吉林省撫松五中、長白縣實驗中學、長白山二中、長白山實驗中學2023-2024學年高一數(shù)學第二學期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

吉林省撫松五中、長白縣實驗中學、長白山二中、長白山實驗中學2023-2024學年高一數(shù)學第二學期期末質(zhì)量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在等腰梯形ABCD中，，點E是線段BC的中點，若，則A． B． C． D．2．等差數(shù)列中，，則().A．110 B．120 C．130 D．1403．直線與、為端點的線段有公共點，則k的取值范圍是（）A． B．C． D．4．已知且，則為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，下列結(jié)論錯誤的是()A．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) B．在上恰有一個零點C．是周期函數(shù) D．在上是增函數(shù)6．橢圓中以點M(1，2)為中點的弦所在直線斜率為（）A． B． C． D．7．已知，，則的最大值為（）A．9 B．3 C．1 D．278．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．9．已知為等差數(shù)列的前項和，，，則（）A．2019 B．1010 C．2018 D．101110．如圖，直角的斜邊長為2，，且點分別在軸，軸正半軸上滑動，點在線段的右上方．設(shè)，（），記，，分別考察的所有運算結(jié)果，則（）A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．從分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片中，任取兩張，這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1的概率為________．12．函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是．13．已知，且，則的取值范圍是____________.14．等比數(shù)列中首項，公比，則______.15．在中，角的對邊分別為，且面積為，則面積的最大值為_____．16．在中，，則_____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在中，，四邊形是邊長為的正方形，平面平面，若，分別是的中點.（1）求證：平面;（2）求證：平面平面;（3）求幾何體的體積.18．已知點，，均在圓上.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓相交于,兩點，求的長；（3）設(shè)過點的直線與圓相交于、兩點，試問：是否存在直線，使得恰好平分的外接圓？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.19．如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=1．E為PD的中點，點F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．20．在平面直角坐標系中，已知圓和圓.（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標．21．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，其中，.（1）求，的值.（2）若，，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

利用平面向量的幾何運算，將用和表示，根據(jù)平面向量基本定理得，的值，即可求解．【詳解】取AB的中點F，連CF，則四邊形AFCD是平行四邊形，所以，且因為，，，∴故選B．【點睛】本題主要考查了平面向量的基本定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)平面向量的基本定理，將用和進行表示，求得的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

直接運用等差數(shù)列的下標關(guān)系即可求出的值.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，因此，故本題選B.【點睛】本題考查了等差數(shù)列下標性質(zhì)，考查了數(shù)學運算能力.3、D【解析】

由直線方程可得直線恒過點，利用兩點連線斜率公式可求得臨界值和，從而求得結(jié)果.【詳解】直線恒過點則，本題正確選項：【點睛】本題考查利用直線與線段有交點確定直線斜率取值范圍的問題，關(guān)鍵是能夠確定直線恒過的定點，從而找到直線與線段有交點的臨界狀態(tài).4、B【解析】由題意得，因為，即，所以，又，又，且，所以，故選B．5、B【解析】

將函數(shù)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，化成，再對選項進行一一驗證，即可得答案.【詳解】∵，對A，∵，∴既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A命題正確；對B，令，解關(guān)于的一元二次方程得：，∵，∴方程存在兩個根，∴在上有兩個零點，故B錯誤；對C，顯然是函數(shù)的一個周期，故C正確；對D，令，則，∵在單調(diào)遞減，且，又∵在單調(diào)遞減，∴在上是增函數(shù)，故D正確；故選：B【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、零點，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意復(fù)合函數(shù)周增異減原則.6、A【解析】

先設(shè)出弦的兩端點的坐標，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率．【詳解】設(shè)弦的兩端點為，，代入橢圓得，兩式相減得，即，即，即，即，∴弦所在的直線的斜率為，故選A.【點睛】本題主要考查了橢圓的性質(zhì)以及直線與橢圓的關(guān)系．在解決弦長的中點問題，涉及到“中點與斜率”時常用“點差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化，達到解決問題的目的，屬于中檔題.7、B【解析】

由已知，可利用柯西不等式，構(gòu)造柯西不等式，即可求解．【詳解】由已知，可知，，利用柯西不等式，可構(gòu)造得，即，所以的最大值為3，故選B．【點睛】本題主要考查了柯西不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記柯西不等式，合理構(gòu)造柯西不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．8、D【解析】

由共線向量的坐標表示可得出關(guān)于實數(shù)的方程，解出即可.【詳解】向量，，且，，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用共線向量的坐標表示求參數(shù)的值，解題時要熟悉共線向量坐標之間的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為和的形式，列方程組，解方程組求得，進而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等差數(shù)列，故，解得，故.故選：A.【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前項和公式的基本量計算，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

設(shè)，用表示出，根據(jù)的取值范圍，利用三角函數(shù)恒等變換化簡，進而求得最值的情況.【詳解】依題意，所以.設(shè)，則，所以，，所以，當時，取得最大值為.，所以，所以，當時，有最小值為.故選B.【點睛】本小題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，考查三角函數(shù)化簡求值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于難題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

基本事件總數(shù)n，利用列舉法求出這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1包含的基本事件有4種情況，由此能求出這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1的概率．【詳解】從分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片中，任取兩張，基本事件總數(shù)n，這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1包含的基本事件有：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），共4種情況，∴這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1的概率為p．故答案為．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．12、【解析】

先求出函數(shù)的定義域，找出內(nèi)外函數(shù)，根據(jù)同增異減即可求出.【詳解】由，解得或，所以函數(shù)的定義域為.令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又為增函數(shù)，則根據(jù)同增異減得，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為.【點睛】復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律是“同則增，異則減”，即與若具有相同的單調(diào)性，則為增函數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則必為減函數(shù)．13、【解析】

利用正弦函數(shù)的定義域求得值域，即的范圍，再根據(jù)反余弦函數(shù)的定義可求得的取值范圍.【詳解】因為且，所以，則根據(jù)反余弦函數(shù)的定義可得，則的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查了正弦函數(shù)的定義域和值域，考查了反余弦函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.14、9【解析】

根據(jù)等比數(shù)列求和公式，將進行轉(zhuǎn)化，然后得到關(guān)于和的等式，結(jié)合，討論出和的值，得到答案.【詳解】因為等比數(shù)列中首項，公比，所以成首項為，公比為的等比數(shù)列，共項，所以整理得因為所以可得，等式右邊為整數(shù)，故等式左邊也需要為整數(shù)，則應(yīng)是的約數(shù)，所以可得，所以，當時，得，此時當時，得，此時當時，得，此時，所以，故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列求和的基本量運算，涉及分類討論的思想，屬于中檔題.15、【解析】

利用三角形面積構(gòu)造方程可求得，可知，從而得到；根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式可求得，代入三角形面積公式可求得最大值.【詳解】，由余弦定理得：（當且僅當時取等號）本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查解三角形問題中的三角形面積的最值問題的求解；求解最值問題的關(guān)鍵是能夠通過余弦定理構(gòu)造等量關(guān)系，進而利用基本不等式求得邊長之積的最值，屬于常考題型.16、【解析】

先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值．【詳解】由，結(jié)合正弦定理可得，故設(shè)，，()，由余弦定理可得，故.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的運用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析(2)詳見解析（2）【解析】

試題分析：（1）如圖，連接EA交BD于F，利用正方形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理即可證明．（2）利用已知可得：FG⊥平面EBC，可得∠FBG就是線BD與平面EBC所成的角．經(jīng)過計算即可得出．（3）利用體積公式即可得出．試題解析：（1）如圖，連接，易知為的中點.因為，分別是和的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）證明：因為四邊形為正方形，所以.又因為平面平面，所以平面.所以.又因為，所以.所以平面.從而平面平面.（3）取AB中點N,連接，因為，所以，且.又平面平面，所以平面.因為是四棱錐，所以.即幾何體的體積.點睛：本題考查了正方形的性質(zhì)、線面，面面平行垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計算公式、線面角的求法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）；（3）存在，和.【解析】

（1）根據(jù)圓心在，的中垂線上，設(shè)圓心的坐標為，根據(jù)求出的值，從而可得結(jié)果；（2）利用點到直線的距離公式以及勾股定理可得結(jié)果；（3）首先驗證直線的斜率不存在時符合題意，然后斜率存在時，設(shè)出直線方程，與圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理，根據(jù)列方程求解即可.【詳解】解：（1）由題意可得：圓心在直線上，設(shè)圓心的坐標為，則，解得，即圓心，所以半徑，所以圓的方程為；（2）圓心到直線的距離為：，；（3）設(shè)，由題意可得：，且的斜率均存在，即，當直線的斜率不存在時，，則，滿足，故直線滿足題意，當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由，消去得，則，由得,即，即，解得：，所以直線的方程為，綜上所述，存在滿足條件的直線和.【點睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，注意對于直線要研究其斜率是否存在，另外利用韋達定理可以達到設(shè)而不求的目的，本題是中檔題.19、(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)見解析.【解析】

(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(Ⅱ)建立空間直角坐標系，結(jié)合兩個半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)首先求得點G的坐標，然后結(jié)合平面的法向量和直線AG的方向向量可判斷直線是否在平面內(nèi).【詳解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD，由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)以點A為坐標原點，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向為y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易知：，由可得點F的坐標為，由可得，設(shè)平面AEF的法向量為：，則，據(jù)此可得平面AEF的一個法向量為：，很明顯平面AEP的一個法向量為，，二面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角F-AE-P的余弦值為.(Ⅲ)易知，由可得，則，注意到平面AEF的一個法向量為：，其且點A在平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AEF內(nèi).20、(1)或，(2)點P坐標為或．【解析】(1)設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.由垂徑定理，得圓心C1到直線l的距離d＝＝1，結(jié)合點到直線距離公式，得＝1，化簡得24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－.所求直線l的方程為y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)設(shè)點P坐標為(m，n)，直線l1、l2的方程分別為y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，即kx－y＋n－km＝0，－x－y＋n＋m＝0.因為直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，兩圓半徑相等．由垂徑定理，得圓心C1到直線l1與圓心C2到直線l2的距離相等．故有，化簡得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.因為關(guān)于k的方程有無窮多解，所以有解得點P坐標為或.21、(1)；（2）.【解析】試題分析：（1）先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)得y2＝co