB=a2+c2~b2=—=1

2ac2ac2

71

：.B=—.

3

(2)27?=上=唯，

sin83

:.a+c=2RsinA+2RsinC=2Rsin(B+C)+2RsinC

1

2

..._71.

=4sin(C+—),

6

2兀7171571

0<C<——，Q-<C+-<—,

3666

I71JT

/.-<sin(C+-)<1,/.2<4sin(C+—)(4,

266

即2<a+c<4,所以△ABC周長的取值范圍(4,6].

,5兀-7L/,r—r\

19.(1)-+-(keZ)

(2)最小值為-6；最大值為2

(3)a>l

【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換化簡的表達式，結合正弦函數(shù)的性質，即可求得答案;

TVJ1