2024屆重慶市南開中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆重慶市南開中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．邊長為2的正方形內(nèi)有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域.向正方形中隨機(jī)地撒200粒芝麻，大約有80粒落在陰影區(qū)域內(nèi)，則此陰影區(qū)域的面積約為（）A． B． C． D．2．若，且，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．3．不等式>0的解集是（）A．（－，0）（1，+） B．（－，0）C．（1，+） D．（0，1）4．已知圓柱的側(cè)面展開圖是一個邊長為的正方形，則這個圓柱的體積是（）A． B． C． D．5．設(shè)，，若是與的等比中項，則的最小值為（）A． B． C．3 D．6．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，且，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．最大角為銳角的等腰三角形 D．最大角為鈍角的等腰三角形7．如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)和方差分別為()A． B． C． D．8．已知直線與圓C相切于點，且圓C的圓心在y軸上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．9．在等差數(shù)列中，已知，數(shù)列的前5項的和為，則（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列滿足，，且，則A．4 B．5 C．6 D．8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則的取值范圍是_______；12．正項等比數(shù)列中，存在兩項使得，且，則的最小值為______.13．函數(shù)的值域為__________．14．已知函數(shù)f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100＝_______15．若直線上存在點可作圓的兩條切線，切點為，且，則實數(shù)的取值范圍為．16．已知函數(shù)那么的值為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．定義在R上的函數(shù)f（x）＝|x2﹣ax|（a∈R），設(shè)g（x）＝f（x+l）﹣f（x）.（1）若y＝g（x）為奇函數(shù)，求a的值：（2）設(shè)h（x），x∈（0，+∞）①若a≤0，證明：h（x）＞2：②若h（x）的最小值為﹣1，求a的取值范圍.18．已知函數(shù)，其圖象的一個對稱中心是，將的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對任意，當(dāng)時，都有，求實數(shù)的最大值；（3）若對任意實數(shù)在上與直線的交點個數(shù)不少于6個且不多于10個，求實數(shù)的取值范圍.19．近期，某公交公司分別推出支付寶和徽信掃碼支付乘車活動，活動設(shè)置了一段時間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付．某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次(單位：十人次)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表l所示：表1根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如右圖所示的散點圖．(1)根據(jù)散點圖判斷，在推廣期內(nèi)，y=a+bx與(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測活動推出第8天使用掃碼支付的人次；參考數(shù)據(jù)：其中υ參考公式：對于一組數(shù)據(jù)u1,υ1,20．已知為銳角三角形，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．（1）求C；（2）若，且的面積為，求的周長．21．已知，是函數(shù)的兩個相鄰的零點.（1）求；（2）若對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍．（3）若關(guān)于的方程在上有兩個不同的解，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

依題意得，豆子落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率等于陰影部分面積與正方形面積之比，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)陰影區(qū)域的面積為，由題意可得，則.故選：B.【點睛】本題考查隨機(jī)模擬實驗，根據(jù)幾何概型的意義進(jìn)行模擬實驗計算陰影部分面積，關(guān)鍵在于掌握幾何概型的計算公式.2、A【解析】

將代數(shù)式與相乘，展開式利用基本不等式求出的最小值，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式，解出即可.【詳解】由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時，等號成立，所以，的最小值為.由題意可得，即，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是，故選A.【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查不等式恒成立問題以及一元二次不等式的解法，對于不等式恒成立問題，常轉(zhuǎn)化為最值來處理，考查計算能力，屬于中等題．3、A【解析】

由題意可得，，求解即可.【詳解】，解得或，故解集為（－，0）（1，+），故選A.【點睛】本題考查了分式不等式的解法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

由已知易得圓柱的高為，底面圓周長為，求出半徑進(jìn)而求得底面圓半徑即可求出圓柱體積?！驹斀狻康酌鎴A周長，，所以故選：A【點睛】此題考查圓柱的側(cè)面展開為長方形，長為底面圓周長，寬為圓柱高，屬于簡單題目。5、C【解析】

先由題意求出，再結(jié)合基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為是與的等比中項，所以，故，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號；故選C【點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，熟記基本不等式即可，屬于?？碱}型.6、D【解析】

先由余弦定理，結(jié)合題中條件，求出，再由，求出，進(jìn)而可得出三角形的形狀.【詳解】因為，所以，，所以.又，所以，則的形狀為最大角為鈍角的等腰三角形.故選D【點睛】本題主要考查三角形的形狀的判定，熟記余弦定理即可，屬于?？碱}型.7、D【解析】

根據(jù)平均數(shù)和方差的公式，可推導(dǎo)出，，，的平均數(shù)和方差．【詳解】因為，所以，所以的平均數(shù)為；因為，所以，故選：D.【點睛】本題考查平均數(shù)與方差的公式計算，考查對概念的理解與應(yīng)用，考查基本運算求解能力.8、C【解析】

先代入點可得，再根據(jù)斜率關(guān)系列式可得圓心坐標(biāo)，然后求出半徑，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】將切點代入切線方程可得：，解得，設(shè)圓心為，所以，解得，所以圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．9、C【解析】

由，可求出，結(jié)合，可求出及.【詳解】設(shè)數(shù)列的前項和為，公差為，因為，所以，則，故.故選C.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的前項和，考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

利用，，依次求，觀察歸納出通項公式，從而求出的值.【詳解】∵數(shù)列滿足，，，∴，∴，∴，，∴，∴，……，∵，，，，…….，由此歸納猜想，∴．故選B．【點睛】本題考查了一個教復(fù)雜的遞推關(guān)系，本題的難點在于數(shù)列的項位于指數(shù)位置，不易化簡和轉(zhuǎn)化，一般的求通項方法無法解決，當(dāng)遇見這種情況時一般我們就可以用“歸納”的方法處理，即通過求幾項，然后觀察規(guī)律進(jìn)而得到結(jié)論．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

本題首先可以根據(jù)向量的運算得出，然后等式兩邊同時平方并化簡，得出，最后根據(jù)即可得出的取值范圍．【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，因為，所以，即，因為，所以，即，所以的取值范圍是．【點睛】本題考查向量的運算以及向量的數(shù)量積的相關(guān)性質(zhì)，向量的數(shù)量積公式，考查計算能力，是簡單題．12、【解析】

先由已知求出公比，然后由求出滿足的關(guān)系，最后求出的所有可能值得最小值．【詳解】設(shè)數(shù)列公比為，由得，∴，解得（舍去），由得，，∵，所以只能取，依次代入，分別為2，，2，，，最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查求最小值問題．解題關(guān)鍵是由等比數(shù)列性質(zhì)求出滿足的關(guān)系．接著求最小值，容易想到用基本不等式求解，但本題實質(zhì)上由于，因此對應(yīng)的只有5個，可以直接代入求值，然后比較大小即可．13、【解析】

本題首先可通過三角恒等變換將函數(shù)化簡為，然后根據(jù)的取值范圍即可得出函數(shù)的值域．【詳解】因為，所以.【點睛】本題考查通過三角恒等變換以及三角函數(shù)性質(zhì)求值域，考查二倍角公式以及兩角和的正弦公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．14、－1【解析】

分n為偶數(shù)和奇數(shù)求得數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項均為等差數(shù)列，然后利用分組求和得答案．【詳解】若n為偶數(shù)，則an＝f（n）+f（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣（2n+1），偶數(shù)項為首項為a2＝﹣5，公差為﹣4的等差數(shù)列；若n為奇數(shù)，則an＝f（n）+f（n+1）＝﹣n2+（n+1）2＝2n+1，奇數(shù)項為首項為a1＝3，公差為4的等差數(shù)列．∴a1+a2+a3+…+a1＝（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a1）1．故答案為：1．【點睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列前n項和的求法，是中檔題．15、【解析】試題分析：若，則，直線上存在點可作和的兩條切線等價于直線與圓有公共點，由圓心到直線的距離公式可得,解之可得.考點：點到直線的距離公式及直線與圓的位置關(guān)系的運用.【方法點晴】本題主要考查了點到直線的距離公式及直線與圓的位置關(guān)系的運用，涉及到圓心到直線的距離公式和不等式的求解，屬于中檔試題，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及學(xué)生的推理與運算能力，本題的解答中直線上存在點可作和的兩條切線等價于直線與圓有公共點是解答的關(guān)鍵．16、【解析】試題分析：因為函數(shù)所以==．考點：本題主要考查分段函數(shù)的概念，計算三角函數(shù)值．點評：基礎(chǔ)題，理解分段函數(shù)的概念，代入計算．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a＝1（2）①證明見解析②（1，+∞）【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，令，即可求出的值；（2）①先去絕對值，再把分離常數(shù)即可證明；②根據(jù)的最小值為，分和兩種情況討論即可得出的取值范圍.【詳解】（1）∵g（x）＝|（x+1）2﹣a（x+1）|﹣|x2﹣ax|，一方面，由g（0）＝0，得|1﹣a|＝0，a＝1，另一方面，當(dāng)a＝1時，g（x）＝|（x+1）2﹣a（x+1）|﹣|x2﹣x|＝|x2+x|﹣|x2﹣x|，所以，g（﹣x）＝|x2﹣x|﹣|x2+x|＝﹣g（x），即g（x）是奇函數(shù).綜上可知a＝1.（2）（i）∵a≤0，x＞0，x+1＞0，所以h（x）2，∵1﹣a＞0，x＞0，∴h（x）＞2.（ii）由（i）知，a＞0，情形1：a∈（0，1]，此時當(dāng)x∈（a，+∞）時，有2，當(dāng)x∈（0，a]時，有h（x），由上可知此時h（x）＞0不合題意.情形2：a∈（1，+∞）時，當(dāng)x∈（0，a﹣1）時，有h（x），當(dāng)x∈[a﹣1，a）時，有h（x）當(dāng)x∈[a，+∞）時，有h（x），從而可知此時h（x）的最小值是﹣1，綜上所述，所求a的取值范圍為（1，+∞）.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的定義求參數(shù)的值，考查去絕對值方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.18、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性，可得函數(shù)的解析式，再由函數(shù)圖象的平移變換法則，可得函數(shù)的解析式；（2）將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到函數(shù)在[0，t]上為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（3）求出的解析式，結(jié)合交點個數(shù)轉(zhuǎn)化為周期關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）因為函數(shù)，其圖象的一個對稱中心是，所以有，的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.所以；（2）由，構(gòu)造新函數(shù)為，由題意可知：任意，當(dāng)時，都有，說明函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，而的單調(diào)遞增區(qū)間為：，而，所以單調(diào)遞增區(qū)間為：，因此實數(shù)的最大值為：；（3），其最小正周期，而區(qū)間的長度為，直線的交點個數(shù)不少于6個且不多于10個,則，且，解得：.【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性和圖象變換，考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性，考查了已知兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)求參數(shù)問題，考查了數(shù)學(xué)運算能力.19、（1）y=c?dx【解析】

(1)根據(jù)散點圖判斷，y=c?dx適宜；（2）y=c?dx，兩邊同時取常用對數(shù)得：【詳解】（1）根據(jù)散點圖判斷，y=c?dx適宜作為掃碼支付的人數(shù)y關(guān)于活動推出天數(shù)（2）∵y=c?dx，兩邊同時取常用對數(shù)得：1gy=1g(c?d設(shè)1gy=v,∴v=1gc+1gd?x∵x=4,v∴l(xiāng)gd=把樣本中心點(4,1.54)代入v=1gc+1gd?x,得:∴v=0.54+0.25x，∴y關(guān)于x的回歸方程式：y=把x=8代入上式，y=3.47×活動推出第8天使用掃碼支付的人次為3470；【點睛】本題考查回歸分析，考查線性回歸直線過樣本中心點，在一組具有相關(guān)關(guān)系的變量的數(shù)據(jù)間，這樣的直線可以畫出許多條，而其中的一條能最好地反映x與Y之間的關(guān)系，這條直線過樣本中心點．線性回歸方程適用于具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，對于具有確定關(guān)系的兩個變量是不適用的,線性回歸方程得到的預(yù)測值是預(yù)測變量的估計值，不是準(zhǔn)確值.20、（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)正弦定理可求，利用特殊角三角函數(shù)可求C；（2）由和的面積公式，可求，再根據(jù)余弦定理求得解出a，b即可求的周長．【詳解】（1）因為，所以由正弦定理得，又所以，又為銳角三角形，所以．（2）因為，所以由面積公式得，．又因為，所以由余弦定理得，，所以，或，，故的周長為．【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.21、(1)；(2)；(3)【解析】

（1）先化簡，再根據(jù)函數(shù)的周期求出的值，從而得到的解析式；（2）將