高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何

第八章立體幾何

第1節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P179

考試要求

1.了解各種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特性.

2.能根據(jù)三視圖還原出空間幾何體.

3.理解斜二測(cè)畫(huà)法，掌握直觀圖與實(shí)際圖形的比例變化.

知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)全通關(guān)

一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1.簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特征

相交于延長(zhǎng)線交于

側(cè)棱

但不一定相等一點(diǎn)

側(cè)面

____

形狀

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圖形母線軸截面?zhèn)让嬲归_(kāi)圖

互相平行

且相等，

圓柱矩形矩形

______于

底面

相交于

圓錐

延長(zhǎng)線

圓臺(tái)交于

三視圖畫(huà)法規(guī)則:長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等

斜二測(cè)畫(huà)法：

(1)原圖形中x軸/軸N軸兩兩垂直，直觀圖中x軸j軸的夾角為45°(或135°),z軸與x軸和y軸所在平面

直觀圖--------

(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍，平行于X軸和N軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度_

_，平行于y軸的線段在直觀圖中的長(zhǎng)度為_(kāi)____________.___________________________

按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形面積的關(guān)系:S直觀圖4s原圖形,S原圖形=2或S直觀圖?

自我診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(對(duì)的打4”,錯(cuò)的打“?)

(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()

(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()

(3)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的工力時(shí)，若/力的兩邊分別平行于x軸和y軸，且/4=90°,則在直觀圖中,/4=90°.()

(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同.()

(5)夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺(tái).()

(1)*(2)*(3)*(4)*(5)*

2.(教材改編)在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為.(填寫(xiě)所有正確的序號(hào))

自住面。0

①②③④⑤

由棱柱的定義可判斷③⑤屬于棱柱.

3.如圖所示，已知長(zhǎng)方體被截去了一部分，截去的幾何體是三棱柱，其中日||力。則剩下的幾何體是().

A.棱臺(tái)

B.四棱柱

C.五棱柱

D.簡(jiǎn)單組合體

C

由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱.

4.正的邊長(zhǎng)為3,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系X。則它的直觀圖的面積是

解析

（對(duì)平面圖形的直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系不清楚致錯(cuò)）畫(huà)出坐標(biāo)系xO”作出以048的直觀圖。為夕［如圖），。為。均的中點(diǎn).

易知D叫D鳳D為04的中點(diǎn)）,

..S-O'A8苫>^S-OAB=^洋岸專岸.

5.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該多面體的體積為（）.

A.8B.12C.16D.20

B

解析

dC,

由多面體的三視圖得該多面體是一直四棱柱如圖,48102,441=2,4411平面力慶》,

?:該多面體的體積1/§人4+2）或或=12.故選B.

突:n考點(diǎn)題型命題全研透

考點(diǎn)一空間幾何體

命題角度1結(jié)構(gòu)特征

有下列說(shuō)法：

①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；

②在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱;

③存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；

④棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn).

其中正確的說(shuō)法是一..（填序號(hào)）

①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等;②正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)

棱，又垂直于底面;③正確，如圖，正方體43Goi中的三棱錐G-49G四個(gè)面都是直角三角形;0正確,由棱臺(tái)的概念可知.

解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問(wèn)題的技巧:（1）熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,在條件不變的情況下，變換

模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，依據(jù)題意判定.（2）通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說(shuō)明一個(gè)說(shuō)法是錯(cuò)誤的，只要舉出一

個(gè)反例即可.

感悟?qū)嵺`

有以下結(jié)論：

①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；

②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；

③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；

④一個(gè)平面截圓錐,得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái).

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）.

A.OB.1C.2D.3

B

①錯(cuò)誤，若這條邊是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐;②錯(cuò)誤，只有以垂直于兩底的腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓

臺(tái);③正確;?錯(cuò)誤，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以.

命題角度2直觀圖

【例2】

Z

有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖所示）/28。=45。,48J。=1,。28。,則這塊菜地的

面積是.

24

過(guò)點(diǎn)￡作4E18C于點(diǎn)日?qǐng)D略），

在RVM8E?中，￡8=1.￡￡■￥.

而四邊形力EC。為矩形

.\EC=AD=A.

,：BC=BE+EC4+r

由此可還原直觀圖如圖所示.

在原圖形中,/4。士1,23'2夕，考*,且4。||8。4815。

.:這塊菜地的面積S^A"D'+B'CYAB'^A*號(hào)）或=2哆

（1）畫(huà)幾何體的直觀圖一般采用斜二測(cè)畫(huà)法,其規(guī)則可以用“斜”（兩坐標(biāo)軸成45?；?35。）和“二測(cè)”（平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，平

行于x軸和z軸的線段長(zhǎng)度不變）來(lái)掌握.對(duì)直觀圖的考查有兩個(gè)方向,一是已知原圖形求直觀圖的相關(guān)量，二是已知直觀圖求原圖形

中的相關(guān)量.

（2）按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形面積的關(guān)系:S直觀圖4s原圖形.

感悟?qū)嵺`

若&48G是邊長(zhǎng)為a的正三角形，且"li&C是的直觀圖，則△工8c的面積為

如圖，在Tq。中，由正弦定理得二5。）：20。，得x言a,.SAB*xax瓜a丹卓.

命題角度3展開(kāi)圖

（2018年全國(guó)倦）某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如圖所示.圓柱表面上的點(diǎn)〃在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A

圓柱表面上的點(diǎn)AZ在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為民則在此圓柱側(cè)

面上，從點(diǎn)用到/V的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）.

A.2V17B.2V5C.3D.2

B

先畫(huà)出圓柱的直觀圖，根據(jù)題圖的三視圖可知點(diǎn)M/V的位置如圖。所示.

介、、.

o4NP

圖①圖②

圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖及點(diǎn)例/V的位置（/V為的四等分點(diǎn)）如圖②所示,連接例V,則圖中例/V即點(diǎn)例到點(diǎn)/V的最短路

徑.：ON=K6R,OM=2,.:MNZOM2+ON2022+42=2隗.故選B.

4

通常利用空間幾何體的表面展開(kāi)圖解決以下問(wèn)題:（1）求幾何體的表面積或側(cè)面積;（2）求幾何體表面上任意兩個(gè)點(diǎn)的最短表面距

離.

感悟?qū)嵺`

如圖,已知正三棱柱/8C-48&的側(cè)棱長(zhǎng)為方,底面邊長(zhǎng)為。一只螞蟻從點(diǎn)工出發(fā)沿每個(gè)側(cè)面爬到點(diǎn)4,路線為4>%心4,則螞

蟻爬行的最短路程是（）.

C,

A.Va2+9b2

B.V9a2+b2

C.V4a2+9b2

D.Va2+b2

A

由題意知,正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是如圖所示的矩形，矩形的長(zhǎng)為3。寬為a則其對(duì)角線44的長(zhǎng)為最短路程，因此螞蟻爬

行的最短路程為、。2+9b2.故選A.

考點(diǎn)二三視圖及其應(yīng)用

已知一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，則這個(gè)四棱錐最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.V5B.V6C.2V2D.x/10

答案C

由三視圖可知，該幾何體如圖所示,84±底面48。。,24=2,底面是一個(gè)直角梯形，其中BQiAD,AB±AD,BC=AB=1tAD=Q.^

知其最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為尸。=722+22=2%.故選c.

由三視圖還原幾何體的步驟

定底面彳西蔽函函標(biāo)由贏拓決

定棱及側(cè)J根據(jù)正（主）、側(cè)（左）視圖確定幾何體

泄側(cè)棱與側(cè)面的特征

匪痣視酉而鹿皮前買(mǎi)甄的天花:福.

定吆狀:定幾何體的形狀

感悟?qū)嵺`

1.（2023?安徽合肥三模）如圖，已知網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為

A.4V3B.4V2C.8V2D.8

A

由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖中的四棱錐P-ABCD,

因?yàn)?/p>

28N,8C=V42+42=4V2,CD=4,AD=^/42+42=472,4-(4g2H?PB7平+磨工gPg?+42N9尸DN,所以該

幾何體最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為4V3.

2.（2023?陜西西安模擬）已知某幾何體的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖①所示，它的俯視圖的直觀圖是&￡目。如圖②所示，其中

。3'=。&。'。'^^則該幾何體的表面積為（）.

A.36+12V5B.24用V5

C.24+12V5D.36*8x/3

C

由俯視圖的直觀圖,可得幾何體的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，底面積是4b，由正（主）視圖和側(cè)（左）視圖知，該幾何體是三棱錐,

如圖所示，其中SAL平面48C,54=6,△08,△弘。都是直角三角形，所以S⑹8=S3cgs4X8弓*6MK2,又ASCB是腰長(zhǎng)為2g,

底邊長(zhǎng)為4的等腰三角形，其面積為而扃^邙百，所以該三棱錐的表面積為24+12V1故選C.

訓(xùn)練逐點(diǎn)排查素養(yǎng)快提升

對(duì)應(yīng)《高效訓(xùn)練》P70

葉基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.下列說(shuō)法中正確的是（）.

A.棱柱的側(cè)面可以是三角形

B.正方體和長(zhǎng)方體都是特殊的四棱柱

C.所有幾何體的表面都能展開(kāi)成平面圖形

D.棱柱的各條棱都相等

B

棱柱的側(cè)面都是四邊形,A不正確;正方體和長(zhǎng)方體都是特殊的四棱柱,B正確;不是所有幾何體的表面都能展開(kāi)成平面圖

形，例如，球不能展開(kāi)成平面圖形,C不正確;棱柱的各條棱并不是都相等，但棱柱的側(cè)棱都相等,D不正確.

2.若把一個(gè)高為10cm的圓柱的底面畫(huà)在耳?！菲矫嫔希瑒t圓柱的高應(yīng)畫(huà)成（）.

A.平行于z軸且長(zhǎng)度為10cm

B.平行于n軸且長(zhǎng)度為5cm

C.與z軸成45。且長(zhǎng)度為10cm

D.與z軸成45。且長(zhǎng)度為5cm

A

平行于Z軸（或在Z軸上）的線段，在直觀圖中的方向和長(zhǎng)度都與原來(lái)保持一致.

3.

如圖所示，這個(gè)正方體（從正前方看到數(shù)字4,從右邊看到數(shù)字6,從上方看到數(shù)字8）的展開(kāi)圖可能是下面四個(gè)展開(kāi)圖中的（）.

ABCD

A

由原正方體的特征可知，含有4,6,8的數(shù)字的三個(gè)面一定相交于一點(diǎn),而選項(xiàng)B,C,D中，經(jīng)過(guò)折疊后，含有4,6,8的數(shù)字的

三個(gè)面不相交于一點(diǎn).故選A.

4.如圖，這個(gè)三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體是（）.

A.六棱臺(tái)

B.六棱柱

C.六棱錐

D.六邊形

C

根據(jù)三視圖的特征可知C正確.

5.等腰三角形力8c的直觀圖可能是（）.

A.①②B.②③C.②⑷D.③。

D

由直觀圖的畫(huà)法可知，當(dāng)NXOV'95。時(shí)，等腰三角形48c的直觀圖是④;當(dāng)35°時(shí)，等腰三角形28。的直觀圖是

③.綜上，等腰三角形的直觀圖可能是③@故選D.

能力提升

6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（

A.2nB.4nC.6nD.等

B

根據(jù)幾何體的三視圖可得，該幾何體的直觀圖是底面邊長(zhǎng)為1的正方形，高為企的四棱錐，如圖所示.設(shè)外接球的半徑為/?,

則（2Q2F2X2式迎）2,.：陽(yáng),故S球N1TX12NTT.故選B.

rTo7)A7

水平放置的A/8C的直觀圖如圖所示，已知廁48邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為.

2.5

根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則及直觀圖可知，原平面圖形為直角三角形，且RC=4C'=3,HC=2夕CN,所以

所以4后5,故48邊上的中線長(zhǎng)為手g=25

俯視圖

高為4的直三棱柱被削去一部分后得到一個(gè)幾何體,它的直觀圖和三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積是原直三

棱柱的體積的.

1

由側(cè)視圖、俯視圖知該幾何體是高為2,底面積為"或N2M）=6的四棱錐，其體積為g或4=4.易知直三棱柱的體積為8,則

該幾何體的體積是原直三棱柱的體積的宏

g思維拓展

9.一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，例/V分別是268C的中點(diǎn).請(qǐng)把下面幾種正確說(shuō)法的序號(hào)填在橫線上.

俯視圖

①平面CDEF,

②BELAO,

③該幾何體的表面積為12*472;

④該幾何體的外接球（幾何體的所有頂點(diǎn)都在球面上）的體積等于48m

由題意可知幾何體是放倒的直三棱柱，底面是等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為2,三棱柱的高為2,該直三棱柱可以看成是正

方體被對(duì)角面截成的兩個(gè)三棱柱之一.

：〃,/V分別是458C的中點(diǎn)，.:用MEG

又￡8平面CDEF,MM平面CDEF、

■:例M平面。￡沱￡故。正確.

易知8E與平面力8c不垂直,8E18G

.￡￡"不能垂直2G故②不正確.

:該幾何體的表面積S=2或+2或+2或或卓2或&=12-2故3正確.

:該幾何體的外接球（幾何體的所有頂點(diǎn)都在球面上）的體積，就是棱長(zhǎng)為2的正方體的外接球的體積，.:外接球的半徑

/?弓或百國(guó)^,.：外接球的體積吟口*（75）3=4611,故@正確.

第2節(jié)空間幾何體的表面積與體積

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P182

考試要求

1.理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積計(jì)算公式,并能用公式解決實(shí)際問(wèn)題.

2.會(huì)用公式計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積.

知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)全通關(guān)

一、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式

二、柱體、錐體、臺(tái)體、球的表面積和體積

名稱

表面積體積

幾何體

柱體(棱柱和圓柱)S表面積=SUJ+2S底片6底力

錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底修衿亡八

5麥面產(chǎn)畤S上+S"

臺(tái)體(棱臺(tái)和

圓臺(tái))SM+SH+S、Js上S下）/?

4

球S=JJ片￡

9招展

1.與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論

(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和.

(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類(lèi)幾何體的體積相等.

2.幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

(1)正方體的棱長(zhǎng)為a球的半徑為R

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a,

③若球與正方體的各棱相切，則2R』a.

(2)若長(zhǎng)方體過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為外接球的半徑為一則2/?=Va2+b2+c2.

(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3.1.

自我診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(對(duì)的打錯(cuò)的打“*)

(1)錐體的體積等于底面面積與高之積.()

(2)球的體積之比等于半徑比的平方.()

(3)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.()

(4)已知球。的半徑為尺其內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為a則/?岑a()

（D*（2）*（3W（4），

2.（教材改編）在八/8C中18c=150°,若將，38c繞直線8c旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（）.

旋轉(zhuǎn)

體是一個(gè)大圓錐去掉一個(gè)小圓錐，作出簡(jiǎn)圖，如圖所示，則3=2,所以旋轉(zhuǎn)體的體積為grr或2NOC-OS）哼.

3.（2023?湖北模報(bào)）已知一個(gè)直三棱柱的高為2,如圖,其底面48c水平放置的直觀圖（斜二測(cè)畫(huà)法）為A48'C：其中ON'=O'8'=O'C'=1,

則此三棱柱的表面積為（）.

B'/O'

A.4MV2

B.8MV2

C.8MV5

D.8電后

C

由斜二測(cè)畫(huà)法的“三變”“三不變”可得底面平面圖如圖所示，其中04X08-200=2,所以45F。=花,所以此三

棱柱的表面積5=2與或*2*2+2通）或左乂的.故選C.

0Cx

4.（2023?湖南模擬）已知平面。截球。所得截面圓的半徑為1,球心。到平面。的距離為四，則此球的體積為（）.

A.V6TTB.4V3TTC.4V6TTD.6X/3TT

B

設(shè)球的半徑為/?,由球的截面性質(zhì)得

/?=J(而二工印用所以球的體積Y11■用

突因考點(diǎn)題型命題全研透

考點(diǎn)一幾何體的表面積

(2021年全國(guó)甲卷)已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30TT,則該圓錐的側(cè)面積為.

39TT

如圖，

.圓錐的體積IZ^TT-6277=30TT,

.3,.:A/PR=j€)z+62考,

：S?=TT/7=n-*6*y=39TT.

部同源改編“

若將條件“其體積為30TT”改為“過(guò)該圓錐的頂點(diǎn)的圓錐的截面面積的最大值為粵”，則該圓錐的側(cè)面積為

o----------------

39TT

若該圓錐的軸截面的頂角為銳角，則過(guò)該圓錐的頂點(diǎn)的圓錐的截面面積的最大值為軸截面的面積，所以或/喈.因?yàn)?/p>

/所以力塔.因?yàn)橐?,所以此時(shí)該圓錐的軸截面的頂角為鈍角，這與該圓錐的軸截面的頂角為銳角矛盾，所以該圓錐的軸截面的頂

角為直角或鈍角.所以過(guò)該圓錐的頂點(diǎn)的圓錐的截面面積的最大值為次i吟《，即［普，所以片,故該圓錐的側(cè)面積為

S=TT〃=391T.

空間幾何體表面積的求法

(1)多面體:其表面積是各個(gè)面的面積之和.

(2)旋轉(zhuǎn)體:其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和.

(3)簡(jiǎn)單組合體:應(yīng)搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的刪、補(bǔ).

(4)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表

面積，再通過(guò)求和或作差，求出幾何體的表面積.

感悟?qū)嵺`

已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線S4,S8所成角的余弦值為與圓錐底面所成的角為45。.若&S48的面積為5S后,則該圓錐的側(cè)面積

為

40\/2n

因?yàn)槟妇€SZ與圓錐底面所成的角為45°,所以圓錐的軸截面為等腰直角三角形.設(shè)底面圓的半徑為。則母線長(zhǎng)/Rin在

△S48中,cos"S8q所以sin〃S8岑.

因?yàn)椤鞫放_(tái)的面積為5V15,^SA-SBsinzASB^-*V2r*V2r*^=5x<15,

2Zo

所以"NO,故圓錐的側(cè)面積為T(mén)T/Z=TZTT/2=4OV2TT.

考點(diǎn)二幾何體的體積

命題角度1直接法求體積

（2022年全國(guó)甲卷）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等,側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2TT,側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為1/

$甲”

甲和/乙.若［=2,則廠）.

乙乙

A.V5B.2V2C.V10D邛

4

C

如

圖，甲、乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖剛好拼成一個(gè)圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3,甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為乃理，高分別

為/M也,

則2TmNTT,2TT〃=2TT,解得乃=2,々=1,

由勾股定理可得力^療1=2魚(yú)，

.襄聿生訴.故選C.

v乙扣物

計(jì)算柱體、錐體、臺(tái)體的體積,關(guān)鍵是根據(jù)條件求出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面，特別是軸截面,將空間

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解.

感悟?qū)嵺`

正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則四棱臺(tái)的體積為（）.

A.蜉B.56V2C.28&D.竿

D

如圖,設(shè)上、下底面的中心分別為。。過(guò)點(diǎn)自作81ML08于點(diǎn)例則口岳=2或所以該棱臺(tái)的高

N22M2H22x42）考與故選D.

命題角度2割補(bǔ)法求體積

如圖所示，已知多面體尸G中,28,4G4?兩兩互相垂直，平面49al平面'G,平面5"）|平面

4?GC,Z8=4?=0G=2dC=E7M，則該多面體的體積為.

4

圖①

（法一:補(bǔ)形法）因?yàn)閹缀误w有兩對(duì)相對(duì)面互相平行，如圖。所示，將多面體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為2的正方體，所以所求多面體的體積

即該正方體體積的一半.又正方體的體積1/正方體邙，故所求幾何體的體積為1/多面體48CO￡FGg*8=4.

（法二:分割法）由題意知，幾何體有兩對(duì)相對(duì)面互相平行，如圖②所示，過(guò)點(diǎn)。作CH177G于點(diǎn)H連接即把多面體分割成一個(gè)

直三棱柱和一個(gè)斜三棱柱BEF-CHG.

圖②

由題意知，1/三棱柱DEH-ABC=S--DEH-AD=x2x1）或=2.故所求幾何體的體積1/多面體

ABCDEFG=Q.-^2=A.

若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.

“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見(jiàn)的重要方法，在解題時(shí),把不完整幾何體通過(guò)“補(bǔ)形”補(bǔ)成一個(gè)完整的幾何體或?qū)⒁粋€(gè)復(fù)雜的幾何

體置于一個(gè)更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的體積等問(wèn)題,常見(jiàn)的補(bǔ)形法有對(duì)稱補(bǔ)形、聯(lián)系補(bǔ)形和還原補(bǔ)形.對(duì)于還原補(bǔ)

形，主要涉及臺(tái)體中“還臺(tái)為錐”.

感悟?qū)嵺`

（改編）《九章算術(shù)》與《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》

卷五商功篇中介紹了羨除（此處是指三面為等腰梯形，其他兩側(cè)面為直角三角形的五面體）體積的求法.在如圖所示的羨除中，平面

是鉛垂面，下寬工4=3m,上寬BDNm,深3m,平面89EC是水平面,末端寬CE=5m,無(wú)深，長(zhǎng)6m（直線CE到BD的距離），則

該羨除的體積為（）.

A.24nrPB.30m3C.36m3D.42m3

C

如圖，在8。,Cf上分別

取點(diǎn)夕C使得BB工CC'3m,連接8c則三棱柱48cde'C是直三棱柱,該羨除的體積片/三梭柱的wm+l/四梭鍵上

3'0fC'=｛必的)*3+^*竽*6)叼=36(m3),故選C.

命題角度3等體積轉(zhuǎn)換法求體積

（2023?江西聯(lián)考）

如圖,正方體43CO-43IGQ的棱長(zhǎng)為1,E尸分別為線段44,3C上的點(diǎn)，則三棱錐Q-EOF的體積為

6

因?yàn)辄c(diǎn)￡在線段/Wi上，所以SDED1^xi叼§又因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段5c上,所以點(diǎn)尸到平面DEDy的距離為1,即加1,所

以力，?！?，."力片切4.

利用“等體積性”可以解決一些點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題,即將點(diǎn)到平面的距離視為一個(gè)三棱錐的高，通過(guò)將其頂點(diǎn)和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)化，借

助體積的不變性解決問(wèn)題.

感悟?qū)嵺`

（2023?廣西柳州聯(lián)考）如圖所示，已知三棱柱48C-48cl的所有棱長(zhǎng)均為1,且底面為8C,則三棱錐8-26G的體積為（）.

A蟲(chóng)B-C—D—

%2D,4U,12U'4

A

三棱錐By-ABC,的體積等于三棱錐438G的體積，三棱錐A-BxBCy的高為今底面積為宏故其體積為躬釁吟故選A.

訓(xùn)練素養(yǎng)快提升

對(duì)應(yīng)《高效訓(xùn)練》P71

回基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.（2023?肥城調(diào)研）

FC

在《九章算術(shù)》中，將兩底面為直角三角形的直棱柱，即長(zhǎng)方體的斜截平分體，稱為塹堵.今有如圖所示的塹堵形狀（48=8。容器，給其

裝滿水，當(dāng)水量使用了一半時(shí)，水面高度占28的（）.

A.jB.iC.竿D.y

C

水的體積就是塹堵體積的一半，柱體體積公式是底面積乘高,高沒(méi)變，底面積變?yōu)樵瓉?lái)的一半，因?yàn)榈酌媸堑妊苯侨切?

所以邊長(zhǎng)變?yōu)?8的苧，所以水面高度占08的蜉，故選C.

2.棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球的體積為（）.

A.4TTB.167TC.yD.等

c

由正方體的性質(zhì)可得，正方體的內(nèi)切球的半徑/?與引

二球的體積l/gn舟號(hào)，故選C.

3.（2023?淮安模擬）用半徑為2的半圓形鐵皮圍成一個(gè)圓錐筒，則該圓錐筒的高為（）.

A.1B.V3C.2D.6

B

半圓的弧長(zhǎng)2TT等于圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，故底面圓的半徑為1,圓錐母線為2,故高為企寸W5.

4.已知圓柱的上、下底面的中心分別為Oi,Q,過(guò)直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為

（）.

A.12V2TTB.12TT

C.8企TTD.10TT

B

根據(jù)題意，可得截面是邊長(zhǎng)為2e的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的高為2及，且底面是半徑為企的圓，所以其表面

積S=2TT*（V2）2*2TT*V2*2V2=12TT.

阿基米德（Archimedes,公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家，其墓碑上刻著一個(gè)“圓柱容球”

的幾何圖形，如圖所示.在該圖形中，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球,這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，則球的體積與圓柱的體積的比值和球的

表面積與圓柱的表面積的比值分別為（）.

A翔1B翔1

C翔?

D

由題意知,圓柱底面半徑等于球的半徑/?,圓柱的高加2尺

v

:I/球凈仃斤，I/圓柱=TT肝?2/?=211斤,.土專

Z柱3

又S球二4111,5圓柱=211尸+211/?2/?=611不，

$球2

二44故選口.

圓柱

6.（2023?廈門(mén)模擬）如圖,這是一塊長(zhǎng)、寬、高分別為6cm、4cm、3cm的長(zhǎng)方體木塊，如果一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)2

處，沿著長(zhǎng)方體的表面到達(dá)與2相對(duì)的頂點(diǎn)8處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)度為（）.

A.V97cm

B.V85cm

C.9cm

D.（3+2V13）cm

B

第一種情況:把看到的前面和上面組成一個(gè)長(zhǎng)方形,如圖①所示,

_______B

3

A4

圖①

則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為9和4,所以所走的最短路徑為，92+42M由(cm).

第二種情況:把看到的左面與上面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖②所示，

則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為7和6,所以所走的最短路徑為V72+62f旗(cm).

第三種情況:把看到的前面與右面組成一個(gè)長(zhǎng)方形,如圖③所示,

則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為10和3,

所以所走的最短路徑為、1。2+3271麗(cm).

故選B.

7.(2023?昆明模擬)2021年5月15日7時(shí)18分，我國(guó)首個(gè)自主研發(fā)的火星探測(cè)器“天問(wèn)一號(hào)”，攜帶著“祝融號(hào)”火星車(chē)及其著陸組合體,

成功降落在火星北半球的烏托邦平原南部，實(shí)現(xiàn)了中國(guó)航天史無(wú)前例的突破.已知地球自轉(zhuǎn)的線速度約為火星自轉(zhuǎn)線速度的兩倍，地

球自轉(zhuǎn)一周為24小時(shí),而火星自轉(zhuǎn)一周約為25小時(shí).地球與火星均視為球體，則火星的表面積約為地球表面積的().

A.27%B.37%

C.47%D.57%

A

令地球、火星半徑分別為凡則誓=2嚶，故則寫(xiě)=27%,

N4NSA41rA

所以火星的表面積約為地球表面積的27%.故選A.

8.一個(gè)正方體挖去一個(gè)多面體后，剩余幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖、側(cè)視圖和俯視圖均為邊長(zhǎng)等于2的正方形，則挖去的

多面體的體積為().

A.8B.2C.4D.1

D

解析

將三視圖還原可得右圖,挖去的多面體為正四棱錐,

..其體積14=1x2*2-*2

9.如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5

cm,則此六角螺帽毛坯的體積是cm3.

1275T

螺帽的底面正六邊形的面積5與甘或2咫m60°=6百(cm2),正六棱柱的體積口與遮或』2魂(cm3),圓柱的體積

%=nQ52或苫(cm3),所以此六角螺帽毛坯的體積%無(wú)以二(I27ljcm3.

10.(2023?廣州模擬)已知一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為5,且它的內(nèi)切球的表面積為16TT,則該圓臺(tái)的體積為.

28TT

圓臺(tái)內(nèi)切球的軸截面如圖所示，由題意易知四邊形28CZ7為等腰梯形，且入。=5,

取48。。的中點(diǎn)連接OQ,則易知球心。為。。的中點(diǎn)，

因?yàn)閳A臺(tái)的內(nèi)切球的表面積為16n,所以圓臺(tái)的內(nèi)切球的半徑為2,即OIO2=4,

過(guò)點(diǎn)。作OELAD,交AD于E,

設(shè)。力用;則由圓的切線性質(zhì)可知AE=Aa=R,DE=DOi=r>

所以R+r=AE+ED=ADW其息。作CF1A8，交48于E

則CF46AFB;R"、CB=AD=R+f

由C尸#力=婚得42彳/?-/)2YN“2,解得R0,

由露之解畔:。

所以圓臺(tái)的體積V=^nh(F^+R-r+r^)*4*(42*4*12)=28n.

回能力提升

11.已知三棱錐尸48。的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上,Q4二尸8二戶C△48C是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E尸分別是以,28的中

點(diǎn)/CE?戶=90。,則球。的體積為().

A.8V6nB.4V6nC.2V6TTD.V1^TT

D

P

￡

「PA=PB=PC,△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，.戶-28C為正三棱錐，.戶

又：E尸分別為24dH的中點(diǎn)，

..EF^PB,.\EFrAC.

X:EF±CE,CEhAC=Ct.PAC,

??戶以平面PAC,

./APB幫°:PA=PB=PCE、

■:尸48。為正方體一部分,.:2/?力2+2+2M后，即用WTT岑W^TT,故選D.

Li5o

12.如圖1,這是唐朝著名的鳳鳥(niǎo)花卉紋浮雕銀杯，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（如圖2）,當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁的表

面積（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，表面積為S平方厘米,半球的半徑為/?厘米）固定時(shí)，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則/?的取

值可能為（）.

圖1

A.扁B.JC.篇D冊(cè)

C

設(shè)圓柱的高為力,酒杯的容積為憶則S3R+2vRh,所以fRh0nR,

所以看口沖+口不力爭(zhēng)加（如用）;?=次用號(hào)寫(xiě)TT1，解得他底，又小0,所以乃X）,解得月出?所以扁.唔.

故選C.

13.在三棱錐尸Y8C中,尸如底面ABGBCiPCFA=AC4,BC=a、動(dòng)氤O從點(diǎn)8出發(fā)，沿外表面經(jīng)過(guò)棱QC上一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)2的最短

距離為VI，則該棱錐的外接球的表面積為（）.

A.5ITB.8TTC.10nD.20TT

B

將側(cè)面PBC沿PC翻折到與側(cè)面外。共面的位置，如圖所示.

則動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，沿外表面經(jīng)過(guò)棱尸C上一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)力的最短距離為AB,

:公底面/8C23平面ABC,..PAiAC,

又BC±PC,PA=ACt

.:〃有

.-PB^PC2+BC2=^PA2+AC2+BC2=272.

—

取尸8的中點(diǎn)。連接40,CO,如圖所示，

.?P4AB、P6BC,.A0=C0WPB,.^、。為該棱錐的外接球的球心，其半徑吟PB/、

，,球。的表面積S=4n不=8n.故選B.

14.（2023?長(zhǎng)春模擬）半徑為/?的球面上有48,C。四點(diǎn),且直線力民/G47兩兩垂直，若△48￡“1。2乂。8的面積之和為72,則此

球體積的最小值為.

288TT

設(shè)AB=x,AC=y,AD=z,

因?yàn)橹本€28,4。,/。兩兩垂直,的面積之和為72,所以號(hào)以＞%=!44,

以為鄰邊可構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體為此球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，

所以4盡次曠必.

因?yàn)锳2+yi^.2xy,xi+^2xzy+zL^2yz,

所以xy+xz+yz^）^+/+落

所以4乃N144,解得成6,當(dāng)且僅當(dāng)F/N時(shí)，等號(hào)成立，

所以此球體積的最小值為*63=288”.

葉思維拓展

15.在一個(gè)棱長(zhǎng)為3+2四的正方體內(nèi)有一個(gè)大球和小球，大球與正方體的六個(gè)面都相切,小球可以在正方體和大球之間的空隙自由滑

動(dòng)，則小球表面積的最大值是.

組合體的中截面如圖所示，易知，當(dāng)小球的表面積最大時(shí)，大球半徑/?和小球半徑r滿足&/?=/?*"V？z;2/?=3+2注,解得

耳，故小球表面積的最大值為n.

16.

如圖，四棱臺(tái)4