江蘇省南京市建鄴區(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版）

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試卷

九年級數(shù)學(xué)

注意事項：

1.本試卷共6頁.全卷滿分120分.考試時間為120分鐘.考生答題全部答在答題卡上，答

在本試卷上無效.

2.請認真核對監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號是否與本人相符合，再將

自己的姓名、考試證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上.

3.答選擇題必須用25鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標號涂黑.如需改動，請用橡皮擦干凈后，

再選涂其他答案.答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其

他位置答題一律無效.

4.作圖必須用25鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚.

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個選項中，恰有

一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

1.已知。。的半徑為5,若點尸在。。內(nèi)，則。尸的長可以是（）

A.4B.5C.6D.7

2.若關(guān)于x的一元二次方程/—2%+。=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的值為（）

A.-1B.1C.-4D.4

3.學(xué)校食堂有15元，18元，20元三種盒飯供學(xué)生選擇（每人購一份）.某天盒飯銷售情況如圖所示，則當(dāng)

天學(xué)生購買盒飯費用的平均數(shù)是（）

學(xué)校食堂某天盒飯

銷售情況統(tǒng)計圖

C.17元D.18元

4.下列說法中，正確是（）

A.兩個半圓是等弧B.三個點確定一個圓

C.相等弦所對的弧相等D.圓的內(nèi)接平行四邊形是矩形

5.如圖，.。的弦AB,0C的延長線相交于點E,NAOD=142。，為64。，則NAED的度數(shù)為（）

A.38°B.39°C.40°D.41°

6.若關(guān)于x的方程依?+及+c=0（aw0）的兩根之和是祖，兩根之積是“，則關(guān)于r的方程

a（7+l）2+Z?Q+l）+c=0的兩根之積是（）

A.n+m—1B.n+m+1C.zz-m+1D.n—m-1

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置）

7.方程%2—2%=0的解是.

8.據(jù)調(diào)查，某班40位同學(xué)所穿鞋子的尺碼如表所示，則鞋子尺碼的中位數(shù)是碼.

尺碼/碼3536373839404142

人數(shù)34687543

9.在：。中，弦A5的長恰好等于半徑，弦AB所對的圓心角為°.

10.甲、乙兩人分別進行5次射擊練習(xí)，成績?nèi)缦拢▎挝唬涵h(huán)）：甲：7,8,7,7,10；乙：8,7,8,10,

8.甲、乙的射擊成績的方差分別為s3s3則耳式（填““〈”或

11.建鄴區(qū)2020年GDP為1122億元，2022年GDP為1251億元，設(shè)這兩年GDP年平均增長率為x,根

據(jù)題意可列方程為.

12.圓錐的底面半徑為6cm,母線長為10cm,則圓錐的側(cè)面積為cm2

13.如圖，AB=AC=AD.若NADB=a,則/BC￡）=.

14.如圖，在正六邊形ABCDEF中，點尸是A尸上任意一點，連接尸C,PD,則_28與正六邊形

ABCDEF的面積之比為.

15.設(shè)巧是一元二次方程依2+公一（a+b）=O（a,b是常數(shù)）的兩個根.若王々＜0則%+%2的取

值范圍是.

16.如圖，在YABCD中，AB=12cm,AD-6cm,ND4B=60°,點尸為AB上一點，過點C,D,

尸作C。，當(dāng)點尸從點A運動到點2時，點。運動路線的長為cm.

三、解答題（本大題共U小題，共88分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說

明、證明過程或演算步驟）

17.解下列方程：

⑴/+2%+1=25

(2)(x-2)(x+3)=(%—2)(2x—1),.

18.“強國”自習(xí)室規(guī)定，每人每天學(xué)習(xí)需一次性支付10元場地費.隨機抽取自習(xí)室一周的學(xué)習(xí)人數(shù)如下

表（單位：人）:

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合計

5468766496220178756

（1）求該自習(xí)室本周日平均營業(yè)額.

（2）如果用該自習(xí)室本周星期一到星期五的日平均營業(yè)額估計當(dāng)月的營業(yè)總額，你認為是否合理？如果

合理，請說明理由；如果不合理，請設(shè)計一個方案，并估計該自習(xí)室當(dāng)月（按30天計算）的營業(yè)總額.

19.根據(jù)江心洲地質(zhì)水文條件量身打造的“新時代號”泥水平衡盾構(gòu)機，是目前世界上最先進的盾構(gòu)設(shè)備之

一，被譽為“國之重器”.如圖1,盾構(gòu)機核心部件一刀盤的形狀是一個圓形.如圖2,當(dāng)機器暫停時,

刀盤露在地上部分的跨度AB=12m,拱高（弧的中點到弦的距離CD）3m,求盾構(gòu)機刀盤的半徑.

20.如圖，已知四邊形ABCD是；。的內(nèi)接四邊形，延長。C,A3相交于點E,且NA5C=2NE,求證:

VADE是等腰三角形.

21.已知關(guān)于x的方程./+辰+左—2=0

(1)證明：不論上為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根;

(2)若左為整數(shù)，則當(dāng)左為何值時，方程的根是整數(shù).

22.如圖，48是(。的直徑，點C,。在圓上，BC=CD，過點C作CELAD交AD的延長線于點￡.

(1)求證：CE是(。的切線；

(2)若A￡)=10,AO=13,求CE的長.

23.2023年全國旅游市場持續(xù)回暖.經(jīng)調(diào)研，“十一”假期期間，如果某景區(qū)門票定價每張80元，那么

當(dāng)天入園人數(shù)預(yù)計將達到20000人；如果票價每增加1元，那么當(dāng)天入園人數(shù)就減少200人.要使每日門

票收入達到1620000元，票價應(yīng)定為多少元？

24.如圖，A3是C。的直徑，點C在。上，且AC=CE，AE,CB的延長線交于點G,CF_LAB交

于AG于點足垂足為D

B

(I)求證NCAB=NBCD;

(2)求證AF=FG.

25.如圖，在ABC中，AB=AC,O是一ABC的外接圓，過點。作AC的垂線，垂足為。，分別交

CB的延長線，AG于點E,F；",的延長線交于點G.

(2)若EB=CG,求/54C的度數(shù).

26.如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD交于點O,AC=16cm,3。=12cm,動點〃從點A出發(fā)沿AC

方向以2cm/s的速度運動到點C,動點N從點8出發(fā)沿8。方向以lcm/s的速度運動到點。.若點M,N同

時出發(fā)，其中一個點停止運動時，另一個點也停止運動.

(1)出發(fā)1秒鐘時，AMON的面積=cm2；

(2)出發(fā)幾秒鐘時，△MQV的面積為1cm2

27.如圖，已知“ABC和長度為機的線段.用圓規(guī)與無刻度直尺分別作出滿足下列條件的圓.(保留作圖痕

跡，寫出必要的文字說明)

(1)求作。A,使其與線段相交所形成的弦的長度為祖.

(2)求作：°,使其與，AB。各邊相交所形成的弦的長度均為日

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試卷

九年級數(shù)學(xué)

注意事項：

1.本試卷共6頁.全卷滿分120分.考試時間為120分鐘.考生答題全部答在答題卡上，答

在本試卷上無效.

2.請認真核對監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號是否與本人相符合，再將

自己的姓名、考試證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上.

3.答選擇題必須用25鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標號涂黑.如需改動，請用橡皮擦干凈后，

再選涂其他答案.答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其

他位置答題一律無效.

4.作圖必須用25鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚.

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個選項中，恰有

一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

1.已知。。的半徑為5,若點尸在。。內(nèi)，則。尸的長可以是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可得5,由此即可得出答案.

【詳解】解：。的半徑為5,點P在內(nèi)，

:.OP<5,

觀察四個選項可知，只有選項A符合，

故選：A.

【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點與圓的位置關(guān)系（圓內(nèi)、圓上、圓外）是解題關(guān)鍵.

2.若關(guān)于x的一元二次方程N—2》+。=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)。的值為（）

A.-1B.1C.-4D.4

【答案】B

【解析】

【分析】此題考查了一元二次方程的根的判別式，根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，得到根的判別

式A=Z?2-4ac=0,求出。的值即可.熟練掌握一元二次方程根的判別式的意義是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：:.關(guān)于x的一元二次方程/—2x+a=0有兩個相等的實數(shù)根,

A=(―2)——4-1-?=0,

即4—4a=0

解得：a—\

故選：B.

3.學(xué)校食堂有15元，18元，20元三種盒飯供學(xué)生選擇（每人購一份）.某天盒飯銷售情況如圖所示，則當(dāng)

天學(xué)生購買盒飯費用的平均數(shù)是（）

學(xué)校食堂某天盒飯

B.16元C.17元D.18元

【答案】c

【解析】

【分析】本題考查了平均數(shù)，根據(jù)平均數(shù)等于數(shù)據(jù)總數(shù)除以總?cè)藬?shù)進行列式作答即可.

【詳解】解：依題意，設(shè)當(dāng)天有無個學(xué)生購買盒飯,

則18x50%x+15x40%x+20x(1-50%-40%)x9x+6x+2x*

xX

所以當(dāng)天學(xué)生購買盒飯費用的平均數(shù)是17元

故選：C.

4.下列說法中，正確的是（）

A,兩個半圓是等弧B.三個點確定一個圓

C.相等的弦所對的弧相等D.圓的內(nèi)接平行四邊形是矩形

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了與圓有關(guān)的概念.熟記和圓有關(guān)的各種性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)三點共圓的有關(guān)知

識、弧弦之間的關(guān)系、圓周角定理的知識點逐個選項進行分析.

【詳解】解：A、兩個半圓半徑不一定相等，故不一定是等弧，故兩個半圓是等弧此說法不正確，不符合

題意;

B、三個點不一定確定一個圓，當(dāng)三個點共線時，作任兩點間線段的垂直平分線，發(fā)現(xiàn)作出的垂直平分線

都互相平行，無法確定一個圓，只有不在同一條直線上的三個點才能確定一個圓，故此說法不正確，不符

合題意；

C、相等的弦不在同圓或等圓中，所對的弧不一定相等，故此說法不正確，不符合題意；

D、圓內(nèi)接四邊形的對角互補，又平行四邊形對角相等，故對角均為直角，根據(jù)有一個角是直角的平行四

邊形是矩形，故圓的內(nèi)接平行四邊形是矩形此說法正確，符合題意.

故選：D.

5.如圖，.。的弦A3,DC的延長線相交于點E，NAOD=142。，為64。，則NAED的度數(shù)為（）

A.38°B.39°C.40°D.41°

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了圓周角定理，三角形的外角定理，解題的關(guān)鍵是掌握同弧所對的圓周角是圓心角的一

半，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和；連接05OC5D,根據(jù)圓周角定理得出

ZABD=-ZAOD=71°,ZBDC=-ZBOC=32°,最后根據(jù)三角形的外角定理即可解答.

22

【詳解】解：連接05,00,5。，

1/ZAOD=142°,

：.ZABD=-ZAOD=71°,

2

“C為64。，

：.ZBOC=64°,

：.ZBDC=-ZBOC=32°,

2

ZAED=ZABD-ZBDC^71°-32°=39°,

故選：B.

6.若關(guān)于X的方程㈤：2+云+。=0（。/0）的兩根之和是根，兩根之積是小則關(guān)于r的方程

a（7+l）2+Z??+l）+c=0的兩根之積是（）

A.n+m-1B.n+m+1C.n-m+1D.n-m-1

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若藥，々是一元二次方程q?+法+。=0（。*0）的兩根，貝|

be7

玉+X2=，X^X2——.利用換兀的思想是解決問題的關(guān)鍵.先把方程+6（，+1）+。=0看作

aa

關(guān)于t+l的一元二次方程，則利用關(guān)于X的方程依2+法+。=0（。0（））的兩根為孫々得到

%=石-1,t2^x2-l,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論.

【詳解】解：把方程a（/+iy+b（r+l）+c=O看作關(guān)于/+1的一元二次方程，

設(shè)關(guān)于尤的方程依2+反（；+。=0（。/0）的兩根為占，x2,

則方程a（/+l）+/?（/+1）+c=0的兩根為4=%—1，，2=々—1，

,關(guān)于尤的方程at2+bx+c=0（^aw。）的兩根之和是m,兩根之積是n,

xt+x2-m,xrx2=n,

.,.秘2=（內(nèi)—1）（%2—1）=%/―（/+/）+1=〃―機+1-

故選：C.

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置）

7.方程V—2》=0的解是.

【答案】玉=2,9=。

【解析】

【分析】利用因式分解法解答，即可求解.

【詳解】解：犬―2》=0,

(x-2)x=0,

x-2-0,x-0,

解得：=2,x2=0.

故答案為：占=2,%=。

8.據(jù)調(diào)查，某班40位同學(xué)所穿鞋子的尺碼如表所示，則鞋子尺碼的中位數(shù)是碼.

尺碼/碼3536373839404142

人數(shù)34687543

【答案】38

【解析】

【分析】本題考查了中位數(shù)，熟記中位數(shù)的定義“將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如

果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)

據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)”是解題關(guān)鍵.根據(jù)中位數(shù)的定義即可得.

【詳解】解：由中位數(shù)的定義得：第20個數(shù)和第21個數(shù)的平均數(shù)即為中位數(shù)，

QQ?QQ

則鞋子尺碼的中位數(shù)是------=38（碼），

2

故答案為：38.

9.在.。中，弦A3的長恰好等于半徑，弦A3所對的圓心角為

【答案】60

【解析】

【分析】本題考查了圓心角、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓心角是解題關(guān)鍵.根據(jù)等邊三角形的判

定與性質(zhì)可得NAOfi=60°,由此即可得.

【詳解】解：如圖，???在中，弦A3的長恰好等于半徑，

:.OA^OB^AB,

是等邊三角形，

:.ZAOB=60°,

即弦A5所對的圓心角為60°,

故答案為：60.

10.甲、乙兩人分別進行5次射擊練習(xí)，成績?nèi)缦?單位：環(huán))：甲：7,8,7,7,10；乙：8,7,8,10,

8.甲、乙的射擊成績的方差分別為尺,歐，則舄4(填或

【答案】＞

【解析】

【分析】本題考查了方程，根據(jù)方差的定義“各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)”，求出兩人的方程,

即可解答.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：

4=1[3X（7.8-7）2+（8-7.8）2+（10-7.8）2]=1.36,

4=1[3X（8.2-8）2+（8.2-7）2+（10-8.2）2]=0.96,

故答案為：＞.

11.建鄴區(qū)2020年G0P為1122億元，2022年G0P為1251億元，設(shè)這兩年GDP的年平均增長率為無，根

據(jù)題意可列方程為.

【答案】1122(1+4=1251

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程是實際應(yīng)用一增長率問題，解題的關(guān)鍵是掌握：增長率問題中可以

設(shè)基數(shù)為G平均增長率為x,增長的次數(shù)為〃，則增長后的結(jié)果為a(l+x)”；而增長率為負數(shù)時，則降低

后的結(jié)果為據(jù)此即可列出方程.

【詳解】解：設(shè)這兩年G0P的年平均增長率為x,

可列方程為：1122(1+無7=1251,

故答案為：1122(1+%)2=1251.

12.圓錐的底面半徑為6cm,母線長為10clli,則圓錐的側(cè)面積為cm2

【答案】60K

【解析】

【詳解】圓錐的側(cè)面積="底面半徑x母線長，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解.

解：圓錐的側(cè)面積=7ix6xl0=60兀cn?.

13.如圖，AB=AC^AD.若=則/BCZ)=.

【答案】?+90°##90°+?

【解析】

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.先

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得==再設(shè)NCfiD=x,NCD5=y,則=a+

AADC=a+y,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NACB=NA5C=cr+x,ZACDZADCa+y,然后

在△BCD中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得。+x+y=90。，最后根據(jù)NBCD=N4CB+/4co即可得.

【詳解】解：AB=AD,ZADB=a,

AABD=AADB=cc,

設(shè)NCBD=x,NCDB=y,則ZABC=Of+x,^ADC-a+y,

AB=AC=AD,

:.ZACB=ZABC=a+x,ZACD^ZADC^a+y,

在Z\BCD中,ZCBD+ZCDB+ZACB+ZACD=180°,

:.x+y+a+x+a+y—180°,

整理得：（z+x+y=90°,

NBCD—XACB+ZACD—a+x+a+y—a+90°,

故答案為：?+90°.

14.如圖，在正六邊形A5CDEF中，點P是A尸上任意一點，連接尸C,PD,則PCD與正六邊形

ABCDEF的面積之比為.

【答案】1：3##-

3

【解析】

【分析】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知

識，屬于中考常考題型.

設(shè)正多邊形的中心為0,如圖，連接Cb,DF,8,根據(jù)AE〃CD,得到S9=5°，根據(jù)OC=。尸

得到S.0CQ=SOFD=}SpCD,而SOCQ正六邊形，求出比值即可?

2o

【詳解】解：設(shè)正多邊形的中心為0,如圖，連接。尸，DF,0D,

AF//CD,

,-?uv.PCD一=°s.FCD'

OC=OF,

-SOCD~SOFD=]SPCD，

Soco=%S正六邊形，

??一尸CD與正六邊形ABCDEF的面積之比為1:3.

故答案為：1:3.

15.設(shè)巧是一元二次方程由及+公一（a+b）=O（mb是常數(shù)）的兩個根.若王々<0則%+%2的取

值范圍是.

【答案】+x2<1

【解析】

hr

【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系：芯+%=-一，石%2=一，熟知一元二次方程根與

aa

系數(shù)的關(guān)系及巧妙使用整體思想是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：因為X1,巧是一元二次方程濾+區(qū)—（。+8）=0（a,6是常數(shù)）的兩個根.

所以玉％=二&±21<0,

a

b

即—1—上<0

a

b

所以—<1

a

,b

那么不+%―---<]

a

故答案為：X]+x2<1

16.如圖，在YABCD中，AB=12cm,AD-6cm,NZMB=60°,點尸為AB上一點，過點C,D,

尸作（。，當(dāng)點尸從點A運動到點8時，點。運動路線的長為cm.

【解析】

【分析】依題意，「。是△CDP外接圓，結(jié)合四邊形ABCD是平行四邊形，得02G=^DH,根據(jù)

勾股定理以及中位線性質(zhì)得QG=go”=孚（cm），因為上DH1DC,得四邊形

是矩形，則AG=AH+HG=9cm,那么GZ=AG—A/=3cm,結(jié)合三角函數(shù)，即可作答.

【詳解】解：依題意，過點C,D,尸作c。，

故當(dāng)點尸與點A重合時，此時點P為點6，圓心為點。|,當(dāng)點尸與點B重合時，此時點尸為點八，圓心

為點。2，過點。作DHLAB，如圖所示:

則即是AD的垂直平分線，E尸與AB相交于一點，為/,是CD的垂直平分線，M以與AB相交

于一點，為G,E尸與NM相交于一點，為Q；

因為四邊形ABC。是平行四邊形

所以。2是YA5CD的對角線的交點，MNJ.AB,DHLDC

那么四邊形是矩形，DM=HG=-x12cm=6cm,O,G=-DH

22

因為AB=12cm,AD=6cm,ZDAB=60°,EFJ.AD

所以NFZ4=NG/a=30°,AF=1AD=3cm

故A/=6cm,

所以點。?是A3的中點

當(dāng)點尸從點A運動到點8時，點O運動路線的長為O。?；

因為AB=12cm,AD=6cm,ZDAB=60°,

所以NADH=30°

則AH=^AD=3cm,DH=y]AD2-AH2=J36-9=（cm）

那么QG=go〃=￥（cm），AGAH+HG=3+6=9（cm）

故儀=46—AZ=女m

因為NG/q=30°,

QGA/3

貝iJtanNG/a=

1G~^

即qG=6cm

所以O(shè)1Q=QG+O]G=￥+6=￥(cm)

故答案為：正

2

【點睛】本題考查了三角形的外接圓，以及平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，

難度較大，綜合性較強，三角形的外接圓是三邊的垂直平分線的交點，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共11小題，共88分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說

明、證明過程或演算步驟)

17.解下列方程：

(1)Y+2X+1=25

(2)(x—2)(%+3)=(x—2)(2%—1),.

【答案】(1)演=4,9=—6

(2)%=2,X2=4

【解析】

【分析】本題考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和直接開方法是解題的關(guān)鍵.

(1)把方程左邊化為完全平方式的形式，再求出工的值即可；

(2)先移項，再提取公因式即可.

【小問1詳解】

川+2x+1=25，

(犬+1)2=25,

x+1=±-425—±5,

玉=4,九2--6；

【小問2詳解】

(%-2)(%+3)=(%-2)(2%-1),

(x-2)(x+3)-(x-2)(2x-1)=0,

(x-2)[(x+3)-(2x-l)]=0,

(x-2)(x+3—2x+l)=0,

(%-2)(4-%)=0,

x-2=0或4-x=0,

%=2,X2=4.

18.“強國”自習(xí)室規(guī)定，每人每天學(xué)習(xí)需一次性支付10元場地費.隨機抽取自習(xí)室一周的學(xué)習(xí)人數(shù)如下

表(單位：人)：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合計

5468766496220178756

(1)求該自習(xí)室本周的日平均營業(yè)額.

(2)如果用該自習(xí)室本周星期一到星期五的日平均營業(yè)額估計當(dāng)月的營業(yè)總額，你認為是否合理？如果

合理，請說明理由；如果不合理，請設(shè)計一個方案，并估計該自習(xí)室當(dāng)月(按30天計算)的營業(yè)總額.

【答案】(1)該自習(xí)室本周的日平均營業(yè)額為1080元

(2)不合理，理由和方案見解析

【解析】

【分析】本題考查了求算術(shù)平均數(shù)，用樣本估計總體，掌握求算術(shù)平均數(shù)以及用樣本估計總體的方法和步驟

是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平均數(shù)的定義即可求解；

(2)從極端值對平均數(shù)的影響作出判定，可用該自習(xí)室周一到周日的平均營業(yè)額估計當(dāng)月營業(yè)額.

小問1詳解】

解：756x10-7=1080(元)，

答：該自習(xí)室本周的日平均營業(yè)額為1080元.

【小問2詳解】

解：不合理，平均數(shù)受極端值的影響較大，周六和周日的營業(yè)額明顯高于其他5天，所有用該自習(xí)室本周

星期一到星期五的日平均營業(yè)額估計當(dāng)月的營業(yè)總額不合理；

方案：用該自習(xí)室周一到周日的平均營業(yè)額估計當(dāng)月營業(yè)額，

1080x30=32400（元）.

19.根據(jù)江心洲地質(zhì)水文條件量身打造的“新時代號”泥水平衡盾構(gòu)機，是目前世界上最先進的盾構(gòu)設(shè)備之

一，被譽為“國之重器”.如圖1,盾構(gòu)機核心部件一刀盤的形狀是一個圓形.如圖2,當(dāng)機器暫停時,

刀盤露在地上部分的跨度=12m,拱高（弧的中點到弦的距離CD）3m,求盾構(gòu)機刀盤的半徑.

圖2

【答案】盾構(gòu)機刀盤的半徑為7.5m

【解析】

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，設(shè)。4=OC=rm,構(gòu)建方程求解.解題的關(guān)鍵是理解題

意，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程.

【詳解】解：依題意，如圖:

設(shè)Q4=OC=rm

OCYAB,

/.AD=DB=^AB=6（m）

?-*OA2=AD2+OD2，

,?.r2=62+（r-3）2,

，r=7.5.

所以盾構(gòu)機刀盤的半徑為7.5m.

20.如圖，已知四邊形ABCD是。的內(nèi)接四邊形，延長。C,A3相交于點E,且=求證:

VADE是等腰三角形.

【答案】見解析

【解析】

【分析】本題主要考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形的外角定理，等角對等邊，根據(jù)三角形的外角定理，

得出=再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，推出=即可得出ZE=ZBAD，最

后根據(jù)等角對等邊，即可求證.

【詳解】證明：VZABC=2ZE,ZABC=ZE+ZBCE,

:.NE=ZBCE,

?.?四邊形ABC。是。的內(nèi)接四邊形，

/.ZBCD+ZBAD=180°

：ZBCE+ZBCD=180°,

ZBCE=ZBAD,

：-ZE=ZBAD，則=

；?VADE是等腰三角形.

21.已知關(guān)于x的方程./+辰+左—2=0

（1）證明：不論左為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若人為整數(shù)，則當(dāng)人為何值時，方程的根是整數(shù).

【答案】（1）見解析（2）當(dāng)左=2時，方程的根是整數(shù)

【解析】

【分析】⑴由『乃一共左—2）＞0可得結(jié)論；

（2）求方程得工—一:土J（"2）+4,要使方程的解為整數(shù)，貝ij（左—2）2+4為平方數(shù)，設(shè)

2

（左一2）2+4=/，整理得（小+左一2）（加一左+2）=4,根據(jù)加+左一2與加一女+2的奇偶性相同，得

m+k-2-2[m+k-2=-2m—2\m=—2

或＜,求出'c或/c即可?

m-k+2-2\m-k+2=-2k=2k=2

【小問1詳解】

證明：A二左2—4（左一2）

=左2—4左+8

=（左-2『+4,

V（Z;-2）2>0,

/.（A:-2）2+4>O,

...無論改取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根;

小問2詳解】

角星：x2+kx+k—2=0>

*——）士J（）—2丫+4,

X~2

要使方程的解為整數(shù)，貝U（左-2）2+4為平方數(shù)，

設(shè)（左一2y+4=m2，

整理得：（和+左一2乂加一左+2）=4,

,:m+k—2與m—k+2的奇偶性相同，

m+k-2-2\m+k-2--2

：.\或《,

m-k+2-2\m-k+2--2

m-2[m=-2

解得：〈7C或I7C，

K-2k-2

當(dāng)左=2時，方程變?yōu)闋t+2%=0，

解得：％=0或x=—2,

???當(dāng)左=2時，方程的根是整數(shù).

【點睛】本題考查了解一元二次方程，以及一元二次方程根的判別式：一元二次方程

㈤：2+陵+。=0（。*0）的根與八=/—44°有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)

A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)A<0時，方程無實數(shù)根.

22.如圖，AB是C。的直徑，點C,。在圓上，BC=CD，過點C作CELAD交AD的延長線于點及

(1)求證：CE是「。的切線；

(2)若AD=10,AO=13,求CE的長.

【答案】(1)見詳解(2)CE=n

【解析】

【分析】本題考查了切線的判定定理和勾股定理，垂徑定理：

(1)連接OC,AC,OA=OC,則NOC4=NQ4C,再由已知條件，可得NOCE=90。；

(2)作得到四邊形OCM是矩形和AE=5,根據(jù)矩形性質(zhì)可得CE長.

【小問1詳解】

解：連接OC,AC,如圖所示：

VOA=OC,

：.ZOCA=ZOAC,

BC=CD

：.ZBAC=ZCAD,

：.ZOCA=ZCAD,

：.OC//AE,

,：ZE=9Q°,

：.NOCE=NE=90。，

OC±CE,

???0。是,。半徑，

，CE是；O的切線；

【小問2詳解】

解：如圖，作OF_LA￡),

2

VZ.OFE=ZFEC=ZECO=90°,

四邊形OC所是矩形，

CE=OF,

在Rt_AO/中，由勾股定理得：

OF=A/132-52=12

CE=n.

23.2023年全國旅游市場持續(xù)回暖.經(jīng)調(diào)研，“十一”假期期間，如果某景區(qū)門票定價為每張80元，那么

當(dāng)天入園人數(shù)預(yù)計將達到20000人；如果票價每增加1元，那么當(dāng)天入園人數(shù)就減少200人.要使每日門

票收入達到1620000元，票價應(yīng)定為多少元？

【答案】票價應(yīng)定為90元

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)票價應(yīng)定為x元，根據(jù)票價義每日銷售的票數(shù)=每日門票收

入，列出一元二次方程，解方程即可.

【詳解】解：設(shè)票價應(yīng)定為x元，

由題意得：尤[20000—200(%—80)]=1620000,

整理得：X2-180X+8100=0;

解得：%=90,

所以票價應(yīng)定為90元.

24.如圖，43是（。的直徑，點C在。上，且AC=CE，AE,CB的延長線交于點G,CF_LAB交

于AG于點孔垂足為D

（1）求證NCAB—/BCD;

（2）求證AF=FG.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是掌握同弧所對的圓周角相等，直徑

所對的圓周角是直角.

（1）根據(jù)是。。直徑，得出NACD+/BCD=90。，再根據(jù)CFLAB,得出

ZC4B+ZACD=90%即可求證；

（2）根據(jù)圓周角定理得出/A3C=NC4E,根據(jù)NACB=90。，CF±AB,得出

ZCAD+ZACD=ZCAD+ZABC^90°,則NACD=NABC,進而得出NACD=NC4E,貝I

AF=CF,再根據(jù)NG+NC4E=NBCD+NACD=90。，ZACD=ZCAE,得出NG=/BCD,則

CF=FG,即可求證.

【小問1詳解】

證明：；A3是「。的直徑，

NACB=90。，

ZACD+ZBCD=90°,

-：CF±AB,

：.ZADC^90°,

：.ZCAB+ZACD=90°,

：.ZCAB=/BCD;

【小問2詳解】

證明：：AC=CE，

/.ZABC=NCAE,

VZACB=90°,CFLAB,

ZCAD+ZACD=ZCAD+ZABC=90°,

ZACD=ZABC,

：.ZACD=ZCAE,

：.AF=CF,

VZG+ZCAE=ZBCD+ZACD^90°,ZACD=ZCAE,

：.NG=/BCD,

:.CF=FG,

：.AF=FG.

25.如圖，在ABC中，AB=AC,。是以46。的外接圓，過點。作AC的垂線，垂足為。，分別交

CB的延長線，AG于點E,F；AF>8C的延長線交于點G.

(2)若E3=CG,求/8AC的度數(shù).

【答案】(1)見解析(2)NB4c=36°

【解析】

【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，三角形的內(nèi)角和定理，

正確作出輔助線，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)連接。尸，根據(jù)垂徑定理得出AF=CF^則NPC4=NE4C，根據(jù)等邊對等角得出

ZABC=ZACB,結(jié)合圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得出NGEC=NABC,進而得出NG〃C=NACfi,根

據(jù)NGFC=NE4C+N/C4,NACB=NG4C+NG,則NG=N/C4,得出NG=NE4C,即可求證

AC=CG；

(2)連接AE,易得EB=AB，ZABC=ZACB,則/AEB=/FAB,設(shè)ZAEB=NEAB=x,則

ZABC^ZACB=2x,根據(jù)垂徑定理和三線合一推出AE=CE,則NACB=NEAC=2x,進而得出

NB4C=NE4C—/￡45=兀最后根據(jù)Na4C+NACB+NABC=x+2x+2x=180°,即可求解.

【小問1詳解】

解：連接。尸，

?/OF±AC,

AF=CF，

：.ZFCA=ZFAC,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

VZABC+ZAFC=180°,ZGFC+ZAFC=180°,

/.NGFC=ZABC,

/.NGFC=ZACB,

ZGFC=ZFAC+ZFCA,ZACB=ZGAC+ZG,

/.ZG^ZFCA,

：.ZG^ZFAC,

/.AC=CG；

【小問2詳解】

解：連接AE,

,:EB=CG,AC=CG,AB=AC,

:?EB=AB，/ABC=ZACB,

；?ZAEB=ZEAB,

設(shè)ZAEB=NEAB=x,則ZABC=ZACB=2x,

?/OD1AC,

AD=CD,

?/EDIAC,

AE=CE,

ZACB=ZEAC=2x,

：.NBAC=ZEAC-ZEAB=x

在ABC中，ZBAC+ZACB+ZABC=x+2x+2x=lSQ°,

解得：x=36°,

/.ZBAC=36°.

A

26.如圖，菱形ABC。的對角線AC,BD交于點O,AC=16cm,=12cm,動點M從點A出發(fā)沿AC

方向以2cm/s的速度運動到點C,動點N從點2出發(fā)沿2。方向以Icm/s的速度運動到點D若點M,N同

時出發(fā)，其中一個點停止運動時，另一個點也停止運動.

(1)出發(fā)1秒鐘時，AWN的面積=cm2；

(2)出發(fā)幾秒鐘時，AMQV的面積為len?

【答案】⑴15⑵”5+&或，=5或y5-&

【解析】

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，一元二次方程與幾何問題，掌握菱形的對角線互相垂直平分，根據(jù)題意進

行分類討論是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出0A=—AC=8cm,OB=—BD=6cm,ACd.