2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.4.1用空間向量研究直線平面的位置關(guān)系第2課時(shí)空間中直線平面的垂直分層作業(yè)課件新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第一章1.4.1第2課時(shí)空間中直線、平面的垂直12345678910111213A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.已知直線l的方向向量為a=(1,1,2),平面α的法向量為n=(2,2,4),則(

)A.l∥α

B.l⊥αC.l?α

D.l與α相交B解析

因?yàn)閚=(2,2,4),a=(1,1,2),故可得n=2a,即n∥a,則直線l⊥α.故選B.123456789101112132.

已知m=(-2,2,5),n=(3,-2,2)分別是平面α,β的法向量,則平面α,β的位置關(guān)系為(

)A.平行

B.垂直C.相交但不垂直 D.重合B解析

因?yàn)閙=(-2,2,5),n=(3,-2,2),所以m·n=-2×3+2×(-2)+5×2=0,故m⊥n,所以α⊥β.故選B.123456789101112133.已知直線l的一個(gè)方向向量a=(1,2,m),平面α的一個(gè)法向量n=(-1,-2,3),若l⊥α,則m=(

)A.-3 B.-1C.0 D.1A123456789101112134.若空間兩直線l1與l2的方向向量分別為a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3),則兩直線l1與l2垂直的充要條件為(

)A.a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)B.存在實(shí)數(shù)k,使得a=kbC.a1b1+a2b2+a3b3=0D.a·b=±|a||b|C解析

由l1⊥l2可得a⊥b,則a·b=0,即a1b1+a2b2+a3b3=0.同理,由a1b1+a2b2+a3b3=0可得a·b=0,進(jìn)一步可得l1⊥l2,所以a⊥b,所以a1b1+a2b2+a3b3=0是l1⊥l2的充要條件,C正確.故選C.123456789101112135.(多選題)已知空間中三點(diǎn)A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),則下列說(shuō)法正確的是(

)A.AB⊥ACABD123456789101112131234567891011121312345678910111213ABC12345678910111213123456789101112137.已知三個(gè)互不相同的平面α,β,γ的法向量依次是m=(2,-4,6),n=(-1,2,-3),k=(-1,4,3),則α,β兩個(gè)平面的位置關(guān)系是

,α,γ兩個(gè)平面的位置關(guān)系是

,γ,β兩個(gè)平面的位置關(guān)系是

.

α∥βα⊥γβ⊥γ解析

三個(gè)互不相同的平面α,β,γ的法向量依次是m=(2,-4,6),n=(-1,2,-3),k=(-1,4,3),所以m=-2n,即m∥n,所以α∥β.又m·k=(2,-4,6)·(-1,4,3)=-2-16+18=0,則m⊥k,所以α⊥γ.同理,n·k=(-1,2,-3)·(-1,4,3)=1+8-9=0,則n⊥k,所以β⊥γ.123456789101112138.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P為棱C1D1的中點(diǎn),M為棱BC的中點(diǎn),則直線AM與PM的位置關(guān)系是

.

PM⊥AM

1234567891011121312345678910111213B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.(多選題)如圖所示,在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別在棱A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,則(

)A.EF⊥A1DB.EF⊥AD1C.EF∥BD1D.EF與BD1是異面直線AC12345678910111213解析

如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),D1(0,0,3),A(3,0,0),A1(3,0,3),B(3,3,0),E(1,0,1),F(2,1,0),1234567891011121310.(多選題)給出下列命題,其中是真命題的是(

)A.若a=(-1,1,-2)是直線l的方向向量,b=(-2,-1,)是直線m的方向向量,則直線l與m垂直B.若a=(1,1,-1)是直線l的方向向量,n=(0,-1,-1)是平面α的法向量,則l⊥αC.若n1=(1,0,3),n2=(0,1,2)分別為平面α,β的法向量,則α⊥βAD12345678910111213解析

對(duì)于A,因?yàn)閍·b=(-1)×(-2)+1×(-1)+(-2)×=0,可知a⊥b,所以直線l與m垂直,故A正確;對(duì)于B,因?yàn)閍·n=1×0+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,可知a⊥n,所以l?α或l∥α,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)閚1·n2=1×0+0×1+3×2=6≠0,所以平面α,β不相互垂直,故C錯(cuò)誤;1234567891011121311.如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC=90°,且AA1=AD=DC=2,M∈平面ABCD,當(dāng)D1M⊥平面A1C1D時(shí),DM=

.

12345678910111213解析

如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2).12345678910111212.

在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,A1C的中點(diǎn).(1)求EF的長(zhǎng);(2)證明:EF⊥平面A1CD.1312345678910111213(1)解

以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),D(0,0,0).∵E,F分別為AB,A1C的中點(diǎn),∴E(2,1,0),F(1,1,1),則1234