山東省齊魯2024年高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷含解析

山東省齊魯名校2024年高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.等腰直角三角形與等邊三角形A3O中，ZC=90°,BD=6,現(xiàn)將△ABD沿30折起，則當(dāng)直線AO與平

面所成角為45。時，直線AC與平面ABO所成角的正弦值為（）

Ac.4D.F

2.直三棱柱ABC與￡中，CA=CCl=2CB,AC±BC,則直線BQ與A片所成的角的余弦值為（）

3.體育教師指導(dǎo)4個學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動作，預(yù)備時，4個學(xué)生全部面朝正南方向站成一排.訓(xùn)練時，每次都讓3個學(xué)生“向

后轉(zhuǎn)”，若4個學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向，則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

4.已知函數(shù)/（x）=x3+asinx,xeH,若"-1）=2,則”1）的值等于（）

A.2B.-2C.l+aD.1-a

5.設(shè)集合A={—1,0,1,2},B-{X|-2X2+5X+3>0},則A8=（）

A.{0,1,2}B.{0,1}

C.{1,2}D.{-1,0,1}

6.過拋物線石：/=20，（。>0）的焦點(diǎn)尸作兩條互相垂直的弦48,CD,設(shè)尸為拋物線上的一動點(diǎn)，Q（L2）,若

焉+&J，則Ml+IP。I的最小值是（）

A.1B.2C.3D.4

7.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且q+4+%i=2",則sin(%+%)=的值為()

8.木匠師傅對一個圓錐形木件進(jìn)行加工后得到一個三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積()

A.24萬+94B.48I+9石C.48萬+18百D.144萬+180

9.在函數(shù)：①y=cos|2x|；②y=|cosx|；③>=cos[2x+qJ；④y=tan[J中，最小正周期為萬的所有

函數(shù)為()

A.①②③B.①③④C.②④D.①③

10.已知函數(shù)/(x)=o？-4ox-Inx,則在(1,4)上不單調(diào)的一個充分不必要條件可以是()

A.a>----B.0<〃<—C.a>—或—<。<0D.d>—

21616216

11.已知非零向量a,。滿足=明，若a力夾角的余弦值為且(。-2與乂3°+可，則實(shí)數(shù)X的值為()

423—43

A.——B.-C.一或——D.-

93292

b+c_a+b

12.在三角形ABC中，a=l,一,求bsinA=()

sinAsinA+sinB-sinC

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.將函數(shù)/(x)=asinx+bcosx(a,〃eR,a/0)的圖象向左平移2個單位長度，得到一個偶函數(shù)圖象，則

b

a

2-x+2,x<0（4、

14.設(shè)函數(shù)〃x）=I4）,g（x）=A3-],其中左>0.若存在唯一的整數(shù)x,使得

x2,x>0

/（x）<g（x）,則實(shí)數(shù)人的取值范圍是.

PP

15.已知點(diǎn)P是拋物線必=4y上動點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,-1），則-的最小值為.

16.已知三棱錐P—ABC的四個頂點(diǎn)都在球。的球面上，PA=BC=5,PB=AC=A,PC=AB=2后則球。

的表面積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（x）=爐-alnx,aeR.

（1）若在x=l處取得極值，求。的值；

（2）求Ax）在區(qū)間[1,內(nèi)）上的最小值；

（3）在（1）的條件下，若/2（x）=V—/（X）,求證：當(dāng)I<x<e2時，恒有J成立.

4-h（x）

18.（12分）已知拋物線&3=4內(nèi)（p為大于2的質(zhì)數(shù)）的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸且斜率為網(wǎng)后0）的直線交C于A,B兩點(diǎn),

線段A5的垂直平分線交y軸于點(diǎn)E,拋物線C在點(diǎn)A,3處的切線相交于點(diǎn)G.記四邊形AE8G的面積為S.

（1）求點(diǎn)G的軌跡方程；

（2）當(dāng)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時，S是否為整數(shù)？若是，請求出所有滿足條件的S的值；若不是，請說明理由.

V2V21

19.（12分）設(shè)橢圓C：二+2=1（?！?〉0）的右焦點(diǎn)為尸，右頂點(diǎn)為4,已知橢圓離心率為弓，過點(diǎn)尸且與x軸

垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.

（I）求橢圓C的方程；

（II）設(shè)過點(diǎn)a的直線/與橢圓c交于點(diǎn)3（3不在》軸上），垂直于/的直線與/交于點(diǎn)"，與y軸交于點(diǎn)〃，若

BF±HF,且NMQ4WNM4O,求直線/斜率的取值范圍.

20.(12分)在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，底面

ABCD,PD=AD=1,AB=逐，sinZABD=咚

(1)證明：PA±BD

(2)求二面角A—PB—C的正弦值.

1

x~—m

2(m為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸

21.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系龍。y中，直線/的參數(shù)方程為《

V3

y=---m

2

’2厲2》、

非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為"2—2"COS6-2=0,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為

(1)求直線/的極坐標(biāo)方程;

(2)若直線/與曲線C交于3,C兩點(diǎn)，求ABC的面積.

22.(10分)已知變換T將平面上的點(diǎn)(0,1)分別變換為點(diǎn)［^,-2),1-^,4).設(shè)變換T對應(yīng)的矩陣為

(1)求矩陣

(2)求矩陣以的特征值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1,A

【解析】

設(shè)E為3。中點(diǎn)，連接AE、CE,過A作AOLCE于點(diǎn)0,連接。0,得到NADO即為直線AO與平面3C。所成角

的平面角，根據(jù)題中條件求得相應(yīng)的量，分析得到NC4E即為直線AC與平面480所成角，進(jìn)而求得其正弦值，得

到結(jié)果.

【詳解】

設(shè)E為50中點(diǎn)，連接AE、CE,

由題可知CELBD,所以應(yīng)），平面AEC,

過A作AO_LC￡于點(diǎn)0,連接。0,則40,平面BDC,

所以ZADO即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，

所以sin/ADO=也=42,可得40=3忘，

2AD

在“。石中可得?！?3,

又0C=LBD=3,即點(diǎn)。與點(diǎn)C重合，此時有AC,平面3C。，

2

過C作CFLAE與點(diǎn)凡

又平面AEC,所以BD工CF,所以。尸，平面ABD,

從而角ZCAE即為直線AC與平面ABD所成角，sinZCAE=0=R1,

AE3733

故選：A.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)平面圖形翻折問題，涉及到的知識點(diǎn)有線面角的正弦值的求解，在解題的過程中，注意空間角的平

面角的定義，屬于中檔題目.

2、A

【解析】

設(shè)C4=CC]=2CB=2,延長A耳至。，使得4用=4。，連BD,Cp,可證4耳//3。，得到/。浪。（或補(bǔ)角）

為所求的角，分別求出3C1,A5]，G。，解即可.

【詳解】

設(shè)G4=CG=2CB=2,延長A耳至。，使得4用=用。，

連BD,C[D,在直三棱柱ABC—A與G中，AB!/A^AB^A.B,,

???AB11B\D,AB=BQ,四邊形ABZ叫為平行四邊形,

.-.ABJ/BD,..ZQBD（或補(bǔ)角）為直線BG與A片所成的角,

在放△3CG中，BC[=JCC：+BC2=小,

2

在放△A4G中,4四=7ACI2+5IG2=品cosN3]AG=

在AG。中，

CQ2=AC：+—24cl.AQcosNB[A1cl=4+20-16=8,

在RtAAA^i中，AB1=7M2+A512=3,，BD=AB、=3,

BC：+BD2-CD5+9-875

在BQ。中，cosNC]BD=

2BCXBD6百-5

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成的角，要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可，屬于中檔題.

3、B

【解析】

通過列舉法，列舉出同學(xué)的朝向，然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).

【詳解】

“正面朝南”“正面朝北”分別用“A”“V”表示，

利用列舉法，可得下表，

原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”

AAAAAVVVVVAAAAAVVVVV

可知需要的次數(shù)為4次.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是求最小推理次數(shù)，一般這類題型構(gòu)造較為巧妙，可通過列舉的方法直觀感受，屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

由函數(shù)的奇偶性可得，/(1)=一/(—1)=—2

【詳解】

/(x)=x3+asinx

其中g(shù)(x)=x3為奇函數(shù)，f(x)=asinx也為奇函數(shù)

A/(x)=g(x)+t(x)也為奇函數(shù)

.\/(1)=-/(-1)=-2

故選：B

【點(diǎn)睛】

函數(shù)奇偶性的運(yùn)用即得結(jié)果，小記，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱時有：①奇函數(shù)土奇函數(shù)=奇函數(shù)；②奇函數(shù)x奇函數(shù)=偶函數(shù);

③奇函數(shù)+奇函數(shù)=偶函數(shù)；④偶函數(shù)土偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑤偶函數(shù)x偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑥奇函數(shù)x偶函數(shù)=奇函數(shù)；⑦奇函

數(shù)+偶函數(shù)=奇函數(shù)

5、A

【解析】

解出集合3,利用交集的定義可求得集合AB.

【詳解】

因?yàn)?=卜'2爐+5尤+3>0}=卜|2f—5尤一3<0}=<x—g<尤<3>,又A={—1,0,1,2},所以4八6={0,1,2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查交集的計(jì)算，同時也考查了一元二次不等式的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】

設(shè)直線45的方程為曠=履+5，代入爐=2刀得：x2-2pkx-p2=Q,由根與系數(shù)的關(guān)系得乙+乙=2。左，

=-P2，從而得至！IIA31=22(1+Z2),同理可得|CD|=2Ml+《)，再利用求得。的值，

當(dāng)°,P,M三點(diǎn)共線時，即可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，可知拋物線的焦點(diǎn)為(0,言)，則直線43的斜率存在且不為0,

設(shè)直線A3的方程為y=6+g,代入必=2刀得：^-Ipkx-p2=Q.

2

由根與系數(shù)的關(guān)系得4+4=2。左，xAxB=-p,

所以|AB|=2p(l+左2).

又直線CD的方程為y=--x+^,同理|CD|=2pQ+二)，

k2k

--1---|----1-^3-----1---—|-----1----^311

所以\CD\~2p(l+k2)2P(1+))―2p—4，

所以2P=4.故必=4》.過點(diǎn)p作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，

則由拋物線的定義可得\PF|=|PM|.

所以|Pb|+|PQ|=|PM|+|PQ|2|MQ|=3,當(dāng)Q,P,M三點(diǎn)共線時，等號成立.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦半徑公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力

和運(yùn)算求解能力，求解時注意取最值的條件.

7、B

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得4=々-，即可得到%+%=等，代入由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.

【詳解】

27r

解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得%+0+%1=3。6=2"，解得％=7，

,4萬

..+Cig—2ct6=~~~9

.7X,471.(7l\.71v3

.二sin(%+%)=sin—=sinI^-+y1=-sin-j=一一—

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

由三視圖知幾何體是一個從圓錐中截出來的錐體，圓錐底面半徑為r={32+(等y，圓錐的高〃=J(3A)2-3?，截去

的底面劣弧的圓心角為與，底面剩余部分的面積為5=---^r2+-r2sin—，利用錐體的體積公式即可求得.

32323

【詳解】

由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為「=/32+(罕)2=6,圓錐的高力=J(3百)2—32=6,圓錐母線

=60，截去的底面弧的圓心角為120。，底面剩余部分的面積為

r\-11。

2

S=一"戶+—戶sin」=一兀乂?+—x6xsin—=24?+9石,故幾何體的體積為：

323323

V=gs/z=gx(24?+9^)x6=48〃+18G.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題，考查了學(xué)生空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，難度一般.

9、A

【解析】

逐一考查所給的函數(shù)：

y=cos|2x|=cos2x,該函數(shù)為偶函數(shù)，周期T=^=萬；

將函數(shù)y=cosx圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到y(tǒng)=|cosx|的圖象，該函數(shù)的周期為

1c

一義2?=%.

2

函數(shù)y=cos12x+f的最小正周期為7彳="；

函數(shù)y=ta?2x-a1的最小正周期為T=W=W；

綜上可得最小正周期為萬的所有函數(shù)為①②③.

本題選擇A選項(xiàng).

點(diǎn)睛：求三角函數(shù)式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)的式子，否則很容易出現(xiàn)錯

誤.一般地，經(jīng)過恒等變形成"y=Asin3x+°),y=Acos(<ox+°),y=Atan(tt)x+°)”的形式，再利用周

期公式即可.

10、D

【解析】

先求函數(shù)在(L4)上不單調(diào)的充要條件，即/'。)=。在(1,4)上有解，即可得出結(jié)論.

【詳解】

,,/、c.1lax1-4-ax-1

j(x)—2cix-4(2-------------9

XX

若f(x)在(1,4)上不單調(diào)，令g(x)=2以2—4奴—1,

則函數(shù)g(x)=2ax2-4ax-1對稱軸方程為x=l

在區(qū)間(1,4)上有零點(diǎn)(可以用二分法求得).

當(dāng)。=0時，顯然不成立；

a>0

當(dāng)a/0時，只需g⑴=—2a—1<0

g(4)=16tz-l>0

a<0

或<g⑴=-2。-1〉0,解得?！倒せ颉?lt;二.

g(4)=16tz-l<0I，~

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件，要注意二次函數(shù)零點(diǎn)的求法，屬于中檔題.

11、D

【解析】

根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零，結(jié)合同=4可以及夾角的余弦值，即可求得參數(shù)值.

【詳解】

依題意，得(a—2))-(3a+b)=0,即—5。力—2=0.

將同=州代入可得，1822-192-12=0.

34

解得;1=—(2=—舍去).

29

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，涉及由向量垂直求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角B的值，再利用正弦定理可求得〃sinA的值.

【詳解】

b+ca+b人+ca+b.不加、、、

―—-=---：--——；，由正弦定理得-----=-----；----，整理得ar+c-b=ac，

sinAsinA+sinB-sinCaa+b-c

rtA吃—IB但a2+c2-b21??n萬

由1余弦定理得cosD3=----------=—,0<B<7i,:.B=—.

lac23

由正弦定理一^—=—^—得Z?sinA=asinB=1xsin—=.

sinAsin332

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、百

【解析】

根據(jù)平移后關(guān)于y軸對稱可知/(力關(guān)于x=W對稱，進(jìn)而利用特殊值/[(]=/(°)構(gòu)造方程，從而求得結(jié)果.

【詳解】

/(X)向左平移看個單位長度后得到偶函數(shù)圖象，即關(guān)于y軸對稱

???/⑴關(guān)于x=7對稱.-.ff|K/(o)

Bjb=b

B口|口J：as?m——1F/1?cos—TC=

3322a

本題正確結(jié)果：V3

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠通過平移后的對稱軸得到原函數(shù)的對稱軸，進(jìn)而利用

特殊值的方式來進(jìn)行求解.

14、,6]

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫出圖像，再根據(jù)存在唯一的整數(shù)X使得f(x)<g(X)數(shù)形結(jié)合列出臨界條件滿足的關(guān)系式求

解即可.

【詳解】

C(左+171cC

,、2------x+2,%<0

解：函數(shù)〃x)=I4)，且Q0,

x2,x>0

畫出了(九)的圖象如下：

因?yàn)間(x)=左卜一力,且存在唯一的整數(shù)x,使得"%)<g(%),

故g(x)與/(%)在尤<0時無交點(diǎn),

,女+17,17

k2-----，得k2—；

43

又g(x)=(x—g(x)過定點(diǎn)

又由圖像可知，若存在唯一的整數(shù)X使得/(x)<g(%)時x>g,所以x22

g(3)=|左吟2〃3)=9,

???存在唯一的整數(shù)x=3,使得/(x)<g(x)

2

所以g(2)=§左<〃2)=4=左<6

Q

二g(4)=§左</(4)=16=左<6.根據(jù)圖像可知，當(dāng)無24時，/(力>g(%)恒成立.

17

綜上所述，存在唯一的整數(shù)X=3,使得/（x）<g（X）,此時丁〈左<6

故答案為：[],6]

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了數(shù)形結(jié)合分析參數(shù)范圍的問題,需要根據(jù)題意分別分析定點(diǎn)，o]右邊的整數(shù)點(diǎn)中x=3為滿足條件

的唯一整數(shù)，再數(shù)形結(jié)合列出尤=2,4時的不等式求上的范圍.屬于難題.

15、叵

2

【解析】

過點(diǎn)P作垂直于準(zhǔn)線，〃為垂足，則由拋物線的定義可得=P產(chǎn)，

PFPMPF

則一=——=sinZPAM,NR4M為銳角.故當(dāng)臣和拋物線相切時，——的值最小.

PAPAPA

PF

再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得一的最小值.

PA

【詳解】

解：由題意可得，拋物線Y=4》的焦點(diǎn)/（0,1）,準(zhǔn)線方程為y=-l,

過點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，〃為垂足，則由拋物線的定義可得=P尸，

PFPM

則——=----=sinNPAM,ZPAM為銳角.

PAPA

PF

故當(dāng)NB4M最小時，一的值最小.

PA

設(shè)切點(diǎn)P（2jZ,a）,由了=；%2的導(dǎo)數(shù)為y=

則Q4的斜率為&=G==二胃，

227a

求得4=1,可得P（2,l）,

PM=2,PA=2V2.

???sinZPAM=—=—.

PA2

V

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的定義，性質(zhì)的簡單應(yīng)用，直線的斜率公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

16、30TT

【解析】

如圖所示，將三棱錐P-ABC補(bǔ)成長方體，球。為長方體的外接球，長、寬、高分別為“,4c,計(jì)算得到7?=叵,

2

得到答案.

【詳解】

如圖所示，將三棱錐P-ABC補(bǔ)成長方體，球。為長方體的外接球，長、寬、高分別為“力,。，

院+廿=25,

則/+02=15,,所以。2+/+。2=30,所以球。的半徑氏=叵，

b2+c2=20,2

則球。的表面積為S=4〃R2=30萬.

故答案為：307r.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，將三棱錐P-ABC補(bǔ)成長方體是解題的

關(guān)鍵.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17-.(1)2；(2)----In—；(3)證明見解析

222

【解析】

(1)先求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，由已知函數(shù)/(尤)在1=1處取得極值，得到廣(1)=0,即可求解”的值；

r\2

(2)由(1)得/(%)=2彳_@=定義域?yàn)?0,+8),分a40,0<aW2和a〉2三種情況討論，分別求得

XX

函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)論；

4+/i(x)Oy—29Y—2

(3)由/z(x)=x?-f(x),得至=21nx,把―7二，只需證lnx>-----，構(gòu)造新函數(shù)9(x)=Inx—:----，

4-/?(x)x+1x+1

利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

【詳解】

(1)由/(x)=/-alnx,定義域?yàn)?0,+℃),則/>'(x)=2x—呸，

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=/—Mnx在％=1處取得極值,

所以/'(1)=0,即2—。=0,解得。=2,

經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以a=2.

⑵由(D得/(%)=2%—匚定義域?yàn)?。,+電),

XX

當(dāng)。<0時，有尸。)>0,/(X)在區(qū)間口內(nèi))上單調(diào)遞增，最小值為了⑴=1,

當(dāng)0<aW2時，由/'(%)=。得1=且，且o(邁W1,

22

當(dāng)xe時，f'(x)<0,/(元)單調(diào)遞減;

時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

所以/(x)在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞增，最小值為/(I)=1,

當(dāng)。>2時，則1〉1,當(dāng)xe14a

1萬時，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

2

當(dāng)xe1當(dāng),+s時，尸(x)>0,〃x)單調(diào)遞增;

所以了(%)在X=處取得最小值/=—~—,

22,222

乙\J

綜上可得：

當(dāng)aW2時，/(x)在區(qū)間口,+8)上的最小值為1,

當(dāng)a>2時，/(尤)在區(qū)間［L”)上的最小值為@—@lnq.

222

(3)由/z(x)=%2—/(%)得"(x)=21nx,

當(dāng)1<%</時，0<lnxv2,則〃(x)<4,

4+/z(x)4r—42尤一2

欲證X<.二:,只需證X[4—//(%)]<4+〃(x),即證/z(x)>-------,即Inx〉一一,

4-/i(x)x+1x+1

設(shè)、幾0⑴,、=?.-2口x—2'WJHx、)=-1-2(一%+1)-兩(2%-2=)=(I%)?，

當(dāng)l<x<e?時，9(x)>0,，。(均在區(qū)間(Ie?)上單調(diào)遞增,

2r-2

.當(dāng)l<x<e?時，。(％)>。⑴=0,即Inx-------->0,

x+1

4+h(x)4+h(x)

故即當(dāng)時，恒有成立.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能

力與計(jì)算能力，對于此類問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不

等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

18、(1)y=~P(2)當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時，S不是整數(shù).

【解析】

(1)先求解導(dǎo)數(shù)，得出切線方程，聯(lián)立方程得出交點(diǎn)G的軌跡方程；

(2)先求解弦長|A理，再分別求解點(diǎn)及G到直線Afi的距離，表示出四邊形的面積，結(jié)合點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)進(jìn)行

判斷.

【詳解】

(1)設(shè)4(%，￥1),3(々,%)。(而,先),則x；=4孫,x；=42%，

1,1

拋物線c的方程可化為＞=丁/,2則了=丁無，

4P2P

所以曲線C在點(diǎn)A處的切線方程為＞=’一%（x—%）+%=；玉%-%,

2p2p

1/、1

在點(diǎn)3處的切線方程為＞=%—X2（x—%）+%=丁々x—%，

2P2P

11

因?yàn)閮汕芯€均過點(diǎn)G,所以%=?。%-乂，y=-xx-y

2p02p202

11

所以A,3兩點(diǎn)均在直線上%=?。?%—y，所以直線AB的方程為％=丁不了一〉，

2P2P

又因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)歹（0,p）,所以為=-?,即G點(diǎn)軌跡方程為＞="?；

（2）設(shè)點(diǎn)G（x。，-P）,由（1）可知，直線的方程為一。二丁/%-，，

即＞=丁為01+。，

2P

y=——xx+p

將直線A3的方程與拋物線聯(lián)立，2p°o,整理得x92-2x0x-4p92=0,

x=4py

所以玉+%2=2%0，%]%2=—4p，解得,|=2dx；+4p~9

因?yàn)橹本€Ab的斜率％=%—%WO,所以不。0,

且|AB|=Jl+%2卜—司=”+40

線段Ab的中點(diǎn)為丁焉+p）,

2P

所以直線EM的方程為：y=-—(x-x0)+^-xl+p,

/2P

所以E點(diǎn)坐標(biāo)為（0,丁片+p）,

2P

2

直線AB的方程整理得x0x-2py+2p=0,

則G到AB的距離4=爪|=&+4P2,

J片+4，

_|-xo~^P2\r~^-------T

則E到AB的距離d2=%,=+4/r,

Z+4P2

所以S=^\AB\?+d2)=(其+獷心,+2,

設(shè)％=因?yàn)閜是質(zhì)數(shù)，且升為整數(shù)，所以帆=一或加wZOwO),

P

當(dāng)|同=,時，5=±1,S=(/+4p2)/蒼+4p’是無理數(shù),不符題意，

PP

當(dāng)meZ(mW0)時，5=(mM)/?2Vm2+4.

因?yàn)楫?dāng)同N2時，m244<(|m|+l)2,即，扃值是無理數(shù)，所以網(wǎng)22不符題意，

當(dāng)加=±1時，J滔是無理數(shù)，不符題意，

綜上，當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時，S不是整數(shù).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線中的切線問題通常借助導(dǎo)數(shù)來求解，四邊形的面積問題一般轉(zhuǎn)化為三

角形的面積和問題，表示出面積的表達(dá)式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【解析】

2b2c

(I)由題意可得且=3,e=—,a2=b2+c2,解得即可求出橢圓的C的方程；

aa

(II)由已知設(shè)直線I的方程為y=k(x-2),(際0),聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根

與系數(shù)的關(guān)系求得B的坐標(biāo)，再寫出所在直線方程，求出H的坐標(biāo)，由8尸，HF,解得yH.由方程組消去y,解

得為，由NMQ4WNM4O,得到xM21,轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式，求得k的范圍.

【詳解】

(I)因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為3,

1c1

因?yàn)闄E圓離心率e為大，所以一二G，

2a2

又〃=人2+。2，

解得a=2,c=l9b—A/3,

22

所以橢圓C的方程為L+2L=1

43

（II）設(shè)直線/的斜率為M左。0）,則丁=左（4—2）,設(shè)8（4,力），

y=^(x-2)

222

由＜光2y2得(4左2+3)x-16kx+16k-12=0,

[43

8k2—68k2-6

解得x=2,或元=，由題意得演=

4r+3442+3

~12k

從而獷E

由（I）知，津（1,0）,設(shè)"（0,%）,

/9-4k212k、

所以切=(—1,%),BF=

、4芯+34左2+3,

因?yàn)?尸，彼，所以BF-HF=0,

所以w+禺=°'解得"9-4k2

12k

19一4”2

所以直線的方程為丫=-上苫+1^

k12k

y=k(x-2)20k2+9

設(shè)/（如，％），由,y-L+上消去九解得3訶E，

「k12k

在AM4O中，ZMOA<ZMAO\MA\<\MO\,

即(j-2)+yj<%J+yJ，

2042+9,

所以44即麗臼'

解得父手，或左邛.

所以直線/的斜率的取值范圍為一8,-,+co

7

【點(diǎn)睛】

本題考查在直線與橢圓的位置關(guān)系中由已知條件求直線的斜率取值范圍問題，還考查了由離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,

屬于難題.

2

20、(1)見解析(2)-

3

【解析】

(1)利用正弦定理求得sinNAD5=l,由此得到NADB=90AD,結(jié)合？。，應(yīng)>證得比)，平面QAD，

由此證得

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面P3C的法向量，計(jì)算出二面角A-QB-C的余弦值，再轉(zhuǎn)化為正

弦值.

【詳解】

40AD

⑴在X中，由正弦定理可得：

sinZABD

Ag

sinZADB=smZAg°=1，.ZA￡)B=9?！?BDA.AD,

AD

PD_L底面ABCD,PD1BD,

平面PAD,

:.PA±BD；

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，PD=AD=l,AB=y/5,BD=2,

A(l,0,0),B(0,2,0),C(-l,2,0),尸(0,0,1),AB=(-1,2,0),CB=(1,0,0),PB=(0,2-1)

ri-AB=0—x+2y=0

設(shè)平面A5P的法向量為〃=(x,y,z),由<可得：L八,令y=l,貝！|〃=(2,1,2),

nPB=0[2y-z=0

[m-CB=Qfxi=0r

設(shè)平面尸的法向量為根=(%,%,zj,由<可得:八，令％=1，則加=(0,1,2),

\mPB-Q