2024年中考數(shù)學總復習培優(yōu) 一線三等角模型（學生版）

【壓軸必刷專題】

一線三等角模型專練

1.在正方形ABCD中，點E在射線CB上（不與點B,C重合），連接DE,過點E1作并截

^LEF=DE（點￡）,F在3C同側），連接3戶.

（1）如圖1,點E在BC邊上.

①依題意補全圖1;

②用等式表示線段8。，BE,8尸之間的數(shù)量關系，并證明；

（2）如圖2,點石在CB邊的延長線上，其他條件均不變，直接寫出線段3。，BE,3尸之間的數(shù)量關系.

圖1圖2

2.如圖，在△ACB中，AB=AC,點E在邊8C上移動（點E不與點8,C重合），滿足且

點。，廠分別在邊AB,AC上.

(1)求證：ABDEs^CEF；

DE

⑵當點E移動到2C的中點時，且33,CF=2,則而的值為

3.（1）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形.如圖1,已知：在.ABC中,

1

NB4c=90。，AB=AC,直線/經過點A,直線/,CEL直線/,垂足分別為點D,E.求證：DE=BD+CE.

(2)組員小明想，如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖2,將(1)中的條件改為：在ABC

中，AB=AC,D,A,E三點都在直線/上，WZBDA=ZAEC=ABAC=a,其中a為任意銳角或鈍

角.請問結論上=9+CE是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.

(3)數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3,過ABC的邊

AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC邊上的高.延長HA交EG于點/.若=7,則S=

4.(1)模型探究：如圖1,D、E、尸分別為△ABC三邊BC、AB、AC上的點，且/B=NC=/EDF=a.△

8DE與△(?5￡)相似嗎？請說明理由；

(2)模型應用：△ABC為等邊三角形，其邊長為8,E為AB邊上一點,尸為射線AC上一點，將△AEP

沿所翻折，使A點落在射線CB上的點。處，且80=2.

①如圖2,當點。在線段BC上時，求而的值；

②如圖3,當點。落在線段的延長線上時，求△2DE與△CFZ)的周長之比.

5.如圖，已知等邊△A8C的邊長為6,點。是邊8C上的一個動點，折疊△ABC,使得點4恰好與邊8c上

的點。重合，折痕為￡尸(點E、尸分別在邊48、AC上).

(/)當AE：AP=5：4時，求20的長；

2

(2)當￡D_LBC時，求匹的值；

(3)當以3、E、。為頂點的三角形與△。跖相似時，求8E的長.

6.在△ABC中，NABC=90°.

(1)如圖1,分別過A、C兩點作經過點2的直線的垂線，垂足分別為M、N,求證：AABMsLBCN；

(2)如圖2,P是邊BC上一點,/BAP=/C,tan/B4C=等，求tanC的值；

oa。2

⑶如圖3,。是邊CA延長線上一點，AE=AB,ZDEB^90°,sinZBAC=j,—=直接寫出tan

ACEB的值.

圖1圖2圖3

7.如圖1,A3=12,ACLAB,BDLAB,AC=3D=8.點P在線段AB上以每秒2個單位的速度由點A向點

B運動,同時，點。在線段8。上由B點向點。運動.它們的運動時間為t(s).

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(1)若點。的運動速度與點尸的運動速度相等，當f=2時，與△BPQ是否全等，請說明理由，

并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系；

(2)如圖2,將圖1中的“ACJ_A8,BD±ABV改為“/CAB=NDBA=60°”,其他條件不變.設點Q

的運動速度為每秒x個單位，是否存在實數(shù)x,使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x,f的

值；若不存在，請說明理由.

8.如圖，TXABC和△。所是兩個全等的三角形，NBAC=/EDF=120°,AB=AC=舊.現(xiàn)將△42。和4

。跖按如圖所示的方式疊放在一起，△ABC保持不動，ADEF運動,且滿足：點E在邊8c上運動(不

與點8,C重合)，且邊始終經過點A,跖與AC交于點

(1)求證：NBAE=/MEC；

(2)當E在8C中點時，請求出ME：MF的值；

(3)在△。跖的運動過程中，能否構成等腰三角形？若能，請直接寫出所有符合條件的BE的

長；若不能，則請說明理由.

9.已知：8是經過NBG4的頂點C的一條直線，G4=CB.E、尸是直線8上兩點，ZBEC=ZCFA=Za.

(1)若直線8經過NBC4的內部，ZBCD>ZACD.

①如圖1,NBCA=90°,乙a=90°,直接寫出BE,EF,AF間的等量關系：.

②如圖2,Ne與NBC4具有怎樣的數(shù)量關系，能使①中的結論仍然成立？寫出Na與NBC4的數(shù)量關系,

4

并對結論進行證明;

(2)如圖3,若直線8經過NBC4的外部，Aa=ZBCA,①中的結論是否成立？若成立，進行證明；若

不成立，寫出新結論并進行證明.

10在「.ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經過點C,且于。點，BE1MN于E點、.

(1)當直線繞點C旋轉到圖①的位置時，求證：DE=AD+BE；

(2)當直線MN繞點C旋轉到圖②、圖③的位置時，試問。E、AD.8E具有怎樣的等量關系？請直接寫

出這個等量關系.

11.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=2,RtAABC繞點C按順時針方向旋轉得到RtZkA'

B'C,A'C與AB交于點D

(1)如圖1,當A'B'〃AC時，過點2作BELA'C,垂足為E,連接AE.

①求證：AD=BD；

②求容

的值;

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⑵如圖2,當A，CUB時，過點。作所“宜,交皮C于點M交AC的延長線于點相求赤

的值.

B

ACM

AC

圖1圖2

12.將等邊三角形紙片ABC折疊使點A落在對邊8。上的點。處，折痕交A8于點E,交AC于點？

(1)如圖1,當時，求證：AE=AF；

BD1堞的值；

⑵如圖2,當而